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高考要求
要使學生理解空間向量、空間點的坐標的意義，掌握向量加法、減法、數乘、點乘的坐標表示以及兩點間的距離、夾角公式 通過解題，會應用空間向量的坐標運算解決立體幾何中有關平行、垂直、夾角、距離等問題
知識點歸納
1 空間直角坐標系：
（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為 ，這個基底叫單位正交基底，用 表示；
（2）在空間選定一點 和一個單位正交基底 ，以點 為原點，分別以 的方向為正方向建立三條數軸： 軸、 軸、 軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系 ，點 叫原點，向量 都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為 平面， 平面， 平面；
2．空間直角坐標系中的坐標：
在空間直角坐標系 中，對空間任一點 ，存在唯一的有序實數組 ，使 ，有序實數組 叫作向量 在空間直角坐標系 中的坐標，記作 ， 叫橫坐標， 叫縱坐標， 叫豎坐標．
3．空間向量的直角坐標運算律：
（1）若 ， ，
則 ，
，
，
， ，
．
（2）若 ， ，則 ．
一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標
4 模長公式：若 ， ，
則 ， ．
5．夾角公式： ．
6．兩點間的距離公式：若 ， ，
則 ，
或
題型講解
例1 已知 =（2，2，1）， =（4，5，3），求平面ABC的單位法向量
解：設面ABC的法向量 ，
則 ⊥ 且 ⊥ ，即 ? =0，且 ? =0，
即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得
∴ =z（ ，－1，1），單位法向量 =±（ ，－ ， ）
點評：一般情況下求法向量用待定系數法 由于法向量沒規定長度，僅規定了方向，所以有一個自由度，可把 的某個坐標設為1，再求另兩個坐標 平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應有兩解
例2 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求：
（1）線段AB的中點坐標和長度；
（2）到A、B兩點距離相等的點P（x，y，z）的坐標滿足的條件
解：（1）設P（x，y，z）是AB的中點，
則 = （ + ）= ［（3，2，1）+（1，0，4）］=（2，1， ），∴點P的坐標是（2，1， ），
dAB= =
（2）設點P（x，y，z）到A、B的距離相等，
則 =
化簡得4x+4y－6z+3=0（線段AB的中垂面方程，其法向量的坐標就是方程中x,y,z的系數），即為P的坐標應滿足的條件
點評：空間兩點P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中點為（ ， ， ），且P1P2=
例3 棱長為a的正方體ABCD?A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在點P使B1D⊥面PAC？
解：以D為原點建立如圖所示的坐標系，
設存在點P（0，0，z），
=（－a，0，z），
=（－a，a，0），
=（a，a，a），
∵B1D⊥面PAC，∴ ? =0， ? =0
∴－a2+az=0 ∴z=a，即點P與D1重合
∴點P與D1重合時，DB1⊥面PAC
例4 在三棱錐S?ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC= ，SB=
（1）求證：SC⊥BC；
（2）求SC與AB所成角的余弦值
解法一：如圖，取A為原點，AB、AS分別為y、z軸建立空間直角坐標系，則有AC=2，BC= ，SB= ，
得B（0， ，0）、S（0，0，2 ）、C（2 ， ，0），
∴ =（2 ， ，－2 ）， =（－2 ， ，0）
（1）∵ ? =0，∴SC⊥BC
（2）設SC與AB所成的角為α，
∵ =（0， ，0）， ? =4， =4 ，
∴cosα= ，即為所求
解法二：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜線SC在平面ABC內的射影，∴SC⊥BC
（2）如圖，過點C作CD∥AB，過點A作AD∥BC交CD于點D，連結SD、SC，則∠SCD為異面直線SC與AB所成的角
∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD= ，SA=2 ，SD= = =5，
∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD= ，即為所求
點評：本題（1）采用的是“定量”與“定性”兩種證法 題（2）的解法一應用向量的數量積直接計算，避免了作輔助線、平移轉化的麻煩，但需建立恰當的坐標系；解法二雖然避免了建系，但要選點、平移、作輔助線、解三角形
例5 如圖，直棱柱ABC?A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點
（1）求 的長；
（2）求cos〈 ， 〉的值；
（3）求證：A1B⊥C1M
（1）解：如圖建立坐標系，依題意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜ ｜= =
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴ =（1，－1，2）， =（0，1，2），
∴ ? =3，｜ ｜= ，｜ ｜=
∴cos〈 ， 〉= =
（3）證明：∵C1（0，0，2），M（ ， ，2），
∴ =（－1，1，－2）， =（ ， ，0），
∴ ? =0，∴A1B⊥C1M
例6 如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點
（1）證明AD⊥D1F；
（2）求AE與D1F所成的角；
（3）證明面AED⊥面A1D1F
解：取D為原點，DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系，取正方體棱長為2，
