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2012版高三數學一輪精品復習學案
第八章 平面解析幾何
【知識特點】
1、本章內容主要包括直線與方程、圓與方程、圓錐曲線，是解析幾何最基本，也是很重要的內容，是高中數學的重點內容，也是高考重點考查的內容之一；
2、本章內容集中體現了用坐標法研究曲線的思想與方法，概念、公式多，內容多，具有較強的綜合性；
3、研究圓錐曲線的方法很類似，因此可利用類比的方法復習橢圓、雙曲線、拋物線的定義與幾何性質，掌握解決解析幾何問題的最基本的方法。
【重點關注】
1、關于直線的方程，直線的斜率、傾斜角，幾種距離公式，兩直線的位置關系，圓錐曲線的定義與性質等知識的試題，都屬于基本題目，多以選擇題、填空題形式出現，一般涉及兩個以上的知識點，這些將是今后高考考查的熱點；
2、關于直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系的題目出現次數較多，既有選擇題、填空題，也有解答題。既考查基礎知識的應用能力，又考查綜合運用知識分析問題、解決問題的能力；
3、直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題多以高檔題出現，要求學生分析問題的能力，計算能力較高；
4、注重數學思想方法的應用
解析法、數形結合思想、函數與方程的思想、轉化與化歸的思想、分類討論思想及待定系數法在各種題型中均有體現，應引起重視。
【地位和作用】
解析幾何是17世紀數學發展的重大成果之一，其本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的重要數學思想。在本模塊中，學生將在平面直角坐標系中建立直線和圓的代數方程，運用代數方法研究它們的幾何性質及其相互位置關系，并了解空間直角坐標系。體會數形結合的思想，初步形成用代數方法解決幾何問題的能力。
在平面解析幾何初步的中，教師應幫助學生經歷如下的過程：首先將幾何問題代數化，用代數的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數問題；處理代數問題；分析代數結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿平面解析幾何的始終，幫助學生不斷地體會“數形結合”的思想方法。
從新課改近兩年來的高考信息統計可以看出，命題呈現出以下特點：
1、各種題型均有所體現，分值大約在19-24分之間，比重較高，以低檔題、中檔題為主；
2、主要考查直線及圓的方程，圓錐曲線的定義、性質及綜合應用，符合考綱要求，這些知識屬于本章的重點內容，是高考的必考內容，有時還注重在知識交匯點處命題；
3、預計本章在今后的高考中仍將以直線及圓的方程，圓錐曲線的定義、性質及直線與圓錐曲線的位置關系為主命題，且難度有所降低；更加注重與其他知識交匯，充分體現以能力立意的命題方向。
第一節 直線與方程
【高考目標導航】
一、基本公式、直線的傾斜角與斜率及直線方程
（一）考綱點擊
1、在平面直角坐標系中，結合具體圖形，掌握確定直線位置的幾何要素；
2、掌握兩點間的距離公式；
3、理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；
4、掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點及一般式），了解斜截式與一次函數的關系。
（二）熱點提示
1、基本公式、直線的斜率、方程以及兩直線的位置關系是高考的重點；
2、常和圓錐曲線綜合命題，重點考查函數與方程、數學形結合思想；
3、多以選擇、填空題的形式出現，屬于中低檔題目。
二、兩條直線的位置關系、點到直線的距離
（一）考綱點擊
1、能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；
2、能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標；
3、掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。
（二）熱點提示
1、兩條直線的平行與垂直是非常重要的位置關系，因此高考中對直線的考查多以此為載體；
2、兩點間距離公式、點到直線的距離公式，兩平行線間的距離公式是高考考查的重點；
3、常在與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的交匯處命題。
【考綱知識梳理】
一、直線的傾斜角與斜率
1、直線的傾斜角與斜率
（1）直線的傾斜角
①關于傾斜角的概念要抓住三點：
?.與x軸相交;
?.x軸正向;
?.直線向上方向.
②直線與x軸平行或重合時,規定它的傾斜角為 .
③傾斜角 的范圍 .
（2）直線的斜率
①直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為 的直線斜率不存在。
②經過兩點 的直線的斜率公式是
③每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率。
2、兩條直線平行與垂直的判定
（1）兩條直線平行
對于兩條不重合的直線 ，其斜率分別為 ，則有 。特別地，當直線 的斜率都不存在時， 的關系為平行。
（2）兩條直線垂直
如果兩條直線 斜率存在，設為 ，則
注：兩條直線 垂直的充要條件是斜率之積為-1，這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直，反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果 中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時， 互相垂直。
二、直線的方程
1、直線方程的幾種形式
名稱方程的形式已知條件局限性
點斜式 為直線上一定點，k為斜率不包括垂直于x軸的直線
斜截式 k為斜率，b是直線在y軸上的截距不包括垂直于x軸的直線
兩點式 且 是直線上兩定點不包括垂直于x軸和y軸的直線
截距式 a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于x軸和y軸或過原點的直線
一般式 A，B，C為系數無限制，可表示任何位置的直線
注：過兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直線是否一定可用兩點式方程表示？（不一定。（1）若x1= x2且y1≠y2，直線垂直于x軸，方程為 ；（2）若 ，直線垂直于y軸，方程為 ；（3）若 ，直線方程可用兩點式表示）
2、線段的中點坐標公式
若點 的坐標分別為 ，且線段 的中點M的坐標為（x,y），則 此公式為線段 的中點坐標公式。
三、直線的交點坐標與距離公式
1.兩條直線的交點
設兩條直線的方程是 ，兩條直線的交點坐標就是方程組 的解，若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；反之，亦成立。
2.幾種距離
（1）兩點間的距離
平面上的兩點 間的距離公式
特別地，原點O（0，0）與任一點P（x,y）的距離
（2）點到直線的距離
點 到直線 的距離 ；
（3）兩條平行線間的距離
兩條平行線 間的距離
注：（1）求點到直線的距離時，直線方程要化為一般式；
（2）求兩條平行線間的距離時，必須將兩直線方程化為系數相同的一般形式后，才能套用公式計算。
四、兩條直線的位置關系


