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2013年高考數學(理)押題精粹（課標版）
（30道選擇題+20道非選擇題）
一．選擇題（30道）
1.設集合 ， ，若 ，則 的值為（ ）
A．0 B．1 C． D．
2. 已知 是實數集，集合 ， ，則 ( )
A. B.
C. D.
3.已知i為虛數單位，則復數 等于（ ）
A．-1-iB．-1+iC．1+iD．1—i
4.復數 在復平面上對應的點不可能位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5. “ ”是“方程 表示焦點在y軸上的橢圓”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6.若命題“ R，使得 ”為假命題，則實數m的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）
7.一個算法的程序框圖如右，則其輸出結果是（ ）
A.0 B.
C. D.
8.下面的程序框圖中，若輸出 的值為 ，則圖中應填上的條件為（ ）
A． 　B． C． D．
9.右圖是函數 在區間
上的圖象．為了得到這個函數的圖象，只需將
的圖象上所有的點（ ）
A．向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標
縮短到原來的 倍，縱坐標不變
B．向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
C．向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的 倍，縱坐標不變
D．向左平移 個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
10.已知 則 的值（　　）
A．隨著k的增大而增大
B．有時隨著k的增大而增大,有時隨著k的增大而減小
C．隨著k的增大而減小
D．是一個與k無關的常數
11.關于函數 的四個結論:
P1:最大值為 ;
P2:最小正周期為 ;
P3:單調遞增區間為 Z;
P4:圖象的對稱中心為 Z.其中正確的有（　　）
A．1 個B．2個C．3個D．4個
12. 是兩個向量， ， ，且 ，則 與 的夾角為（ ）
（A） （B） （C） （D）
13.已知a,b是兩個互相垂直的單位向量,且c?a=c?b=1,,則對任意正實數t, 的最小值是（　　）
A． B． C． D．
14.一個幾何體的三視圖如右圖所示，則它的體積為（ ）
A． B．
15．正方形 的邊長為 ,中心為 ,球 與正方形 所在平面相切于 點,過點 的球的直徑的另一端點為 ,線段 與球 的球面的交點為 ,且 恰為線段 的中點,則球 的體積為（　　）
A． B． C． D．
16.不等式組 表示面積為1的直角三角形區域，則 的值為（ ）
Ａ. B. C. D.
17.設函數 ， . 若當 時，不等式 恒成立，則實數 的取值范圍是 （ ）.
A. B. C. D.
18、一個盒子里有3個分別標有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個，記下它的標號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標號最大值是3的取法有（ ）
A.12種 B. 15種 C. 17種 D.19種
19、二項式 的展開式中常數項是（ ）
A．28 B．-7 C．7 D．-28
20、高三畢業時，甲，乙，丙等五位同學站成一排合影留念，已知甲，乙相鄰，則甲丙相鄰的概率為（ ）
　　　A. 　　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
一、 某苗圃基地為了解基地內甲、乙兩塊地種植的同一種
樹苗的長勢情況，從兩塊地各隨機抽取了10株樹苗測
量它們的高度，用莖葉圖表示上述兩組數據，對兩塊地
抽取樹苗的高度的平均數 和中位數 進行比
較，下面結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
22、公差不為0的等差數列{ }的前21項的和等于前8項的和．若 ，則k＝（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
23、已知數列 為等比數列， ， ，則 的值為（ ）
A． B． C． D．
24. 已知 分別是雙曲線 的左、右焦點,過 且垂直于 軸的直線與雙曲線交于 兩點,若 是銳角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
25．圓 －2x＋my－2＝0關于拋物線 ＝4y的準線對稱，則m的值為（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
26．已知拋物線 的焦點到準線的距離為 , 且 上的兩點 關于直線 對稱, 并且 , 那么 =（　　）
A． B． C．2D．3
27．如果函數 圖像上任意一點的坐標 都滿足方程 ，那么正確的選項是（ ）
(A) 是區間（0， ）上的減函數，且
(B) 是區間（1， ）上的增函數，且
(C) 是區間（1， ）上的減函數，且
(D) 是區間（1， ）上的減函數，且
28．定義在R上的奇函數 ，當 ≥0時， 則關于 的函數 （0＜ ＜1）的所有零點之和為（ ）
（A）1- （B） （C） （D）
29． 的展開式中, 的系數等于40,則 等于（　　）
A． B． C．1D．
30．已知函數 ,
,設函數 ，
且函數 的零點均在區間 內，則 的最小值為（ ）
A． B． 　 C． D．
二．填空題（8道）
31.已知A ,B(0,1)),坐標原點O在直線AB上的射影為點C,則 = .
