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2012版高三數學一輪精品復習學案：第八章 解析幾何
8.3圓錐曲線
【高考目標導航】
一、曲線與方程
1．考綱點擊
(1)了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系;
(2)了解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究幾何問題的基本方法;
(3)能夠根據所給條件選擇適當的方法求曲線的軌跡方程.
2．熱點提示
（1）求軌跡方程是高考的重點和熱點；
（2）常以解答題的第一問的形式出現. 一般用直接法、定義法或相關點法求解，所求軌跡一般為圓錐曲線，屬中低檔題。
二、橢圓
1．考綱點擊
（1）掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質；
（2）了解橢圓的實際背景及橢圓的簡單應用。
（3）理解數形結合的思想
2．熱點提示
（1）橢圓的定義、標準方程和幾何性質是高考重點考查的內容；直線和橢圓的位置關系是高考考查的熱點。
（2）定義、標準方程和幾何性質常以選擇題、填空題的形式考查，而直線與橢圓位置關系以及與向量、方程、不等式等的綜合題常以解答題的形式考查，屬中高檔題目。
三、雙曲線
1．考綱點擊
（1）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的簡單幾何性質。
（2）了解雙曲線的實際背景及雙曲線的簡單應用。
（3）理解數形結合的思想。
2．熱點提示
（1）雙曲線的定義、標準方程和離心率、漸近線等知識是高考考查的重點；雙曲線與其他圓錐曲線的交匯命題是熱點。
（2）主要以選擇、填空題的形式考查，屬于中低檔題。
四、拋物線
1．考綱點擊
（1）掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質。
（2）理解數形結合的思想。
（3）了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用。
2．熱點提示
（1）拋物線的定義、標準方程及性質是高考考查的重點，拋物線與直線、橢圓、雙曲線的交匯綜合題是考查的熱點。
（2）多以選擇、填空題為主，多為中低檔題。有時也與直線、橢圓、雙曲線交匯考查的解答題，此時屬中高檔題。
【考綱知識梳理】
一、曲線與方程
1．一般地，在平面直角坐標系中，如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數解建立了如下關系：
（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解。
（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。那么這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。
注：如果中滿足第（2）個條件，會出現什么情況？（若只滿足“以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點”），則這個方程可能只是部分曲線的方程，而非整個曲線的方程，如分段函數的解析式。
2．求動點的軌跡方程的一般步驟
(1)建系??建立適當的坐標系.
(2)設點??設軌跡上的任一點P(x,y).
(3)列式??列出動點P所滿足的關系式.
(4)代換??依條件的特點,選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x,y的方程式，并化簡。
(5)證明??證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.
注:求軌跡和軌跡方程有什么不同?(求軌跡和軌跡方程的不同:后者只指方程(包括范圍)),而前者包含方程及所求軌跡的形狀、位置、大小等。
二、橢圓
1．對橢圓定義的理解：平面內動點P到兩個定點 ， 的距離的和等于常數2a,當2a> 時，動點P的軌跡是橢圓；當2a= 時，軌跡為線段 ；當2a< 時，軌跡不存在。
2．橢圓的標準方程和幾何性質
標準方程
圖



形
性





質范圍
對稱性對稱軸：坐標軸
對稱中心：原點對稱軸：坐標軸
對稱中心：原點
頂點
軸長軸 的長為2a
短軸 的長為2b
焦距 =2c

離心率
a,b,c的關系
注：橢圓的離心率的大小與橢圓的扁平程度的關系（離心率越接近1，橢圓越扁，離心率越接近0，橢圓就越接近于圓）。
3．點與橢圓的位置關系


三、雙曲線
1．雙曲線的定義
（1）平面內動點的軌跡是雙曲線必須滿足兩個條件：
①與兩個定點 ， 的距離的差的絕對值等于常數2a.
② 。
（2）上述雙曲線的焦點是 ， ，焦距是 。
注：當2a= 時，動點的軌跡是兩條射線；當2a? 時，動點的軌跡不存在；當2a=0時，動點的軌跡是線段 的中垂線。
2．雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程
圖



形
性




質范圍x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a
對稱性對稱軸：坐標軸
對稱中心：原點對稱軸：坐標軸
對稱中心：原點
頂點頂點坐標：
頂點坐標：

