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數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例
一、(共49題，題分合計245分)
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:"1+ + +…+ 1)"時,由n=k(k>1)不等式成立,推證n=k+1時,左邊應(yīng)增加的項數(shù)是
A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1
2.球面上有n個大圓,其中任何三個都不相交于同一點,設(shè)球面被這n個大圓所分
成的部分為f(n),則下列猜想:①f(n)=n,②f(n)=f(n-1)+2n,③f(n)=n2-n+2
中,正確的是
A.①與② B.①與③ C.②與③ D.只有③
3.某個命題與自然數(shù)m有關(guān),若m=k(k∈N)時該命題成立,那么可以推得m=k+1時該命題成立,現(xiàn)已知當(dāng)m=5時,該命題不成立,那么可推得
A.當(dāng)m=6時該命題不成立 B.當(dāng)m=6時該命題成立
C.當(dāng)m=4時該命題不成立 D.當(dāng)m=4時該命題成立
4.設(shè)f(n)= (n∈N),那么f(n+1)-f(n)等于
A. B. C. + D. -
5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+ = (n?N,a≠1)中,在驗證n=1時,左式應(yīng)為
A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
6.用數(shù)學(xué)歸納法證明"5n-2n能被3整除"的第二步中,n=k+1時,為了使用歸納假設(shè),應(yīng)把5 k+1 -2 k+1變形為
A.(5k-2 k)+4×5 k -2 k B.5(5 k -2 k)+3×2 k C.(5 k -2 k)(5-2) D.2(5 k -2 k)-3×5 k
7.平面內(nèi)原有k條直線,它們把平面劃分成f(k)個區(qū)域,則增加第k+1條直線后,這k+1條直線把平面分成的區(qū)域至多增加
A.k個 B.k+1個 C.f(k)個 D.f(k)+(k+1)個
8.已知凸k邊形的對角線條數(shù)為f(k)(k≥3)條,則凸k+1邊形的對角線條數(shù)為
A.f(k)+k B.f(k)+k+1 C.f(k)+k-1 D.f(k)+k-2
9.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)+(n+2)+…+(n+n)= 的第二步中,n=k+1時等式左邊與n=k時的等式左邊的差等于
A.2k+2 B.4k+3 C.3k+2 D.k+1
10.下面四個判斷中,正確的是
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N),當(dāng)n=1時恒為1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N),當(dāng)n=1時恒為1+k
C.式子 …+ (n∈N),當(dāng)n=1時恒為
D.設(shè)f(x)= (n∈N),則f(k+1)=f(k)+
11.用數(shù)字歸納法證1+x+x2+…+xn+1= (x≠1),在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式是
A.1 B.1+x C.1+x+x2 D.1+x+x2+x3
12.用數(shù)字歸納法證明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式是
A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4
13.用數(shù)學(xué)歸納法證明"當(dāng)n是非負(fù)數(shù)時,34n+2+52n+1能被14整除"的第二步中,為了使用歸納假設(shè)應(yīng)將34k+6+52k+3變形為
A.34k+2?81+52k+1?25 B.34k+1?243+52k?125 C.25(34k+2+52k+1)+56?34k+2 D.34k+4?9+52k+2?5
14.用數(shù)學(xué)歸納法證明 + + +……+ = (n?N)時,從"n=k到n=k+1",等式左邊需增添的項是
A. B. C. D.
15.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式" ,(n≥2,n∈N)"的過程中,由"n=k"變到"n=k+1"時,左邊增加了
A.1項 B.k項 C.2k-1項 D.2k項
16.用數(shù)學(xué)歸納法證明"5n-2n能被3整除"的第二步中，n=k＋1時，為了使用假設(shè)，應(yīng)將5k+1-2k+1變形為
A.(5k-2k)＋4×5k-2k B.5(5k-2k)＋3×2k C.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k
17.平面內(nèi)原有k條直線,它們的交點個數(shù)記為f(k),則增加一條直線后,它們的交點個數(shù)最多為
A.f(k)+1 B.f(k)+k C.f(k)+k+1 D.k?f(k)
18.已知一個命題P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,…,1000時,P(k)成立,且當(dāng)n=1000+1時它也成立,下列判斷中,正確的是
