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第25－29課時： 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題型與方法
一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：
1．了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)．掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念．了解曲線的切線的概念．在了解瞬時速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念．
2．熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e , a , lnx, log x的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個函數(shù)的最大(小)值的問題，掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用．
3．了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則。能正確運用函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
4．了解復(fù)合函數(shù)的概念。會將一個函數(shù)的復(fù)合過程進行分解或?qū)�幾個函數(shù)進行復(fù)合。掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并會用法則解決一些簡單問題。
二．考試要求：
⑴了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。
⑵熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x (m為有理數(shù))，sin x, cos x, e , a ,lnx, log x的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
⑶了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可導(dǎo)函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)要極值點兩側(cè)異號），會求一些實際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。
三．教學(xué)過程：
（Ⅰ）基礎(chǔ)知識詳析
導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實際問題的有力工具。在高中階段對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾個方面:
1．導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：
（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細微）；
（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；
（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于 次多項式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。
2．關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。
3．導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意。
4．曲線的切線
在初中學(xué)過圓的切線，直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點叫做切點．圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點時，直線叫做曲線過該點的切線，顯然這種推廣是不妥當(dāng)?shù)模�如圖3—1中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx．直線 與曲線C有惟一公共點M，但我們不能說直線 與曲線C相切；而直線 盡管與曲線C有不止一個公共點，我們還是說直線 是曲線C在點N處的切線．因此，對于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義．所以課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線．

5．瞬時速度
在高一物理學(xué)習(xí)直線運動的速度時，涉及過瞬時速度的一些知識，物理教科書中首先指出：運動物體經(jīng)過某一時刻(或某一位置)的速度叫做瞬時速度，然后從實際測量速度出發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對瞬時速度作了說明．物理課上對瞬時速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬時速度．
6．導(dǎo)數(shù)的定義
導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時，都是以此為依據(jù)．
對導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點：
(1)△x是自變量x在 處的增量(或改變量)．
(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果△x→0時， 有極限，那么函數(shù)y=f(x)在點 處可導(dǎo)或可微，才能得到f(x)在點 處的導(dǎo)數(shù)．
(3)如果函數(shù)y=f(x)在點 處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點 處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知)．反之不一定成立．例如函數(shù)y=x在點x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo)．
由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個步驟進行：
(1)求函數(shù)的增量 ；
(2)求平均變化率 ；
(3)取極限，得導(dǎo)數(shù) 。
7．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在點 處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點 處的切線的斜率．由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．具體求法分兩步：
(1)求出函數(shù)y=f(x)在點 處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點 處的切線的斜率；
(2)在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為

特別地，如果曲線y=f(x)在點 處的切線平行于y軸，這時導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為
8．和（或差）的導(dǎo)數(shù)
對于函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，如何求呢？我們不妨先利用導(dǎo)數(shù)的定義來求。


我們不難發(fā)現(xiàn) ，即兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和。
由此我們猜測在一般情況下結(jié)論成立。事實上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個函數(shù)的和（或差）的求導(dǎo)法則。
9．積的導(dǎo)數(shù)
兩個函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的證明是本節(jié)的一個難點，證明過程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。（具體過程見課本P120）
說明：
（1） ；
（2）若c為常數(shù)，則(cu) ′=cu′。
10．商的導(dǎo)數(shù)
兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，課本中未加證明，只要求記住并能運用就可以。現(xiàn)補充證明如下：
設(shè)


因為v(x)在點x處可導(dǎo)，所以它在點x處連續(xù)，于是△x→0時，v(x+△x)→v(x)，從而 即 。
說明：（1） ； （2）
學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。
11. 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系
㈠ 與 為增函數(shù)的關(guān)系。
能推出 為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，但 ，∴ 是 為增函數(shù)的充分不必要條件。
㈡ 時， 與 為增函數(shù)的關(guān)系。
若將 的根作為分界點，因為規(guī)定 ，即摳去了分界點，此時 為增函數(shù)，就一定有 。∴當(dāng) 時， 是 為增函數(shù)的充分必要條件。
㈢ 與 為增函數(shù)的關(guān)系。
為增函數(shù)，一定可以推出 ，但反之不一定，因為 ，即為 或 。當(dāng)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ，則 為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。∴ 是 為增函數(shù)的必要不充分條件。
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。
㈣單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知
（1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù)
（3）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間
（4）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間
我們在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時一定要搞清以下三個關(guān)系，才能準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。
㈤函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并
函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù) 在 單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞增，又知函數(shù)在 處連續(xù)，因此 在 單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個區(qū)間。

