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高中數學復習講義 第八章 直線和圓的方程
【知識圖解】

【方法點撥】
1．掌握直線的傾斜角，斜率以及直線方程的各種形式，能正確地判斷兩直線位置關系，并能熟練地利用距離公式解決有關問題．注意直線方程各種形式應用的條件．了解二元一次不等式表示的平面區域，能解決一些簡單的線性規劃問題．
2.掌握關于點對稱及關于直線對稱的問題討論方法,并能夠熟練運用對稱性來解決問題.
3．熟練運用待定系數法求圓的方程．
4．處理解析幾何問題時，主要表現在兩個方面：(1)根據圖形的性質，建立與之等價的代數結構;(2)根據方程的代數特征洞察并揭示圖形的性質．
5．要重視坐標法，學會如何借助于坐標系，用代數方法研究幾何問題，體會這種方法所體現的數形結合思想．
6.要善于綜合運用初中幾何有關直線和圓的知識解決本章問題；還要注意綜合運用三角函數、平面向量等與本章內容關系比較密切的知識．

第1課　直線的方程
【考點導讀】
理解直線傾斜角、斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的幾種形式，能根據條件，求出直線的方程．
高考中主要考查直線的斜率、截距、直線相對坐標系位置確定和求在不同條件下的直線方程，屬中、低檔題，多以填空題和選擇題出現，每年必考.
【基礎練習】
1.直線xcosα＋ y＋2＝0的傾斜角范圍是
2.過點 ，且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是
3.直線l經過點（3，-1），且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，則直線l的方程為
4.無論 取任何實數，直線 必經過一定點P，則P的坐標為（2，2）
【范例導析】
例1.已知兩點A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直線AB的斜率k；
（2）求直線AB的方程；
（3）已知實數m ，求直線AB的傾斜角α的取值范圍．
分析：運用兩點連線的子斜率公式解決，要注意斜率不存在的情況.
解:（1）當m=－1時，直線AB的斜率不存在．
當m≠－1時， ，
（2）當m=－1時，AB：x=－1，
當m≠1時，AB： .
（3）①當m=－1時， ；
②當m≠－1時，
∵
∴
故綜合①、②得，直線AB的傾斜角
點撥：本題容易忽視對分母等于0和斜率不存在情況的討論.
例2.直線l過點P(2,1),且分別交x軸、y軸的正半軸于點A、B、O為坐標原點.
(1)當△AOB的面積最小時,求直線l的方程;
(2)當PA?PB取最小值時,求直線l的方程.
分析： 引進合適的變量,建立相應的目標函數,通過尋找函數最值的取得條件來求l的方程.
解 （1）設直線l的方程為y-1=k(x-2),則點A(2- ,0),B(0,1-2k),且2- >0, 1-2k>0,即k<0.
△AOB的面積S= (1-2k)(2- )= [(-4k)+ +4]≥4,當-4k= ,即k= 時, △AOB的面積有最小值4,則所求直線方程是x+2y-4=0.
(2)解法一:由題設,可令直線方程l為y-1=k(x-2).
分別令y=0和x=0,得A(2- ,0),B(0,1-2k),
∴PA?PB= ,當且僅當k2=1,即k=±1時, PA?PB取得最小值4.又k<0, ∴k=-1,這是直線l的方程是x+y-3=0.
解法二:如下圖,設∠BAO=θ,由題意得θ∈(0, ),且PA?PB=
當且僅當θ= 時, PA?PB取得最小值4,此時直線l的斜率為-1, 直線l的方程是x+y-3=0.






點評 ①求直線方程的基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數法求直線的基本量.②在研究最值問題時，可以從幾何圖形開始，找到取最值時的情形，也可以從代數角度出發，構建目標函數，利用函數的單調性或基本不等式等知識來求最值.
例3.直線l被兩條直線l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的線段中點為P（－1，2）.求直線l的方程.
分析 本題關鍵是如何使用好中點坐標，對問題進行適當轉化.
解：解法一 設直線l交l1于A（a，b），則點（－2－a，4－b）必在l2，所以有
，解得
直線l過A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.
解法二 由已知可設直線l與l1的交點為A（－1＋m，2＋n），則直線l與l2的交點為B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝ ，∵A,B兩點分別l1和l2上，∴ ，消去常數項得－3m＝n，所以k＝－3，
從而直線l的方程為3x＋y＋1＝0.
解法三 設l1、l2與l的交點分別為A,B，則l1關于點P（－1，2）對稱的直線m過點B，利用對稱關系可求得m的方程為4x＋y＋1＝0，因為直線l過點B，故直線l的方程可設為3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直線l點P（－1，2），所以可求得λ＝－18，從而l的方程為3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.
點評 本題主要復習有關線段中點的幾種解法，本題也可以先設直線方程，然后求交點，再根據中點坐標求出直線l的斜率，但這種解法思路清晰，計算量大，解法一和解法二靈活運用中點坐標公式，使計算簡化，對解法二還可以用來求已知中點坐標的圓錐曲線的弦所在直線方程，解法三是利用直線系方程求解，對學生的思維層次要求較高。