A.P(k)對k=2004成立 B.P(k)對每一個自然數(shù)k成立
C.P(k)對每一個正偶數(shù)k成立 D.P(k)對某些偶數(shù)可能不成立
19.用數(shù)學(xué)歸納法證明: ,從k到k+1需在不等式兩邊加上
A. B. C. D.
20.設(shè) ,則f(2k)變形到f(2k+1)需增添項數(shù)為
A.2k+1項 B.2k項 C.2項 D.1項
21.欲用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于足夠大的自然數(shù)n，總有2n＞n3,n0為驗證的第一個值，則
A.n0=1 B.n0為大于1小于10的某個整數(shù) C.n0≥10 D.n0=2
22.某同學(xué)回答"用數(shù)字歸納法證明 A.當(dāng)n=1時,驗證過程不具體 B.歸納假設(shè)的寫法不正確
C.從k到k+1的推理不嚴(yán)密 D.從k到k+1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)
23.平面上有k(k>3)條直線,其中有k-1條直線互相平行,剩下一條與它們不平行,則這k條直線將平面分成區(qū)域的個數(shù)為
A.k個 B.k+2個 C.2k個 D.2k+2個
24.已知凸k邊形的對角線條數(shù)為f(k)(k>3)，則凸k＋1邊形的對角線條數(shù)為
A.f(k)＋k B.f(k)＋k＋1 C.f(k)＋k-1 D.f(k)＋k-2
25.平面內(nèi)原有k條直線，它們將平面分成f(k)個區(qū)域，則增加第k＋1條直線后，這k＋1條直線將平面分成的區(qū)域最多會增加
A.k個 B.k＋1個 C.f(k)個 D.f(k)＋1個
26.同一平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都有兩個不同交點,并且三個圓不過同一點,則這n個圓把平面分成
A.2n部分 B.n2部分 C.2n－2部分 D.n2－n＋2部分
27.平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，這n個圓把平面分成f(n)個部分，則滿足上述條件的n＋1個圓把平面分成的部分f(n＋1)與f(n)的關(guān)系是
A.f(n＋1)=f(n)＋n B.f(n＋1)=f(n)＋2n C.f(n＋1)=f(n)＋n＋1 D.f(n＋1)=f(n)＋n＋2
28.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立時，應(yīng)取的第一個值為
A.1 B.3 C.4 D.5
29.若，則等于
A. B.
C. D.
30.設(shè)凸n邊形的內(nèi)角和為f (n)，則f (n+1) - f (n) 等于
A. B. C. D.
31.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式" 成立",則n的第一個值應(yīng)取
A.7 B.8 C.9 D.10
32. 等于
A. B. C. D.
33.已知a?b是不相等的正數(shù),若 ,則b的取值范圍是
A.02
34.利用數(shù)學(xué)歸納法證明"對任意偶數(shù)n,an-bn能被a+b整除"時,其第二步論證,應(yīng)該是
A.假設(shè)n=k時命題成立,再證n=k+1時命題也成立
B.假設(shè)n=2k時命題成立,再證n=2k+1時命題也成立
C.假設(shè)n=k時命題成立,再證n=k+2時命題也成立
D.假設(shè)n=2k時命題成立,再證n=2(k+1)時命題也成立
35.用數(shù)學(xué)歸納法證明"42n-1+3n+1(n?N)能被13整除"的第二步中,當(dāng)n=k+1時為了使用假設(shè),對42k+1+3k+2變形正確的是
A.16(42k-1+3k+1)-13×3k+1 B.4×42k+9×3k
C.(42k-1+3k+1)+15×42k-1+2×3k+1 D.3(42k-1+3k+1)-13×42k-1
36.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N)時,從" "兩邊同乘以一個代數(shù)式,它是
A.2k+2 B.(2k+1)(2k+2) C. D.
37.用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題時,左式為 +cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α(α≠kπ,k∈Z,n∈N),在驗證n=1時,左邊所得的代數(shù)式為
A. B. +cosα C. +cosα+cos 3α D. +cosα+cos 3α+cos 5α
38.用數(shù)學(xué)歸納法證明"(n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3…(2n-1)"時,第二步n=k+1時的左邊應(yīng)是n=k時的左邊乘以
A.(k+1+k+1) B.(k+1+k)(k+1+k+1) C. D.
39.設(shè)Sk= + + +……+ ,則Sk+1為
A. B.
C. D.
40.用數(shù)字歸納法證明某命題時,左式為1- +…+ ,從"n=k到n=k+1",應(yīng)將左邊加上
A. B. C. D.
41.用數(shù)學(xué)歸納法證明"當(dāng)n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除"時,第二步應(yīng)是
A.假設(shè)n=k(k?N)時命題成立,推得n=k+1時命題成立
B.假設(shè)n=2k+1(k?N)時命題成立,推得n=2k+3時命題成立
C.假設(shè)k=2k-1(k?N)時命題成立,推得n=2k+1時命題成立
D.假設(shè)nk(k³1,k?N)時命題成立,推得n=k+2時命題成立
42.設(shè)p(k):1+ (k N),則p(k+1)為
A.
B.
C.
