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北京市朝陽區高三年級第一次綜合練習
數學學科測試（理工類）
2013.4
（考試時間120分鐘 滿分150分）
本試卷分為（共40分）和非（共110分）兩部分
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
（1） 為虛數單位，復數 的虛部是
A． B． C． D .
（2）已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
（3）已知向量 ， .若 ，則實數 的值為
A． B． C． D．
（4）在極坐標系中，直線 與曲線 相交于 兩點, 為極點，則 的
大小為
A． B． C． D．
（5）在下列命題中，
①“ ”是“ ”的充要條件；
② 的展開式中的常數項為 ；
③設隨機變量 ～ ,若
，則 ．
其中所有正確命題的序號是
A．② B．③
C．②③ D．①③
（6）某個長方體被一個平面所截，得到的幾何體的三
視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為
A. B. C. D. 8
（7）拋物線 （ ＞ ）的焦點為 ，已知點 ， 為拋物線上的兩個動點，且滿足 .過弦 的中點 作拋物線準線的垂線 ，垂足為 ，則 的最大值為
A. B. 1 C. D. 2
（8）已知函數 .若 ，使 成立，則稱 為函數 的一個“生成點”.函數 的“生成點”共有
A. 1個 B .2個 C .3個 D .4個
第二部分（非選擇題 共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.
（9）在等比數列 中， ，則 ， 為等差數列，且 ，則
數列 的前5項和等于 .
（10）在 中， ， ， 分別為角 ， ，C所對的邊.已知角 為銳角，且 ,
則 .
（11）執行如圖所示的程序框圖，輸出的結果S= .
（12）如圖，圓 是 的外接圓，過點C作圓 的切
線交 的延長線于點 .若 ，
，則線段 的長是 ；圓 的
半徑是 .
（13）函數 是定義在 上的偶函數，且滿足
.當 時， .若在區間 上方程 恰有
四個不相等的實數根，則實數 的取值范圍是 .
（14）在平面直角坐標系 中，已知點 是半圓 （ ≤ ≤ ）上的一個動點，點 在線段 的延長線上．當 時，則點 的縱坐標的取值范圍是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
（15）（本小題滿分13分）
已知函數 （ ）的最小正周期為 .
（Ⅰ）求 的值及函數 的單調遞增區間；
（Ⅱ）當 時，求函數 的取值范圍.
（16）（本小題滿分13分）
盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標有數字 ．稱“從盒中隨機抽取一張，記下卡片上的數字后并放回”為一次試驗（設每次試驗的結果互不影響）．
（Ⅰ）在一次試驗中，求卡片上的數字為正數的概率；
（Ⅱ）在四次試驗中，求至少有兩次卡片上的數字都為正數的概率；
（Ⅲ）在兩次試驗中，記卡片上的數字分別為 ，試求隨機變量 的分布列與數學期望 ．
（17）（本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐 中，平面 平面 ，且 ， ．四邊形 滿足 ， ， ．點 分別為側棱 上的點，且 ．
（Ⅰ）求證： 平面 ；
（Ⅱ）當 時，求異面直線 與 所成角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在實數 ，使得平面 平面 ？若存在，
試求出 的值；若不存在，請說明理由．
（18）（本小題滿分13分）
已知函數 ，其中 ．
（Ⅰ）求函數 的單調區間；
（Ⅱ）若函數 在 上有且只有一個零點，求實數 的取值范圍.
（19）（本小題滿分14分）
已知中心在原點，焦點在 軸上的橢圓 過點 ,離心率為 ，點 為其右頂點.過點 作直線 與橢圓 相交于 兩點，直線 ， 與直線 分別交于點 ， .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）求 的取值范圍.
（20）（本小題滿分13分）
設 是數 的任意一個全排列，定義 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）求 的最大值；
（Ⅲ）求使 達到最大值的所有排列 的個數.
北京市朝陽區高三年級第一次綜合練習
數學學科測試答案（理工類）
2013.4
一、選擇題：
題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案ADACCD AB
二、題：
題號（9）（10）（11）（12）（13）（14）
答案 ，
（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答題：
（15）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）
. …………………………………………4分
因為 最小正周期為 ，所以 . ………………………………6分
所以 .
由 ， ，得 .