漸近線
離心率
實虛軸線段 叫做雙曲線的實軸，它的長 =2a；線段 叫做雙曲線的虛軸，它的長 =2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。
a,b,c的關系
注：離心率越大，雙曲線的“開口”越大。
3．等軸雙曲線
實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其標準方程為 ，離心率 ，漸近線方程為
四、拋物線
1．拋物線的定義
平面內與一個定點F和一條定直線 （ 不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線 叫做拋物線的準線。
注：當定點F在定直線 時，動點的軌跡是過點F與直線 垂直的直線。
2．拋物線的標準方程和幾何性質
標準方程


圖



形
性




質對稱軸x軸x軸y軸y軸
焦點坐標




準線方程




焦半徑




范圍




頂點


離心率



【要點名師解析】
一、曲線與方程
（一）用直接法求軌跡方程
※相關鏈接※
1．如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關系，這些條件簡單明確，易于表述成含 、 的等式，得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法。用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設點、列式、代換、化簡、證明五個步驟，但最后的證明可以省略。
2．用直接法求軌跡方程是近年來高考常考的題型，有時題目以向量為背景，解題中需注意向量的坐標化運算。有時需分類討論。
※例題解析※
〖例〗如圖所示，設動直線 垂直于x軸，且與橢圓 交于A、B兩點，P是 上滿足 的點，求點P的軌跡方程。
思路解析：設P點坐標為(x,y) 求出A、B兩點坐標 代入 求P點軌跡 標明x的范圍。
解答：設P點的坐標為(x,y)，則由方程 ，得 ，∴ ，∴A、B兩點的坐標分別為 ，又 ，
∴ ，即 又直線 與橢圓交于兩點，∴-2（二）用定義法求軌跡方程
※相關鏈接※
1．運用解析幾何中一些常用定義（例如圓錐曲線的定義），可從曲線定義出發直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發建立關系式，從而求出軌跡方程。
2．用定義法求軌跡方程的關鍵是緊扣解析幾何中有關曲線的定義，靈活應用定義。同時用定義法求軌跡方程也是近幾年來高考的熱點之一。
※例題解析※
〖例〗如圖所示，

一動圓與圓 外切，同時與圓 內切，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么樣的軸線。
思路解析：利用兩圓的位置關系一相切這一性質得到動圓圓心與已知兩圓圓心間的關系，再從關系分析滿足何種關系的定義。
解答：方法一
設動圓圓心為M（x,y）,半徑為R，設已知圓的加以分別為 、 ，
將圓的方程分別配方得： ，
當動圓與圓 相外切時，有 M=R+2…………①
當動圓與圓 相內切時，有 M=R+2……………②
將①②兩式相加，得 M+ M=12> ，
∴動圓圓心M（x,y）到點 （-3，0）和 （3，0）的距離和是常數12，
所以點M的軌跡是焦點為點 （-3，0）、 （3，0），長軸長等于12的橢圓。
∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6
∴
∴圓心軌跡方程為 ，軌跡為橢圓。
方法二：由方法一可得方程 移項再兩邊分別平方得：
兩邊再平方得： ，整理得
所以圓心軌跡方程為 ，軌跡為橢圓。
注：（1）平面向量知識融入解析幾何是高考命題的一大特點，實際上平面向量的知識在這里只是表面上的現象，解析幾何的實質是坐標法，就是用方程的思想研究曲線，用曲線的性質研究方程，軌跡問題正是體現這一思想的重要表現形式，我們只要能把向量所表示的關系轉化為坐標的關系，這類問題就不難解決了。而與解析幾何有關的范圍問題也是高考常考的重點。求解參數問題主要是根據條件建立含參數的函數關系式，然后確定參數的值。
（2）回歸定義是解圓錐曲線問題十分有效的方法，值得重視。
（3）對于“是否存在型”探索性問題的求解，先假設結論存在，若推證無矛盾，則結論存在；若推證出矛盾，則結論不存在。
（三）用相關點法（代入法）求軌跡方程
※相關鏈接※
1．動點所滿足的條件不易表述或求出，但形成軌跡的動點P（x,y）卻隨另一動點 的運動而有規律的運動，且動點Q的軌跡方程為給定或容易求得，則可先將 表示x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關點法。
2．用代入法求軌跡方程的關鍵是尋求關系式： ，然后代入已知曲線。而求對稱曲線（軸對稱、中心對稱）方程實質上也是用代入法（相關點法）解題。
※例題解析※
〖例〗已知A（-1，0），B（1，4），在平面上動點Q滿足 ，點P是點Q關于直線y=2(x-4)的對稱點，求動點P的軌跡方程。
思路解析：由已知易得動點Q的軌跡方程，然后找出P點與Q點的坐標關系，代入即可。
解答：
設Q（x,y），則
故由 ，即
所以點Q的軌跡是以C（0，2）為圓心，以3為半徑的圓。
∵點P是點Q關于直線y=2(x-4)的對稱點。
∴動點P的軌跡是一個以 為圓心，半徑為3的圓，其中 是點C（0，2）關于直線y=2(x-4) 的對稱點，即直線y=2(x-4)過 的中點，且與 垂直，于是有
，
解得：
故動點P的軌跡方程為 。
（四）用參數法求軌跡方程
〖例〗設橢圓方程為 ，過點 的直線 交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足 點N的坐標為 ，當 繞點M旋轉時，求：
（1）動點P的軌跡方程；
（2） 的最小值與最大值。
解析：（1）直線 過點 ，當斜率存在時，設其斜率為 ，則 的方程為 記 由題設可得點A、B的坐標 是方程組 的解，消去 得 于是
，
設點P的坐標為 ，則
消去參數 得 ①
當 不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程①，
所以點P的軌跡方程為 。
（2）由點P的軌跡方程知 即
又 故
當 時， 取得最小值為 ；
當 時， 取得最大值為 。

