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21.2銳角的三角函數值
一、教法設想：
通過同學們經常使用的三角板，讓同學們計算一下，當∠A=30°, ∠A=45°, 由于同學們所使用三角板大小不一，但他（她）們求得的比值都是 和 ，這是為什么呢？
由相似三角形有關性質得出：在這些直角三角形中，銳角A取一個固定值，∠A的對邊與斜邊的比值仍是一個固定值，進而再引入正弦，余弦的概念，并向同學說明0< sinA < 1, 0< cosA< 1（∠A為銳角）.
再分別求出30°，45°，60°特殊三角函數值并應用其進行計算，進一步研究任意銳角的正弦值與余角的余弦值關系.
根據30°，45°，60°正、余弦值分析，引導同學歸納出：當角度在0°—90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）；當角度在0°—90°間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）.
適時介紹正弦和余弦表的構造. 結合實例進行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然. 正確處理好修正值.
對學有余力的學生，也可適當介紹“sin2A+ cos2A = 1”這一重要關系式.
在學習正弦、余弦的概念后，再進一步學正切、余切較容易，可仿正弦、余弦的教法進行，對學有余力的學生也可講授 這些重要關系式.
在中對0°，30°，45°，60°，90°的特殊角的三角函數值要求學生一定要熟記，為此，我們可分別列出表并編出口決讓學生記易，省時易記.
表I：
三角函數30°45°60°
Sinα



Cosα



tgα



口決：一，二，三，三，二，一，三九二十七.
表II.
三角函數0°30°45°60°90°
Sinα





Cosα





tgα0
1
──
ctgα──
1
0
口決：0，一，二，三，四帶根號，比上2要記牢.
第二行左右倒，三，四行靠推導.
【指點迷津】
本單元銳角三角函數的引進，使形與數緊密結合為一體，開辟了數形結合的新航向. 因此，在本單元中，務必注意數形結合思維方法的引導，應用. 用其法解決生活中的實際問題. 達到得心應手.
二、學海導航：
【思維基礎】
1. 銳角三角函數定義
Rt△ABC中，∠C= 90°，AB= c，BC= a，AC= b， 則∠A的正弦，余弦，正切，余切分別是：SinA = ________ CosA =_______ tgA =________ CtgA= ________. 它們統稱為∠A的銳角三角函數. （1）一銳角的三角函數值是四個_______；銳角三角函數都不可能取_________，且A為銳角時，SinA，CosA均在______~ ______內取值.
2. 特殊角的三角函數值（完成下表）


0°30°45°60°90°增減值
Sinα
Cosα
tgα
ctgα


3. 互余角間的三角函數關系，△ABC中，∠C= 90°，A + B = 90°，∠B =90°－A，則有：
Sin(90°－A) = ___________
Cos(90°－A) = ___________
tg (90°－A) = ___________
Ctg(90°－A) = ___________.
4. 同角三角函數關系公式：（∠A為銳角）.
（1）Sin2A + Cos2A = ___________; Cos2A = ___________, Sin2A = ____________.


【學法指要】
例1. 如果∠A為銳角，CosA= ，那么（ ）
A. 0°< A ≤30° B. 30°< A≤45°
C. 45°< A ≤60° D. 60°< A < 90°
思路分析：

當角度在0°~ 90°間變化時，余弦值隨著角度的增大（或減少）而減小（或增大）.
∴ 60°< A < 90° 應選D
例2. 當45°< X < 90°時，有（ ）
A. Sin x > Cos x > tg x B. tg x > Cos x > Sin x
C. Cos x > Sin x > tg x D. tg x > Sin x > Cos x
思路分析： ∵ 45°< x < 90° ∴ 取A = 60°

， ∴tg x > Sin x > Cos x
∴ 應選D
解選擇題，采取特例法可出奇制勝，如本例取x = 60°在45°< x < 90°的范圍內，很快可知Sin 60°,Cos 60°,tg60°的值，誰大誰小，相形見絀. 因之，在解決有關選擇題時，根據題目的限制條件，靈活選取特殊值（也可畫特殊圖形，特殊點，特殊位置，特殊線等），可巧奪天工.
例3. 計算：
思咯分析：若a≠0時 , a0 = 1

對此項中的Sin36°是一項干擾支. 迷惑同學們，因為Sin36°，不是表內特殊值，求不出來，至使解題陷入僵局，其實不然. 不需要求Sin36°之值，只需要知道 即可. 因而，解題時，必須善于排除干擾支，解除困惑，準確使用數學概念，正確求出答案，對于特殊角三角函數值的計算，一. 要準確無誤代入三角函數值；二. 要按照實數的運算法則進行運算；三. 運算的結果必須是最簡關系式. 于是對上式便一目了然了.