所以函數 的單調遞增區間為[ ]， . ………………8分
（Ⅱ）因為 ，所以 ， …………………………………10分
所以 . ………………………………………12分
所以函數 在 上的取值范圍是[ ]. ……………………………13分
（16）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設事件A：在一次試驗中，卡片上的數字為正數，則
．
答：在一次試驗中，卡片上的數字為正數的概率是 ．…………………………3分
（Ⅱ）設事件B：在四次試驗中，至少有兩次卡片上的數字都為正數．
由（Ⅰ）可知在一次試驗中，卡片上的數字為正數的概率是 ．
所以 ．
答：在四次試驗中，至少有兩次卡片上的數字都為正數的概率為 ．……………7分
（Ⅲ）由題意可知， 的可能取值為 ，所以隨機變量 的可能取值為 ．
； ；
； ；
； ．
所以隨機變量 的分布列為
所以 ．……………………13分
（17）（本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）由已知， ，
所以 ．
因為 ，所以 ．
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）因為平面 平面 ，
平面 平面 ，且 ，
所以 平面 .
所以 ， ．
又因為 ，
所以 兩兩垂直． ……………………………………………………5分
如圖所示，建立空間直角坐標系，
因為 ， ，
所以
．
當 時， 為 中點，
所以 ,
所以 ．
設異面直線 與 所成的角為 ，
所以 ，
所以異面直線 與 所成角的余弦值為 ．…………………………………9分
（Ⅲ）設 ，則 ．
由已知 ，所以 ，
所以 所以 ．
設平面 的一個法向量為 ，因為 ,
所以 即
令 ，得 ．
設平面 的一個法向量為 ，因為 ,
所以 即
令 ，則 ．
若平面 平面 ，則 ，所以 ，解得 ．
所以當 時，平面 平面 ．…………………………………………14分
（18）（本小題滿分1 3分）
解：函數定義域為 ， 且 …………2分
①當 ，即 時，令 ，得 ，函數 的單調遞減區間為 ，
令 ，得 ，函數 的單調遞增區間為 .
②當 ，即 時，令 ，得 或 ，
函數 的單調遞增區間為 ， .
令 ，得 ，函數 的單調遞減區間為 .
③當 ，即 時， 恒成立，函數 的單調遞增區間為 . …7分
(Ⅱ)①當 時，由(Ⅰ)可知，函數 的單調遞減區間為 ， 在 單調遞增.
所以 在 上的最小值為 ，
由于 ，
要使 在 上有且只有一個零點，
需滿足 或 解得 或 .
②當 時，由(Ⅰ)可知，
（?）當 時，函數 在 上單調遞增；
且 ，所以 在 上有且只有一個零點.
（?）當 時，函數 在 上單調遞減，在 上單調遞增；
又因為 ，所以當 時，總有 .
因為 ，
所以 .
所以在區間 內必有零點.又因為 在 內單調遞增，
從而當 時， 在 上有且只有一個零點.
綜上所述， 或 或 時， 在 上有且只有一個零點. …………………………………………………………………………………………13分
（19）（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）設橢圓的方程為 ，
依題意得 解得 ， .
所以橢圓 的方程為 . ………………………………………………4分
（Ⅱ）顯然點 .
（1）當直線 的斜率不存在時，不妨設點 在 軸上方，易得 ， ，所以 . …………………………………………6分
（2）當直線 的斜率存在時，由題意可設直線 的方程為 ，顯然 時，不符合題意.
由 得 . 新課 標第 一 網
設 ,則 .
直線 ， 的方程分別為： ，
令 ，則 .
所以 ， . ……………………10分
所以
. ……………………………………………12分
因為 ，所以 ，所以 ，即 .
綜上所述， 的取值范圍是 . ……………………………………14分
（20）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ） . ……3分
（Ⅱ）數 的 倍與 倍分別如下：
其中較大的十個數之和與較小的十個數之和的差為 ，所以 .
對于排列 ，此時 ，
所以 的最大值為 . ……………………………………………………………8分
（Ⅲ）由于數 所產生的 個數都是較小的數，而數 所產生的 個數都是較大的數，所以使 取最大值的排列中，必須保證數 互不相鄰，數 也互不相鄰；而數 和 既不能排在 之一的后面，又不能排在 之一的前面.設 ，并參照下面的符號排列 △○□△○□△○□△○
其中 任意填入 個□中，有 種不同的填法； 任意填入 個圓圈○中，共有 種不同的填法； 填入 個△之一中，有 種不同的填法； 填入 個△中，且當與 在同一個△時，既可以在 之前又可在 之后，共有 種不同的填法，所以當 時，使 達到最大值的所有排列 的個數為 ，由輪換性知，使 達到最大值的所有排列 的個數為 . ……………………………13分


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