二、橢圓
（一）橢圓的定義以及標準方程
※相關鏈接※
求橢圓的標準方程主要有定義、待定系數法，有時還可根據條件用代入法。用待定系數法求橢圓方程的一般步驟是：
（1）作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能。
（2）設方程：根據上述判斷設方程 。
（3）找關系：根據已知條件，建立關于 的方程組。
（4）得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求。
注：當橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，可設 ，可以避免討論和繁雜的計算，也可以設為 ，這種形式在解題時更簡便。
〖例〗已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5、3，過P且長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程。
思路解析：設橢圓方程為 →根據題意求 →得方程。
解答：設所求的橢圓方程為 ，
由已知條件得
故所求方程為
（二）橢圓的幾何性質
※相關鏈接※
1．橢圓的幾何性質涉及一些不等關系，例如對橢圓 ，有 等，在求與橢圓有關的一些量的范圍，或者求這些量的最大值時，經常用到這些不等關系。
2．求解與橢圓幾何性質有關的問題時要結合圖形進行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯想到圖形。當涉及到頂點、焦點、準線、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯系。
3．求橢圓離心率問題，應先將e用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于e的等式或不等式，從而求出e的值或范圍。離心率e與 的關系：

※例題解析※
〖例〗已知橢圓 的長軸、短軸端點分別為A、B，從橢圓上一點M（在x軸上方）向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點 ，向量 與 是共線向量。
求橢圓的離心率 ；
設Q是橢圓上任意一點， 、 分別是左、右焦點，求∠ 的取值范圍。
思路解析：由 與 是共線向量可知AB∥OM，從而可得關于 的等量關系，從而求得離心率 ；若求∠ 的取值范圍，即需求cos∠ 的范圍，用余弦定理即可。
解答：（1）設 （-c,0）,則

（2）設 = ， = ，∠ = ，∴ + =2 ， =2 ，

注：熟練掌握橢圓定義及性質并且其解決相應問題，在求離心率 時，除已知等式 外，還需一個關于 的等式，即可求得 。
（三）直線與橢圓的位置關系
※相關鏈接※
1．直線與橢圓位置關系的判定
把橢圓方程 與直線方程y=kx+b聯立消去y，整理成形如 的形式，對此一元二次方程有：
（1）?>0,直線與橢圓相交，有兩個公共點；
（2）?=0，直線與橢圓相切，有一個公共點；
（3）?<0，直線與橢圓相離，無公共點。
2．直線被橢圓截得的張長公式，設直線與橢圓交于 兩點，則