例4. 已知方程 的兩根為 tgθ, ctgθ,求k和θ，（θ為銳角）
思路分析：∵tgθ, ctgθ為二次方程 的二根，根據與系數關系式，得

∵tgθ? ctgθ=1 ∴k = 1
∴原方程為

即tgθ= , ctgθ= 或 tgθ= , ctg =
故θ1=30° θ2 = 60°
銳角三角函數與二次方程等有著千絲萬縷的聯系，各種知識交織在一起，因而必須把綜合知識進行剖析，分解，然后各個擊破，便可打通思路. 如本例，首先運用二次方程的有關知識──根與系數關系；再運用銳角三角函數的倒數關系求出K，又回到解一元二次方程來，解出二根，從中求出tgθ,ctgθ之值，再求出對應的θ之值，總之，善于剖析，化整為零，一個一個解決，對復雜的綜合題便可攻破了.
例5. 在△ABC中，三邊之比a：b：c = 1： ：2，則SinA + tgA等于（ ）
A. B.
C. D.
思路分析：∵ a：b：c = 1： ：2
∴ 可設a = k, b = k , c = 2k ( k > 0 )
∴a2 + b2 = k2 + ( k)2= 4k2 = (2k)2 = c2
∴ △ABC是直角三角形，且∠C= 90°
根據三角函數定義，可知：

∴△ABC是直角三角形，且∠C= 90°
根據三角函數定義，可知：

∴SinA + tg A

∴ 應選（A）
對于題設是以連比形式出現的，通常都是增設參數K，將未知轉化已知，使問題明朗化，進而再研究三角形三邊的關系，從而判定為直角三角 形，又轉化為銳角三角函數問題，找到思路，這是解決此類問題的常用方法，而且又比較方便，請同學們今后遇到此類問題，可小試“牛刀”.
【思維體操】

例1. 已知AD是直角△ABC的斜邊BC上的高，在△ADB及△ADC中分別作內接正方形，使每個正方形有兩條邊分別在DB，DA及DC，DA上，而兩個正方形的第四個頂點E，F各在AB，AC上，求證：AE= AF.
揭示思路1：設∠ABC= α. 正方形EMDG與正方形DNFH的邊長分別為a , b
∵AD = AG + DG = a?tgα + a
AD = AH + DH = b?Ctgα+b
∴a tgα + a = b ctgα+b
∴
= b?ctgα= AH.

∴AE = AF
揭示思路2：
設BC = a , 且∠ABC=α，則有
AB = a cosα



同理：
∴AE = AF
由上兩種思路證得AE= AF， 可發現用三角法研究幾何問題，開門見山，直截了當，只要所給定的幾何圖形中有直角三角形. 便可應用銳角三角函數列出它們的邊角關系式，再應用代數法計算一下，便可達到目的. 題設所給的問題中，未有給定直角三角形，只要能構造出直角三角形，同樣也可轉化為用三角法證解之，而且也比較方便，由此可見，用三角法證（解）幾何問題為解幾何問題又開拓了新的渠道. 為數與形結合提供了新的條件，我們應在這條新渠道不斷探索，取得新的成果. 現沿這思路繼續擴散.

擴散一：
如圖，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分別在AB，AC上，E，F在斜邊BC上，求證：EF2 = BE?FC
揭示思路：從題設及圖形中都可發現有直角三角形，所以用三角法證之比較順暢.
在Rt△BDE中，
在Rt△GFC中，
∵∠B + ∠C =90°，∴tgB = tg(90°－ C) = ctgC
∴
∵DE = GF = EF
∴EF2 = BE?CF
擴散二：