則A（2，0，0）、A1（2，0，2）、
D1（0，0，2）、E（2，2，1）、F（0，1，0）
（1）∵ ? =（2，0，0）?（0，1，－2）=0，∴AD⊥D1F
（2）∵ ? =（0，2，1）?（0，1，－2）=0，
∴AE⊥D1F，即AE與D1F成90°角
（3）∵ ? =（2，2，1）?（0，1，－2）=0，
∴DE⊥D1F ∵AE⊥D1F，∴D1F⊥面AED
∵D1F 面A1D1F，∴面AED⊥面A1D1F
點評：①通過建立空間直角坐標系，點用三維坐標表示，向量用坐標表示，進行向量的運算，輕而易舉地解決立體幾何問題，不需要添加輔助線 一個需要經過嚴密推理論證的問題就這樣被簡單機械的運算代替了
②本題是高考題，標準答案的解法較為復雜，而運用代數向量求解則輕而易舉，充分顯示出代數化方法研究幾何圖形的優越性，這應作為立體幾何復習的一個重點去掌握 通過坐標法計算數量積去證垂直，求夾角、距離，是高考的重點
例7 如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底邊長為a,側棱長為 a
建立適當的坐標系，⑴寫出A，B，A1，B1的坐標；⑵求AC1與側面ABB1A1所成的角
分析：（1）所謂“建立適當的坐標系”，一般應使盡量多的點在數軸上或便于計算，（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量與直線所成的角，然后再求之
解：（1）建系如圖，則A（0，0，0） B（0，a,0）
A1（0，0， a),C1（- a, )
(2)解法一：在所建的坐標系中，取A1B1的中點M，
于是M（0， ），連結AM，MC1
則有
， ，
∴ ， ，
所以，MC1⊥平面ABB1A1
因此，AC1與AM所成的角就是AC1與側面ABB1A1所成的角
， ，
,而
由cos< >= , < >=30°
解法二： ，
平面ABB1A1的一個法向量
∴AC1與側面ABB1A1所成的角 的正弦為：
=
∴AC1與側面ABB1A1所成的角為30°
例8 棱長為2的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E、F分別是C1C和D1A1的中點，（1）求EF長度；（2）求< >；3）求點A到EF的距離
分析：一般來說，與長方體的棱或棱上的點有關的問題，建立空間直角坐標系比較方便，適當建立坐標系后，正確地寫出相關點的坐標及向量然后進行運算即可得解
解：以D為原點，DA，DC，DD1分別為x軸，
y軸，z軸建立直角坐標系，
則A（2，0，0），B（2，2，0），
E（0，2，1），F（1，0，2）
由此可得： =（0，2，0）， =（1，-2，1）
=（1，0，-2）， =2， = ， = - 4, =1-2=-1，
所以
（1） =
（2）cos< >= =- ,所以< >= -arccos
(3) 在 上的射影的數量 cos< >= =
A到EF的距離=
點評：點到直線的距離的向量求法，就是先求出該點與直線上某點連線在直線上的射影，再用勾股定理求對應的距離
例9 平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且 G是EF的中點，
（1）求證平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；
（3）求二面角B?AC?G的大小
解：如圖，以A為原點建立直角坐標系，
則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
（1）證明： ，
，
設平面AGC的法向量為 ，

設平面BGC的法向量為 ，

∴ 即 ∴平面AGC⊥平面BGC；
（2）由⑴知平面AGC的法向量為
，
∴
（3）因 是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，
平面ABCD的法向量 ， 得
∴二面角B?AC?G的大小為
求平面法向量的另一種方法：
由 A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），
G（a，a，0），F（a，0，0）
設平面AGC的方程為：
則
∴平面AGC的法向量為
設平面BGC的方程為：
則 ∴平面BGC的法向量為
點評：①平面平行于哪一個軸，其法向量的對應坐標就是0；
②平面經過原點時平面方程中的常數項等于0；
③平面法向量的兩種求法的區別
小結：
1 運用空間向量的坐標運算解決幾何問題時，首先要恰當建立空間直角坐標系，計算出相關點的坐標，進而寫出向量的坐標，再結合公式進行論證、計算，最后轉化為幾何結論
2 本節知識是代數化方法研究幾何問題的基礎，向量運算分為向量法與坐標法兩類，以通過向量運算推理，去研究幾何元素的位置關系為重點 利用兩個向量（非零）垂直 數量積為零，可證明空間直線垂直；利用數量積可計算兩異面直線的夾角，可求線段的長度；運用共面向量定理可證點共面、線面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點面距、線面角、異面直線的距離等
學生練習
1 若 =（2x，1，3）， =（1，－2y，9），如果 與 為共線向量，則
A x=1，y=1 B x= ，y=－ C x= ，y=－ D x=－ ，y=
解析：∵ =（2x，1，3）與 =（1，－2y，9）共線，故有 = =
∴x= ，y=－ 應選C 答案：C
2 在空間直角坐標系中，已知點P（x，y，z），下列敘述中正確的個數是①點P關于x軸對稱點的坐標是P1（x，－y，z） ②點P關于yOz平面對稱點的坐標是P2（x，－y，－z） ③點P關于y軸對稱點的坐標是P3（x，－y，z） ④點P關于原點對稱的點的坐標是P4（－x，－y，－z）
A 3 B 2 C 1 D 0
解析：P關于x軸的對稱點為P1（x，－y，－z），關于yOz平面的對稱點為P2（－x，y，z），關于y軸的對稱點為P3（－x，y，－z） 故①②③錯誤 答案：C
3 已知向量 =（1，1，0）， =（－1，0，2），且k ＋ 與2 － 互相垂直，則k值是
A 1B C D
解析：k + =k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2 － =2（1，1，0）－（－1，0，2）=（3，2，－2）