注：解決直線與橢圓的位置關系問題時常利用數形結合法、設而不求法、弦長公式及根與系數的關系去解決。
※例題解析※
〖例1〗中心在原點，一個焦點為F1（0， ）的橢圓截直線 所得弦的中點橫坐標為 ，求橢圓的方程
思路解析：根據題意，可設橢圓的標準方程，與直線方程聯立解方程組，利用韋達定理及中點坐標公式，求出中點的橫坐標，再由F1（0， ）知，c= ， ，最后解關于a、b的方程組即可
解答：設橢圓的標準方程為 ，由F1（0， ）得
把直線方程 代入橢圓方程整理得： 。
設弦的兩個端點為 ，則由根與系數的關系得：
，又AB的中點橫坐標為 ，
，與方程 聯立可解出
故所求橢圓的方程為： 。
〖例2〗已知橢圓： ，過左焦點F作傾斜角為 的直線交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長
解答：a=3,b=1,c=2 ，則F（-2 ，0）。
由題意知： 與 聯立消去y得： 。
設A（ 、B（ ，則 是上面方程的二實根，由違達定理， ， ， 又因為A、B、F都是直線 上的點，
所以AB=
（四）與橢圓有關的綜合問題
〖例〗如圖，

已知橢圓C： 經過橢圓C的右焦點F且斜率為k(k≠0)有直線 交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點。
（1）是否存在k，使對任意m>0,總有 成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若 ，求實數k的取值范圍。
思路解析：第（1）問為存在性問題，可先假設存在，然后由 可知M點為ON中點，用坐標表示相關量可求。
第（2）問用坐標表示向量數量積，列式求解即可。
解答：橢圓C： ，直線AB的方程為：y=k(x-m).
由
消去y得

設 ，則

則
若存在k,使 總成立，M為線段AB的中點，∴M為ON的中點，
∴
∴
即N點的坐標為 。
由N點在橢圓上，則
即
即
故存在k=±1,使對任意m>0，總有 成立。
（2）

由 得
即
注：探索性問題主要考查學生探索解題途徑，解決非傳統完備問題的能力，是命題者根據學科特點，將數學知識有機結合并賦予新的情境創設而成的，要求學生自己觀察、分析、創造性地運用所學知識和方法解決問題，它能很好地考查數學思維能力以及科學的探索精神。因此越來越受到高考命題者的青睞。
（1）本題第（1）問是一是否存在性問題，實質上是探索結論的開放性問題。相對于其他的開放性問題來說，由于這類問題的結論較少（只有存在、不存在兩個結論有時候需討論），因此，思考途徑較為單一，難度易于控制，受到各類考試命題者的青睞。解答這一類問題，往往從承認結論、變結論為條件出發，然后通過特例歸納，或由演繹推理證明其合理性。探索過程要充分挖掘已知條件，注意條件的完備性，不要忽略任何可能的因素。
（2）第（2）問是參數范圍的問題，內容涉及代數和幾何的多個方面，綜合考查學生應用數學知識解決問題的能力。在歷年高考中占有較穩定的比重。
三、雙曲線
（一）雙曲線的定義與標準方程
※相關鏈接※
1．在運用雙曲線的定義時，應特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一支。
2．求雙曲線標準方程的方法
（1）定義法，根據題目的條件，若滿足定義，求出相應 即可求得方程；
（2）待定系數法，其步驟是
①定位：確定雙曲線的焦點在哪個坐標軸上；
②設方程：根據焦點的位置設出相應的雙曲線方程；
③定值：根據題目條件確定相關的系數。
注：若不能明確雙曲線的焦點在哪條坐標軸上，可設雙曲線方程為： 。
※例題解析※
〖例〗已知動圓M與圓 外切，與圓 內切，求動圓圓心M的軌跡方程。
思路解析：利用兩圓心、外切圓心距與兩圓半徑的關系找出M點滿足的幾何條件，結合雙曲線定義求解。
解答：設動圓M的半徑為r則由已知 。
又 （-4，0）， （4，0），∴ =8，∴ < 。
根據雙曲線定義知，點M的軌跡是以 （-4，0）、 （4，0）為焦點的雙曲線的右支。

