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　　命題人：高二數學備課組
　　(考試時間：2015年1月　15日　　)滿分：100分(必考試卷Ⅰ)　　　　50分(必考試卷Ⅱ)
　　時量：120分鐘
　　得分：　　　　　　　
　　
　　必考試卷Ⅰ
　　一、：本大題共7小題，每小題5分，共35分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
　　1.復數i＋i2在復平面內表示的點在
　　
　　A.第一象限
　　B.第二象限
　　C.第三象限
　　D.第四象限
　　2.設x∈R，則x>e的一個必要不充分條件是
　　A.x>1 B.x<1
　　C.x>3 D.x<3
　　3.若f(x)＝2cos α－sin x，則f′(α)等于
　　A.－sin α
　　B.－cos α
　　C.－2sin α－cos α
　　D.－3cos α
　　4.下列三句話按三段論的模式排列順序正確的是
　　①z1，z2不能比較大小；②虛數不能比較大小；③z1，z2是虛數.
　　A.①②③ B.②①③
　　C.②③① D.③②①
　　5.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,1)，a與b的夾角為60°，則λ的值為
　　A.17或－1 B.－17或1
　　C.－1 D.1
　　6.設F1，F2是橢圓＋＝1(a>5)的兩個焦點，且F1F2＝8，弦AB過點F1，則△ABF2的周長為
　　A.10
　　B.20
　　C.2
　　D.4
　　7.對于R上可導的任意函數f(x)，若滿足(x－2)f′(x)≤0，則必有
　　A.f(－3)＋f(3)<2f(2)
　　B.f(－3)＋f(7)>2f(2)
　　C.f(－3)＋f(3)≤2f(2)
　　D.f(－3)＋f(7)≥2f(2)
　　二、題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.請把答案填在答題卷對應題號后的橫線上.
　　8.復數10的值是　　　　　　.
　　9.用反證法證明命題：“若x，y>0，且x＋y>2，則，中至少有一個小于2”時，假設的內容應為　　　　　　　　　　　　　　.
　　10.已知等差數列{an}中，有＝成立.類似地，在等比數列{bn}中，有　　　　　　　　　　　　　成立.
　　11.曲線y＝sin x在[0，π]上與x軸所圍成的平面圖形的面積為　.
　　12.已知函數f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，則c的值為　　　　　.
　　13.正整數按下列方法分組：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，記第n組中各數之和為An；由自然數的立方構成下列數組：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，記第n組中后一個數與前一個數的差為Bn，則An＋Bn＝　　　　　.
　　三、解答題：本大題共3小題，共35分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
　　14.(本小題滿分11分)
　　已知函數f(x)＝ax3＋(a－1)x2＋27(a－2)x＋b的圖象關于原點成中心對稱，試判斷f(x)在區間[－4，5]上的單調性，并求出f(x)在區間[－4，5]上的最值.
　　15.(本小題滿分12分)
　　已知數列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1.
　　(1)寫出a1，a2，a3，并推測an的表達式；
　　(2)用數學歸納法證明所得的結論.
　　
　　
　　16.(本小題滿分12分)
　　如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，且AC＝AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分別是BC，PC的中點.
　　(1)證明：AE⊥PD；
　　(2)若H為PD上一點，且AH⊥PD，EH與平面PAD所成角的正切值為，求二面角E－AF－C的余弦值.
　　
　　必考試卷Ⅱ
　　一、：本大題共1個小題，每小題5分，滿分5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
　　1.定義在R上的函數f(x)的導函數f′(x)的圖像如圖，若兩個正數a，b滿足f(2a＋b)<1，且f(4)＝1，則的取值范圍是
　　
　　A.
　　B.∪(5，＋∞)
　　C.(－∞，3)
　　D.
　　二、題：本大題共1個小題，每小題5分，共5分.請把答案填在答題卷對應題號后的橫線上.
　　2.設函數f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)，且f′(0)＝6，則k＝　　　　　.
　　三、解答題：本大題共3小題，共40分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
　　3.(本小題滿分13分)
　　某電視生產企業有A、B兩種型號的電視機參加家電下鄉活動，若企業投放A、B兩種型號電視機的價值分別為a、b萬元，則農民購買電視機獲得的補貼分別為a、ln(b＋1)萬元(＞0且為常數).已知該企業投放總價值為10萬元的A、B兩種型號的電視機，且A、B兩種型號的投放金額都不低于1萬元.