【要點名師透析】
一、直線的傾斜角與斜率
（一）直線的傾斜角
※相關鏈接※

2．已知斜率k的范圍，求傾斜角 的范圍時，若k為正數，則 的范圍為 的子集，且k=tan 為增函數；若k為負數，則 的范圍為 的子集，且k=tan 為增函數。若k的范圍有正有負，則可所范圍按大于等于0或小于0分為兩部分，針對每一部分再根據斜率的增減性求傾斜角范圍。
※例題解析※
〖例〗已知直線的斜率k=-cos ( ∈R).求直線的傾斜角 的取值范圍。
思路解析：cos 的范圍 斜率k的范圍 tan 的范圍 傾斜角 的取值范圍。
解答：

（二）直線的斜率及應用
※相關鏈接※
1、斜率公式： 與兩點順序無關，即兩點的橫縱坐標在公式中前后次序相同；
2、求斜率的一般方法：
（1）已知直線上兩點，根據斜率公式 求斜率；
（2）已知直線的傾斜角 或 的某種三角函數根據 來求斜率；
3、利用斜率證明三點共線的方法：
已知 若 ，則有A、B、C三點共線。
注：斜率變化分成兩段， 是分界線，遇到斜率要謹記，存在與否需討論。
※例題解析※
〖例〗設 是互不相等的三個實數，如果 在同一直線上，求證：
思路解析：若三點共線，則由任兩點所確定的直線斜率相等或都不存在。
解答：

（三）兩條直線的平行與垂直
〖例〗已知點M（2，2），N（5，-2），點P在x軸上，分別求滿足下列條件的P點坐標。
（1）∠MOP=∠OPN（O是坐標原點）；
（2）∠MPN是直角。
思路解析：∠MOP=∠OPN OM//PN，∠MPN是直角 MP NP，故而可利用兩直線平行和垂直的條件求得。
解答：