（二）雙曲線的幾何性質
※相關鏈接※
1．雙曲線的幾何性質的實質是圍繞雙曲線中的“六點”（兩個焦點、兩個頂點、兩個虛軸的端點），“四線”（兩條對稱軸、兩條漸近線），“兩形”（中心、焦點以及虛軸端點構成的三角形、雙曲線上一點和兩焦點構成的三角形）研究它們之間的相互聯系。
2．在雙曲線的幾何性質中，應充分利用雙曲線的漸近線方程，簡化解題過程。同時要熟練掌握以下三方面內容：
（1）已知雙曲線方程，求它的漸近線；
（2）求已知漸近線的雙曲線的方程；
（3）漸近線的斜率與離心率的關系。
如
注：（1）已知漸近線方程為 則雙曲線的標準方程為 的形式，根據其他條件確定 的正負。若 >0，焦點在x軸上；若 <0，焦點在y軸上。
（2）與雙曲線 共漸近的雙曲線方程為 ；
與雙曲線 共焦點的圓錐曲線方程為 。
※例題解析※
〖例〗中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 ，且 ，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3：7。
（1）求這兩曲線方程；
（2）若P為這兩曲線的一個交點，求 的值。
思路解析：設橢圓方程為 ，雙曲線方程為 →分別求a,b,m,n的值→利用橢圓與雙曲線定義及余弦定理求得 。
解答：（1）由已知： ，設橢圓長、短半軸長分別為a、b，雙曲線實半軸、虛半軸長分別為m、n，則
，
解得a=7,m=3.
∴b=6,n=2.
∴橢圓方程為 雙曲線方程為 。
（2）不妨設 分別為左右焦點，P是第一象限的一個交點，則 所以 又 ，
∴ = =
（三）直線與雙曲線的位置關系
〖例〗（1）求直線 被雙曲線 截得的弦長；
（2）求過定點 的直線被雙曲線 截得的弦中點軌跡方程
解析：由 得 得 （*）
設方程（*）的解為 ，則有 得，

（2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設直線的方程為 ，它被雙曲線截得的弦為 對應的中點為 ，
由 得 （*）
設方程（*）的解為 ，則 ，
∴ ，
且 ，
∴ ，

得 或 。
方法二：設弦的兩個端點坐標為 ，弦中點為 ，則
得： ，
∴ ， 即 ， 即 （圖象的一部分）
注：圓錐曲線中參數的范圍及最值問題，由于其能很好地考查學生對數學知識的遷移、組合、融會的能力，有利于提高學生綜合運用所學知識分析、解決問題的能力，所以成為高考的熱點。
在圓錐曲線中經常遇到求范圍問題，這類問題在題目中往往沒有給出不等關系，需要我們去尋找。對于圓錐曲線的參數的取值范圍問題或最值問題，解法通常有兩種：當題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義時，可考慮利用數形結合法求解或構造參數滿足的不等式（如雙曲線的范圍，直線與圓錐曲線相交時?>0等），通過解不等式（組）求得參數的取值范圍；當題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系時，則可先建立目標函數，進而轉化為求解函數的值域。
四、拋物線
（一）拋物線的定義及應用
※相關鏈接※
1．拋物線的離心率 =1，體現了拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可優先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線之間的距離，這樣就可以使問題簡單化。
2．焦半徑 它們在解題中有重要作用，注意靈活運用。
※例題解析※
〖例〗已知拋物線C的對稱軸與y軸平行，頂點到原點的距離為5。若將拋物線C向上平移3個單位，則在x軸上截得的線段長為原拋物線C在x軸上截得的線段長的一半；若將拋物線C向左平移1個單位，則所得拋物線過原點，求拋物線C的方程。
解答：設所求拋物線方程為(x-h)2=a(y-k)(a∈R,a≠0) ①
由①的頂點到原點的距離為5，得 =5②
在①中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。設方程的二根為x1,x2，則
x1-x2=2 。
將拋物線①向上平移3個單位，得拋物線的方程為
(x-h)2=a(y-k-3)
令y=0，得x2-2hx+h2+ak+3a=0。設方程的二根為x3,x4，則
x3-x4=2 。
依題意得2 = ?2 ，
即 4(ak+3a)=ak ③
將拋物線①向左平移1個單位，得(x-h+1)2=a(y-k),
由拋物線過原點，得(1-h)2=-ak ④
由②③④得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。
∴所求拋物線方程為(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。
（二）拋物線的標準方程與幾何性質
※相關鏈接※
1．求拋物線的標準方程常采用待定系數法。利用題中已知條件確定拋物線的焦點到準線的距離p的值；
2．對于直線和拋物線有兩個交點問題，“點差法”是常用法。如若 是拋物線 上兩點，則直線AB的斜率 與 可得如下等式 。
注：拋物線的標準方程有四種類型，所以判斷類型是關鍵，在方程類型已確定的前提下，由于標準方程中只有一個參數p，只需一個條件就可以確定一個拋物線的方程。
※例題解析※
〖例〗已知如圖所示，拋物線 的焦點為 ， 在拋物線上，其橫坐標為4，且位于x軸上方， 到拋物線準線的距離等于5。過 作 垂直于y軸，垂足為 ， 的中點為 。

