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2013年高考數學總復習 6-2 等差數列但因為測試 新人教B版

1.()(2011•溫州十校二模)若Sn是等差數列{an}的前n項和，a2＋a10＝4，則S11的值為(　　)
A．12　 　　B．18　 　　
C．22　 　　D．44
[答案]　C
[解析]　根據等差數列的性質可知S11＝11a1＋a112＝11a2＋a102＝11×42＝22，故選C.
(理)(2011•北京海淀期中)已知數列{an}為等差數列，Sn是它的前n項和．若a1＝2，S3＝12，則S4＝(　　)
A．10　 　　B．16　 　　
C．20　 　　D．24
[答案]　C
[解析]　S3＝3a2，又S3＝12，∴a2＝4，∴d＝a2－a1＝2，∴a4＝a1＋3d＝8，S4＝4a1＋a42＝20，故選C.
2．()(2011•福州模擬)等差數列{an}的前n項和 為Sn，若a2＋a6＋a7＝18，則S9的值是(　　)
A．64 B．72
C．54 D．以上都不對
[答案]　C
[解析]　由a2＋a6＋a7＝3a1＋12d＝3a5＝18，得a5＝6.
所以S9＝9a1＋a92＝9a5＝54.
(理)(2010•東日照模擬)已知等差數列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a＝8，則為(　　)
A．12 B．8
C．6 D．4
[答案]　B
[解析]　由等差數列性質知，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8.
∴＝8.故選B.
3．()(2011•西安五校一模)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11，a3＋a7＝－6，則當Sn取最小值時，n等于(　　)
A．8 B．7
C．6 D．9
[答案]　C
[解析]　設等差數列{an}的公差為d，依題意得a3＋a7＝2a5＝－6，∴a5＝－3，∴d＝a5－a15－1＝2，∴an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13.令an>0得n>6.5，即在數列{an}中，前6項均為負數，自第7項起以后各項均為正數，因此當n＝6時，Sn取最小值，選C.
(理)(2011•江西八校聯考)設數列{an}為等差數列，其前n項和為Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若對任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，則k的值為(　　)
A．22 B．21
C．20 D．19
[答案]　C
[解析]　設等差數列{an}的公差為d，則有3d＝93－99＝－6，∴d＝－2；∴a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝3a1－18＝9 9，∴a1＝39，∴an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n.令an＝41－2n>0得n<20.5，即在數列{an}中，前20項均為正，自第21項起以后各項均為負，因此在其前n項和中，S20最大．依題意得知，滿足題意的k值是20，選C.
4．()(2010•東青島質檢)已知不等式x2－2x－3<0的整數解構成等差數列{an}的前三項，則數列{an}的第四項為(　　)
A．3 B．－1
C．2 D．3或－1
[答案]　D
[解析]　由x2－2x－3<0及x∈Z得x＝0,1,2.
∴a4＝3或－1.故選D.
(理)已知方程(x2－2x＋)(x2－2x＋n)＝0的四個根組成一個首項為14的等差數列，則－n＝(　　)
A.1 B.34
C.12 D.38
[答案]　C
[解析]　設x2－2x＋＝0的根為x1，x2且x1<x2，
x2－2x＋n＝0的根為x3，x4且x3<x4，且x1＝14，
又x1＋x2＝2，∴x2＝74，
又x3＋x4＝2，且x1，x3，x4，x2成等差數列，
∴公差d＝13(74－14)＝12，∴x3＝34，x4＝54.
∴－n＝14×74－34×54＝12，故選C.
5．(2011•江西九校聯考)已知數列2，x，y,3為等差數列，數列2，，n,3為等比數列，則x＋y＋n的值為(　　)
A．16 B．11
C．－11 D．±11
[答案]　B
[解析]　依題意得x＋y＝2＋3＝5，n＝2×3＝6，x＋y＋n＝11，選B.