在△ABC外側作正方形ABDM和ACEN， 過D，E向BC作垂線DF，EG，垂足分別為F，G，求證：BC = DF + EG
提示思路：觀察圖形可發現直角三角形DFB及直角三角形EGC. 便萌生用三角法證明，可是此時DF，EG比較分散. 設法作AH⊥BC再構兩個直角三角形，通過正方形為“媒介”，這樣把DF，EG就有了聯系. 此時，應用銳角三角函數定義建立邊角關系，便可馬到成功！
在Rt△EGC中，
∴EG = b cosβ
在Rt△DBF中，同理，DF = c cosα（設b, c , α,β如圖）
∴EG + DF = b Cosβ + c cosα
在 Rt△ABH中，BH = c cosα
在 Rt△ACH中，CH = b cosβ
∵BC = BH + CH , ∴BC = b cosβ + c cosα
∴BC = EG + DF
擴散三：

設頂角A = 108°的等腰三角形的高為h，∠A的三等分線及其外角的四等分線分別為P1，P2，求證：
揭示思路： 從圖形中可發現有幾個直角三角形存在，這個信息向我們提供用三角法證明是得天獨厚的條件，不要猶豫，不然，將會失去良機.
如圖，設△ABC的底邊上的高AH = h , ∠A的三等分線AD= P1， ∠A的外角四等線AE = P2，∠BAC= 108°，AB = AC，
∴∠DAH = 18°
在Rt△ADH中，cos18°=
∵ ∠CAE = (180°－108°)= 18°
∠ACB = (180°－108°)= 36°
∴∠AEC = 18°
在Rt△AHE中，Sin18°=

擴散四：

已知：如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為D、E、F.
求證：
揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法證之更不宜遲，用銳角三角函數定義，列出邊角關系，可十分巧妙就證得結論.
設∠ABC = α，則∠DAF = ∠CDF= α



擴散五：
在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求證：EC = 20F
揭示思路：觀察圖形，圖中有許多直角三角形，它啟示我們用三角法作為“向導”，可直達目的地.
∠BEF = ∠ACB + ∠EAC = 45°+∠BAE
∵∠BFE= ∠CAE, ∴∠BEF = ∠BFE,
∴BE = BF
進而可知AD = DF
設正方表ABCD邊長為1，又設∠BAE = ∠CAE =α
則OA= OB =
在Rt△ABE中，BE = AB?tgα= BF
BF = OB－OF = OB － OA?tgα
∴ABtgα= OB － OAtgα

∴OF = OA?tgα= ( －1)
EC= BC－BE = 1－1?tgα= 1－ +1 = 2 － = ( －1)
∴EC = 20F
應用銳角三角函數的定義研究幾何問題；直觀，又少添或不添設輔助線，充分發揮數的長處. 把幾何問題通過銳角三角形邊角關系，應用計算法，便可曲徑通幽，柳暗花明. 同學們應加強這方面的學習，以拓寬幾何證題思路.
三、智能顯示
【動腦動手】
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，則SinB + CosB的值（ ）
（A）大于1 （B）小于1
（C）等于1 （D）不確定
2. 在△ABC中，它的邊角同時滿足下列兩個條件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2－cx + 1 = 0的兩個根，求a，b，c及S△ABC
3.證明：“從平行四邊形ABCD的頂點A，B，C，D向形外的任意直線MN引垂線AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下圖）
求證：AA＇ + CC＇=BB＇ + DD＇，現將直線MN向上移動，使得A點在直線的一側，B、C、D三點在直線的另一側（如中圖），這時，從A、B、C、D向直線MN作垂線，垂足為A＇B＇C＇D＇，那么垂線放AA＇BB＇CC＇DD＇之間存在什么關系？如將直線MN再問上移動，使兩側各有兩個頂點（如下圖）. 從A，B，C，D向直線MN作的垂線放AA＇BB＇CC＇DD＇之間又有什么關系？根據左圖，中圖，右圖寫出你的猜想，并加以證明.

揭示思路：1. 在Rt△ABC中，∠C= 90°
由銳角三角函數定義，得


∵a + b > c

∴SinB + CosB > 1 , 應選A.
2. ∵SinC = 1 , ∴∠C = 90°
∵SinA + CosB = ,SinA CosB =
又A + B = 90°, ∴B = 90°－A
∴CosB = Cos(90°－A ) = SinA

∴c = 4 , A= 30°, a = 2 , b =
3. 猜想如下：

對于中圖有：CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
對于右圖有：CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇
證法1. 如圖,設∠AEA＇= α,則AA＇= AESinα= (OA－OE)Sinα= OASinα－OESinα，又CC＇= CESinα= (OC + OE ) Sinα= (OA + OE ) Sinα = OASinα+ OESinα
∴CC＇－ AA＇= 2OESinα
∵OO＇= OESinα, ∴CC＇－ AA＇= 2OO＇
由題設知，OO’為梯形BB’D’D的中位線.

