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第九章　圓錐曲線與方程

高考導航

考試要求重難點擊命題展望
1.了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；
2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質；
3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質；
4.了解圓錐曲線的簡單應用；
5.理解數形結合的思想；
6.了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系.　　本章重點：1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質；2.直線與圓錐曲線的位置關系問題；3.求曲線的方程或曲線的軌跡；4.數形結合的思想，方程的思想，函數的思想，坐標法.
本章難點：1.對圓錐曲線的定義及性質的理解和應用；2.直線與圓錐曲線的位置關系問題；3.曲線與方程的對應關系.　　圓錐曲線與函數、方程、不等式、三角形、平面向量等知識結合是高考常考題型.極有可能以一小一大的形式出現，小題主要考查圓錐曲線的標準方程及幾何性質等基礎知識、基本技能和基本方法運用；解答題常作為數學高考的把關題或壓軸題，綜合考查學生在數形結合、等價轉換、分類討論、邏輯推理等方面的能力.

知識網絡
　9.1　橢　圓

典例精析
題型一　求橢圓的標準方程
【例1】已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為453和
253，過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程.
【解析】由橢圓的定義知，2a＝453＋253＝25，故a＝5，
由勾股定理得，(453)2－(253)2＝4c2，所以c2＝53，b2＝a2－c2＝103，
故所求方程為x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.
【點撥】(1)在求橢圓的標準方程時，常用待定系數法，但是當焦點所在坐標軸不確定時，需要考慮兩種情形，有時也可設橢圓的統一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；
(2)在求橢圓中的a、b、c時，經常用到橢圓的定義及解三角形的知識.
【變式訓練1】已知橢圓C1的中心在原點、焦點在x軸上，拋物線C2的頂點在原點、焦點在x軸上.小明從曲線C1，C2上各取若干個點(每條曲線上至少取兩個點)，并記錄其坐標(x，y).由于記錄失誤，使得其中恰有一個點既不在橢圓C1上，也不在拋物線C2上.小明的記錄如下：