注：（1）充分掌握兩直線平行的條件及垂直的條件是解決本題的關鍵，對于斜率都存在且不重合的兩條直線 和 ， 。若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意。
（2）注意轉化與化歸思想的應用。
（3）利用斜率的幾何意義可以證明不等式，利用兩斜率之間的關系可以判斷兩直線的平行或垂直，數形結合的思想方法可幫助我們很直觀地分析問題，抓住問題的實質。
二、直線的方程
（一）直線方程的求法
※相關鏈接※
1、求直線方程應先選擇適當的直線方程形式并注意各種形式的適用條件。基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數法求直線的基本量。
用待定系數法求直線方程的步驟：
（1）設所求直線方程的某種形式；
（2）由條件建立所求參數的方程（組）；
（3）解這個方程（組）求參數；
（4）把所求的參數值代入所設直線方程。
2、求直線方程時，首先分析具備什么樣的條件；然后恰當地選用直線方程的形式準確寫出直線方程。要注意若不能斷定直線具有斜率時，應對斜率存在與不存在加以討論。在用截距式時，應先判斷截距是否為0。若不確定，則需分類討論。
※例題解析※
〖例〗求過點P（2，-1），在x軸和y軸上的截距分別為a、b,且滿足a=3b的直線方程。
思路解析：對截距是否為0分類討論 設出直線方程 代入已知條件求解 得直線方程。
解答：當a=3,b≠0時，設所求直線方程為 ，即

（二）用一般式方程判定直線的位置關系
※相關鏈接※
兩條直線位置關系的判定
已知直線 ， ，則
（1）

（2）
（3）

（4）
※例題解析※
〖例〗已知直線 和直線 ，（1）試判斷 與 是否平行；（2） ⊥ 時，求 的值。
思路解析：可直接根據方程的一般式求解，也可根據斜率求解，所求直線的斜率可能不存在，故應按 的斜率是否存在為分類標準進行分類討論。
解答：（1）方法一：

方法二：

（2）方法一：
由
方法二：

（三）直線方程的應用
※相關鏈接※
利用直線方程解決問題，可靈活選用直線方程的形式，以便簡化運算。一般地，已知一點通常選擇點斜式；已知斜率選擇斜截式或點斜式；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式。
另外，從所求的結論來看，若求直線與坐標軸圍成的三角形面積或周長，常選用截距式或點斜式。
注：（1）點斜式與斜截式是兩種常見的直線方程形式，要注意在這兩種形式中所要求直線的斜率存在。
（2）“截距”并非“距離”，可以是正的，也可以是負的，還可以是0。
※例題解析※
〖例〗如圖， 過點P（2，1）作直線 ，分別為交x、y軸正半軸于A、B兩點。
（1）當?AOB的面積最小時，求直線 的方程；
（2）當｜PA｜?｜PB｜取最小值時，求直線 的方程。
思路解析：求直線方程時，要善于根據已知條件，選取適當的形式。由于本題中給出了一點，且直線與x、y軸在正方向上分別相交，故有如下常見思路：
①點斜式：設 的方程為 ，分別求出A、B的坐標，根據題目要求建立目標函數，求出最小值并確立最值成立的條件；
②截距式：設 的方程為 ，將點（2，1）代入得出a與b的關系，建立目標函數，求最小值及最值成立的條件；
③根據題意，設出一個角，建立目標函數，利用三角函數的有關知識解決。
解答：（1）方法一：設 的方程為 ，則

方法二：設所求直線方程為 ，由已知得 ，于是 。當且僅當 ，即 時， 取最大值 ，此時 取最小值4。故所求的直線 的方程為 ，即 。
方法三：設所求直線方程為 ，由已知得