D.上述均不正確
43.k棱柱有f(k)個對角面，則k＋1棱柱有對角面的個數(shù)為
A.2f(k) B.k－1＋f(k) C.f(k)＋k D.f(k)＋2
44.已知，則等于
A. B.
C. D.
45.用數(shù)學(xué)歸納法證明
，在驗證n=1等式成立時，左邊計算所得的項是
A. B. C. D.
46.用數(shù)學(xué)歸納法證明某不等式，其中證時不等式成立的關(guān)鍵一步是：
，括號中應(yīng)填的式子是
A. B. C. D.
47.對于不等式，某人的證明過程如下：當(dāng) 時，不等式成立。假設(shè) 時不等式成立，即，則時，
。當(dāng) 時，不等式成立。上述證法
A.過程全都正確 B. 驗得不正確
C.歸納假設(shè)不正確 D.從到的推理不正確
48.某個命題與自然數(shù)n有關(guān),如果當(dāng)n=k(k∈N)時該命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知當(dāng)n=5時,該命題不成立,那么可推得
A.當(dāng)n=6時該命題不成立 B.當(dāng)n=6時該命題成立
C.當(dāng)n=4時該命題不成立 D.n=4時該命題成立
49.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式" "時,由"假設(shè)n=k時命題成立"到"當(dāng)n=k+1時",正確的步驟是
A.
B.
C.
D.
二、題(共9題，題分合計36分)
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n∈N,1+2+22+23+…+25n-1是31倍數(shù)時,當(dāng)n=1時,原式為
___________________.從n=k到n=k+1時需增添的項是_______________________.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＜n(n＞1)，在驗證n＝2成立時，左式是____________________.
3.不等式＋＋…＋＞中，當(dāng)"n＝k?n＝k＋1時"，不等式左邊增加的項是___________________，少掉的項是________________.
4.平面上原有k個圓，它們的交點個數(shù)記為f(k)，則增加第k＋1個圓后，交點個數(shù)最多增加_________個.
5.用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到一步時，等式兩邊應(yīng)增添的式子是____________________.
6.用數(shù)學(xué)歸納法證明 (a,b是非負(fù)實數(shù),n∈N+)時,假設(shè)n=k
時不等式 (*)成立,再推證n=k+1時不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式
__________________.
7.用數(shù)學(xué)歸納法證明能被14整除時，當(dāng) 時，對于應(yīng)變形為________________________.
8.用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步驗證為_______________________________________________________________________________.
9.用數(shù)學(xué)歸納法證明時，當(dāng) 時，應(yīng)證明的等式為__________________.
三、解答題(共36題，題分合計362分)
1.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且滿足a1=1，3Sn=(n+2)an對一切自然數(shù)n都成立?試證明你的結(jié)論.
2.平面上有幾個圓,任意兩個圓都相交于兩點,任意三個圓都不相交于同一點,求證這n個圓把平面分成f(n)=n2-n+2個部分.
3.設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為Sn,并對一切自然數(shù)n有,
(1)寫出數(shù)列前3項;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式(予以證明).
4.已知數(shù)列計算S1 、S2、S3由此推測Sn 的公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
5.求最大的正整數(shù)m,使得f(n)=(2n+7)?3n+9對任意的正整數(shù)n,都能被m整除,并證明你的結(jié)論.
6.當(dāng)n∈N時,Sn=1- + - +…+ - ,Tn= + +…+ .對于相同的n,試比較Sn與Tn的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
7.已知函數(shù)f(n)= -2 +2(n≥4)
(1)試求反函數(shù)f-1(n),并指出其定義域;
(2)如果數(shù)列{an}(an≥0)中a1=2,前n項和為Sn(n∈N)且Sn= f-1(Sn-1),求{an}的
通項公式;
(3)求的值.
8.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，是否存在a,b,c使得an=an2+bn+c,且滿足a1=1，3Sn=(n+2)an對一切自然數(shù)n都成立?試證明你的結(jié)論.
9.已知:x>-1且x≠0,n∈N,n≥2求證:(1+x)n>1+nx.
10.求證:二項式x2n-y2n(n∈N)能被x+y整除.
11.是否存在常數(shù)a，b使等式
1?n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-2)?3+(n-1)?2+n?1= n(n+a)(n+b)對一切自然數(shù)N都成立，并證明你的結(jié)論.
12.已知x1>0,x1≠1,且xn+1= (n=1,2,3……).試證:數(shù)列{xn}或者對任意的自然數(shù)n都滿足xn13.是否存在常數(shù)a?b?c,使得等式1?22+2?32+……+n(n+1)2= (an2+bn+c)對一切自然數(shù)n成立?并證明你的結(jié)論.
14.證明不等式:1+ (n∈N).
15.平面上有n條直線,其中無兩條平行也無三條共點
求證:這n條直線
(1)彼此分成n2段;
(2)把平面分成個部分.