32.在 的展開式中，含 項的系數是________.（用數字作答）
33.若實數 、 滿足 ，且 的最小值為 ，則實數 的值為__
34.已知四 面體 的 外接球的球心 在 上,且 平面 , , 若四面體 的體積為 ,則該球的體積為_____________
35.已知 是曲線 與 圍成的區域，若向區域 上隨機投一點 ，則點 落入區域 的概率為 ．
36.公比為4的等比數列 中,若 是數列 的前 項積,則有 也成等比數列,且公比為 ；類比上述結論，相應的在公差為3的等差數列 中，若 是 的前 項和，則有一相應的等差數列，該等差數列的公差為_____________.
37.在 中,角 所對的邊分別為 ,且 ,當 取最大值時,角 的值為_______________
38.已知拋物線 的準線為 ,過點 且斜率為 的直線與 相交于點 ,與 的一個交點為 ,若 ,則 等于____________
三．解答題（12道）
39、 中， ， ， 分別是角 的對邊，向量 ， , ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的值．
40、已知等差數列 的首項 ，公差 ．且 分別是等比數列 的 ．
（Ⅰ）求數列 與 的通項公式；
（Ⅱ）設數列 對任意自然數 均有 … 成立，求 … 的值.
41、一次考試中，五名同學的數學、物理成績如下表所示：
學生
（1）請在直角坐標系中作出這些數據的散點圖，并求出這些數據的回歸方程；
（2）要從 名數學成績在 分以上的同學中選 人參加一項活動，以 表示選中的同學的物理成績高于 分的人數，求隨機變量 的分布列及數學期望 的值．
42、十一黃金周，記者通過隨機詢問某景區110名游客對景區的服務是否滿意，得到如下的列聯表：性別與對景區的服務是否滿意　單位：名
男女總計
滿意503080
不滿意102030
總計6050110
(1)從這50名女游客中按對景區的服務是否滿意采取分層抽樣，抽取一個容量為5的樣本，問樣本中滿意與不滿意的女游客各有多少名？
(2)從(1)中的5名女游客樣本中隨機選取兩名作深度訪談，求選到滿意與不滿意的女游客各一名的概率；
(3)根據以上列聯表，問有多大把握認為“游客性別與對景區的服務滿意”有關
附：
P( )
0.0500.0250.0100.005
3.8415.0246.6357.879
43、如圖在四棱錐 中,底面 是邊長為 的正方形,側面 底面 ，且 ,設 、 分別為 、 的中點．
(Ⅰ) 求證： //平面 ；
(Ⅱ) 求證：面 平面 ；
(Ⅲ) 求二面角 的正切值．
44、已知橢圓 : 的焦距為 ,離心率為 ,其右焦點為 ,過點 作直線交橢圓于另一點 .
(Ⅰ)若 ,求 外接圓的方程;
(Ⅱ)若過點 的直線與橢圓 相交于兩點 、 ，設 為 上一點，且滿足 （ 為坐標原點），當 時，求實數 的取值范圍.
45. 已知定點A(1，0), B為x軸負半軸上的動點，以AB為邊作菱形ABCD,使其兩對 角線的交點恰好落在y軸上.
(1)求動點D的軌跡五的方程.
