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專題一：集合、常用邏輯用語、不等式、函數與導數
第五講 導數及其應用
【最新考綱透析】
1.導數概念及其幾何意義
（1）了解導數概念的實際背景。
（2）理解導數的幾何意義。
2．導數的運算
（1）能根據導數定義求函數 的導數。
（2）能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數。
（3）能求簡單的復合函數（僅限于形如 的復合函數）的導數。
3．導數在研究函數中的應用
（1）了解函數單調性和導數的關系，能利用導數研究函數的單調性，會求函數的單調區間（其中多項式函數一般不超過三次）。
（2）了解函數在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數求函數的極大值、極小值（其中多項式函數一般不超過三次）；會求閉區間了函數的最大值、最小值（其中多項式函數一般不超過三次）。
4．生活中的優化問題
會利用導數解決某些實際問題
5．定積分與微積分基本定理
（1）了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。
（2）了解微積分基本定理的含義。

【核心要點突破】
要點考向1：利用導數研究曲線的切線
考情聚焦：1．利用導數研究曲線 的切線是導數的重要應用，為近幾年各省市高考命題的熱點。
2．常與函數的圖象、性質及解析幾何知識交匯命題，多以選擇、填空題或以解答題中關鍵一步的形式出現，屬容易題。
考向鏈接：1．導數的幾何意義
函數 在 處的導數 的幾何意義是：曲線 在點 處的切線的斜率（瞬時速度就是位移函數 對時間 的導數）。
2．求曲線切線方程的步驟：
（1）求出函數 在點 的導數，即曲線 在點 處切線的斜率；
（2）在已知切點坐標 和切線斜率的條件下，求得切線方程為 。
注：①當曲線 在點 處的切線平行于 軸（此時導數不存在）時，由切線定義可知，切線方程為 ；
②當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解。
例1：（2010 ?海南高考?理科T3）曲線 在點 處的切線方程為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命題立意】本題主要考查導數的幾何意義，以及熟練運用導數的運算法則進行求解.
【思路點撥】先求出導函數，解出斜率，然后根據點斜式求出切線方程.
【規范解答】選A.因為 ，所以，在點 處的切線斜率 ，所以，切線方程為 ，即 ，故選A.
要點考向2：利用導數研究導數的單調性
考情聚焦：1．導數是研究函數單調性有力的工具，近幾年各省市高考中的單調性問題，幾乎均用它解決。
2．常與函數的其他性質、方程、不等式等交匯命題，且函數一般為含參數的高次、分式或指、對數式結構，多以解答題形式考查，屬中高檔題目。
考向鏈接：利用導數研究函數單調性的一般步驟。
（1）確定函數的定義域；
（2）求導數 ；
（3）①若求單調區間（或證明單調性），只需在函數 的定義域內解（或證明）不等式 ＞0或 ＜0。
②若已知 的單調性，則轉化為不等式 ≥0或 ≤0在單調區間上恒成立問題求解。
例2：（2010?山東高考文科?Ｔ21）已知函數
（1）當 時，求曲線 在點 處的切線方程；
（2）當 時，討論 的單調性.
【命題立意】本題主要考查導數的概念、導數的幾何意義和利用導數研究函數性質的能力.考查分類討論思想、數形結合思想和等價變換思想.
【思路點撥】(1)根據導數的幾何意義求出曲線 在點 處的切線的斜率；（2）直接利用函數與導數的關系討論函數的單調性,同時應注意分類標準的選擇.
【規范解答】（1） 當
所以
因此， ,即曲線
又
所以曲線