6．()在函數y＝f(x)的圖象上有點列(xn，yn)，若數列{xn}是等差數列，數列{yn}是等比數列，則函數y＝f(x)的解析式可能為(　　)
A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝4x2
C．f(x)＝log3x D．f(x)＝34x
[答案]　D
[解析]　對于函數f(x)＝34x上的點列(xn，yn)，有yn＝34xn，由于{xn}是等差數列，所以xn＋1－xn＝d，因此yn＋1yn＝34xn＋134xn＝34xn＋1－xn＝34d，這是一個與n無關的常數，故{yn}是等比數列．故選D.
[點評]　根據指數與對數運算的性質知真數成等比(各項為正)，其對數成等差，指數成等差時，冪成等比．
(理)(2011•江南十校聯考)已知直線(3＋1)x＋(1－)y－4＝0所過定點的橫、縱坐標分別是等差數列{an}的第一項與第二項，若bn＝1an•an＋1，數列{bn}的前n項和為Tn，則T10＝(　　)
A.921 B.1021
C.1121 D.2021
[答案]　B
[解析]　依題意，將(3＋1)x＋(1－)y－4＝0化為(x＋y－4)＋(3x－y)＝0，令x＋y－4＝03x－y＝0，解得x＝1y＝3，
∴直線(3＋1)x＋(1－)y－4＝0過定點(1,3)，
∴a1＝1，a2＝3，公差d＝2，an＝2n－1，
∴bn＝1an•an＋1＝12(12n－1－12n＋1)，
∴T10＝12×(11－13＋13－15＋…＋120－1－120＋1)
＝12×(1－121)＝1021.故選B.
7．(2011•洛陽部分重點中學教學檢測)已知a，b，c是遞減的等差數列，若將其中兩個數的位置對換，得到一個等比數列，則a2＋c2b2的值為________．
[答案]　20
[解析]　依題意得①a＋c＝2bb2＝ac，或②a＋c＝2ba2＝bc，或③a＋c＝2bc2＝ab.由①得a＝b＝c，這與“a，b，c是遞減的等差數列”矛盾；由②消去c整理得(a－b)(a＋2b)＝0，又a>b，因此a＝－2b，c＝4b，a2＋c2b2＝20；由③消去a整理得(c－b)(c＋2b)＝0，又b>c，因此有c＝－2b，a＝4b，a2＋c2b2＝20.
8．()(2011•天津，11)已知{an}是等差數列，Sn為其前n項和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，則S10的值為________．
[答案]　110
[解析]　由題意，設公差為d，a1＋2d＝1620a1＋20×20－12d＝20，
解得a1＝20d＝－2
∴S10＝10a1＋1010－12d＝110.
(理)(2011•江蘇南通、 揚州、泰州高三調研)設等差數列{an}的公差為正數，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，則a11＋a12＋a13＝________.
[答案]　105
[解析]　∵a1＋a2＋a3＝15a1a2a3＝80，
∴a2＝5，a1a3＝16，∴a1＋d＝5a1a1＋2d＝16，
∵d>0，∴d＝3a1＝2，
∴a11＋a12＋a13＝3a1＋33d＝105.
9．()將正偶數按下表排成5列：
第1列第2列第3列第4列第5列
第1行2468
第2行16141210
第3行18202224
…………2826
那么2010應該在第________行第________列．
[答案]　252,4
[解析]　通項an＝2n，故2010為第1005項，∵1005＝4×251＋1，
又251為奇數，因此2010應排在第252行，且第252行從右向左排第一個數，即252行第4列．
(理)已知an＝n的各項排列成如圖的三角形狀：
記A(，n)表示第行的第n個數，則A(21,12)＝________.
a1
a2　a3　a4
a5　a6　a7　a8　a9
… … … … … … … … … …
[答案]　412
[解析]　由題意知第1行有1個數，第2行有3個數，……第n行有2n－1個數，故前n行有Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2個數，因此前20行共有S20＝400個數，故第21行的第一個數為401，第12個數為412，
即A(21,12)＝412.