（1） 恒成立 ∴ 為 上
∴ 對任意 不等式 恒成立
（2） 恒成立 ∴ 在 上
∴ 對任意 不等式 恒成立
㈥注意事項
1．導(dǎo)數(shù)概念的理解．
2．利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值．
復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點與難點內(nèi)容。課本中先通過實例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來對法則進行了證明。
對于復(fù)合函數(shù)，以前我們只是見過，沒有專門定義和介紹過它，課本中以描述性的方式對復(fù)合函數(shù)加以直觀定義，使我們對復(fù)合函數(shù)的的概念有一個初步的認(rèn)識，再結(jié)合以后的例題、習(xí)題就可以逐步了解復(fù)合函數(shù)的概念。
3．要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點：
（1）熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。
（2）對于一個復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對哪個變量求導(dǎo)。
4．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個步驟進行：
（1）適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；
（2）分步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)）；
（3）把中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。
也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo) ，中間變量對自變量求導(dǎo) ；最后求 ，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解——求導(dǎo)——回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。
（Ⅱ） 范例分析
例1． 在 處可導(dǎo)，則
思路： 在 處可導(dǎo)，必連續(xù) ∴
∴

例2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限：
（1） ； （2）
分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在 處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。
解：（1）

（2）

說明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。

例3．觀察 ， ， ，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。
解：若 為偶函數(shù) 令


∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)
另證：
∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)

例4．（1）求曲線 在點（1，1）處的切線方程；
（2）運動曲線方程為 ，求t=3時的速度。
分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在 處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點 處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導(dǎo)數(shù)。
解：（1） ，
，即曲線在點（1，1）處的切線斜率k=0
因此曲線 在（1，1）處的切線方程為y=1
（2）

。

例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1） 時
∴ ，
（2） ∴ ，
（3）
∴
∴ ， ，
（4） 定義域為


例6．求證下列不等式
（1）
（2）
（3）
證：（1）
∴ 為 上 ∴ 恒成立
∴

∴ 在 上 ∴ 恒成立
（2）原式 令

∴ ∴
∴
（3）令

∴
∴

例7．利用導(dǎo)數(shù)求和：
（1） ；
（2） 。
分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式 ，可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷。
解：（1）當(dāng)x=1時，
；
當(dāng)x≠1時，
∵ ，
兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得

即
（2）∵ ，
兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得 。
令x=1得
，
即 。

例8．求滿足條件的
（1）使 為 上增函數(shù)
（2）使 為 上……
（3）使 為 上
解：（1） ∴
時 也成立 ∴
（2） 時 也成立 ∴
（3）

例9．（1） 求證
（2） 求證
（1）證：令 ∴
原不等式 令 ∴
∴ ∴
∴ 令 ∴
∴
∴ ∴ ∴
（2）令 上式也成立
將各式相加
即

例10．（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷，理工農(nóng)醫(yī)類19））
設(shè) ，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間.
分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力.
解： .
當(dāng) 時 .

（i）當(dāng) 時，對所有 ，有 .
即 ，此時 在 內(nèi)單調(diào)遞增.
（ii）當(dāng) 時，對 ，有 ，
即 ，此時 在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù) 在x=1處連續(xù)，因此，
函數(shù) 在（0，+ ）內(nèi)單調(diào)遞增
（iii）當(dāng) 時，令 ，即 .
解得 .
因此，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間
內(nèi)也單調(diào)遞增.
令 ，
解得 .
因此，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)單調(diào)遞減.
說明：本題用傳統(tǒng)作差比較法無法劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只有用導(dǎo)數(shù)才行，這是教材新增的內(nèi)容。其理論依據(jù)如下（人教版試驗本第三冊P148）：
設(shè)函數(shù) 在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 ，則 為增函數(shù)；如果 ，則 為減函數(shù)。如果 ，則 為常數(shù)。
例11．已知拋物線 與直線y=x+2相交于A、B兩點，過A、B兩點的切線分別為 和 。
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；
（2）求直線 與 的夾角。
分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。
解 （1）由方程組

解得 A(-2，0)，B(3，5)
（2）由y′=2x，則 ， 。設(shè)兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式，
所以
說明：本例中直線與拋物線的交點處的切線，就是該點處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。

例12．（2001年天津卷）設(shè) ， 是 上的偶函數(shù)。
（I）求 的值；
（II）證明 在 上是增函數(shù)。
解：（I）依題意，對一切 有 ，即 ，
∴ 對一切 成立，
由此得到 ， ，
又∵ ，∴ 。
（II）證明：由 ，得 ，
當(dāng) 時，有 ，此時 。
∴ 在 上是增函數(shù)。
例13．（2000年全國、天津卷）設(shè)函數(shù) ，其中 。
（I）解不等式 ；
（II）證明：當(dāng) 時，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)。
解1：（I）分類討論解無理不等式（略）。