　　(1)請你選擇自變量，將這次活動中農民得到的總補貼表示為它的函數，并求其定義域；
　　(2)求當投放B型電視機的金額為多少萬元時，農民得到的總補貼最大？
　　4.(本小題滿分13分)
　　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以橢圓C的左頂點T為圓心作圓T：(x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，設圓T與橢圓C交于點與點N.
　　(1)求橢圓C的方程；
　　(2)求?的最小值，并求此時圓T的方程；
　　(3)設點P是橢圓C上異于，N的任意一點，且直線P，NP分別與x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：?為定值.
　　
　　5.(本小題滿分14分)
　　已知函數f(x)＝ex，x∈R.
　　(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數的圖象相切，求實數k的值；
　　(2)設x>0，討論曲線y＝與直線y＝(>0)公共點的個數；
　　(3)設函數h滿足x2h′(x)＋2xh(x)＝，h(2)＝，試比較h(e)與的大小.
　　
　　
　　湖南師大附中2015屆高二第一學期期末考試試題
　　數學(理科)參考答案
　　必考試卷Ⅰ
　　又∵函數f(x)在[－4,5]上連續.
　　∴f(x)在(－3,3)上是單調遞減函數，在(－4，－3)和(3,5)上是單調遞增函數.(9分)
　　∴f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分)
　　15.解：(1)a1＝，a2＝，a3＝，….猜測an＝2－(5分)
　　(2)①由(1)已得當n＝1時，命題成立；(7分)
　　②假設n＝k時，命題成立，即ak＝2－，(8分)
　　當n＝k＋1時，a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，
　　且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
　　∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，
　　∴2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，
　　即當n＝k＋1時，命題成立.(11分)
　　根據①②得n∈N＋時，an＝2－都成立.(12分)
　　16.(1)證明：由AC＝AB＝BC，可得△ABC為正三角形.
　　因為E為BC的中點，所以AE⊥BC.
　　又BC∥AD，因此AE⊥AD.
　　因為PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE.
　　而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA∩AD＝A，
　　所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，
　　所以AE⊥PD.(5分)
　　
　　(2)解：因為AH⊥PD，
　　由(1)知AE⊥平面PAD，
　　則∠EHA為EH與平面PAD所成的角.
　　在Rt△EAH中，AE＝，
　　此時tan∠EHA＝＝＝，
　　在Rt△AOE中，EO＝AE?sin 30°＝，AO＝AE?cos 30°＝，
　　又F是PC的中點，在Rt△ASO中，SO＝AO?sin 45°＝，
　　又SE＝＝＝，
　　在Rt△ESO中，cos∠ESO＝＝＝，
　　即所求二面角的余弦值為.(12分)
　　解法二：由(1)知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E，F分別為BC，PC的中點，所以
　　
　　A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，
　　F，
　　所以＝(，0,0)，
　　＝.
　　所以cos〈，〉＝＝＝.
　　因為二面角E－AF－C為銳角，所以所求二面角的余弦值為.(12分)
　　必考試卷Ⅱ
　　一、選擇題
　　1.D　【解析】由圖像可知f(x)在(－∞，0)遞減，在(0，＋∞)遞增，所以f(2a＋b)<1即2a＋b<4，原題等價于，求的取值范圍.畫出不等式組表示的可行區域，利用直線斜率的意義可得∈.
　　二、填空題
　　2.－1　【解析】思路分析：按導數乘積運算法則先求導，然后由已知條件構造關于k的方程求解.
　　f′(x)＝(x＋k)(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋k)(x－3k)＋x(x＋k)(x＋2k)
　　故f′(0)＝－6k3，又f′(0)＝6，故k＝－1.
　　三、解答題
　　3.解：(1)設投放B型電視機的金額為x萬元，則投放A型電視機的金額為(10－x)萬元，農民得到的總補貼f(x)＝(10－x)＋ln(x＋1)＝ln(x＋1)－＋1，(1≤x≤9).(5分)(沒有指明x范圍的扣1分)
　　(2)f′(x)＝－＝＝，
　　令y′＝0，得x＝10－1(8分)
　　1°　若10－1≤1即0＜≤，則f(x)在[1,9]為減函數，當x＝1時，f(x)有最大值；新課標第一網
　　2°　若1＜10－1＜9即<<1，則f(x)在[1,10－1)是增函數，在(10－1,9]是減函數，當x＝10－1時，f(x)有最大值；
　　3°　若10－1≥9即≥1，則f(x)在[1,9]是增函數，當x＝9時，f(x)有最大值.