據此，可推斷橢圓C1的方程為　　　　　.
【解析】方法一：先將題目中的點描出來，如圖，A(－2,2)，B(－2，0)，C(0，6)，D(2，－22)，E(22，2)，F(3，－23).
通過觀察可知道點F，O，D可能是拋物線上的點.而A，C，E是橢圓上的點，這時正好點B既不在橢圓上，也不在拋物線上.
顯然半焦距b＝6，則不妨設橢圓的方程是x2m＋y26＝1，則將點
A(－2,2)代入可得m＝12，故該橢圓的方程是x212＋y26＝1.
方法二：欲求橢圓的解析式，我們應先求出拋物線的解析式，因為拋物線的解析式形式比橢圓簡單一些.
不妨設有兩點y21＝2px1，①y22＝2px2，②y21y22＝x1x2，
則可知B(－2，0)，C(0，6)不是拋物線上的點.
而D(2，－22)，F(3，－23)正好符合.
又因為橢圓的交點在x軸上，故B(－2，0)，C(0，6)不可能同時出現.故選用A(－2,2)，E(22，2)這兩個點代入，可得橢圓的方程是x212＋y26＝1.
題型二　橢圓的幾何性質的運用
【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°.
(1)求橢圓離心率的范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關.
【解析】(1)設橢圓的方程為x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，PF1＝m，PF2＝n，在△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2＝m2＋n2－2mncos 60°，
因為m＋n＝2a，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4a2－2mn，
所以4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.
又mn≤(m＋n2)2＝a2(當且僅當m＝n時取等號)，
所以4a2－4c2≤3a2，所以c2a2≥14，
即e≥12，所以e的取值范圍是[12，1).
(2)由(1)知mn＝43b2，所以 ＝12mnsin 60°＝33b2，
即△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關.
【點撥】橢圓中△F1PF2往往稱為焦點三角形，求解有關問題時，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時，要特別注意橢圓定義(或性質)與不等式的聯合使用，如PF1?PF2≤(PF1＋PF22)2，PF1≥a－c.
【變式訓練2】已知P是橢圓x225＋y29＝1上的一點，Q，R分別是圓(x＋4)2＋y2＝14和圓
(x－4)2＋y2＝14上的點，則PQ＋PR的最小值是　　　　.
【解析】設F1，F2為橢圓左、右焦點，則F1，F2分別為兩已知圓的圓心，
則PQ＋PR≥(PF1－12)＋(PF2－12)＝PF1＋PF2－1＝9.
所以PQ＋PR的最小值為9.
題型三　有關橢圓的綜合問題
【例3】(2010全國新課標)設F1，F2分別是橢圓E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，過F1斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點，且AF2，AB，BF2成等差數列.
(1)求E的離心率；
(2)設點P(0，－1)滿足PA＝PB，求E的方程.
【解析】(1)由橢圓定義知AF2＋BF2＋AB＝4a，
又2AB＝AF2＋BF2，得AB＝43a.
l的方程為y＝x＋c，其中c＝a2－b2.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標滿足方程組
化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，
則x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2)a2＋b2.
因為直線AB斜率為1，所以AB＝2x2－x1＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]，
即43a＝4ab2a2＋b2，故a2＝2b2，
所以E的離心率e＝ca＝a2－b2a＝22.
(2)設AB的中點為N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.
由PA＝PB?kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1?c＝3.
從而a＝32，b＝3，故E的方程為x218＋y29＝1.
【變式訓練3】已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的離心率為e，兩焦點為F1，F2，拋物線以F1為頂點，F2為焦點，P為兩曲線的一個交點，若PF1PF2＝e，則e的值是(　　)
A.32B.33C.22D.63
【解析】設F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，則橢圓左準線x＝－a2c，拋物線準線為x＝
－3c，x0－(－a2c)＝x0－(－3c)?c2a2＝13?e＝33.故選B.
總結提高
1.橢圓的標準方程有兩種形式，其結構簡單，形式對稱且系數的幾何意義明確，在解題時要防止遺漏.確定橢圓需要三個條件，要確定焦點在哪條坐標軸上(即定位)，還要確定a、 b的值(即定量)，若定位條件不足應分類討論，或設方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.
2.充分利用定義解題，一方面，會根據定義判定動點的軌跡是橢圓，另一方面，會利用橢圓上的點到兩焦點的距離和為常數進行計算推理.
3.焦點三角形包含著很多關系，解題時要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手，且不可顧此失彼，另外一定要注意橢圓離心率的范圍.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.2　雙曲線