∴BB＇+ DD＇= 2OO＇
∴CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
（2）如圖，仿（1）證法可得
CC＇－ AA＇= 2OESinα
DD＇－BB = 2OFSinβ
∵OESinα= OFSinβ,
∴CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇

證法二：（1）延長CB交MN于E，設AD與MN交于F， 又設∠AFA＇= α，則∠BEB＇= α，在Rt△EBB＇中，

∵BE= CE－ CB
∴BB＇= BESinα－ CBSinα
在R t△ECC＇中，Sinα= ,
∴CC’= CESinα
∵CC＇－ BB＇= BCSinα
在Rt△AA＇F與Rt△FDD＇中.
AA＇= AFSinα, DD＇= DFSinα
∵DF= AD － AF
∴DD＇= ADSinα－ AFSinA＇
∴DD＇= ADSinα－ AA＇
∴DD＇+ AA＇= ADSinα

∵AD= BC, ∴CC＇－ BB＇= DD＇+ AA＇
∴CC＇－ AA＇= BB＇+ DD＇
（2）仿證法（1）同樣可證得
CC＇+ BB＇= BCSinα
AA＇+ DD＇= ADSinα
∴CC＇+ BB＇= AA＇+DD＇，
∴CC＇－ AA＇= DD＇－ BB＇
證法三：（1）如圖，作DE⊥CC＇， 則DD＇C＇E為矩形，∴CE= CC＇－ DD＇
設∠AFA＇= α， 則易知∠CDE= α 在Rt△CDE中，

∴CC＇－ DD＇= CDSinα
在Rt△AFA＇中， AA＇= AFSinα
在Rt△FBB＇中， BB＇= BFSinα
∴BB＇= (AB－ AF)Sinα= ABSinα－ AFSinα
∴AA＇+ BB＇= ABSinα
∵AB = CD, ∵AA＇+ BB＇= CC＇－ DD＇
∴CC＇－ AA＇= DD＇+ BB＇
（2）如圖，仿（1）同法可證：
CC＇－ AA＇= DD＇－BB＇

【創新園地】

已知△ABC中，∠BAC= 120°，∠ABC=15°，
∠A，∠B，∠C的對邊分別為a, b ,c那么a：b：c = _________ （本結論中不含任何三角函數，但保留根號，請考慮多種解法）.
解法一：過點B作BD⊥AC交CA的延長線于點D.
∴∠BAC=120°，
∠ABC= 15°, ∴∠ACB= ∠DBC=45°,∠ABD= 30°
在Rt△ABD中，Sin30°= ∴AD= c
Cos30°= ， ∴BD =
∴b － BD － AD =
a =
∴ a：b：c =
=

解法二：如圖，作AD⊥BC， 交BC于D，在AB上取AE = AC， 連CE， 作AF⊥CE，交CE于F，則∠ACE = ∠AEC= ，∠BCE= ∠ACB－ 30°= 45°－ 30° = 15°
∴ △BEC為等腰三角形，∴BE= CE
設AD = CD = 1， 則AC = ， 即b =
∴CE = 2 AC Cos30°=
∴AB= AE + EB = + ， 即c = +
∴BD =
∴BC = BD + DC = 3 + ，即a = 3 +
∴ a：b：c = （3+ ）： ：（ + ）
=

解法三：如圖，作AD⊥BC, 交BC于D, 在BC上取點E，使∠BAE = ∠B = 15°,那么，連接AE， 得：∠AEC = 30°，AE = BE. 設AD = DC = 1， 則AC = ，即b = ，AE= BE = 2AD = 2，DE = AE?Cos30° =
∴
即c = +
∴ a：b：c = (3+ ) ： ：( + )
=

解法四：如圖，BD = x， 則2x2 = a2，

∴x =



= （參照解法一圖）
解法五：
以BC為直徑作⊙o， 延長CA交⊙o于在，連BD，設a =2r，則BD = r , AD=


=
解法六：建立如圖坐標系，則可求：


解法七：建立如圖坐標系，由B點引X軸的垂線，垂足為D，則


解法八：建立如圖坐標系，設C(－1，0)，B(1，0)，延長CA交Y軸于點D，連結BD，則D點坐標是(0，1) ，那么BD= CD =



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