16.用數(shù)歸納法證明(3n+1)?7n-1是9的倍數(shù) (n?N).
17.用數(shù)學(xué)歸納法證明(x+3)n-1能被（x+2）整除.
18.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋…＋2 n＝n(2n＋1)( n?N) .
19.下列所給條件，寫出數(shù)列｛an｝的前四項，猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
已知a1=1，Sn= n2?an (n≥2).
20.下列所給條件，寫出數(shù)列｛an｝的前四項，猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
已知a1=1，且an、an+1、2a1成等差數(shù)列.
21.對于任意自然數(shù)n，n3+11n能被6整除.
22.已知數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列, , ,
(1)求數(shù)列｛bn｝的通項.
(2)設(shè)數(shù)列｛an｝的通項 (其中 )記Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和,試比較Sn與的大小,并證明你的理論.
23.用數(shù)學(xué)歸納法證明
已知：
24.
25.設(shè) ,是否存在關(guān)于n的整式g(n)使對大于1的一切正整數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論.
26.平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點,
(1)設(shè)這n條直線互相分割成f (n) 條線段或射線,猜想f (n) 的表達(dá)式并給以證明.
(2)求證:這n條直線把平面分成個區(qū)域.
27.數(shù)列｛an｝中, ,設(shè) … .
(1)試求出的值;
(2)猜想出 ,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
28.是否存在常數(shù)a、b、c使等式
對一切自然數(shù)n都成立，并證明結(jié)論．
29.在各項都為正數(shù)的數(shù)列｛an｝中，其前n項和為Sn，且 ( n∈N)，試由a1，a2，a3的值推測an的計算公式，并證明之.
30.已知f(x)=2x+b，f1 (x)= f [f(x)]，fn (x)= fn-1 [f(x)] (n∈N，n≥2)，試求a＜b，x表示的f1 (x)，f2 (x)，f3 (x)的式子，并推測fn (x)以b，x，n表示的式子，證明你的結(jié)論．
31.設(shè)函數(shù) ,
若數(shù)列滿足 ,
求證：當(dāng)
32.用數(shù)學(xué)歸納法證明
(n?N)
33.用數(shù)學(xué)歸納法證明sinnθ≤nsinθ.
34.
試比較An與Bn的大小，并說明理由.
35.已知等差數(shù)列｛an｝的第2項為8,前10項的和為185.
(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式.
(2)若從數(shù)列｛an｝中依次取出第2項,第4項,第8項,...,第2n項,......按原來順序排成一個新的數(shù)列,求此數(shù)列的前n項和Sn.
(3)設(shè)Tn= n(an +9),試比較Sn與Tn的大小,并說明理由.
36.數(shù)列{an}的通項公式an= ,f(n)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)……(1-an).
(1)求f(1),f(2),f(3),f(4),并猜想f(n)的表達(dá)式;
(2)用數(shù)字歸納法證明你的結(jié)論.
數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例答案
一、(共49題，合計245分)
1. C 2. C 3. C 4. D 5. C 6. B 7. B 8. C 9.B 10.C 11.C 12.C
13.C 14.C 15.D 16.B 17. B 18.D 19.C 20.B 21.C 22.D 23.C 24.C
25.B 26.D 27.B 28.D 29.D 30.C 31.B 32.B 33. B 34.D 35.A 36.D
37.B 38. D 39.C 40.D 41.C 42.C 43. B 44. C 45. B 46.C 47.D
48. C 49.D
二、題(共9題，合計36分)
1. 1+2+22+23+24
2.
3.
4. 2k
5.
6.兩邊同時乘以
7.
8.當(dāng) 時，左邊，右邊不等式成立
9.
三、解答題(共36題，合計362分)
1.見注釋
2.見注釋
3.見注釋
4.見注釋
5. m=36
6.相等
7. (1) (2) (3)1
8.見注釋
9.見注釋
10見注釋
11.見注釋
12.見注釋
13.見注釋
14.見注釋
15.見注釋
16.見注釋
17.見注釋
18.見注釋
19.
20.
21.見注釋
22.見注釋
23.見注釋
24.見注釋
25.見注釋
26.見注釋
27.見注釋
28.令n=1，n=2，n=3，列方程組求得a=3，b=11，c=10．再用數(shù)學(xué)歸納法證明.
29.a1=1，a2= ，a3= ，推測并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
30. f1 (x)=22 x+(2+1) b，f2 (x)=23 x+(22+2+1) b，f3 (x)=24 x+(23+22+2+1) b，推測fn (x)= 2n+1 x+(2n+2n-1+…+2+1) b
31.見注釋
32.見注釋
33.見注釋
34.見注釋
35.見注釋
36. (1)f(1)= ,f(2)= ,f(3)= ,f(4)= ,故猜想f(n)=

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