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普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）
數學（理工類）
【34】（A，湖北，理1）在復平面內，復數（為虛數單位）的共軛復數對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考點名稱數系的擴充與復數的概念
【34】（A，湖北，理1）D
解析：，則，其對應點Z（1，－1）位于第四象限.
【1】（A，湖北，理2）已知全集為，集合，，則
A． B．
C． D．
考點名稱集合
【1】（A，湖北，理2）C
解析：∵ ，，∴ .
【2】（A，湖北，理3文3）在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一次．設命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為
A． ∨ B． ∨ C． ∧ D． ∨
考點名稱常用邏輯語句
【2】（A，湖北，理3文3）A
解析：因為p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則是“沒有降落在指定范圍”，是“乙
沒有降落在指定范圍”，所以命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為 ∨ .
【6】（B，湖北，理4文6）將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則的最小值是
A． B． C． D．
考點名稱三角函數及其圖象與性質
【6】（B，湖北，理4文6）B
解析：因為可化為（x∈R），將它向左平移個單位得，其圖像關于y軸對稱.
【17】（B，湖北，文2理5）已知，則雙曲線：與：的
A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．焦距相等 D．離心率相等
考點名稱圓錐曲線及其標準方程
【17】（B，湖北，文2理5）D
解析：對于雙曲線C1，有， . 對于雙曲線C2，有， .即這兩雙曲線的離心率相等.
【7】（B，湖北，理6文7）已知點、、、，則向量在方向上的投影為
A． B． C． D．
考點名稱平面向量的概念及其運算
【7】（A，湖北，理6文7）A
解析： =（2,1）， =（5,5），則向量在向量方向上的射影為
.
【31】（C，湖北，理7）一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（t的單位：s，v的單位：/s）行駛至停止. 在此期間汽車繼續行駛的距離（單位：）是
A． B． C． D．
考點名稱定積分與微積分基本定理
【31】（C，湖北，理7）C
解析：令 =0，解得t ＝4或t＝（不合題意，舍去），即汽車經過4秒中后停止，在此期間汽車繼續行駛的距離為
＝ .
【21】（B，湖北，理8）一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為，，，，上面兩個簡單幾何體均為旋轉體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有
A． B． C． D．

考點名稱空間幾何體與三視圖
【21】（B，湖北，理8） C
解析：顯然，所以B不正確. 又，，
，，從而 .
【26】（B，湖北，理9）如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體. 經過攪
拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數為，則的均值
A． B． C． D．
考點名稱統計
【26】（B，湖北，理9）B 125個同樣大小的小正方體的面數共有125×6=750，涂了油漆的面數有25×6=150.
每一個小正方體的一個面涂漆的頻率為，則它的涂漆面數為的均值 .
【29】（C，湖北，理10）已知為常數，函數有兩個極值點，，則
A．， B．，
C．， D．，
考點名稱導數及其應用
【29】（C，湖北，理10）D
解析：，由由兩個極值點，得有兩個不等的實數解，即有兩個實數解，從而直線與曲線有兩個交點. 過點（0，－1）作的切線，設切點為（x0，y0），則切線的斜率，切線方程為 . 切點在切線上，則，又切點在曲線上，則，即切點為（1，0），切線方程為 . 再由直線與曲線有兩個交點.，知直線位于兩直線和之間，如圖所示，其斜率2a滿足：0＜2a＜1，解得0＜a＜ . .則這函數的兩個極點滿足，所以，而，即，所以 .
【26】（A，湖北，理11）從某小區抽取100戶居民進行月用電量調查，發現其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示.
（Ⅰ）直方圖中的值為_________；
（Ⅱ）在這些用戶中，用電量落在區間內的戶數為_________.
考點名稱統計
【26】（A，湖北，理11）（Ⅰ）0.0044 （Ⅱ）70
解析：（Ⅰ）
＝0.0044；
（Ⅱ）用電量落在區間內的戶數為 .
【24】（A，湖北，理12）如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果 _________.
考點名稱算法初步與框圖
【24】（A，湖北，理12）5
解析：已知初始值，∵ ，則執行程序，得；因為，則執行程序，得；，則第三次執行程序，得；∵ ，則第四次執行程序，得；∵ ，執行輸出i， .
【13】（C，湖北，理13）設，且滿足：，，則 _________.
考點名稱
【13】（C，湖北，理13）
解析：
【39】（湖北理14）古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數. 如三角形數1，3，6，10，，第個三角形數為 . 記第個邊形數為，以下列出了部分k邊形數中第個數的表達式：
三角形數，
正方形數，
五邊形數，
六邊形數，
………………………………………
可以推測的表達式，由此計算 _________.
考點名稱創新與拓展
【13】（C，湖北，理13）1000
解析：三角形數，
正方形數 = ，
五邊形數 = ，
六邊形數 = = ，
………………………………………
推測k邊形 .
所以 .
【37】（B，湖北，理15）如圖，圓上一點在直徑上的射影為，點在半徑上的射影為．若，則的值為_________．
考點名稱選修4-1：幾何證明選講
【37】（B，湖北，理15）8
解析：根據題設，易知，
Rt△ODE∽Rt△DCE∽Rt△OCD，∴ ，即CO=3OD=9OE，
在Rt△ODE中，，