典例精析
題型一　雙曲線的定義與標準方程
【例1】已知動圓E與圓A：(x＋4)2＋y2＝2外切，與圓B：(x－4)2＋y2＝2內切，求動圓圓心E的軌跡方程.
【解析】設動圓E的半徑為r，則由已知AE＝r＋2，BE＝r－2，
所以AE－BE＝22，又A(－4,0)，B(4,0)，所以AB＝8,22＜AB.
根據雙曲線定義知，點E的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的右支.
因為a＝2，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，
故點E的軌跡方程是x22－y214＝1(x≥2).
【點撥】利用兩圓內、外切圓心距與兩圓半徑的關系找出E點滿足的幾何條件，結合雙曲線定義求解，要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.
【變式訓練1】P為雙曲線x29－y216＝1的右支上一點，M，N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和
(x－5)2＋y2＝1上的點，則PM－PN的最大值為(　　)
A.6B.7C.8D.9
【解析】選D.
題型二　雙曲線幾何性質的運用
【例2】雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，x軸上有一點Q(2a,0)，若C上存在一點P，使 ＝0，求此雙曲線離心率的取值范圍.
【解析】設P(x，y)，則由 ＝0，得AP⊥PQ，則P在以AQ為直徑的圓上，
即 (x－3a2)2＋y2＝(a2)2，①
又P在雙曲線上，得x2a2－y2b2＝1，②
由①②消去y，得(a2＋b2)x2－3a3x＋2a4－a2b2＝0，
即[(a2＋b2)x－(2a3－ab2)](x－a)＝0，
當x＝a時，P與A重合，不符合題意，舍去；
當x＝2a3－ab2a2＋b2時，滿足題意的點P存在，需x＝2a3－ab2a2＋b2＞a，
化簡得a2＞2b2，即3a2＞2c2，ca＜62，
所以離心率的取值范圍是(1，62).
【點撥】根據雙曲線上的點的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式，是求離心率的取值范圍的常用方法.
【變式訓練2】設離心率為e的雙曲線C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，直線l過焦點F，且斜率為k，則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是(　　)
A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1
C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1
【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足－ba＜k＜ba，即k2＜b2a2＝c2－a2a2＝e2－1，故選C.
題型三　有關雙曲線的綜合問題
【例3】(2010廣東)已知雙曲線x22－y2＝1的左、右頂點分別為A1、A2，點P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同的兩個動點.
(1)求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；
(2)若過點H(0，h)(h＞1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且l1⊥l2，求h的值.
【解析】(1)由題意知x1＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，則有
直線A1P的方程為y＝y1x1＋2(x＋2)，①
直線A2Q的方程為y＝－y1x1－2(x－2).②
方法一：聯立①②解得交點坐標為x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx，③
則x≠0，x＜2.
而點P(x1，y1)在雙曲線x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.
將③代入上式，整理得所求軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
方法二：設點M(x，y)是A1P與A2Q的交點，①×②得y2＝－y21x21－2(x2－2).③
又點P(x1，y1)在雙曲線上，因此x212－y21＝1，即y21＝x212－1.
代入③式整理得x22＋y2＝1.
因為點P，Q是雙曲線上的不同兩點，所以它們與點A1，A2均不重合.故點A1和A2均不在軌跡E上.過點(0,1)及A2(2，0)的直線l的方程為x＋2y－2＝0.
解方程組 得x＝2，y＝0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點A2.
故軌跡E不過點(0,1).同理軌跡E也不過點(0，－1).
綜上分析，軌跡E的方程為x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.
(2)設過點H(0，h)的直線為y＝kx＋h(h＞1)，
聯立x22＋y2＝1得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
令Δ＝16k2h2－4(1＋2k2)(2h2－2)＝0，得h2－1－2k2＝0，
解得k1＝h2－12，k2＝－h2－12.
由于l1⊥l2，則k1k2＝－h2－12＝－1，故h＝3.
過點A1，A2分別引直線l1，l2通過y軸上的點H(0，h)，且使l1⊥l2，因此A1H⊥A2H，由h2×(－h2)＝－1，得h＝2.
此時，l1，l2的方程分別為y＝x＋2與y＝－x＋2，
它們與軌跡E分別僅有一個交點(－23，223)與(23，223).
所以，符合條件的h的值為3或2.
【變式訓練3】雙曲線x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，若△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則e2等于(　　)
A.1＋22B.3＋22
C.4－22D.5－22
【解析】本題考查雙曲線定義的應用及基本量的求解.
據題意設AF1＝x，則AB＝x，BF1＝2x.
由雙曲線定義有AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a
?(AF1＋BF1)－(AF2＋BF2)＝(2＋1)x－x＝4a，即x＝22a＝AF1.
故在Rt△AF1F2中可求得AF2＝F1F22－AF12＝4c2－8a2.
又由定義可得AF2＝AF1－2a＝22a－2a，即4c2－8a2＝22－2a，
兩邊平方整理得c2＝a2(5－22)?c2a2＝e2＝5－22，故選D.
總結提高
1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標準方程和幾何性質，但應特別注意不同點，如a，b，c的關系、漸近線等.
2.要深刻理解雙曲線的定義，注意其中的隱含條件.當PF1－PF2＝2a＜F1F2時，P的軌跡是雙曲線；當PF1－PF2＝2a＝F1F2時，P的軌跡是以F1或F2為端點的射線；當
PF1－PF2＝2a＞F1F2時，P無軌跡.
3.雙曲線是具有漸近線的曲線，畫雙曲線草圖時，一般先畫出漸近線，要掌握以下兩個問題：
(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線；
(2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y＝±bax，可將雙曲線方程設為x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再利用其他條件確定λ的值，求法的實質是待定系數法.


