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第七 二元一次方程組
總時：8時 使用人：
備時間：第九周 上時間：第十三周
第5時：7、4增收節支
目標
知識與技能
1．能運用列表分析法分析數量關系；
2．能熟練地列二元一次方程組解決簡單的實際問題。
3．掌握運用列二元一次方程組解決實際問題的技能。
過程與方法
經歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程是刻畫現實世界的有效的數學模型，培養學習數學應用能力。
情感態度與價值觀
1．通過問題的解決進一步認識數學與現實世界的密切聯系。
2．通過對問題的解決，培養學生的必要的經濟意識，增強他們節約成本、有效合理利用資的意識。
重點
1．初步體會列方程組解決實際問題的步驟．
2．學會用圖表分析較復雜的數量關系問題。
教學難點
將實際問題轉化成二元一次方程組的數學模型；會用圖表分析數量關系。
教學準備：
教具：教材，，電腦（視頻播放器）
學具：教材，練習本
教學過程
第一環節：創設情境，導入新（5分鐘，學生觀看圖片和實際問題，引發思考和提升解決問題的興趣。創設問題情景，引導學生思考，導入題）
你想過嗎？
提出問題：同學們你知道你的生活有哪些必要開支嗎？
引發問題： 經濟生活在我們生活中多么重要！你想運用數學知識使你的生活更加合理優化，生活的更加幸福愜意嗎？那么你能幫幫解決下面的實際經濟問題嗎？
教學進程：教師演示幻燈片，學生回答問題
1．開商店
小明想開一家時尚Ｇ點專賣店，開店前他到其它專賣店調查價格．他看中了一套新款春裝，成本共500元，專賣店店員告訴他在上市時通常將上衣按50?的利潤定價，褲子按40?的利潤定價。由于新年將至，節日優惠，在實際出售時，為吸引顧客，兩服裝均按9折出售，這樣專賣店共獲利157元，小明覺得上衣款式好，銷路會好些，想問問上衣的成本價，但店員有事走開了， 你能幫助他？
2．購物
新年臨爸爸想送Ｍike一個書包和隨身聽作為新年禮物．爸爸對Ｍike說：“我在家樂福、人民商場都發現同款的隨身聽的單價相同，書包單價也相同，隨身聽和書包單價之和是452元，且隨身聽的單價比書包單價的4倍少8元，你能說出隨身聽和書包單價各是多少元，那么我就買給你做新年禮物”。
你能幫助他嗎？
（最優化決策）
最近商家促銷有促銷活動，人民商場所有商品打八折銷售，家樂福全場購物滿100元返物券30元銷售（不足100元不返券，購物券全場通用），爸爸只給Ｍike 400元錢，如果他只在一家購買看中的這兩樣物品，你能幫助他選擇在哪一家購買嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購買更省錢？
第二環節：新講解（15分鐘，通過回答知識回顧問題，教師啟發學生做經驗提升；通過回答問題對學生能力進行及時評價，如果回答錯誤及時糾正。）
知識回顧：填一填
1.某工廠去年的總產值是x萬元, 今年的總產值比去年增加了20%, 則今年的總產值是__________萬元;
2.若該廠去年的總支出為y萬元, 今年的總支出比去年減少了10%, 則今年的總支出是__________萬元;
3.若該廠今年的利潤為780萬元, 那么由1, 2可得方程___________________________.
(1+20%)x (1-10%)y (1+2 0%) x- (1-10%) y=780

經驗提升：解增降率問題常用的關系式為a(1±x)=b
(其中:a表示基數；x表 示增降率；b表示目標數；增時為加，降時為減)
例題探索
例1 ＣＮＩ公司去年的利潤（總產值—總支出）為200萬元。今年總產值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元。去年的總產值、總支出各是多少萬元？
分析：關鍵:找出等量關系.

今年的總產值=去年總產值×(1+20%） 今年的總支出=去年的總支出×(1—10%）
相等關系中的數量關系真多，畫個表格表示它們吧！
（題目中可分析今年，去年；總產值，總支出和利潤，畫個２×３的表格分析看）
總產值/萬元 x 200
今 年(1+20%) x(1-10%) y780

得到兩個等式：
x—y =200 ，
(1+20%) x—(1—10%) y =780。
解：設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，則
今年的總產值=（1+20%）x萬元，
今年的總支出=（1—10%）y萬元。
由題意得:

答：去年的總收入為2000萬元，總支出為1800萬元。
教學進程：學生作相等關系、數 量關系的分析，教師教學生畫表格分析數量關系，并共同解答。
議一議：還可以設間接未知數嗎？（根據學生情況和教學安排選用）
設今年的總產值為x萬元，總支出為y元
總產值/萬元總支出/萬元利潤/萬元
去 年

200

今 年xy780
通過直接設未知數與間接設未知數的類比，讓學生感受到列方程時，應選取思維難度和計算難度較低的未知數設法。
教學進程：學生設出未知數，教師幫助學生畫表格分析數量關系并引導學生類比直接設未知數與間接設未知數的優劣。表示數量關系時，若有錯誤，及時糾正并著重講解以免再次出現錯誤。
例2 醫院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配制營養品．每克甲原料含0.5單位蛋白質和1單位鐵質，每克乙原料含0.7單位蛋白質和0.4單位鐵質．若病人每餐需要35單位蛋白質和40單位鐵質，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？
分析：找出等量關系.