（1）求拋物線方程；
（2）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標。
思路解析：由拋物線定義求p→求直線 ，MN的方程→解方程組得N點坐標。
解答：（1）拋物線 的準線為 于是4+ =5，∴ =2．∴拋物線方程為y2=4x
（２）∵點 的坐標是（４，４），由題意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴ .∵MN⊥FA,∴ .則FA的方程為 ,MN的方程為y-2= x,解方程組 ,得
∴ .
(三)直線與拋物線的位置關系
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1.直線與拋物線的位置關系
設拋線方程為 ,直線Ax+By+C=0,將直線方程與拋物線方程聯立,消去x得到關于y的方程my2+ny+q=0,
(1)若m≠0,當?＞0時,直線與拋物線有兩個公共點;
當?=0時,直線與拋物線只有一個公共點;
當?＜0時,直線與拋物線沒有公共點.
(2)若m=0,直線與拋物線只有一個公共點,此時直線與拋物線的對稱軸平行.
2.焦點弦問題
已知AB是過拋物線 的焦點的弦,F為拋物線的焦點,A(x1,y1),B(x2,y2),則
(1) y1?y2=-p2, ? = ;
（2）
（3） ；
（4）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。
※例題解析※
〖例〗已知拋物線方程為 ，直線 過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。
解析：設 與拋物線交于
由距離公式AB= =
由

從而 由于p>0，解得
（四）拋物線的實際應用
〖例〗如圖， ， 是通過某市開發區中心0的兩條南北和東西走向的道路，連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關于直線L1對稱．M到L1、L2的距離分別是2 km、4km，N到L1、L2的距離分別是3 km、9 kin．

（1）建立適當的坐標系，求拋物線弧MN的方程；
（Ⅱ）該市擬在點0的正北方向建設一座工廠，考慮到環境問題，要求廠址到點0的距離大于5km而不超過8km，并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于 km．求 此廠離點0的最近距離．（注：工廠視為一個點）
解析：（1）分別以 、 為 軸、 軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則M（2，4），N（3，9）

設MN所在拋物線的方程為 ，則有
，解得
∴所求方程為 （2≤ ≤3）5分
（說明：若建系后直接射拋物線方程為 ，代入一個點坐標求對方程，本問扣2分）
（2）設拋物線弧上任意一點P（ ， ）（2≤ ≤3）
廠址為點A（0， ）（5＜t≤8 ，由題意得 ≥
∴ ≥07分
令 ，∵2≤ ≤3，∴4≤ ≤9
∴對于任意的 ，不等式 ≥0恒成立（*）8分
設 ，∵ ≤8
∴ ≤ .
要使（*）恒成立，需△≤0，即 ≤010分
解得 ≥ ，∴ 的最小值為
所以，該廠距離點O的最近距離為6.25km12分
注：對實際應用問題，首先應審清題意，找出各量之間的關系，建立數學模型，然后用數學的方法解答，并回到實際問題中驗證其正確性。
【感悟高考真題】
1．（2011?新課標全國高考文科?Ｔ4）橢圓 的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【思路點撥】通過方程確定 的值，離心率 .
【精講精析】選D 由題意
2．（2011?安徽高考理科?Ｔ2）雙曲線 的實軸長是
（Ａ）２　　　　（Ｂ） 　　　　　（Ｃ）４　　　　（Ｄ）
【思路點撥】先將雙曲線方程化成標準形式，從而求得實半軸長.
【精講精析】選C. 將雙曲線 化成標準方程 ，則 ，所以實軸長2a=4.

