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第三十一講 完全平方數和完全平方式
設n是自然數，若存在自然數m，使得n=m2，則稱n是一個完全平方數(或平方數)．常見的題型有：判斷一個數是否是完全平方數；證明一個數不是完全平方數；關于存在性問題和其他有關問題等．最常用的性質有：
(1)任何一個完全平方數的個位數字只能是0，1，4，5，6，9，個位數字是2，3，7，8的數一定不是平方數；
(2)個位數字和十位數字都是奇數的兩位以上的數一定不是完全平方數，個位數字為6，而十位數字為偶數的數，也一定不是完全平方數；
(3)在相鄰兩個平方數之間的數一定不是平方數；
(4)任何一個平方數必可表示成兩個數之差的形式；
(5)任何整數平方之后，只能是3n或3n+1的形式，從而知，形如3n+2的數絕不是平方數；任何整數平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，從而知5n+2或5n+3的數絕不是平方數；
(6)相鄰兩個整數之積不是完全平方數；
(7)如果自然數n不是完全平方數，那么它的所有正 因數的個數是偶數；如果自然數n是完全平方數，那么它的所有正因數的個數是奇數；
(8)偶數的平方一定能被4整除；奇數的平方被8除余1，且十位數字必是偶數．
例題求解
【例1】 n是正整數，3n+1是完全平方數，證明：n+l是3個完全 平方數之和．
思路點撥 設3n+1=m2，顯然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整數)．
若rn=3k+1，則 ．
∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2．
若m=3k+2，則
∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2．
故n+1是3個完全平方數之和．
【例2】一個正整數，如果加上100是一個平方數，如果加上168，則是另一個平方數，求這個正整數．
思路點撥 引入參數，利用奇偶分析求解．
設所求正整數為x，則
x+ 100=m2 ----①
x+168==n2 -----②
其中m，n 都是正整數， ②?①得n2?m2 =68，即 （n?m）(n+m)=22×17．---- ③
因n?m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n?m，n+m都是偶數．注意到0 解得n=18．代人②得x=156，即為所求．
【例3】 一個正整數若能表示為兩個正整數的平方差，則稱這個正整數為“智慧數”，比如16=52?32，16就是一個“智慧數”．在正整數中從1開始數起，試問第1998個“智慧數”是哪個數?并請你說明理由．
思路點撥 1不能表為兩個正整數的平方差，所以1不是“智慧數”．對于大于1的奇正整數2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整數都是“智慧數”．
對于被4整除的偶數4k，有4k=(k+1)2?(k?1)2 (k=2，3，…)．即大于4的被4整除的數都是“智慧數”，而4不能表示為兩個正整數平方差，所以4不是“智慧數”．
對于被4除余2的數4k+2 (k=0，1，2，3，…)，設4k+2=x2?y2=(x+y)(x－y)，其中x，y為正整數，當x，y奇偶性相同時，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；當x，y奇偶性相異時，(x+y)(x－y)為奇數，而4k+2為偶數，總得矛盾．所以不存在自然數x，y使得x2?y2=4k+2．即形如4k+2的數均不為“智慧數”．
因此，在正整數列中前四個正整數只有3為“智慧數”，此后，每連續四個數中有三個“智慧數”．
因為1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996個“智慧數”，2665是第1997個“智慧數”，注意到2666不是“智慧數” ，因此2667是第1998個“智慧數”，即第1998個“智慧數”是2667．
【例4】(太原市競賽題)已知：五位數 滿足下列條件：
(1)它的各位數字均不為零；
(2)它是一個完全平方數；
(3)它的萬位上的數字a是一個完全平方數，干位和百位上的數字順次構成的兩位數 以及十位和個位上的數字順次構成的兩位數 也都是完全平方數．
試求出滿足上述條件的所有五位數．
思路點撥 設 ，且 (一位數)， (兩位數)， (兩位數)，則 ①
由式①知 ②
比較式①、式②得n2=2mt．
因為n2是2的倍數，故n也是2的倍數，所以，n2是4的倍數，且是完全平方數．
故n2=16或36或64．
當n2=16時，得 ，則m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合條件，舍去；
故 或41616．
當n2=36時，得 ．則m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合條件，舍去．
故 或93636．
當n2= 64時，得 ．則m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合條件，舍去．
因此，滿足條件的五位數只有4個：11 664，41 616，43 681，93 636．
【例5】 (2002年北京)能 夠找到這樣的四個正整數，使得它們中任兩個數的積與2002的和都是完全平方數嗎?若能夠，請舉出一例；若不能夠；請說明理由．
思路點撥 不能找到這樣的四個正整數，使得它們中任兩個數的積與2002的和都是完全平方數．
理由如下：
偶數的平方能被4整除，奇數的平方被4除余1，也就是正 整數的平方被4除余0或1．若存在正整數滿足 ； =1，2，3，4，rn是正整數；因為2002被4除余2，所以 被4除應余2或3．
(1)若正整數n1，n2，n3，n4中有兩個是偶數，不妨設n1，n2是偶數，則 被4除余2，與正整數的平方被4除余0或1不符，所以正整數n1，n2，n3，n4中至多有?個是偶數，至少有三個是奇數．
(2)在這三個奇數中，被4除的余數可分為余1或3兩類，根據抽屜原則，必有兩個奇數屬于同一類，則它們的乘積被4除余1，與 被4除余2或3的結論矛盾．
綜上所述，不能找到這樣的四個正整數，使得褥它們中任兩個數的積與2002的和都是完全平方數．
【例6】 使得(n2?19n+91)為完全平方數的自然數n的個數是多少?
思路點撥 若(n2?19n+91)處在兩個相鄰整數的完全平方數之間，則它的取值便固定了．
∵ n2一19n+91=(n-9)2 +(10一n)
當n>10時，(n－10)2∴ 當n>10時(n2?19n+19)不會成為完全平方數
∴ 當n≤10時，(n2?19n+91)才是完全平方數
經試算，n=9和n=10時，n2?19n+91是完全平方數．
所以滿足題意的值有2個．
【例7】 (“我愛數學”夏令營)已知 的值都是1或?1，設m是這2002個數的兩兩乘積之和．
(1)求m的最大值和最小值，并指出能達到最大值、最小值的條件；
(2 )求m的最小正值，并指出能達到最小正值的條件．
思路點撥 (1) ， ．
當 或 時，m取最大值2003001．
當 中恰有1001個1，1001個 時，m取最小值?1001．
(2)因為大于2002的最小完全平方數為452=2025，且 必為偶數，所以，當 或 ；
即 中恰有1024個1，978個 或恰有1024個 ，978個1時，m取最小值 ．
【例8】 (全國競賽題)如果對一切x的整數值，x的二次三項式 都是平方數(即整數的平方)，證明：
(1) 2a、2b都是整數；
( 2)a、b、c都是整數，并且c是平方數．
反過來，如果(2) 成立，是否對一切x的整數值， 的值都是平方數?
思路點撥 (1) 令x=0，得c=平方數= ；
令x=±1，得 ， ，其中m、n都是整數．所以， ， 都是整數．
(2) 如果2b是奇數2k+l(k是整數)，令x=4得 ，其中h是整數．
由于2a是整數，所以16a被4整除，有 除以4余2．
而 ，在h 、l的奇偶性不同時， 是奇數；在h、l的奇偶性相同時， 能被4整除．
因此， ，從而2b是偶數，b是整數， ^也是整數．
在(2)成立時， 不一定對x的整數值都是平方數．例如，a=2，b=2，c=4，x=1時， =8不是平方數．
另解(2)：
令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a?2b+c=k2，其中h、k為整數．兩式相減得
4b=h2?k2=(h+k)(h?k)．
由于4b=2(2b)是偶數，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h?k)能被4整除．
因此，b是整數， 也是整數．