（2）因為 ,所以 ,令
當 時， 所以
當 時， >0，此時 ，函數 單調遞減；
當 時， <0，此時 ，函數 單調遞增.
當 時，由 ，
即 ，解得 .
① 當 時， ， 恒成立，此時 ，函數 在（0，+∞）上單調遞減;
② 當 時， ，
時， ,此時 ,函數 單調遞減
時， <0,此時 ,函數 單調遞增
時， ，此時 ，函數 單調遞減
③ 當 時，由于 ,
時， ,此時 ,函數 單調遞減：
時， <0,此時 ,函數 單調遞增.
綜上所述：
當 時，函數 在 上單調遞減;函數 在 上單調遞增
當 時,函數 在 上單調遞減
當 時，函數 在 上單調遞減；函數 在 上單調遞增；
函數 在 上單調遞減.
【方法技巧】1、分類討論的原因
(1)某些概念、性質、法則、公式分類定義或分類給出；
(2)數的運算：如除法運算中除式不為零，在實數集內偶次方根的被開方數為非負數，對數中真數與底數的要求，不等式兩邊同乘以一個正數還是負數等；
(3)含參數的函數、方程、不等式等問題，由參數值的不同而導致結果發生改變；
(4)在研究幾何問題時，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結果有多種可能.
2、分類討論的原則
(1)要有明確的分類標準；
(2)對討論對象分類時要不重復、不遺漏；
(3)當討論的對象不止一種時，應分層次進行.
3、分類討論的一般步驟
(1)明確討論對象，確定對象的范圍；
(2)確定統一的分類標準，進行合理分類，做到不重不漏；
(3)逐段逐類討論，獲得階段性結果；
(4)歸納總結，得出結論.
要點考向3：利用導數研究函數的極值與最值
考情聚焦：1．導數是研究函數極值與最值問題的重要工具，幾乎是近幾年各省市高考中極值與最值問題求解的必用方法。
2．常與函數的其他性質、方程、不等式等交匯命題，且函數一般為含參數的高次、分式、或指、對數式結構，多以解答題形式出現，屬中高檔題。
考向鏈接：1．利用導數研究函數的極值的一般步驟：
（1）確定定義域。（2）求導數 。（3）①或求極值，則先求方程 =0的根，再檢驗 在方程根左右值的符號，求出極值。（當根中有參數時要注意分類討論）
②若已知極值大小或存在情況，則轉化為已知方程 =0的根的大小或存在情況，從而求解。
2．求函數 的極值與端點處的函數值 比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。
例3：（2010?天津高考理科?Ｔ2１）已知函數
（Ⅰ）求函數 的單調區間和極值；
（Ⅱ）已知函數 的圖象與函數 的圖象關于直線 對稱，證明當 時，
（III）如果 ，且 ，證明
【命題立意】本小題主要考查導數的應用，利用導數研究函數的單調性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函數思想分析解決問題的能力。
【思路點撥】利用導數及函數的性質解題。
【規范解答】
（Ⅰ）解：f’ ，令f’(x)=0,解得x=1，
當x變化時，f’(x)，f(x)的變化情況如下表
x( )1( )
f’(x)+0-
f(x) 極大值
所以f(x)在( )內是增函數，在( )內是減函數。
函數f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
當x>1時，2x-2>0,從而 ’(x)>0,從而函數F（x）在[1,+∞)是增函數。