(2)若四邊形MPNQ的四個頂點都在曲線E上，M，N關于x軸對稱，曲線E在M點處的切線為l，且PQ//l
①證明直線PN與QN的斜率之和為定值；
②當M的橫坐標為 ，縱坐標大于O, =60°時，求四邊形MPNQ的面積
46. 對于函數f（x）（x∈D），若x∈D時，恒有 ＞ 成立，則稱函數 是D上
的J函數．
（Ⅰ）當函數f（x）＝m lnx是J函數時，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若函數g（x）為（0，＋∞）上的J函數，
①試比較g（a）與 g（1）的大小；
②求證：對于任意大于1的實數x1，x2，x3，…，xn，均有
g（ln（x1＋x2＋…＋xn））＞g（lnx1）＋g（lnx2）＋…＋g（lnxn）．
47. 設函數 ， ．
(Ⅰ)討論函數 的單調性；
(Ⅱ）如果存在 ，使得 成立，求滿足上述條件的最大整數 ；
（Ⅲ）如果對任意的 ，都有 成立，求實數 的取值范圍．
48.選修4-1:幾何證明選講.
如圖，過圓E外一點A作一條直線與圓E交B,C兩點，且AB= AC,作直線AF與圓E相切于點F，連接EF交BC于點D,己知圓E的半徑為2， =30.
(1)求AF的長.
(2)求證：AD=3ED.
49. 在直角坐標系中,以原點為極點, 軸的正半軸為極軸建坐標系.已知曲線 ,已知過點 的直線 的參數方程為： ，直線 與曲線 分別交于 兩點.
（1）寫出曲線 和直線 的普通方程；
（2）若 成等比數列,求 的值．
50. 選修4-5：不等式選講
設
（1）當 ，求 的取值范圍；
（2）若對任意x∈R， 恒成立，求實數 的最小值．
2013年高考數學(理)押題精粹（課標版）
【參考答案與解析】
二．選擇題（30道）
1.【答案】A
2.【答案】D
【點評】:集合問題是高考必考內容之一，題目相對簡單.集合的表示法有列舉法、描述法、圖示法三種，高考中與集合的運算相結合，不外乎上述幾種題型。側重考查簡單的不等式的有關知識。
3.【答案】A
【解析】 ，選A.
4.【答案】A
【點評】3、4題考查的是復數有關知識。復數主要內容有：復數的四則運算、復數的模、共軛復數、復平面、復數概念等，理科一般都只考簡單的復數乘除法運算，且比較常規化。
5.【答案】C
6.【答案】A
【點評】:上面5、6題是簡易邏輯的內容，簡易邏輯內容有：命題的或、且、非；四種命題；充分、必要條件；全稱命題和特稱命題。作為高考內容的重要組成部分，也是各省高考常見題型，特別是對充分、必要條件與全稱命題和特稱命題的考查。單獨考查簡易邏輯相關的概念不多見，按照近幾年高考真題的特點來講，結合其他知識點一同考查是總趨勢，
如5題。一般和不等式相結合的也時有出現，如6題。
7.【答案】C
8.【答案】B
【點評】7,8題考查的內容是程序框圖。程序框圖題型一般有兩種，一種是根據完整的程序框圖計算，如題7；一種是根據題意補全程序框圖，如題8.程序框圖一般與函數知識和數列知識相結合，一般結合數列比較多見，特別經過多年的高考，越來越新穎、成熟。
9. 【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】C
【點評】根據三角函數的圖像確定三角函數的解析式是綜合考察三角函數知識的掌握程度的重要手段，再結合三角函數圖象的平移問題，使得這種題型常考常新，作為中檔題是歷年高考考察的重點，如9題；三角函數求值是歷年高考的常考點，應用三角函數恒等變換化簡式子并引入參數是一種創新題型，知識的綜合程度較高，或許這種題型在未來幾年的高考中會出現，如10題；結合三角函數的恒等變換，綜合分析函數的性質，是對三角函數知識點的綜合考察，要求知識的掌握程度為中等，歷年高考對三角函數知識點的考察亦以中檔容易為主，如11題。
12.【答案】C
13.【答案】B
【點評】向量的數量積是高考的必考點，多以容易和中檔題目出現，常以求向量的模、夾角來考察該知識點，如12題；有時也以函數、解三角形或不等式結合綜合考察求最值問題，如13題。
14. 【答案】B
15．【答案】B