（2）方法一：

方法二：

注：解析法解決實際問題，就是在實際問題中建立直角坐標系，用坐標表示點，用方程表示曲線，從而把問題轉化為代數問題，利用代數的方法使問題得到解決。
三、直線的交點坐標與距離公式
（一）有關距離問題
※相關鏈接※
1、點到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式是常用的公式，應熟練掌握。
2、點到幾種特殊直線的距離
（1）點 到x軸的距離 。
（2）點 到y軸的距離 .
（3）點 到與x軸平行的直線y=a的距離 。
（4）點 到與y軸平行的直線x=b的距離 .
注：點到直線的距離公式當A=0或B=0時，公式仍成立，但也可不用公式而直接用數形結合法來求距離。
※例題解析※
〖例〗已知點P（2，-1）。
（1）求過P點且與原點距離為2的直線 的方程；
（2）求過P點且與原點距離最大的直線 的方程，最大距離是多少？
（3）是否存在過P點且與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由。
思路解析：設出直線方程 由點到直線距離求參數 判斷何時取得最大值并求之。
解答：（1）過P點的直線 與原點距離為2，而P點坐標為（2，-1），可見，過P（2，-1）且垂直于x軸的直線滿足條件。此時 的斜率不存在，其方程為x=2。若斜率存在，設 的方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知，得 ，解得 。此時 的方程為3x-4y-10=0.
綜上，可得直線 的方程為x=2或3x-4y-10=0.
（2）作圖可得過P點與原點O距離最大的直線是過P點且與PO垂直的直線，由 ⊥OP，得 所以 由直線方程的點斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直線2x-y-5=0是過P點且與原點O距離最大的直線，最大距離為 。
（3）由（2）可知，過P點不存在到原點距離超過 的直線，因此不存在過P點且到原點距離為6的直線。
（二）有關對稱問題
※相關鏈接※
常見的對稱問題：
（1）中心對稱
①若點 及 關于 對稱，則由中點坐標公式得
②直線關于點的對稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程，或者求出一個對稱點，再利用 ，由點斜式得到所求直線方程。
（2）軸對稱
①點關于直線的對稱
若兩點 關于直線 ：Ax+By+C=0對稱，則線段 的中點在對稱軸 上，而且連接 的直線垂直于對稱軸 上，由方程組

可得到點 關于 對稱的點 的坐標 （其中 ）
②直線關于直線的對稱
此類問題一般轉化為點關于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行。
※例題解析※
〖例〗求直線 關于直線 對稱的直線 的方程。
思路解析：轉化為點關于直線的對稱問題，利用方程組求解。
解答：方法一：由 知直線 與 的交點坐標為（-2，-1），設直線 的方程為y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直線 上任取一點（1，2），由題設知點（1，2）到直線 、 的距離相等，由點到直線的距離公式得
，解得 ，
∴直線 的方程為x-2y=0.
方法二：設所求直線上一點為P（x,y）,則在直線 上必存在一點 與點P關于直線對稱。
由題設：直線 與直線 垂直，且線段 的中點 在直線上。
∴ 代入直線 得x+1=2(y-1)+3,
整理得x-2y=0.
所以所求直線方程為x-2y=0.
（三）解析法（坐標法）應用
〖例〗（12）如圖，已知P是等腰三角形ABC的底邊BC上一點，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析法證明PM+PN為定值。

思路解析： 建立直角坐標系利用點到直線的距離公式求出PM和PN的長度。
解答：過點A作AO⊥BC，垂足為O，以O為原點，建立如圖所示的直角坐標，……………1分

設B（-a,0），C（a,0）(a>0),A（0，b）,P( ,0),a,b為定值， 為參數，-a≤ ≤a,
∴AB的方程是bx-ay+ab=0,AC的方程是bx+ay-ab=0,……………………………………………………4分
由點到直線的距離公式得 ………………7分
∵a>0,b>0,∴ab>0,-ab<0,把原點坐標代入AB，AC方程左端分別得ab,-ab,且點P在直線AB，AC的下方，∴b +ab>0,b - ab<0,………………………………………………10分
∴ ……………………12分
注：解析法（坐標法）即通過建立平面直角坐標系，把幾何問題轉化成代數問題，用處理代數問題的方法解決，這種方法是聯系平面解析幾何的紐帶。求定值問題，應先表示出要證明為定值的式子，最后出現定值。
【感悟高考真題】
1．（2011?北京高考文科?T8）已知點 ， .若點C在函數 的圖象上，則使得 的面積為2的點C的個數為（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
【思路點撥】設出點C的坐標，求出AB方程，利用點到直線距離公式求出AB邊上的高，再利用面積為2可出點C的個數.
【精講精析】選A.設 ，則AB： ，AB= ,點C到直線AB的距離為d= .又因為點C在 上，所以 .令 ，解得 .所以滿足條件的點有4個.