又F(1)= F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(Ⅲ)證明：（1）
若
（2）若
根據（1）（2）得
由（Ⅱ）可知， > ,則 = ，所以 > ,從而 > .因為 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函數f(x)在區間（-∞，1）內是增函數，所以 > ,即 >2。
要點考向4：利用導數研究函數的圖象
考情聚焦：1．該考向由于能很好地綜合考查函數的單調性、極值（最值）、零點及數形結合思想等重要考點，而成為近幾年高考命題專家的新寵。
2．常與函數的其他性質、方程、不等式、解析幾何知識交匯命題，且函數一般為含參數的高次、分式、指、對數式結構，多以解答題中壓軸部分出現。屬于較難題。
例4：（2010?福建高考理科?Ｔ20）(Ⅰ)已知函數f(x)=x3-x，其圖像記為曲線C.
（i）求函數f(x)的單調區間；
(ii)證明：若對于任意非零實數x1，曲線C與其在點P1（x1,f(x1）處的切線交于另一點P2（x2,f(x2).曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3 （x3 f(x3)），線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2，則 為定值：
（Ⅱ）對于一般的三次函數g（x）=ax3+bx2+cx+d(a 0)，請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題，并予以證明。
【命題立意】本小題主要考查函數、導數、定積分等基礎知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸轉化思想、特殊與一般的思想。
【思路點撥】第一步（1）利用導數求解函數的單調區間，（2）利用導數求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解 及其比值；第二步利用合情推理的方法對問題進行推廣得到相關命題，并利用平移的方法進行證明。
【規范解答】（Ⅰ) (i) ，令 得到 ，令 有 ，因此原函數的單調遞增區間為 和 ；單調遞減區間為 ；
(ii) ， ， ，因此過點 的切線方程為： ，即 ，由 得 ，所以 或 ，故 ，進而有 ，用 代替 ，重復上面的計算，可得 和 ，又 ， ，因此有 。
（Ⅱ）【命題】若對于任意函數 的圖像為曲線 ，其類似于(I)(ii)的命題為：若對任意不等于 的實數 ，曲線與其在點 處的切線交于另一點 ，曲線 與其在點 處的切線交于另外一點 ，線段 、 與曲線 所圍成面積為 ，則 。
【證明】對于曲線 ，無論如何平移，其面積值是恒定的，所以這里僅考慮 的情形， ， ， ，因此過點 的切線方程為：
，聯立 ，得到： ，
化簡：得到
從而 所以 同樣運用(i)中方法便可以得到
所以 。
【方法技巧】函數導數的內容在歷屆高考中主要切線方程、導數的計算，利用導數判斷函數單調性、極值、最值等問題，試題還與不等式、三角函數、數列、立幾、解幾等知識的聯系，類型有交點個數、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構造函數、分類討論、轉化與化歸、數形結合等重要的思想方法，主要考查導數的工具性作用。