∵兩向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2×2=0 ∴k= 答案：D
4 設OABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上一點，且OG=3GG1，若 =x +y +z ，則（x，y，z）為
A （ ， ， ） B （ ， ， ）
C （ ， ， ） D （ ， ， ）
解析：∵ = = （ + ）= + ? ［ （ + ）］= + ［（ － ）+（ － ）］= + + ，而 =x +y +z ，∴x= ，y= ，z=
答案：A
5 在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成的角為
A arccos B arccos C arccos D arccos
解：建立坐標系，把D點視作原點O，分別沿 、 、 方向為x軸、y軸、z軸的正方向，則A（1，0，0），M（1， ，1），C（0，1，0），N（1，1， ）
∴ =（1， ，1）－（1，0，0）=（0， ，1），
=（1，1， ）－（0，1，0）=（1，0， ）
故 ? =0×1+ ×0+1× = ，
= = ， = =
∴cosα= = = ∴α=arccos 答案：D
6 已知空間三點A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），則 與 的夾角θ的大小是_________
解析： =（－2，－1，3）， =（－1，3，－2），
cos〈 ， 〉= = =－ ，
∴θ=〈 ， 〉=120° 答案：120°
7 已知點A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若 =2 ，則 的值是__________
解析：設點P（x，y，z），則由 =2 ，得
（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，4－z），
即
則 = = 答案：
8 設點C（2a+1，a+1，2）在點P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）確定的平面上，求a的值
解： =（－1，－3，2）， =（6，－1，4）
根據共面向量定理，設 =x +y （x、y∈R），
則（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，2x+4y），∴ 解得x=－7，y=4，a=16
另法：先求出三點確定的平面方程，然后代入求a的值
9 已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，P、Q分別是BC、CD上的動點，且PQ= ，建立坐標系，把D點視作原點O，分別沿 、 、 方向為x軸、y軸、z軸的正方向，
（1）確定P、Q的位置，使得B1Q⊥D1P；
（2）當B1Q⊥D1P時，求二面角C1?PQ?A的大小
解：（1）設BP=t，則CQ= ，DQ=2－
∴B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q（2－ ，2，0），
∴ =（ ，－2，2）， =（－2，2－t，2）
∵B1Q⊥D1P等價于 ? =0，
即－2 －2（2－t）+2×2=0，
整理得 =t，解得t=1
此時，P、Q分別是棱BC、CD的中點，即P、Q分別是棱BC、CD的中點時，B1Q⊥D1P；
（2）二面角C1?PQ?A的大小是π－arctan2
10 已知三角形的頂點是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2） 試求這個三角形的面積
解：S = ABACsinα，其中α是AB與AC這兩條邊的夾角
則S =
= =
在本題中， =（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），
=（－1，－1，－2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴ 2=12+22+（－2）2=9，
2=（－2）2+02+（－3）2=13，
? =1?（－2）+2?0+（－2）?（－3）=－2+6=4，
∴S = =
11 證明正三棱柱的兩個側面的異面對角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長與側棱長的比為 ∶1
證明：如圖，以正三棱柱的頂點O為原點，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設正三棱柱底面邊長與棱長分別為2a、b，則A（ a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0） 因為異面對角線OA⊥BC ? =0 （ a，a，b）?（0，2a，－b）=2a2－b2=0 b= a，即2a∶b= ∶1，所以OA⊥BC的充要條件是它的底面邊長與側棱長的比為 ∶1
12 如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD
（1）求cos〈 ， 〉的值；
（2）若E為AB的中點，F為PD的中點，求 的值；
（3）求二面角P?BC?D的大小
解：（1）選取AD中點O為原點，OB、AD、OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則A（0，－ ，0），B（ a，0，0），P（0，0， a），D（0， ，0）
∴ =（ a， ，0）， =（0， ，－ a），
則cos〈 ， 〉=
= =
（2）∵E、F分別為AB、PD的中點，
∴E（ a，－ ，0），F（0， ， a）
則 = = a
（3）∵面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD，
∴PO⊥面ABCD
∵BO⊥AD，AD∥BC，∴BO⊥BC
連結PB，則PB⊥BC，
∴∠PBO為二面角P?BC?D的平面角
在Rt△PBO中，PO= a，BO= a，
∴tan∠PBO= = =1 則∠PBO=45°
故二面角P?BC?D的大小為45°

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