（II）作差比較（略）。
解2：
（i）當(dāng) 時，有 ，此時 ，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞減函數(shù)。但 ，因此，當(dāng)且僅當(dāng) 時， 。
（ii）當(dāng) 時，解不等式 ，得 ， 在區(qū)間 上是單調(diào)遞減函數(shù)。
解方程 ，得 或 ，
∵ ，
∴當(dāng)且僅當(dāng) 時， ，
綜上，（I）當(dāng) 時，所給不等式的解集為： ；
當(dāng) 時，所給不等式的解集為： 。
（II）當(dāng)且僅當(dāng) 時，函數(shù) 在區(qū)間 上時單調(diào)函數(shù)。

例14．（2002年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課程卷理科類20））
已知 ，函數(shù) 設(shè) ，記曲線 在點 處的切線為 。
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）設(shè) 與 軸的交點為 ，證明：① ②若 ，則
解：（1） 的導(dǎo)數(shù) ，由此得切線 的方程
，
（2）依題得，切線方程中令 ，得
，其中 ，
（?）由 ， ，有 ，及 ，
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng) 時， 。
（?）當(dāng) 時， ，因此， ，且由（?）， ，
所以 。

例15．（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷21））
已知 為正整數(shù).
（Ⅰ）設(shè) ；
（Ⅱ）設(shè)
分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識，考查綜合運用所數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。
證明：（Ⅰ）因為 ，
所以
（Ⅱ）對函數(shù) 求導(dǎo)數(shù):

∴

即對任意

（Ⅲ）、強化訓(xùn)練
1．設(shè)函數(shù)f(x)在 處可導(dǎo)，則 等于 （ ）
A． B． C． D．
2．若 ，則 等于 （ ）
A． B． C．3 D．2
3．曲線 上切線平行于x軸的點的坐標(biāo)是 （ ）
A．（-1，2） B．（1，-2） C．（1，2） D．（-1，2）或（1，-2）
4．若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-sinx，則函數(shù)圖像在點（4，f（4））處的切線的傾斜角為（ ）
A．90° B．0° C．銳角 D．鈍角
5．函數(shù) 在[0，3]上的最大值、最小值分別是 （ ）
A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16
6．一直線運動的物體，從時間t到t+△t時，物體的位移為△s，那么 為（ ）
A．從時間t到t+△t時，物體的平均速度
B．時間t時該物體的瞬時速度
C．當(dāng)時間為△t 時該物體的速度
D．從時間t到t+△t時位移的平均變化率
7．關(guān)于函數(shù) ，下列說法不正確的是 （ ）
A．在區(qū)間（ ，0）內(nèi)， 為增函數(shù)
B．在區(qū)間（0，2）內(nèi)， 為減函數(shù)
C．在區(qū)間（2， ）內(nèi)， 為增函數(shù)
D．在區(qū)間（ ，0） 內(nèi)， 為增函數(shù)
8．對任意x，有 ，f(1)=-1，則此函數(shù)為 （ ）
A． B． C． D．
9．函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值與最小值分別是 （ ）
A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16
10．設(shè)f(x)在 處可導(dǎo)，下列式子中與 相等的是 （ ）
（1） ； （2） ；
（3） （4） 。
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
11．（2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷理工農(nóng)醫(yī)類16））
f( )是定義在區(qū)間[－c,c]上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（ ）=af（ ）+b，則下
列關(guān)于函數(shù)g（ ）的敘述正確的是（ ）
A．若a<0,則函數(shù)g（ ）的圖象關(guān)于原點對稱.
B．若a=－1，－2C．若a≠0,b=2,則方程g（ ）=0有兩個實根.
D．若a≥1,b<2,則方程g（ ）=0有三個實根.
12．若函數(shù)f(x)在點 處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對應(yīng)的曲線在點 處的切線方程是_____________。
13．設(shè) ，則它與x軸交點處的切線的方程為______________。
14．設(shè) ，則 _____________。
15．垂直于直線2x-6y+1=0，且與曲線 相切的直線的方程是________．
16．已知曲線 ，則 _____________。
17．y=x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是
18．曲線 在點 處的切線方程為____________。
19．P是拋物線 上的點，若過點P的切線方程與直線 垂直，則過P點處的切線方程是____________。
20．在拋物線 上依次取兩點，它們的橫坐標(biāo)分別為 ， ，若拋物線上過點P的切線與過這兩點的割線平行，則P點的坐標(biāo)為_____________。
21．曲線 在點A處的切線的斜率為3，求該曲線在A點處的切線方程。
22．在拋物線 上求一點P，使過點P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為 。
23．判斷函數(shù) 在x=0處是否可導(dǎo)。
24．求經(jīng)過點（2，0）且與曲線 相切的直線方程。
25．求曲線y=xcosx在 處的切線方程。

26．已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f'x=g'(x)，f(5)=30，求g(4).