10．()(2011•濟南模擬)已知數列{an}的前n項和為Sn，點(n，Sn)(n∈N＋)在函數f(x)＝3x2－2x的圖象上．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝3an•an＋1，求數列{bn}的第n項和Tn.
[解析]　(1)由已知點(n，Sn)(n∈N＋)在函數f(x)＝3x2－2x的圖象上，可得Sn＝3n2－2n.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－3(n－1)2＋2(n－1)＝6n－5，
當n＝1時，a1＝S1＝1也適合上式，∴an＝6n－5.
(2)bn＝3anan＋1＝36n－56n＋1
＝12(16n－5－16n＋1)
∴Tn＝12(11－17＋17－113＋…＋16n－5－16n＋1)
＝12(1－16n＋1)＝12－112n＋2.
(理)(2011•重慶，16)設{an}是公比為正數的等比數列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設{bn}是首項為1，公差為2的等差數列，求數列{an＋bn}的前n項和Sn.
[解析]　(1)設等比數列{an}的公比為q，由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍)，∴q＝2
∴an＝a1•qn－ 1＝2•2n－1＝2n
(2)數列bn＝1＋2(n－1)＝2n－1
∴Sn＝2×1－2n1－2＋[n×1＋nn－12×2]
＝2n＋1＋n2－2.

11.()(2011•合肥一模)已知等比數列{an}中，各項都是正數，且a1，12a3,2a2成等差數列，則a9＋a10a7＋a8＝(　　)
A．1＋2 B．1－2
C．3＋22 D．3－22
[答案]　C
[解析]　設等比數列{an} 的公比為q(q>0)，則由題意得a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，
∵a1>0，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±2.
又q>0，因此有q＝1＋2，
∴a9＋a10a7＋a8＝q2a7＋a8a7＋a8＝q2＝(1＋2)2＝3＋22，選C.
(理)已知在等差數列{an}中，對任意n∈N*，都有an>an＋1，且a2，a8是方程x2－12x＋＝0的兩根，且前15項的和S15＝，則數列{an}的公差是(　　)
A．－2或－3 B．2或3
C．－2 D．3
[答案]　A
[解析]　由2a5＝a2＋a8＝ 12，得a5＝6，
由S15＝得a8＝15.
又因為a8是方程x2－12x＋＝0的根，
解之得＝0，或＝－45，
則a8＝0，或a8＝－3.
由3d＝a8－a5得d＝－2，或d＝－3.
12．(2011•煙臺診斷)設等差數列{an}的前n項和為Sn且S15>0，S16<0，則S1a1，S2a2，…，S15a15中最大的是(　　)
A.S15a15 B.S9a9
C.S8a8 D.S1a1
[答案]　C
[解析]　S15>0S16<0⇒a1＋7d>0，a1＋152d<0⇒a8>0a9<0.
∴0<S1<S2<…<S8>S9>S10>…>S15>0>S16，a1>a2>…>a8>0>a9
∴S8a8最大．故選C.
13．()(2011•湖北，9)《九章算術》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為(　　)
A.1升 B.6766升
C.4744升 D.3733升
[答案]　B
[解析]　設該數列為{an}公差為d，則
a1＋a2＋a3＋a4＝3a7＋a8＋a9＝4即4a1＋6d＝33a1＋21d＝4解之得a1＝1322d＝766，
所以第5節的容積為a5＝a1＋4d＝1322＋766×4＝6766.