【高考真題探究】
1.（2010?全國高考卷Ⅱ文科?Ｔ7）若曲線 在點 處的切線方程是 ，則
（A） (B)
(C) (D)
【命題立意】本題考查了導數的幾何意義和曲線的切線方程知識。
【思路點撥】由題意知， 曲線 在點 處的切線的斜率為1，根據導數的幾何意義得y在x=0
處的導數為1，再把（0，b）代入切線方程可以解出a 、b的值。
【規范解答】 選A， , 在點 處的切線方程是 。
斜率為1，所以 ,所以 .
2．（2010?江西高考理科?Ｔ１２）如圖，一個正五角星薄片（其對稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記 時刻五角星露出水面部分的圖形面積為 ，則導函數 的圖像大致為


【命題立意】本題將各知識點有機結合，屬創新題型，主要考查對函數的圖像識別能力，靈活分析問題和解決問題的能力，考查分段函數，考查分段函數的導數，考查分類討論的數學思想，考查函數的應用，考查平面圖形面積的計算，考查數形結合的思維能力．
【思路點撥】本題結合題意及圖像的變化情況可用排除法；也可先求面積的函數，再求其導數，最后結合圖像進行判斷.
【規 范解答】選A．方法一：在五角星勻速上升過程中露出的圖形部分的面積共有四段不同變化情況，第一段和第三段的變化趨勢相同，只有選項A、C符合要求，從而先排除B、D，在第二段變化中，面積的增長速度顯然較慢，體現在導函數圖像中其圖像應下降，排除選項C，故選A.
方法二：設正五角星的一個頂點到內部較小正五邊形的最近邊的距離為1，且設 ，則依據題意可得：
其導函數 故選A .
【方法技巧】從題設條件出發，結合所學知識點，根據“四選一”的要求，逐步剔除干擾項，從而得出正確的判斷.這種方法適應于定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的變化情況較多時，先根據某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以排除，再根據另一些條件在縮小的選擇支的范圍內找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中考查較多.
3．（2010?全國高考卷Ⅱ理科?Ｔ10）若曲線 在點 處的切線與兩個坐標圍成的三角形的面積為18，則 [來
（A）64 （B） 32 （C）16 （D）8
【命題立意】本題主要考查了導數的幾何意義，曲線的切線方程求法，考查考生的運算求解能力．
【思路點撥】先求出切線方程，然后表示出切線與兩個坐標圍成的三角形的面積。
【規范解答】選A， 所以曲線 在點 處的切線：
所以，
【方法技巧】利用導數解決切線問題有兩種類型：（1）“在”曲線上一點處的切線問題，先對函數求導，代入點的橫坐標得到斜率。（2）“過”曲線上一點的切線問題，此時該點未必是切點，
故應先設切點，再求切點坐標。
4．（2010?北京高考理科?Ｔ１8）已知函數 ( )=In(1+ )- + ， ( ≥0)。
(Ⅰ)當 =2時，求曲線 = ( )在點(1， (1))處的切線方程；
(Ⅱ)求 ( )的單調區間。
【命題立意】本題考查了導數的應用，考 查利用導數求切線方程及單調區間。解決本題時一個易錯點是忽視定義域。
【思路點撥】（1）求出 ，再代入點斜式方程即可得到切線方程；（2）由 討論 的正負，從而確定單調區間。
【規范解答】（I）當 時， ，
由于 ， ，
所以曲線 在點 處的切線方程為

即
（II） ， .
當 時， .
所以，在區間 上， ；在區間 上， .
故 的單調遞增區間是 ，單調遞減區間是 .
當 時，由 ，得 ，
所以，在區間 和 上， ；在區間 上，
故 的單調遞增區間是 和 ，單調遞減區間是 .
當 時，
故 的單調遞增區間是 .
當 時， ，得 ， .
所以在區間 和 上， ；在區間 上，
故 得單調遞增區間是 和 ，單調遞減區間是
【方法技巧】
（1） 過 的切線方程為 。
（2）求單調區間時要在定義域內討論 內的正負。
5．（2010?全國高考卷Ⅱ理科?Ｔ22）設函數 ．
（Ⅰ）證明：當 時， ；
（Ⅱ）設當 時， ，求a的取值范圍．
【命題立意】本題考查了導數的單調性、極值等知識，結合不等式考查推理論證能力、運算求解能力，
考查分類討論思想、化歸與轉化思想。
【思路點撥】（Ⅰ）可以構造函數，利用導數單調性，求當 時的最值證明不等式成立，
（Ⅱ）可結合（Ⅰ）的結論和方法證明，要注意對a分類討論.
【規范解答】（Ⅰ）當 時， 當且僅當
令 ， 則
當 時， 是增函數； 當 時， 是減函數；
于是g(x)在x=0處達到最小值，因而當 時， 即
所以當x> -1時，
（Ⅱ）由題設 ，此時
當a<0時，若 ，則 不成立；
當a 0時， 令 h(x)=axf(x)+f(x)-x ，則 .當且僅當