9.3　拋物線

典例精析
題型一　拋物線定義的運用
【例1】根據下列條件，求拋物線的標準方程.
(1)拋物線過點P(2，－4)；
(2)拋物線焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，AF＝5.
【解析】(1)設方程為y2＝mx或x2＝ny.
將點P坐標代入得y2＝8x或x2＝－y.
(2)設A(m，－3)，所求焦點在x軸上的拋物線為y2＝2px(p≠0)，
由定義得5＝AF＝m＋p2，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，
所求方程為y2＝±2x或y2＝±18x.
【變式訓練1】已知P是拋物線y2＝2x上的一點，另一點A(a,0) (a＞0)滿足PA＝d，試求d的最小值.
【解析】設P(x0，y0) (x0≥0)，則y20＝2x0，
所以d＝PA＝(x0－a)2＋y20＝(x0－a)2＋2x0＝[x0＋(1－a)]2＋2a－1.
因為a＞0，x0≥0，
所以當0＜a＜1時，此時有x0＝0，dmin＝(1－a)2＋2a－1＝a；
當a≥1時，此時有x0＝a－1，dmin＝2a－1.
題型二　直線與拋物線位置討論
【例2】(2010湖北)已知一條曲線C在y軸右側，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.
(1)求曲線C的方程；
(2)是否存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有 ＜0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【解析】(1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足：
(x－1)2＋y2－x＝1(x＞0).
化簡得y2＝4x(x＞0).
(2)設過點M(m,0)(m＞0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2).
設l的方程為x＝ty＋m，由 得y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)＞0，于是 ①
又 ＝(x1－1，y1)， ＝(x2－1，y2).
＜0?(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②
又x＝y24，于是不等式②等價于 y214?y224＋y1y2－(y214＋y224)＋1＜0
?(y1y2)216＋y1y2－14[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③
由①式，不等式③等價于m2－6m＋1＜4t2.④
對任意實數t,4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2－6m＋1＜0，即3－22＜m＜3＋22.
由此可知，存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有 ? ＜0，且m的取值范圍是(3－22，3＋22).
【變式訓練2】已知拋物線y2＝4x的一條弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB所在直線與y軸的交點坐標為(0,2)，則1y1＋1y2＝　　　.
【解析】 ?y2－4my＋8m＝0，
所以1y1＋1y2＝y1＋y2y1y2＝12.
題型三　有關拋物線的綜合問題
【例3】已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.
(1)求證：拋物線C在點N處的切線與AB平行；
(2)是否存在實數k使 ? ＝0？若存在，求k的值；若不存在，說明理由.
【解析】(1)證明：如圖，設A(x1,2x21)，B(x2,2x22)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韋達定理得x1＋x2＝k2，x1x2＝－1，
所以xN＝xM＝x1＋x22＝k4，所以點N的坐標為(k4，k28).
設拋物線在點N處的切線l的方程為y－k28＝m(x－k4)，
將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋mk4－k28＝0，
因為直線l與拋物線C相切，
所以Δ＝m2－8(mk4－k28)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
所以m＝k，即l∥AB.
(2)假設存在實數k，使 ? ＝0，則NA⊥NB，
又因為M是AB的中點，所以MN＝ AB.
由(1)知yM＝12(y1＋y2)＝12(kx1＋2＋kx2＋2)＝12[k(x1＋x2)＋4]＝12(k22＋4)＝k24＋2.
因為MN⊥x軸，所以MN＝yM－yN＝k24＋2－k28＝k2＋168.
又AB＝1＋k2?x1－x2＝1＋k2?(x1＋x2)2－4x1x2
＝1＋k2?(k2)2－4×(－1)＝12k2＋1?k2＋16.
所以k2＋168＝14k2＋1?k2＋16，解得k＝±2.
即存在k＝±2，使 ? ＝0.
【點撥】直線與拋物線的位置關系，一般要用到根與系數的關系；有關拋物線的弦長問題，要注意弦是否過焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須使用一般弦長公式.
【變式訓練3】已知P是拋物線y2＝2x上的一個動點，過點P作圓(x－3)2＋y2＝1的切線，切點分別為M、N，則MN的最小值是　　　　.
【解析】455.
總結提高
1.在拋物線定義中，焦點F不在準線l上，這是一個重要的隱含條件，若F在l上，則拋物線退化為一條直線.
2.掌握拋物線本身固有的一些性質：(1)頂點、焦點在對稱軸上；(2)準線垂直于對稱軸；(3)焦點到準線的距離為p；(4)過焦點垂直于對稱軸的弦(通徑)長為2p.
3.拋物線的標準方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應關系.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線的類型，可采用待定系數法.
4.拋物線的幾何性質，只要與橢圓、雙曲線加以對照，很容易把握.但由于拋物線的離心率為1，所以拋物線的焦點有很多重要性質，而且應用廣泛，例如：已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有下列性質：AB＝x1＋x2＋p或AB＝2psin2α(α為AB的傾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等.