3．（2011?廣東高考文科?Ｔ8）設圓C與圓x2+（y-3）2=1外切，與直線y =0相切，則C的圓心軌跡為
A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓
【思路點撥】先求圓x2+（y-3）2=1的圓心坐標為（0，3），利用動圓圓心到點（0，3）與直線y=-1的距離相等得結論.
【精講精析】選A.由題意，C的圓心到點（0，3）與直線y=-1的距離相等，由拋物線的定義知C的圓心軌跡為拋物線，故選A.
4．（2011?福建卷理科?Ｔ17）(本小題滿分13分)已知直線 ：y=x+m，m∈R.
（I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線 相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；
（II）若直線 關于x軸對稱的直線為 ，問直線 與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由.
【思路點撥】（1）由題意畫出圖形，結合圖形求出圓的半徑，然后寫出圓的標準方程；
（2）由 的方程求得 的方程，將 的方程與拋物線C的方程聯立，得一元二次方程，然后依據對應判別式 的正負，來判定兩者能否相切.
【精講精析】解法1：（I）依題意，點 的坐標為 .
因為 所以
解得 ，即點 坐標為 .
從而圓的半徑
故所求圓的方程為 .
(Ⅱ)因為直線 的方程為 ，所以直線 的方程為 .
由 得 .

當 ，即 時，直線 與拋物線C相切；
當 ，即 時，直線 與拋物線C不相切.
綜上，當 時，直線 與拋物線 相切；當 時，直線 與拋物線C不相切.
解法2：（I）設所求圓的半徑為 ，則圓的方程可設為 .
依題意，所求圓與直線 相切于點 ，則
解得
所以所求圓的方程為 .
（II）同解法1.
5．（2011?山東高考理科?Ｔ8）已知雙曲線 （a>0,b>0）的兩條漸近線均和圓C：x2+y2-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為
（A） （B） （C） （D）
【思路點撥】先求出圓C的圓心坐標（3,0），半徑r=2，再求出漸近線方程，由圓心到漸近線的距離等于半徑即可得到a,b的關系，再由雙曲線的右焦點為圓C的圓心知c=2，即可求出結果.
【精講精析】選A.雙曲線的漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0，圓心為（3,0），半徑r=2.由圓心到直線的距離為 所以4a2=5b2又因為雙曲線的右焦點為圓C的圓心，所以c=3，即9=a2+b2 所以，a2=5，b2=4.
6．（2011?山東高考文科?Ｔ15）已知雙曲線 和橢圓 有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為 .
【思路點撥】先求橢圓焦點，即雙曲線的焦點，再由雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍求出b，然后寫出雙曲線的方程.
【精講精析】由題意知雙曲線的焦點為（- ，0）、（ ，0），即c= ，又因為雙曲線的離心率為 ，所以a=2,故b2=3，所以雙曲線的方程為
7．（2011?新課標全國高考理科?Ｔ20）在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足 ， ，M點的軌跡為曲線C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值.
【思路點撥】第（1）問，求 點的軌跡，可設 點坐標為 ，然后利用條件 得到點B的坐標，最后將條件 轉化為坐標關系，得到 滿足的關系式，化簡整理即得 的方程；
第（2）問，設出點 的坐標，利用導數求出切線 的斜率，表示出 的方程，再利用點到直線的距離公式求得 點到 距離的函數，然后利用函數的知識求出最值即可.
【精講精析】(Ⅰ)設M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).
再由題意可知（ + ）? =0, 即（-x,-4-2y）? (x,-2)=0.
所以曲線C的方程式為y= x -2.
(Ⅱ)設P(x ,y )為曲線C：y= x -2上一點，因為y= x,所以 的斜率為 x
因此直線 的方程為 ，即 .
則O點到 的距離 .又 ，所以

當 =0時取等號，所以O點到 距離的最小值為2.

8．（2010?湖南理數）19．（本小題滿分13分）
為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川上相距8km的A，B兩點各建一個考察基地．視冰川面為平面形，以過A，B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖6）．在直線 的右側，考察范圍為到點B的距離不超過 km的區域；在直線 的左側，考察范圍為到A，B兩點的距離之和不超過 km的區域．
（Ⅰ）求考察區域邊界曲線的方程；

（Ⅱ）如圖6所示，設線段 ， 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍，求冰川邊界線移動到考察區域所需的最短時間．