⑴當 時，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在 是減函數， 即
⑵當a> 時，由⑴知x

當 時， 所以h(x)>h(0)=0，即
綜上，a的取值范圍是[0, .
6．（2010?江蘇高考?Ｔ20）設 是定義在區間 上的函數，其導函數為 。如果存在實數 和函數 ，其中 對任意的 都有 >0，使得 ，則稱函數 具有性質 。
(1)設函數 ，其中 為實數。
(i)求證：函數 具有性質 ； (ii)求函數 的單調區間。
(2)已知函數 具有性質 ，給定 設 為實數，
， ，且 ，
若 < ，求 的取值范圍。
【命題立意】本題主要考查函數的概念、性質、圖象及導數等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。
【思路點撥】(1)求出 ，并將其表示為 的形式，注意 .
(2)利用一的結論求解。
【規范解答】
（1）(i)
∵ 時， 恒成立，
∴函數 具有性質 ；
(ii)（方法一）設 ， 與 的符號相同。
當 時， ， ，故此時 在區間 上遞增；
當 時，對于 ，有 ，所以此時 在區間 上遞增；
當 時， 圖像開口向上，對稱軸 ，而 ，所以當x>1時 ，所以此時 在區間 上遞增；
當 時， 圖像開口向上，對稱軸 ，方程 的兩根為： ，而
當 時， ， ，故此時 在區間 上遞減；同理得： 在區間 上 遞增。
綜上所述，當 時， 在區間 上遞增；
當 時， 在 上遞減； 在 上遞增。
（方法二）當 時，對于 ，
所以 ，故此時 在區間 上遞增；
當 時， 圖像開口向上，對稱軸 ，方程 的兩根為： ，而
當 時， ， ，故此時 在區間 上遞減；同理得： 在區間 上遞增。
綜上所述，當 時， 在區間 上遞增；
當 時， 在 上遞減； 在 上遞增。
(2)（方法一）由題意，得：
又 對任意的 都有 >0，
所以對任意的 都有 ， 在 上遞增。
又 。
當 時， ，且 ，

若 ，∴ ，（不合題意）。

綜合以上討論，得所求 的取值范圍是（0，1）。
（方法二）由題設知， 的導函數 ，其中函數 對于任意的 都成立。所以，當 時， ，從而 在區間 上單調遞增。
①當 時，有 ，
，得 ，同理可得 ，所以由 的單調性知 、 ，
從而有 < ，符合題設。
②當 時， ，
，于是由 及 的單調性知 ，所以 ≥ ，與題設不符。
③當 時，同理可得 ，進而得 ≥ ，與題設不符。
因此綜合①、②、③得所求的 的取值范圍是（0，1）

【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（共6小題，每小題6分，總分36分）
1.若函數 在R上可導，且 ，則（C）
A． B． C． D．無法確定
2．函數 在定義域 內可導，若 ，且當 時， ，設 ， ， ，則（D）
A． B． C． 　 D．
3．設函數 在 上可導，且 ，則當 時有(A)
A． B．
C． D．
4．設f '(x)是函數f(x)的導函數，y=f '(x)的圖像如右圖所示，則y=f(x)的圖像最有可能的是（ C）


5． 在區間 上的最大值是（ C ）
A． B．0C．2D．4
6．如圖，函數 的圖象在點P處的切線是 ，則 =（ C ）．

A． B．0C． D．不確定

二、填空題（共3小題，每小題6分，總分18分）
7．過原點作函數 的圖像的切線，則切點坐標是
8．函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak+1, ，若a1=16，則a1+a3+a5的值是________
9．函數 的單調減區間為 。
三、解答題（10、11小題各15分，12題16分）
10．已知函數f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1 )求f(x)的單調區間;
(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.
11．（2010?安徽安慶高三二模（文））已知函數 .
⑴當 時，求函數 的最小值；
⑵若 在 上是單調函數，求 的取值范圍.
12．（2010屆?北京市朝陽區高三一模（文））已知函數 ， ．
（Ⅰ）若函數 在 處取得極值，試求 的值，并求 在點 處的切線方程；
（Ⅱ）設 ，若函數 在 上存在單調遞增區間，求 的取值范圍．


參考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命題立意】本題考查導數的幾何意義、函數的切線方程以及數列的通項等內容。
【思路點撥】先由導數的幾何意義求得函數y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由 ，即可求得切線與x軸交點的橫 坐標。
【規范解答】由y=x2(x>0)得， ，
所以函數y=x2(x>0)在點(ak,ak2)處的切線方程為：
當 時，解得 ，
所以 .
【答案】21
9．【解析】 考查利用導數判斷函數的單調性。
，
由 得單調減區間為 。亦可填寫閉區間或半開半閉區間。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
當a<0時，對x∈R有f′(x)>0.
∴當a<0時，f(x)的單調增區間為(-∞,+∞).