在Rt△CDE中，，即，∴ .
【36】（A，湖北，理16）
在直角坐標系中，橢圓的參數方程為（為參數，）. 在
極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸
為極軸）中，直線與圓的極坐標方程分別為（為非零常數）
與 . 若直線經過橢圓的焦點，且與圓相切，則橢圓的離心率為_________.
考點名稱選修4-4：坐標系與參數方程
【36】（A，湖北，理16）橢圓C的方程可以化為，圓O的方程可化為，直線l的方程可化為，因為直線l經過橢圓的焦點，且與圓O相切，則，，，所以橢圓的離心率 .
【10】（B，湖北，理17）在△ 中，角，，對應的邊分別是，， . 已知 .
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ 的面積，，求的值.
考點名稱解三角形
【10】（B，湖北，理17）（Ⅰ）由，得 ,
即，解得或（舍去）.
因為，所以 .
（Ⅱ）由得 . 又，知 .
由余弦定理得故 .
又由正弦定理得 .
【19】（B，湖北，理18）已知等比數列滿足：， .
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.
考點名稱等比數列
【19】（B，湖北，理18）（Ⅰ）設等比數列的公比為q，則由已知可得
解得或
故，或 .
（Ⅱ）若，則，故是首項為，公比為的等比數列，
從而 .
若，則，故是首項為，公比為的等比數列，
從而故 .
綜上，對任何正整數，總有 .
故不存在正整數，使得成立.
【23】（B，湖北，理19）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平面，，分別是，的中點.
（Ⅰ）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關系，并加以證明；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l與圓的另一個交點為，且點Q滿足 . 記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證： .
考點名稱空間向量與立體幾何
【23】（B，湖北，理19）（Ⅰ）直線 ∥平面，證明如下：
連接，因為，分別是，的中點，所以 ∥ .
又平面，且平面，所以 ∥平面 .
而平面，且平面平面，所以 ∥ .
因為平面，平面，所以直線 ∥平面 .
（Ⅱ）（綜合法）如圖1，連接，由（Ⅰ）可知交線即為直線，且 ∥ .
因為是的直徑，所以，于是 .
已知平面，而平面，所以 .
而，所以平面 .
連接，，因為平面，所以 .
故就是二面角的平面角，即 .
由，作 ∥ ，且 .
連接，，因為是的中點，，所以，
從而四邊形是平行四邊形， ∥ .
連接，因為平面，所以是在平面內的射影，
故就是直線與平面所成的角，即 .
又平面，有，知為銳角，
故為異面直線與所成的角，即，
于是在 △ ， △ ， △ 中，分別可得
，，，
從而，即 .
（Ⅱ）（向量法）如圖2，由，作 ∥ ，且 .
連接，，，，，由（Ⅰ）可知交線即為直線 .
以點為原點，向量所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則有
,
.
于是，，，
所以，從而 .
又取平面的一個法向量為，可得，
設平面的一個法向量為，
所以由可得取 .
于是，從而 .
故，即 .