　9.4　直線與圓錐曲線的位置關系

典例精析
題型一　直線與圓錐曲線交點問題
【例1】若曲線y2＝ax與直線y＝(a＋1)x－1恰有一個公共點，求實數a的值.
【解析】聯立方程組
(1)當a＝0時，方程組恰有一組解為
(2)當a≠0時，消去x得a＋1ay2－y－1＝0，
①若a＋1a＝0，即a＝－1，方程變為一元一次方程－y－1＝0，
方程組恰有一組解
②若a＋1a≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋4(a＋1)a＝0，解得a＝－45，這時直線與曲線相切，只有一個公共點.
綜上所述，a＝0或a＝－1或a＝－45.
【點撥】本題設計了一個思維“陷阱”，即審題中誤認為a≠0，解答過程中的失誤就是不討論二次項系數 ＝0，即a＝－1的可能性，從而漏掉兩解.本題用代數方法解完后，應從幾何上驗證一下：①當a＝0時，曲線y2＝ax，即直線y＝0，此時與已知直線y＝x－1 恰有交點(1,0)；②當a＝－1時，直線y＝－1與拋物線的對稱軸平行，恰有一個交點(代數特征是消元后得到的一元二次方程中二次項系數為零)；③當a＝－45時直線與拋物線相切.
【變式訓練1】若直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4有且只有一個公共點，則實數k的取值范圍為(　　)
A.{1，－1，52，－52}B.(－∞，－52]∪[52，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)D.(－∞，－1)∪[52，＋∞)
【解析】由 ?(1－k2)x2－2kx－5＝0，
?k＝±52，結合直線過定點(0，－1)，且漸近線斜率為±1，可知答案為A.
題型二　直線與圓錐曲線的相交弦問題
【例2】(2010遼寧)設橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°， ＝2 .
(1)求橢圓C的離心率；
(2)如果AB＝154，求橢圓C的方程.
【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1＜0，y2＞0.
(1)直線l的方程為y＝3(x－c)，其中c＝a2－b2.
聯立
得(3a2＋b2)y2＋23b2cy－3b4＝0.
解得y1＝－3b2(c＋2a)3a2＋b2，y2＝－3b2(c－2a)3a2＋b2.
因為 ＝2 ，所以－y1＝2y2，即3b2(c＋2a)3a2＋b2＝2?－3b2(c－2a)3a2＋b2.
解得離心率e＝ca＝23.
(2)因為AB＝1＋13y2－y1，所以23?43ab23a2＋b2＝154.
由ca＝23得b＝53a，所以54a＝154，即a＝3，b＝5.
所以橢圓的方程為x29＋y25＝1.
【點撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題，以及用待定系數法求橢圓方程.
【變式訓練2】橢圓ax2＋by2＝1與直線y＝1－x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為32，則ab的值為　　　.
【解析】設直線與橢圓交于A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，弦中點坐標為(x0，y0)，代入橢圓方程兩式相減得a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(y1－y2)(y1＋y2)＝0?
2ax0＋2by0y1－y2x1－x2＝0?ax0－by0＝0.
故ab＝y0x0＝32.
題型三　對稱問題
【例3】在拋物線y2＝4x上存在兩個不同的點關于直線l：y＝kx＋3對稱，求k的取值范圍.
【解析】設A(x1，y1)、B(x2、y2)是拋物線上關于直線l對稱的兩點，由題意知k≠0.
設直線AB的方程為y＝－1kx＋b，
聯立 消去x，得14ky2＋y－b＝0，
由題意有Δ＝12＋4?14k?b＞0，即bk＋1＞0.(*)
且y1＋y2＝－4k.又y1＋y22＝－1k?x1＋x22＋b.所以x1＋x22＝k(2k＋b).
故AB的中點為E(k(2k＋b)，－2k).
因為l過E，所以－2k＝k2(2k＋b)＋3，即b＝－2k－3k2－2k.
代入(*)式，得－2k－3k3－2＋1＞0?k3＋2k＋3k3＜0
?k(k＋1)(k2－k＋3)＜0?－1＜k＜0，故k的取值范圍為(－1,0).
【點撥】(1)本題的關鍵是對稱條件的轉化.A(x1，y1)、B(x2，y2)關于直線l對稱，則滿足直線l與AB垂直，且線段AB的中點坐標滿足l的方程；
(2)對于圓錐曲線上存在兩點關于某一直線對稱，求有關參數的范圍問題，利用對稱條件求出過這兩點的直線方程，利用判別式大于零建立不等式求解；或者用參數表示弦中點的坐標，利用中點在曲線內部的條件建立不等式求參數的取值范圍.
【變式訓練3】已知拋物線y＝－x2＋3上存在關于x＋y＝0對稱的兩點A，B，則AB等于(　　)
A.3B.4C.32D.42
【解析】設AB方程：y＝x＋b，代入y＝－x2＋3，得x2＋x＋b－3＝0，
所以xA＋xB＝－1，故AB中點為(－12，－12＋b).
它又在x＋y＝0上，所以b＝1，所以AB＝32，故選C.
總結提高
1.本節內容的重點是研究直線與圓錐曲線位置關系的判別式方法及弦中點問題的處理方法.
2.直線與圓錐曲線的位置關系的研究可以轉化為相應方程組的解的討論，即聯立方程組
通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2＋bx＋c＝0進行討論.這時要注意考慮a＝0和a≠0兩種情況，對雙曲線和拋物線而言，一個公共點的情況除a≠0，Δ＝0外，直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對稱軸平行時，都只有一個交點(此時直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見，直線與圓錐曲線只有一個公共點，并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件.
3.弦中點問題的處理既可以用判別式法，也可以用點差法；使用點差法時，要特別注意驗證“相交”的情形.