學力訓練
(A級)
1．(山東省競賽題)如果 是整數，那么a滿足( )
A．a>0，且a是完全平方數 B．a<0，且－a是完全平方數
C．a≥0，且a是完全平方數 D．a≤0，且?a是完全平方數
2．設n是自然數，如果n2的十位數字是7，那么n2的末位數字是( )
A．1 B．4 C．5 D．6
3．(五羊杯，初二)設自然數N是完全平方數，N至少是3位數，它的末2位數字不是00，且去掉此2位數字后，剩下的數還是完全平方數，則N的最大值是 ．
4．使得n2?19n+95為完全平方數的自然數n的值是 ．
5．自然數n減去52的差以及n加上37的和都是整數的平方，則n= ．
6．兩個兩位數，它們的差是56，它們的平方數的末兩位數字相同，則這兩個數分別是
．
7．是否存在一個三位數 (a，b，c取從1到9的自然數)，使得 為完全平方數?
8．求證：四個連續自然數的積加l，其和必為完全平方數．

（B級）
1．若x是自然數，設 ，則 ( )
A．y一定是完全平方數 B．存在有限個，使y是完全平方數
C．y一定不是完全平方數 D．存在無限多個，使y是完全平方數
2．已知a和b是兩個完全平方數，b的個位數字為l，十位數字為x；b的個位數為6，十位數字為y，則( )
A．x，y都是奇數 B．x，y都是偶數
C．x是奇數，y是偶數 D．x為偶數，y為奇數
3．若四位數 是一個完全平方數，則這個四位數是 ．
4．設m是一個完全平方數，則比m大的最小完全平方數是 ．
5．(全國聯賽題)設平方數y2是11個連續整數的平方和，則y的最小值是 ．
6．(北京市競賽，初二)p是負整數，且2001+p是?個完全平方數，則p的最大值為 ．
7．有若干名戰士，恰好組成一個八列長方形隊列．若在隊列中再增加120人或從隊列中減去120人后，都能 組成一個正方形隊列．問原長方形隊列共有多少名戰士?
8．證明： 是一個完全平方數．


本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.lg566.com/chuer/56423.html

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