【點評】14題中，三視圖是新課標新增內容，在歷年高考中都成為各地高考試卷出題的必考內容，多以求體積或表面積為主，本知識著重考察空間想象力和計算求解能力；在立體幾何知識的考察中近幾年多以三視圖或與球結合的綜合問題，對球的考察以球的體積或表面積為問題設置點，利用空間線面關系確定相應一些數量求解，如15題。
16.【答案】D
17.【答案】A
【點評】不等式的考察中，有不等式的性質、線性規劃、基本不等式、簡易邏輯，常以函數、數列、向量相結合考察。16題中線性規劃求參數問題也許在未來的高考題中會同樣出現；17題中以函數相結合利用函數性質求參數的取值班范圍，也是高考在不等式知識點出題的熱點。
18.【答案】D
19.【答案】C
20.【答案】B
【答案】B
【點評】18、19、20、21題為排列組合及概率統計模塊，此模塊主要考查：頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本的數字特征、獨立性檢驗、幾何概型和古典概型、抽樣（特別是分層抽樣）、排列組合、二項式定理、幾個重要的分布等，每年會考其中之一，故應特別注意。
22.【答案】C
23、【答案】D
【點評】22、23題為數列模塊，如果不考大題，則會考兩個小題，小題以考查數列概念、性質、通項公式、前n項和公式等內容為主，屬中低檔題。
24.【答案】C新 課 標 第 一 網
25．【答案】B
26.【答案】A
【點評】解析幾何模塊主要考查：直線、圓及圓錐曲線的性質為主，一般結合定義，借助于圖形可容易求解，其中雙曲線幾乎是客觀題的必考內容,小題特別關注直線、圓、拋物線、雙曲線以及它們之間綜合.
27．【答案】C
28．【答案】A
29.【答案】A
30．【答案】C
解：函數的導數為 ，由 得 ，即函數的極小值為 ，所以 。當 時， ，又 ，所以在 上函數有且只有一個零點，即 在 上函數有且只有一個零點. ，由 得 ，即函數的極小值為 ，所以 。當 時， ，又 ， ， ，所以在 上函數 有且只有一個零點，即 在 上函數有且只有一個零點，又函數 的零點均在區間 內，所以 ，即 ，所以 的最小值為10，選C.
【點評】函數與導數模塊近幾年一般考查2-3個小題，主要考查分段函數、初等函數的性質、函數的圖象、函數的零點、以及導數應用等，多個知識點綜合考查是熱點.
三．填空題（8道）
31.【答案】
【解析】由題意知 . .所以 .
【點評】向量的填空題數量積是高考命題的一個重要方向，一般不是太難，重視基本運算。
32.【答案】15
【解析】∵ ，當 ，即 ，∴含 項的系數是
.
【點評】二項式定理多考常規題，難度不大，一定要記住公式. .
33.【答案】
【點評】線性規劃多考常規題，不過現在常規題型高考都考過了，加點難度。
34.【答案】
【點評】球的組合體是高考每年必考的知識點，題型不是選擇就是填空。
35.【答案】
【解析】由題知：此題是幾何概型問題，從而
點評：幾何概型是高考常考的題型，理科定積分和幾何概型組合考查也要引起注意。
36.【答案】300
【點評】推理與證明作為新課標的新增知識點，高考出現是必要的，此題考查了類比推理的應用。當然歸納推理也要掌握。
37.【答案】
【點評】解三角形是高考的重要組成部分，不在客觀題考查，就在解答題中出現，尤其2010年和2014年高考都作為填空題考查。解三角形所涉及的知識點要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等。
38.【答案】 2
【點評】2014年高考解答題考了拋物線，2013年解答題要考橢圓，填空題考查雙曲線或拋物線的定義性質。
三．解答題（12道）
39.【解析】
（1）
（2） ，
綜上
【點評】高考三角類解答題無非就是兩種，（1）三角函數題——考查三角函數的性質或圖像；（2）是解三角形，有點省份也會考解三角形的應用題。常常與向量結合出題。
40.【答案】（Ⅰ）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比數列
∴
∴
又∵ .　