9.5　圓錐曲線綜合問題

典例精析
題型一　求軌跡方程
【例1】已知拋物線的方程為x2＝2y，F是拋物線的焦點，過點F的直線l與拋物線交于A、B兩點，分別過點A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2交于點M.
(1)求證：l1⊥l2；
(2)求點M的軌跡方程.
【解析】(1)依題意，直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx＋12.
聯立 消去y整理得x2－2kx－1＝0.設A的坐標為(x1，y1)，B的坐標為(x2，y2)，則有x1x2＝－1，將拋物線方程改寫為y＝12x2，求導得y′＝x.
所以過點A的切線l1的斜率是k1＝x1，過點B的切線l2的斜率是k2＝x2.
因為k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.
(2)直線l1的方程為y－y1＝k1(x－x1)，即y－x212＝x1(x－x1).
同理直線l2的方程為y－x222＝x2(x－x2).
聯立這兩個方程消去y得x212－x222＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，
整理得(x1－x2)(x－x1＋x22)＝0，
注意到x1≠x2，所以x＝x1＋x22.
此時y＝x212＋x1(x－x1)＝x212＋x1(x1＋x22－x1)＝x1x22＝－12.
由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝x1＋x22＝k∈R.
所以點M的軌跡方程是y＝－12.
【點撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說明方程軌跡的形狀，這就需要我們對各種基本曲線方程和它的形態的對應關系了如指掌.
【變式訓練1】已知△ABC的頂點為A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是(　　)
A.x29－y216＝1B.x216－y29＝1
C.x29－y216＝1(x＞3)D.x216－y29＝1(x＞4)
【解析】如圖，AD＝AE＝8，BF＝BE＝2，CD＝CF，
所以CA－CB＝8－2＝6，
根據雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為x29－y216＝1(x＞3)，故選C.
題型二　圓錐曲線的有關最值
【例2】已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓x2＋3y2＝4上，對角線BD所在直線的斜率為1.當∠ABC＝60°時，求菱形ABCD面積的最大值.
【解析】因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.
于是可設直線AC的方程為y＝－x＋n.
由 得4x2－6nx＋3n2－4＝0.
因為A，C在橢圓上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－433＜n＜433.
設A，C兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝3n2，x1x2＝3n2－44，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n. 所以y1＋y2＝n2.
因為四邊形ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，所以AB＝BC＝CA.
所以菱形ABCD的面積S＝32AC2.
又AC2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝－3n2＋162，所以S＝34(－3n2＋16) (－433＜n＜433).
所以當n＝0時，菱形ABCD的面積取得最大值43.
【點撥】建立“目標函數”，借助代數方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.
【變式訓練2】已知拋物線y＝x2－1上有一定點B(－1,0)和兩個動點P、Q，若BP⊥PQ，則點Q橫坐標的取值范圍是　　　　　　.