(理)(2011•哈師大附中、東北師大附中、遼寧實驗中學聯合模擬)已知{an}是等差數列，Sn為其前n項和，若S21＝S4000，O為坐標原點，點P(1，an)，點Q(2011，a2011)，則OP→•OQ→等于 (　　)
A．2011 B．－2011
C．0 D．1
[答案]　A
[解析]　S21＝S4000⇒a22＋a23＋…＋a4000＝0⇒a2011＝0，
又P(1，an)，Q(2011，a2011)，則OP→＝(1，an)，OQ→＝(2011，a2011)，
∴OP→•OQ→＝(1，an)•(2011，a2011)＝2011＋ana2011＝2011，故選A
14．()(2011•哈爾濱六中模擬)若數列{xn}滿足xn－xn－1＝d，(n∈N*，n≥2)，其中d為常數，x1＋x2＋…＋x20＝80，則x5＋x16＝________.
[答案]　8
[解析]　由xn－xn－1＝d知{xn}為公差為d的等差數列，
∴x1＋x2＋…＋x20＝80⇒10(x1＋x20)＝80⇒x1＋x20＝8，
∴x5＋x16＝x1＋x20＝8.
(理)(2011•萊陽模擬)數列{a n}，{bn}都是等差數列，a1＝0，b1＝－4，用Sk、Sk′分別表示等差數列{an}和{bn}的前k項和(k是正整數)，若Sk＋Sk′＝0，則ak＋bk＝________.
[答案]　4
[解析]　由條件知，Sk＋Sk′＝kk－12d＋kk－12d′－4k＝kk－1d＋d′2－4k＝0，
∵k是正整數，∴(k－1)(d＋d′)＝8，
∴ak＋bk＝(k－1)d－4＋(k－1)d′
＝(k－1)(d＋d′)－4＝4.
15．()(2011•杭州質量檢測)已知正數數列{an}的前n項和為Sn，且對任意的正整數n滿足2Sn＝an＋1.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設bn＝1an•an＋1，求數列{bn}的前n項和Bn.
[解析]　(1)由2Sn＝an＋1，n＝1代入得a1＝1，
兩邊平方得4Sn＝(an＋1)2 ①
①式中n用n－1代替得4Sn－1＝(an－1＋1)2
　(n≥2) ②
①－②，得4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2,0＝(an－1)2－(an－1＋1)2，
[(an－1)＋(an－1＋1)]•[(an－1)－(an－1＋1)]＝0，
∵{an}是正數數列，∴an－an－1＝2，
所以數列{an}是以1為首項，2為公差的等差數列，
∴an＝2n－1.
(2)bn＝1an•an＋1＝12n－12n＋1
＝1212n－1－12n＋1，
裂項相消得Bn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n－1－12n＋1)]＝n2n＋1.
(理)(2011•河南鄭州質量檢測)已知數列{an}的前n項和Sn＝2－an，數列{bn}滿足b1＝1，b3＋b7＝18，且bn－1＋bn＋1＝2bn(n≥2)．
(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；
(2)若cn＝bnan，求數列{cn}的前n項和Tn.
[解析]　(1)由題意Sn＝2－an， ①
當n≥2時，Sn－1＝2－an－1， ②
①－②得an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
即an＝12an－1，又a1＝S1＝2－a1，
∴a1＝1，故數列{an}是以1為首項，12為公比的等 比數列．所以an＝12n－1；
由bn－1＋bn＋1＝2bn(n≥2)知，數列{bn}是等差數列，
設其公差為d，則b5＝12(b3＋b7)＝9，
所以d＝b5－b14＝2，bn＝b1＋(n－1)d＝2n－1.
綜上，數列{an}和{bn}的通項公式為
an＝12n－1，bn＝2n－1.
(2)cn＝bnan＝(2n－1)•2n－1，
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1， ③
2Tn＝1×21＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n， ④
③－④得：－Tn＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n－1)－(2n－1)•2n
＝1＋2×2－2n1－2－(2n－1)•2n＝－(2n－3)•2n－3.
∴Tn＝(2n－3)•2n＋3.