【40】（B，湖北，理20）假設每天從甲地去乙地的旅客人數是服從正態分布的隨機變量. 記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為 .
（Ⅰ）求的值；
（參考數據：若～，有，， .）
（Ⅱ）某客運公司用、兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業務，每車每天往返一次. 、兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛. 公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求型車不多于型車7輛. 若每天要以不小于的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備型車、型車各多少輛?
考點名稱隨機變量及其分布，簡單的線性規劃
【40】（B，湖北，理20）（Ⅰ）由于隨機變量服從正態分布，故有，
.
由正態分布的對稱性，可得

.
（Ⅱ）設型、型車輛的數量分別為輛，則相應的營運成本為 . 依題意, 還需滿足：
.
由（Ⅰ）知，，故等價于 .
于是問題等價于求滿足約束條件
且使目標函數達到最小的 .
作可行域如圖所示, 可行域的三個頂點坐標分別為 .
由圖可知，當直線經過可行域的點P時，直線在y軸上截距最小，即z取得最小值.
故應配備型車5輛、型車12輛.
【16】（C，湖北，理21）如圖，已知橢圓與的中心在坐標原點，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，，過原點且不與軸重合的直線與，的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D．記，△ 和△ 的面積分別為和 .
（Ⅰ）當直線與軸重合時，若，求的值；
（Ⅱ）當變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得？并說明理由．
考點名稱直線與圓錐曲線
【16】（C，湖北，理21）依題意可設橢圓和的方程分別為
：，： . 其中，
（Ⅰ）解法1：如圖1，若直線與軸重合，即直線的方程為，則
，，所以 .
在C1和C2的方程中分別令，可得，，，
于是 .
若，則，化簡得 . 由，可解得 .
故當直線與軸重合時，若，則 .
解法2：如圖1，若直線與軸重合，則
，；
， .
所以 .
若，則，化簡得 . 由，可解得 .
故當直線與軸重合時，若，則 .

（Ⅱ）解法1：如圖2，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得 . 根據對稱性，
不妨設直線：，
點，到直線的距離分別為，，則
因為，，所以 .
又，，所以，即 .
由對稱性可知，所以，
，于是
. ①
將的方程分別與C1，C2的方程聯立，可求得
， .
根據對稱性可知，，于是
. ②
從而由①和②式可得
. ③
令，則由，可得，于是由③可解得 .
因為，所以 . 于是③式關于有解，當且僅當，
等價于 . 由，可解得，
即，由，解得，所以
當時，不存在與坐標軸不重合的直線l，使得；
當時，存在與坐標軸不重合的直線l使得 .
解法2：如圖2，若存在與坐標軸不重合的直線l，使得 . 根據對稱性，
不妨設直線：，
點，到直線的距離分別為，，則
因為，，所以 .
又，，所以 .
因為，所以 .
由點，分別在C1，C2上，可得
，，兩式相減可得，
依題意，所以 . 所以由上式解得 .
因為，所以由，可解得 .
從而，解得，所以
當時，不存在與坐標軸不重合的直線l，使得；
當時，存在與坐標軸不重合的直線l使得 .
【40】（湖北理22）設是正整數，為正有理數.
（Ⅰ）求函數的最小值；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設，記為不小于的最小整數，例如，， .
令，求的值.
（參考數據：，，，）
考點名稱導數，函數的性質，不等式，創新與拓展，交匯與整合
【40】（湖北理22）（Ⅰ）因為，令，解得 .
當時，，所以在內是減函數；
當時，，所以在內是增函數.
故函數在處取得最小值 .
（Ⅱ）由（Ⅰ），當時，有，即
，且等號當且僅當時成立，
故當且時，有
. ①
在①中，令（這時且），得 .
上式兩邊同乘，得，即
②
當時，在①中令（這時且），類似可得
③
且當時，③也成立.
綜合②，③得
④
（Ⅲ）在④中，令，分別取值81，82，83，…，125，得
，
.
將以上各式相加，并整理得
.
代入數據計算，可得， .
由的定義，得 .

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