【反饋練習】
1.已知下列四個命題①經過定點P0(x0,y0)的直線都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；②經過任意兩個不同點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不經過原點的直線都可以用方程 + ＝1表示；④經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx+b表示，其中正確的是①③④
2.設直線l的方程為 ,當直線l的斜率為-1時，k值為__5__,當直線l 在x軸、y軸上截距之和等于0時，k值為1或3

3.設直線 ax+by+c=0的傾斜角為 ，且sin +cos =0，則a,b滿足的關系式為
4.若直線l：y＝kx 與直線2x＋3y－6＝0的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是
5.若直線4x-3y-12＝0被兩坐標軸截得的線段長為 ，則c的值為
6．若直線(m2─1)x─y─2m+1=0不經過第一象限，則實數m的取值范圍是
7.已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點為P（2，3），求過兩點Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直線方程
分析：利用點斜式或直線與方程的概念進行解答
解：∵P（2，3）在已知直線上，∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即 =－ ∴所求直線方程為y－b1=－ （x－a1）
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0
點撥：1.由已知求斜率; 2.運用了整體代入的思想，方法巧妙.

8.一條直線經過點P（3，2），并且分別滿足下列條件，求直線方程：
（1）傾斜角是直線x－4y+3=0的傾斜角的2倍；
（2）與x、y軸的正半軸交于A、B兩點，且△AOB的面積最小（O為坐標原點）
解：（1）設所求直線傾斜角為θ，已知直線的傾斜角為α，則θ＝2α，且tanα＝ ，tanθ＝tan2α＝ ，
從而方程為8x－15y+6=0
（2）設直線方程為 ＋ ＝1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得 ＋ ＝1≥2 ，得ab≥24，
從而S△AOB＝ ab≥12，
此時 ＝ ，∴k＝－ ＝－
點撥：此題（2）也可以轉化成關于a或b的一元函數后再求其最小值


第2課　兩條直線的位置關系
【考點導讀】
1.掌握兩條直線平行與垂直的條件，能根據直線方程判定兩條直線的位置關系，會求兩條相交直線的交點，掌握點到直線的距離公式及兩平行線間距離公式.
2.高考數學卷重點考察兩直線平行與垂直的判定和點到直線的距離公式的運用，有時考察單一知識點,有時也和函數三角不等式等結合，題目難度中等偏易.
【基礎練習】
1.已知過點A(-2，m)和B(m，4)的直線與直線2x+y-1=0平行，則m的值為-8
2.過點（－1，3）且垂直于直線x－2y+3=0的直線方程為2x+y－1=0
3.若三條直線 和 相交于一點，則k的值等于 .
【范例導析】
例1.已知兩條直線 :x+m2y+6=0, :(m-2)x+3my+2m=0，當m為何值時, 與
（1）相交；（2）平行；（3）重合？
分析：利用垂直、平行的充要條件解決.
解:當ｍ＝0時， ：x＋６＝０， ：x＝０，∴ ∥ ，
當ｍ＝2時， ：x＋４y＋６＝０， ：３y＋２＝０
∴ 與 相交；
當m≠０且m≠２時，由 得m＝－１或m＝３，由 得m＝3
故（１）當m≠－１且m≠３且m≠０時 與 相交。
（２）m＝－１或m＝０時 ∥ ，
（３）當m＝３時 與 重合。
點撥：判斷兩條直線平行或垂直時，不要忘了考慮兩條直線斜率是否存在.
例2.已知直線 經過點P（3，1），且被兩平行直線 ：x+y+1=0和 ：x+y+6=0截得的線段之長為5。求直線 的方程。
分析：可以求出直線 與兩平行線的交點坐標，運用兩點距離公式求出直線斜率
解法一：:若直線 的斜率不存在，則直線 的方程為x=3，此時與 、 的交點分別是A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的線段AB的長AB=-4+9=5，符合題意。若直線 的斜率存在，則設 的方程為y=k（x-3）+1，
解方程組 得A（ － ）
解方程組 得B（ ，－ ）
由AB=5得
+ =25，
解之，得k=0，即所求的直線方程為y=1。
綜上可知，所求 的方程為x=3或y=1。
解法二.設直線 與 、 分別相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。兩式相減，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②
聯立① ②，可得 或
由上可知，直線 的傾斜角為0°或90°，又由直線 過點P（3，1），故所求 的方程為x=3或y=1。
點撥：用待定系數法求直線方程時，要注意對斜率不存在的情況的討論.