每餐甲原料中含蛋白質 量=0.5×每餐甲原料的質量，
每餐乙原料中含蛋白質量=0.7×每餐乙原料的質量，
每餐甲原料中含鐵 質量=1×每餐甲原料的質量，
每餐乙原料中含鐵質量=0.4×每餐乙原料的質量，
由于相等關系中的數量關系復雜，所以可以選取用列表格的方法表示各數量關系之間的關系，有利于根據相等關系列方程。
（題目中可分析蛋白質含量，鐵的含量；甲、乙兩種原料和病人配置的營養品，所以畫個２ × ３的表格分析；學生通常對要分析那些數量關系不太 明確，所以講解時要說明為什么會這樣畫表格）
解：設每餐需要甲、乙兩種原料各x, y克，則有下表：
甲原料x克乙原料y克所配制的營養品
其中含蛋白質量0.5x單位0.7 y單位３５單位
其中含鐵質量x單位0.4 y單位４０單位
由上表可以得到的等式：

化簡得：

（1）×2得 10x+14y=700 (5)
(5)－(4)得 10y=300
y=30
將y=30代入(3)得 x=28
答：每餐需甲原料28克，乙原料30克。
第三環節：練習提高、合作學習；（5分鐘，小組探究）
1．育才學校去年有學生３１００名，今年比去年增加4.4％,其中寄宿學生增加了6％,走讀學生減少了2％.問該校去年有 寄宿學生與走讀學生各多少名?
設去年有寄宿學生x名,走讀學生y名,則可列出方程組為 。
分析：找出等量關系.
去年寄宿學生＋去年走讀學生＝３１００名
今年寄宿學生＋今年走讀學生＝３１００ ×（１＋４.４％）
題目中可分析去年，今年；寄宿學生，走讀學生，學生總數．畫個２ × ３的表格分析
寄宿學生走讀學生學生總數
去年 xy３１００
今年（１＋６％）x（１－２％）y３１００ ×
（１＋４.４％）
解：

2．編題
有一個方程組：

你能根據這個方程組編一個實際背景的應用題嗎？
活 動規則：
四個同學一組編題，互評；然后推選出有創意，符合實際生活的例子進行全班交流．
第四環節：問題解決；（10分鐘，學生嘗試獨立解決問題，后全班交流）
解決問題一
小明想開一家時尚Ｇ點專賣店，開店前他到其它專賣店調查價格．他看中了一套新款春裝，成本共500元，專賣店店員告訴他在上市時通常將上衣按50?的利潤定價，褲子按40?的利潤定價。由于新年將至，節日優惠，在實際出售時，為吸引顧客，兩服裝均按9折出售，這樣專賣店共獲利157元，小明覺得上衣款式好，銷路會好些，想問問上衣的成本價，但店員有事走開了，你能幫助他嗎？
分析：找出等量關系.
題目中可分析上衣，褲子；成本．實際售價和利潤．畫個２ × ３的表格分析
上衣成本＋褲子成本＝５００元
上衣利潤＋褲子利潤＝１５７元
解：設上衣的成本價為ｘ元，裙子的成本價為ｙ元：
成本（元）實際售價（元）利潤（元）
上衣
x

褲子
y

解：設上衣的成本價為x元，裙子的成本價為y元，則上衣利潤 　　　　　　　　元，
　褲子利潤為0.9(1+40%)y-y元，依題意得
x+y=500，
0.9×(1+50%)x-x+0.9×(1+40%)y-y=１５７。
整理得:
x+y=500 ， ……①
35x+26y=１５７00. …… ②
②－① ×26,得9x=２700,
∴x =３００.
把其代入①，得y=500－３００=２００
x=３００，
y=２００.
答：上衣成本３００元，裙子成本２００元。
解決問題二
新年 臨爸爸想送ike一個書包和隨身聽作為新年禮物．爸爸對ike說：“我在家樂福、人民商場都發現同款的隨身聽的單價相同，書包單價也相同，隨身聽和書包單價之和是452元，且隨身聽的單價比書包單價的4倍少8元，你能說出隨身聽和書包單價各是多少元，那么我就買給你做新年禮物”。
你能幫助他嗎？
（1）解：設書包單價為x元，則隨身聽單價為y元,根據題意可列出方程：

解之得：

答：書包單價92元，隨身聽單價360元。
最優化決策：
聰明的ike想了想回答正確后便同爸爸去買禮物， 恰好趕上商家促銷，人民商場所有商品打八折銷售，家樂福全場購物滿100元返購物券30元銷售（不足100元不返券，購物券全場通用），但他只帶了400元錢，如果他只在一家購買看中的這兩樣物品，你能幫助他選擇在哪一家購買嗎？若兩家都可以選擇，在哪一家購買更省錢？
提示：書包單價92元，隨身聽單 價360元。
2）在人民商 場購買隨聲聽與書包各一樣需花費現金452× =361.6（元）
∵ 361.6<400
∴可以選擇在人民商場購買。
在家樂福可先花現金360元購買隨身聽，再利用得到的90元返券，加上2元現金購買書包，共花現金360+2=362（元）。
因為362＜400，所以也可以選擇在家樂福購買。
因為362＞361.6,所以在人民商場購買更省錢。
第五環節：學習反思；（5分鐘，學生思考回答，不足的地方教師補充和強調。）
你的收獲是什么？
1．通過本節的學習活動，你會用列表分析數據嗎？
2．你能用列方程組的方法解決實際問題嗎？
3．你體會到方程思想在生活中的存在嗎？

小結：
１．在很多實際問題中，都存在著一些等量關系，因此我們往往可以借助列方程或方程組的方法處理這些問題．
２．這種處理問題的過程可以進一步概 括為：
　　　　　分析　　　　　　求解
　　問題　　　　方程（組）　　　解答
　　　　　抽象　　　　　　檢驗
３．要注意的是，處理實際問題的方法是多種多樣的，圖表分析是一種直觀簡潔的方法，應根據具體問題靈活選用．
教學反思

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