27．已知曲線 與 。直線l與 、 都相切，求直線l的方程。

28．設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。
29．求曲線 在點 處的切線方程。
30．求證方程 在區(qū)間 內(nèi)有且僅有一個實根
31． 、 、 、 均為正數(shù) 且
求證：
32．（1）求函數(shù) 在x=1處的導(dǎo)數(shù)；
（2）求函數(shù) （a、b為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。

33．證明：如果函數(shù)y=f(x)在點 處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點 處連續(xù)。
34．（2002年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新課程卷文史類21））
已知 函數(shù) ，設(shè) ，記曲線 在點 處的切線為 。
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）設(shè) 與 軸的交點為 ，證明：① ；②若 ，則 。

（Ⅳ）、參考答案
1－5 CBDCA； 6－10 BDBAB； 11 B
12． 13．y=2(x-1)或y=2(x+1)
14．-6 15．3x+y+6=0 16．
17．(-∞,-2)與(0,+ ∞) 18．
19．2x-y-1=0 20．（2，4）
21．由導(dǎo)數(shù)定義求得 ，
令 ，則x=±1。
當(dāng)x=1時，切點為（1，1），所以該曲線在（1，1）處的切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0；
當(dāng)x=-1時，則切點坐標(biāo)為（-1，-1），所以該曲線在（-1，-1）處的切線方程為y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。

22．由導(dǎo)數(shù)定義得f′(x)=2x，設(shè)曲線上P點的坐標(biāo)為 ，則該點處切線的斜率為 ，根據(jù)夾角公式有
解得 或 ， 由 ，得 ；
由 ，得 ； 則P（-1，1）或 。

23． ，
，
∵ ，
∴ 不存在。
∴函數(shù)f(x)在x=0處不可導(dǎo)。

24．可以驗證點（2，0）不在曲線上，故設(shè)切點為 。
由
，
得所求直線方程為
。
由點（2，0）在直線上，得 ，
再由 在曲線上，得 ，
聯(lián)立可解得 ， 。所求直線方程為x+y-2=0。

25．Y’=x'cosx+x?(cosx)'=cosx-xsinx
，切點為 ，
∴切線方程為： 即 。

26解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d)
∴
=2x+a =2x+c ∴a=c ③
又知52+5a+b=30 ∴5a+b=5 ④
由①③知a=c=2. 依次代入④、②知b=－5，
d=－ g(4)=42+2×4－ =23
27．解：設(shè)l與 相切于點 ，與 相切于 。對 ，則與 相切于點P的切線方程為 ，即 。 ①
對 ，則與 相切于點Q的切線方程為 ，即 。 ②
∵ 兩切線重合，∴ ，
解得 或 ，
∴直線方程為y=0或y=4x-4。

28．解：
∴

令x=1得


29．解： ，則
。
∴切線方程為 即5x+32y-7=0。
30解：
在
∴ 在 內(nèi)與 軸有且僅有一個交點
∴ 方程 在 內(nèi)僅有一解

31．證：由對稱性不妨設(shè)
（1）若 顯然成立
（2）若 設(shè)
∴


∵ ∴ ∴ 時
∴ ∴

32．分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法。
解（1） ，
， ∴ 。
（2）

∴y′=2x+a
說明 應(yīng)熟練掌握依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的三個步驟。

33．分析：從已知和要證明的問題中去尋找轉(zhuǎn)化的方法和策略，要證明f(x)在點 處連續(xù)，必須證明 ，由于函數(shù)f(x)在點 處可導(dǎo)，因此根據(jù)函數(shù)在點 處可導(dǎo)的定義，逐步實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)化。
已知： 求證：
證明：考慮 ，令 ，則 ，等價于△x→0，于是

∴函數(shù)f(x)在點 處連續(xù)。
說明：函數(shù)f(x)在點 處連續(xù)、有極限以及導(dǎo)數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是：導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù) 有極限。反之則不一定成立，例如y=x在點x=0處有極限且連續(xù)，但導(dǎo)數(shù)不存在。

34．解：（1） 的導(dǎo)數(shù) ，由此得切線 的方程
，
（2）依題意，在切線方程中令 ，得 ，
（?） ，
∴ ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等成立。
（?）若 ，則 ， ，且由（?） ，

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