1．(2011•鄭州一測)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4S8＝13，則S8S16＝(　　)
A.18 B.13
C.19 D.310
[答案]　D
[解析]　設a1＋a2＋a3＋a4＝A1，a5＋a6＋a7＋a8＝A2，a9＋a10＋a11＋a12＝A3，a13＋a14＋a15＋a16＝A4，∵數列{an}為等差數列，∴A1、A2、A3、A4也成等差數列，S4S8＝A1A1＋A2＝13，不妨設A1＝1，則A2＝2，A3＝3，A4＝4，S8S16＝A1＋A2A1＋A2＋A3＋A4＝1＋21＋2＋3＋4＝310，故選D.
2．(2011•濟寧模擬)將正偶數集合{2,4,6…}從小到大按第n組有2n個偶數進行分組，第一組{2,4}，第二組{6,8,10,12}，第三組{14,16,18,20,22,24}，則2010位于第(　　)組．
A．30 B．31
C．32 D．33
[答案]　C
[解析]　因為第n組有2n個正偶數，故前n組共有2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n個正偶數.2010是第1005個正偶數．若n＝31，則n2＋n＝992，而第32組中有偶數64個，992＋64＝1056，故2010在第32組．
3．(2011•黃岡3月質檢)設數列{an}是以2為首項，1為公差的等差數列，bn是以1為首項，2為公比的等比數列，則ab1＋ab2＋…＋ab10＝(　　)
A．1033 B．2057
C．1034 D．2058
[答案]　A
[解析]　依題意得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，abn＝bn＋1＝2n－1＋1，因此ab1＋ab 2＋…＋ab10＝(20＋1)＋(21＋1)＋…＋(29＋1)＝1×210－12－1＋10＝210＋9＝1033，故選A.
4．(2010•北京順義一中)一個算法的程序框圖如下圖所示，若該程序輸出的結果為56，則判斷框中應填入的條件是(　　)

A．i<4? B．i<5?
C．i≥5? D．i<6?
[答案]　D
[解析]　由題意知S＝11×2＋12×3＋…＋1ii＋1＝1－12＋12－13＋…＋1i－1i＋1＝ii＋1，故要輸出S＝56，i＝5時再循環一次，故條件為i≤5或i<6，故選D.
5．已知函數f(x)＝sinx＋tanx.項數為27的等差數列{an}滿足an∈－π2，π2，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，則當k＝______時，f(ak)＝0.
[答案]　14
[解析]　∵f(x)＝sinx＋tanx為奇函數，且在x＝0處有定義，∴f(0)＝0.
∵{an}為等差數列且d≠0，
∴ an(1≤n≤27，n∈N*)對稱分布在原點及原點兩側，
∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，∴f(a14)＝0.
∴k＝14.
6．(2011•南京一模)已知各項都為正數的等比數列{an}中，a2•a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，則滿足an•an＋1•an＋2>19的最大正整數n的值為________．
[答案]　4
[解析]　設等比數列{an}的公比為q，其中q>0，依題意得a23＝a2•a4＝4，又a3>0，因此a3＝a1q2＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝12，a1＝8，an＝8×(12)n－1＝24－n，an•an＋1•an＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n>19，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是滿足an•an＋1•an＋2>19的最大正整數n的值為4.
7．(2011•浙江金華聯考)已知各項均不相等的等差數列{an}的前四項和S4＝14，且a1，a3，a7成等比數列．
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)設Tn為數列{1anan＋1}的前n項和，若Tn≤λan＋1對一切n∈N*恒成立，求實數λ的最小值．
[解析]　設公差為d.
由已知得4a1＋6d＝14，a1＋2d2＝a1a1＋6d，
聯立解得d＝1或d＝0(舍去)，
∴a1＝2，故an＝n＋1.
(2)1anan＋1＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2，
∴Tn＝12－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2＝12－1n＋2＝n2n＋2.
∵Tn≤λan＋1，∴n2n＋2≤λ(n＋2)，∴λ≥n2n＋22.
又n2n＋22＝12n＋4n＋4≤124＋4＝116.
等號在n＝4n即n＝2時成立．
∴λ的最小值為116.

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