　∴
（Ⅱ）∵ … ①
∴ 　即 ，又 … ②
①－②： 　
∴
∴
則 … …
【點評】新課標下對數列的考查要求降低，只對等差、等比數列通項和求和要求掌握。其中的一次些常規方法（錯位相減，倒序相加等）特別注意。
41. 【答案】（1）散點圖如右圖所示．
= = ，
= = ，
，
， ，
故這些數據的回歸方程是：
（2）隨機變量 的可能取值為 ， ，
； ；
故 的分布列為：
= + + =
42.【答案】
【點評】概率題主要考察莖葉圖、抽樣方法、直方圖、統計案例、線性回歸方程、概率、隨機變量的分布列以及數學期望等基礎知識，試題多考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的能力，數據處理能力和應用意識。這里將其兩兩結合處理。
43.【答案】法一：
(Ⅰ)證明： 為平行四邊形
連結 ， 為 中點，
為 中點∴在 中 // 　
且 平面 ， 平面
∴
(Ⅱ)：因為面 面 　平面 面 　
為正方形， ， 平面
　所以 平面 　∴
又 ，所以 是等腰直角三角形，
且 　　　即
　 ，且 、 面 　　
面
又 面 　　面 面
(Ⅲ)設 的中點為 ,連結 , ,
則 由(Ⅱ)知 面 ,　
， 面 ， ，
是二面角 的平面角
中， 　
　故所求二面角的正切值為
法二：如圖,取 的中點 , 連結 , .
∵ , ∴ .
∵側面 底面 ,
,
∴ ,
而 分別為 的中點,∴ ,
又 是正方形,故 .
∵ ,∴ , .
以 為原點,直線 為 軸建立空間直線坐標系,
則有 , , , , , .
∵ 為 的中點, ∴
（Ⅰ）易知平面 的法向量為 而 ,
且 , ∴ //平面
(Ⅱ)∵ , ∴ ,
∴ ,從而 ,又 , ,
∴ ,而 ,
∴平面 平面 ．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 的法向量為 .
設平面 的法向量為 .∵ ,
∴由 可得 ,令 ,則 ,
故 ∴ ,
即二面角 的余弦值為 ,
所以二面角 的正切值為
【點評】空間幾何體的解答題一般以柱體或錐體為背景，考查線面、面面關系，空間角和距離等，主要用向量方法來處理。去年考的是柱體，今年預測為錐體。
44．【答案】(Ⅰ)由題意知： ， ，又 ，
解得： 橢圓 的方程為：
可得： ， ,設 ，則 ， ，
， ，即
由 ，或
即 ，或
①當 的坐標為 時， ， 外接圓是以 為圓心， 為半徑的圓，即
②當 的坐標為 時， ， ，所以 為直角三角形，其外接圓是以線段 為直徑的圓，圓心坐標為 ，半徑為 ，
外接圓的方程為
綜上可知： 外接圓方程是 ，或
(Ⅱ)由題意可知直線 的斜率存在.
設 ， ， ，
由 得：
由 得： （ ）
， 即
，結合（ ）得：
，
從而 ，
點 在橢圓上， ，整理得：
即 ， ，或
【點評】圓錐曲線大題一般以橢圓和拋物線為主，求標準方程、離心率為主，并結合向量、直線和其它知識點考查學生的綜合推理、運算能力。
45.【答案】
(1) 設 ，則由于菱形 的中心 在 軸上，頂點 在 軸上，所以 ， ，而 ，所以 ， .
又 ，所以 ，即 .