【解析】（Ⅰ）設邊界曲線上點P的坐標為 .當 ≥2時，由題意知
當
，因而其方程為
故考察區域邊界曲線（如圖）的方程為


（Ⅱ）設過點P1，P2的直線為l1，點P2，P3的直線為l2，則直線l1，l2的方程分別為


【考點模擬演練】
一、選擇題
1．設曲線 在點 處的切線與直線 平行，則 ( )
A、 B、 C、 D、
答案：A
2．設曲線 在點（1, ）處的切線與直線 平行,則 ( )
A．1 B． C． D．
答案：A
3．雙曲線 （a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2，若P為其上一點，且PF1=2PF2，則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A.（0，3） B.（1，3） C.（3，+∞） D. [3，+∞]
答案：B
4．若 ，則點 必在（ ）
A．直線 的左下方B．直線 的右上方
C．直線 的左下方D．直線 的右上方
答案：C
5．若橢圓或雙曲線上存在點P，使得點P到兩個焦點的距離之比為2：1，則稱此橢圓或雙曲線存在“F點”，下列曲線中存在“F點”的是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
6．北京奧運會主體育場“鳥巢”的鋼結構俯視圖如圖所示，

內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓頂點向內層橢圓引切線 、 ，設內層橢圓方程為 ，則外層橢圓方程可設為 .若 與 的斜率之積為 ，則橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
答案：A
7．已知橢圓 中，原點 為中心， 為左焦點， 為左頂點，橢圓的左準線交 軸于點 ， 、 為橢圓上兩動點， 垂直左準線于點 ， 軸，則橢圓的離心率為① ；② ；③ ；④ ；⑤ .上述離心率正確的個數有（ ）
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
答案：D
8．已知方程 ，它們所表示的曲線可能是（ ）

答案：B
9．若雙曲線的頂點為橢圓 長軸的端點，且雙曲線的離心率與該橢圓的離心率的積為1，則雙曲線的方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
10．以雙曲線 的一個焦點為圓心，離心率為半徑的圓的方程是( )
A. B. C. D.
答案：D
11．如圖，有公共左頂點和公共左焦點 的橢圓Ⅰ與Ⅱ的長半軸的長分別為 和 ，半焦距分別為 和 .則下列結論不正確的是 （ ）

A. B. C. D.
答案：C
12．雙曲線 的漸近線與圓 相切，則 等于（ ）
A. B.2 C. 3 D. 6
答案：A
二、填空題
13．△ABC中，A為動點，B、C為定點，B(－ ,0),C( ,0)（其中m＞0，且m為常數），且滿足條件sinC－sinB= sinA,則動點A的軌跡方程為____.
答案：
14．曲線 在點（1，1）處的切線與x軸、直線 所圍成的三角形的面積為 .
答案：-16
15．已知兩點 ， ，若拋物線 上存在點 使 為等邊三角形，則 .
答案：5或
16．過雙曲線 的右焦點F作傾斜角為 的直線，交雙曲線于P,Q兩點，則PQ｜的值為__________.
答案：
三、解答題

17．（本題滿分15分）如圖，△ABC為直角三角形， 點M在y軸上， ，
點C在x軸上移動．

（1）求點B的軌跡E的方程；
（2）過點 的直線l與曲線E交于P、Q兩點，設
的夾角為 ，若恒有 ，求實數 的取值范圍；
（3）設以點N(0，m)為圓心，以 為半徑的圓與曲線E在第一象限的交點H，
若圓在點H處的切線與曲線E在點H處的切線互相垂直，求實數m的值．
解：（1） M是BC的中點
…………2分

（2）設直線l的方程為 ，


恒成立。 ………………9分
………………11分
（3）由題意知，NH是曲線C的切線，設 則
………………13分
又
得 …………15分

18．（本題滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分．
已知點 是雙曲線M： 的左右焦點，其漸近線為 ，且右頂點到左焦點的距離為3．
(1)求雙曲線M的方程；
(2) 過 的直線 與M相交于 、 兩點，直線 的法向量為 ，且 ，求k的值；
(3)在(2)的條件下，若雙曲線M在第四象限的部分存在一點C滿足 ，求m的值及△ABC的面積 ．
解: (1) 由題意得 ．…………………………………………………………4分
(2) 直線 的方程為 ，由 得 （*）
所以 ………………………………………………………………6分
由 得
即
代入化簡，并解得 （舍去負值）……………………………………………9分
(3)把 代入（*）并化簡得 ，
此時 ，
所以 …………………………………11分
設 ，由 得 代入雙曲線M的方程解得
（舍），m=2，所以 ，……………………………………14分
點C到直線AB的距離為 ，
所以 ．……………………………………………………16分


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