【解析】如圖，B(－1,0)，設P(xP，x2P－1)，Q(xQ，x2Q－1)，
由kBP?kPQ＝－1，得x2P－1xP＋1?x2Q－x2PxQ－xP＝－1.
所以xQ＝－xP－1xP－1＝－(xP－1)－1xP－1－1.
因為xP－1＋1xP－1≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3.
題型三　求參數的取值范圍及最值的綜合題
【例3】(2010浙江)已知m＞1，直線l：x－my－m22＝0，橢圓C：x2m2＋y2＝1，F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點.
(1)當直線l過右焦點F2時，求直線l的方程；
(2)設直線l與橢圓C交于A，B兩點，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍.
【解析】(1)因為直線l：x－my－m22＝0經過F2(m2－1，0)，
所以m2－1＝m22，解得m2＝2，
又因為m＞1，所以m＝2.
故直線l的方程為x－2y－1＝0.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 消去x得2y2＋my＋m24－1＝0，
則由Δ＝m2－8(m24－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8，
且有y1＋y2＝－m2，y1y2＝m28－12.
由于F1(－c,0)，F2(c,0)，故O為F1F2的中點，
由 ＝2 ， ＝2 ，得G(x13，y13)，H(x23，y23)，
GH2＝(x1－x2)29＋(y1－y2)29.
設M是GH的中點，則M(x1＋x26，y1＋y26)，
由題意可知，2MO＜GH，即4[(x1＋x26)2＋(y1＋y26)2]＜(x1－x2)29＋(y1－y2)29，
即x1x2＋y1y2＜0.
而x1x2＋y1y2＝(my1＋m22)(my2＋m22)＋y1y2＝(m2＋1)(m28－12).
所以m28－12＜0，即m2＜4.
又因為m＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.
所以m的取值范圍是(1,2).
【點撥】本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓、點與圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.
【變式訓練3】若雙曲線x2－ay2＝1的右支上存在三點A、B、C使△ABC為正三角形，其中一個頂點A與雙曲線右頂點重合，則a的取值范圍為　　　.
【解析】設B(m，m2－1a)，則C(m，－m2－1a)(m＞1)，
又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋m2－1a＝(2m2－1a)2，
所以a＝3m＋1m－1＝3(1＋2m－1)＞3，即a的取值范圍為(3，＋∞).
總結提高
1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標法”將其轉化為尋求變量間的關系.這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義、性質等基礎知識的掌握，還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點，也是同學們的一大難點.求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數法、待定系數法.
2.最值問題的代數解法，是從動態角度去研究解析幾何中的數學問題的主要內容，其解法是設變量、建立目標函數、轉化為求函數的最值.其中，自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關系(即判別式與0的關系)確定.
3.范圍問題，主要是根據條件，建立含有參變量的函數關系式或不等式，然后確定參數的取值范圍.其解法主要有運用圓錐曲線上點的坐標的取值范圍，運用求函數的值域、最值以及二次方程實根的分布等知識.

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