【反饋練習】
1.已知直線 在 軸上的截距為1，且垂直于直線 ，則 的方程是
2.若直線 與 互相垂直，則 -3或1
3.若直線l1：ax+2y+6=0與直線l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，則a的值是___-1___.
4.已知 ，且點 到直線 的距離等于 ，則 等于
5. 經過直線 與 的交點，且平行于直線 的直線方程是3x+6y-2=0
6.線 過點 ， 過點 ， ∥ ，且 與 之間的距離等于5，求 與 的方程。
解： 與 的方程分別為：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0或x=5,x=0
7.已知!ABC的三邊方程分別為AB: ，BC: ，CA: .
求：（1）AB邊上的高所在直線的方程；（2）∠BAC的內角平分線所在直線的方程.
解：（1）AB邊上的高斜率為 且過點C，解方程組 得點C（ ，2）所以AB邊上的高方程為 .
（2）設P 為∠BAC的內角平分線上任意一點，則 解得 或 ，由圖形知 即為所求.

第3課　圓的方程
【考點導讀】
1.掌握圓的標準方程與一般方程，能根據問題的條件選擇適當的形式求圓的方程；理解圓的標準方程與一般方程之間的關系，會進行互化。
2.本節內容主要考查利用待定系數法求圓的方程，利用三角換元或數形結合求最值問題，題型難度以容易題和中檔題為主.
【基礎練習】
1.已知點A(3，－2)，B(－5，4)，以線段AB為直徑的圓的方程為(x + 1)2 + (y－1)2 = 25
2.過點A（1，－1）、B（－1，1）且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是（x－1）2＋（y－1）2＝4
3.已知圓C的半徑為2，圓心在 軸的正半軸上，直線 與圓C相切，則圓C的方程為
4.圓 與y軸交于A、B兩點，圓心為P，若∠APB=120°，則實數c值為_-11__
5.如果方程 所表示的曲線關于直線 對稱，那么必有__D=E__
【范例導析】
【例1】設方程 ，若該方程表示一個圓，求m的取值范圍及這時圓心的軌跡方程。
分析:配成圓的標準方程再求解
解：配方得： 該方程表示圓，則有 ，得 ，此時圓心的軌跡方程為 ，消去m，得 ，由 得x=m+3 所求的軌跡方程是 ，
注意：方程表示圓的充要條件，求軌跡方程時，一定要討論變量的取值范圍，如題中
變式1：方程 表示圓，求實數a的取值范圍，并求出其中半徑最小的圓的方程。
解：原方程可化為
當a 時，原方程表示圓。
又
當 ，所以半徑最小的圓方程為
例2 求半徑為4，與圓 相切，且和直線 相切的圓的方程．
分析：根據問題的特征，宜用圓的標準方程求解．
解：則題意，設所求圓的方程為圓 ．
圓 與直線 相切，且半徑為4，則圓心 的坐標為 或 ．
又已知圓 的圓心 的坐標為 ，半徑為3．
若兩圓相切，則 或 ．
(1)當 時， ，或 (無解)，故可得 ．
∴所求圓方程為 ，或 ．
(2)當 時， ，或 (無解)，故 ．
∴所求圓的方程為 ，或 ．

【反饋練習】
1.關于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一個圓的充要條件是B=0且A=C≠0,D2+E2-4AF＞0
2.過點P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三點的圓的圓心坐標是(5，-1)
3.若兩直線y=x+2k與y=2x+k+1的交點P在圓x2+y2=4的內部，則k的范圍是
4.已知圓心為點（2，-3），一條直徑的兩個端點恰好落在兩個坐標軸上，則這個圓的方程是
5.直線y=3x+1與曲線x2+y2=4相交于A、B兩點，則AB的中點坐標是
6.方程 表示的曲線是_兩個半圓
7.圓 關于直線 的對稱圓的方程是
8.如果實數x、y滿足等式 ，那么 的最大值是
9.已知點 和圓 ，求一束光線從點A經x軸反射到圓周C的最短路程為___8___
10．求經過點A(5,2),B(3,2),圓心在直線2x─y─3=0上的圓的方程;
解：設圓心P(x0,y0),則有 ,
解得 x0=4, y0=5,
∴半徑r= ,
∴所求圓的方程為(x─4)2+(y─5)2=10
11. 一圓與y軸相切，圓心在直線x－3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2 ，求此圓的方程
解：因圓與y軸相切，且圓心在直線x－3y=0上，
故設圓方程為
又因為直線y=x截圓得弦長為2 ，
則有 + =9b2，
解得b=±1 故所求圓方程為
或
點撥:（1）確定圓方程首先明確是標準方程還是一般方程；（2）待定系數法;（3）盡量利用幾何關系求a、b、r或D、E、F.