而 不可能在 軸上，所以頂點 的軌跡 的方程為 . (5分)
(2) ①設 ， ， (不妨令 )，則 ，
則 ，
同理 ， ，
而 ，
因為 ，所以 ，因此 即 ，
所以 ，即直線 與 的斜率之和為定值.
(8分)
② 因為 點橫坐標為 ，且縱坐標大于0，所以 ， .
由于 ，且 軸，所以 平分 ，
而 ，所以 ， .
從而直線 ，即 ；
直線 ，即 .
由 消去 并整理得 ，
所以 ，即 .
同理 消去 并整理得 .
所以 ，即 .
因此 為所求.
【點評】高考對圓錐曲線這部分主要考查直線與橢圓、直線與拋物線的綜合應用能力，本小題不僅涉及到軌跡的求法、而且涉及到直線與拋物線的相關知識以及圓錐曲線中面積求取知識的綜合知識. 本小題對考生的化歸與轉化思想、運算求解能力都有很高要求，符合作為壓軸題的特點.
46. 【答案】
（Ⅰ）由 ，可得 ，
因為函數 是 函數，所以 ，即 ，
因為 ，所以 ，即 的取值范圍為 .
（Ⅱ）①構造函數 ，
則 ，可得 為 上的增函數，
當 時， ，即 ，得 ；
當 時， ，即 ，得 ；
當 時， ，即 ，得 .
②因為 ，所以 ，
由①可知 ，
所以 ，整理得 ，
同理可得 ，…， .
把上面 個不等式同向累加可得
.
47.【答案】（Ⅰ） ， ，
① ，函數 在 上單調遞增，
② ， ，函數 的單調遞增區間為
，函數 的單調遞減區間為
（Ⅱ）存在 ，使得 成立
等價于： ，
考察 ， ，
0
遞減極（最）小值 遞增
由上表可知： ，
，
所以滿足條件的最大整數 ；
（Ⅲ）當 時， 恒成立
等價于 恒成立，
記 ，所以 ,
， .
記 ， ，
即函數 在區間 上遞增，
記 ， ，
即函數 在區間 上遞減，
取到極大值也是最大值
所以 。
另解 ， ，
由于 ， ,
所以 在 上遞減，
當 時， ， 時， ，
即函數 在區間 上遞增，
在區間 上遞減，
所以 ，所以 .
【點評】導數題似乎已經被默認高考解答題的最后一題（當然個別省份不是），一般以三次多項式函數、指數函數或對數函數為背景，考查導數在研究函數性質、研究不等式和方程問題中的綜合運用，考查點極為全面，像46、47題把三種函數背景都涵蓋在內，問題也作了相應創新，是很好的高考壓軸題。
48.【答案】 (1) 延長 交圓 于點 ，連結 ，則 ，
又 ， ，所以 ，
又 ，可知 .
所以根據切割線定理 ，即 .
(2) 過 作 于 ，則 與 相似，
從而有 ，因此 .
【點評】本小題主要考查平面幾何的證明，圖形背景新穎，具體涉及到切割線定理以及三角形相似等內容，重點考查考生對平面幾何推理能力.
49. 【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）直線 的參數方程為 （ 為參數）,
代入 , 得到
則有 .
因為 ，所以 ，解得 .
【點評】本小題主要考查極坐標與參數方程的相關知識，考查了極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、直線與曲線的位置關系以及點到直線的距離等知識內容同時。
50.【答案】（1）f(x)＝x－a≤3，即a－3≤x≤a＋3．依題意，a－3≤－1，a＋3≥3．
由此得a的取值范圍是[0，2]
（2）f(x－a)＋f(x＋a)＝x－2a＋x≥(x－2a)－x＝2a．
當且僅當(x－2a)x≤0時取等號．
解不等式2a≥1－2a，得a≥ 1 4．
故a的最小值為 1 4．
【點評】縱觀多年新課標高考題，絕大部分年份和省份的高考都以考查絕對值不等式的解法和性質為主，本小題不僅同時考查了絕對值不等式的解法和性質，并且題問作了相應的創新.


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