(2)∵f(x)在x=-1處取得極值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的單調性可知，f(x)在x=-1處取得極大值
f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.
∵直線y=m與函數y=f(x)的圖象有三個不同的交點，又f(-3)=
-19<-3.f(3)=17>1,結合f(x)的單調性可知，m的取值范圍是
(-3,1).
11．解析：（1）當 時，
………2分
令 得 或 （ ，舍去負值）。 ……… 3分
函數 及導數 的變化情況如下表：

∴當 時，函數 的最小值是 ……… 6分
（2） ， ………7分
令
要使 在 上為單調函數，只需對 ，都有 或
，∴ ，∴ ………8分
①當 時， 恒成立即 恒成立； ……… 10分
②當 時， ，∴ ，∴ 恒成立；……12分
綜上所述：當 時， 在 上為單調函數 ………13分
12．解析：（Ⅰ） = .
因為函數 在 處取得極值，所以 ，解得 .
于是函數 ， , .
函數 在點 處的切線的斜率 ，
則 在點 處的切線方程為 . …………………………6分
（Ⅱ）當 時， 是開口向下的拋物線，要使 在 上存在子區間使 ，應滿足 或
解得 ，或 ，所以 的取值范圍是 ．……14分


【備課資源】
1．（2008全國Ⅱ）設曲線 在點 處的切線與直線 平行，則 （ ）
A．1 B． C． D．
【解 析】選A. ，于是切線的斜率 ，∴有
2.（2009?江西高考）設函數f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點 （1，f(1)）處切線的斜率為( )

【解析】選A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函數y=f(x)的導函數在區間［a,b］上是增函數，則函數y=f(x)在區間［a,b］上的圖象可能是( )

【解析】選A.因為函數y=f(x)的導函數y=f′(x)在區間［a,b］上是增函數，即在區間［a,b］上各點處的斜率k是遞增的，由圖易知，選A.
4.已知函數f(x)滿足f(x)=f(π-x),且當x∈(- , )時,f(x)=x+sinx,則（ ）
(A)f(1)(B)f(2)(C)f(3)(D)f(3)

5.函數f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有極大值又有極小值,則a的取值范圍是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有極大值,又有極小值,則f′(x)=0 有兩個不等的實根,
即Δ=(6a) 2-4×3×3(a+2)>0,a2-a-2>0,
解得a>2或a<-1.
答案:{aa<-1或a>2}
6.（2009?馬鞍山模擬）由直線x=1,x=2,曲線y=sinx及x軸所圍圖形的面積為_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函數
(1)求 的導數 ;
(2)求證:不等式sin3x＞x3cosx在(0, ]上恒成立;
(3)求 的最大值.


9.（2009?馬鞍山模擬）已知函數f(x)= x2-alnx,

（1）若函數f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值；
（2）若函數f(x)在(1,+∞)上是增函數，求 實數a的取值范圍;
（3）討論方程f(x)=0解的個數，并說明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直線y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.


10.（2009?蕪湖模擬）若存在實常數k和b，使得函數f(x)和g(x)對其定義域上的任意實數x分別滿足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l：y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e為自然對數的底數).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的極值;
(2)函數h(x)和φ(x)是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由.


11.（2009?山東高考）已知函數f(x)= ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)當a,b滿足什么條件時，f(x)取得極值?
(2)已知a>0.且f(x)在區間(0,1］上單調遞增，試用a表示出b的取值范圍.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得極值,方程ax2+2bx+1=0必須有解，其中Δ=4b2-4a.
當Δ=(2b)2-4a≤0時無極值.
當Δ=(2b)2-4a>0，即b2>a時.
f′(x)=ax2+2bx+1=0有兩個不同的解，即

因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①當a＞0時,f(x),f’(x)隨x的變化情況如下表:

由此表可知f(x)在點x1,x2處分別取得極大值和極小值.
②當a＜0時, f(x),f’(x)隨x的變化情況如下表:

由此表可知f(x)在點x1,x2處分別取得極大值和極小值.
綜上所述,當a和b滿足b2＞a時,f(x)能取得極值.

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