第4課　直線與圓的位置關系
【考點導讀】
能利用代數方法和幾何方法判定直線與圓的位置關系；熟練運用圓的有關性質解決直線與圓、圓與圓的綜合問題，運用空間直角坐標系刻畫點的位置，了解空間中兩點間的距離公式及其簡單應用.
【基礎練習】
1.若直線4x-3y-2=0與圓x2+y2-2ax+4y+a2-12=0總有兩個不同交點，則a的取值范圍是-6＜a＜4
2.直線x-y+4=0被圓x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦長等于
3.過點P(2，1)且與圓x2+y2-2x+2y+1=0相切的直線的方程為 x=2或3x-4y-2=0 .
【范例導析】
例1.已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；
（2）求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.
分析：直線過定點，而該定點在圓內，此題便可解得.
（1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
由 得 即l恒過定點A（3，1）.
∵圓心C（1，2），｜AC｜＝ ＜5（半徑）， ∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交于兩點.
（2）解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC＝－ ， ∴l的方程為2x－y－5=0.
點撥:直線與圓相交截得弦長的最小值時,可以從垂徑定理角度考慮,充分利用圓的幾何性質.
例2.已知圓O: ，圓C: ，由兩圓外一點 引兩圓切線PA、PB，切點分別為A、B，滿足PA=PB.求實數a、b間滿足的等量關系.
解：連結PO、PC，∵PA=PB，OA=CB=1
∴PO2=PC2，從而
化簡得實數a、b間滿足的等量關系為: .
例3.已知圓C與兩坐標軸都相切，圓心C到直線 的距離等于 .
求圓C的方程.
解：設圓C半徑為 ，由已知得： ∴ ，或
∴圓C方程為 .
例4.如圖，在平面直角坐標系xOy中，平行于x軸且過點A(33，2)的入射光線l1被直線l：y=33x反射．反射光線l2交y軸于B點，圓C過點A且與l1, l2都相切.
(1)求l2所在直線的方程和圓C的方程；
(2)設P，Q分別是直線l和圓C上的動點，求PB+PQ的最小值及此時點P的坐標．


解：（1）直線 設 .
的傾斜角為 ， 反射光線 所在的直線方程為
. 即 .
已知圓C與 ,
圓心C在過點D且與 垂直的直線上， ,又圓心C在過點A且與 垂直的直線上， , ，圓C的半徑r=3，
故所求圓C的方程為 .
（2）設點 關于 的對稱點 ，則 ，得 ,固定點Q可發現，當 共線時， 最小，
故 的最小值為 .此時由 ,得 .


【反饋練習】
1.圓x2+y2-4x=0在點P(1, )處的切線方程為
2.已知直線 過點 ，當直線 與圓 有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是
3.設m>0,則直線 (x+y)+1+m=0與圓x2+y2=m的位置關系為相切或相離
解析：圓心到直線的距離為d= ,圓半徑為 .
∵d-r= - = (m-2 +1)= ( -1)2≥0,∴直線與圓的位置關系是相切或相離.
4.圓(x-3)2+(y-3)2=9上到直線3x+4y-11=0的距離等于1的點有個數為3
5.點P從(1,0)出發,沿單位圓 逆時針方向運動 弧長到達Q點,則Q的坐標為
6.若圓 與直線 相切，且其圓心在 軸的左側，則 的值為
7.設P為圓 上的動點，則點P到直線 的距離的最小值為 1 .
8.已知平面區域 恰好被面積最小的圓 及其內
部所覆蓋．
(1)試求圓 的方程.
(2)若斜率為1的直線 與圓C交于不同兩點 滿足 ,求直線 的方程.
解:(1)由題意知此平面區域表示的是以 構成的三角形及其內部,且△ 是直角三角形, 所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,故圓心是(2,1),半徑是 ,所以圓 的方程是 .
(2)設直線 的方程是: .
因為 ,
所以圓心 到直線 的距離是 ,
即
解得: .所以直線 的方程是: .



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