　　因此，當0＜≤時，投放B型電視機1萬元，農民得到的總補貼最大.
　　當<<1時，投放B型電視機(10－1)萬元，農民得到的總補貼最大；
　　當≥1時，投放B型電視機9萬元，農民得到的總補貼最大.(13分)
　　4.解：(1)依題意，得a＝2，e＝＝，∴c＝，b＝＝1；
　　故橢圓C的方程為＋y2＝1.(3分)
　　
　　(2)方法一：點與點N關于x軸對稱，
　　設(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨設y1>0.
　　由于點在橢圓C上，
　　所以y＝1－.(*)(4分)
　　由已知T(－2,0)，則＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，
　　∴?＝(x1＋2，y1)?(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y＝(x1＋2)2－＝x＋4x1＋3
　　方法二：點與點N關于x軸對稱，故設(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，
　　不妨設sin θ>0，由已知T(－2,0)，則
　　?＝(2cos θ＋2，sin θ)?(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin2θ＝5cos2θ＋8cos θ＋3＝52－.(6分)
　　故當cos θ＝－時，?取得最小值為－，此時，
　　又點在圓T上，代入圓的方程得到r2＝.
　　故圓T的方程為：(x＋2)2＋y2＝.(8分)
　　(3)方法一：設P(x0，y0)，則直線P的方程為：
　　y－y0＝(x－x0)，
　　令y＝0，得xR＝，同理：xS＝，(10分)
　　故xR?xS＝(**)(11分)
　　又點與點P在橢圓上，故x＝4(1－y)，x＝4(1－y)，(12分)
　　代入(**)式，得：xR?xS＝＝＝4.
　　所以?＝?＝＝4為定值.(13分)
　　方法二：設(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，不妨設sin θ>0，P(2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.則直線P的方程為：y－sin α＝(x－2cos α)，
　　令y＝0，得xR＝，
　　同理：xS＝，(12分)
　　故xR?xS＝＝＝4.
　　所以?＝?＝＝4為定值.(13分)
　　5.解：(1)f的反函數g(x)＝ln x.設直線y＝kx＋1與g(x)＝ln x相切于點P(x0，y0)，則⇒x0＝e2，k＝e－2.所以k＝e－2.(3分)
　　(2)當x>0，>0時，曲線y＝f(x)與曲線y＝x2(>0)的公共點個數
　　即方程f(x)＝x2根的個數.
　　由f(x)＝x2⇒＝，令v(x)＝⇒v′(x)＝，
　　則v(x)在(0,2)上單調遞減，這時v(x)∈(v(2)，＋∞)；
　　v(x)在(2，＋∞)上單調遞增，這時v(x)∈(v(2)，＋∞).v(2)＝.
　　v(2)是y＝v(x)的極小值，也是最小值.(5分)
　　所以對曲線y＝f(x)與曲線y＝x2(>0)公共點的個數，討論如下：
　　當∈時，有0個公共點；
　　當＝時，有1個公共點；
　　當∈時有2個公共點；(8分)
　　(3)令F(x)＝x2h(x)，則F′(x)＝x2h′(x)＋2xh＝
　　所以h＝，故h′＝＝＝
　　令G(x)＝ex－2F(x)，則G′(x)＝ex－2F′(x)＝ex－2?＝
　　顯然，當0<x<2時，G′(x)<0，G(x)單調遞減；
　　當x>2時，G′(x)>0，G(x)單調遞增；
　　所以，在(0，＋∞)范圍內，G(x)在x＝2處取得最小值G(2)＝0.
　　即x>0時，ex－2F(x)≥0.
　　故在(0，＋∞)內，h′(x)≥0，
　　所以h(x)在(0，＋∞)單調遞增，
　　又因為h(2)＝＝>，h(2)<h(e)
　　所以h(e)>.(14分)

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.lg566.com/gaoer/316508.html

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