2．（2011?安徽高考理科?Ｔ15）在平面直角坐標系中，如果 與y都是整數，就稱點 為整點，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點
②如果 與 都是無理數，則直線 不經過任何整點
③直線 經過無窮多個整點，當且僅當 經過兩個不同的整點
④直線 經過無窮多個整點的充分必要條件是： 與 都是有理數
⑤存在恰經過一個整點的直線
【思路點撥】考查數形結合，空間想象能力，特例的取得與一般性的檢驗.根據命題的特點選擇合適的情形.
【精講精析】①例如 ，②如 過整點（1,0），③設 ( )是過原點的直線，若此直線過兩個整點 ，則有 ， ，兩式相減得 ，則點 也在直線 上，通過這種方法可以得到直線 經過無窮多個整點，通過上下平移 得對于 也成立，所以③正確；④如 不經過無窮多個整點, ⑤如直線 ,只經過（0,0）.故答案：①③⑤

3．（2011?安徽高考理科?Ｔ17）如圖， 為多面體，平面 與平面 垂直，點 在線段 上， △ ，△ ，△ ，△ 都是正三角形。
（Ⅰ）證明直線 ∥ ；
（Ⅱ）求棱錐 ? 的體積.

【思路點撥】（Ⅰ）可以采用綜合法與向量法兩種方法，綜合法關鍵是作出輔助線，延長EB與DA相交.向量法關鍵是建系寫坐標.（Ⅱ）利用錐體體積公式，算出底面積與高.
【精講精析】（Ⅰ）(綜合法)
證明：設G是線段DA與線段EB的延長線的交點，由于 與 都是正三角形，所以
同理，設 是線段DA與線段FC延長線的交點，有 又由于G和 都在線段DA的延長線上，所以G與 重合.
在 和 中，由 和 可知B,C分別是GE和GF的中點，所以BC是 的中位線，故BC//EF.
(向量法)
過點F作 ，交AD于點Q，連接QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.
由條件知
則有
所以 即得BC//EF.
（II）解：由OB=1,OE=2, 知 ，而 是邊長為2的正三角形，故 ，所以
過點F作FQ⊥AD,交AD于點Q,由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱錐F-OBED的高，且 ，所以


4．（2011?安徽高考文科?Ｔ17）設直線
（I）證明 與 相交；
（II）證明 與 的交點在橢圓
【思路點撥】（Ⅰ）反證法；先假設 與 不相交,之后推出矛盾.（Ⅱ）求出交點，代入方程.
【精講精析】（Ⅰ）反證法.假設 與 不相交，則 與 平行，有 代入 ，得 .
此與 為實數的事實相矛盾.從而 即 與 相交.
（Ⅱ）由方程組

解得交點P的坐標（x,y）為

而
即P(x,y)在橢圓 .

【考點模擬演練】
一、選擇題
1．傾斜角為45?，在 軸上的截距為 的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
2．傾斜角為45?，在 軸上的截距為 的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
3．過原點和 在復平面內對應點的直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
4．已知過點 和 的直線與直線 平行，則 的值為（　 　）
A. B. C. D.
解析：
5．在平面直角坐標系中，點A(1，2)、點B(3，1)到直線l的距離分別為1和2，則符合條件的直線條數為 ( )
A．3 B．2 C．4 D．1
答案：B
6．設 分別是 中 所對邊的邊長,則直線 與 的位置關系是( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直
答案：B
7．點P(2,3)到直線：ax+(a－1)y+3=0的距離d為最大時，d與a的值依次為 （ ）
A．3,-3 B．5,1 C．5,2 D．7,1
答案：B
8．已知 ，則直線 通過（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
解析：
9．若方程 表示一條直線，則實數 滿足（ ）
A. B.
C. D. ， ，
解析： 不能同時為
10．若點 到直線 的距離為4，且點 在不等式 表示的平面區域內，則實數 的值為（ ）
A.7 B.－7 C.3 D.－3
答案：
11．已知點 到直線 的距離相等，則實數 的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
12．過點 的直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于P、Q兩點，且 ，則直線l的方程為（ ）
A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0
答案：D
二、填空題
13．已知A、B、C三點的坐標分別是(0,-2)、(0,0)、(3,1),若點M滿足 ,點N滿足 ，點P滿足 ，則P點的軌跡方程是 .
答案：x2+y2-2x-y=0
14．若直線 與 垂直，則 的值是 ．
答案：2
15．函數 圖像上的點到直線 距離的最小值是 _
答案：
16．直線 為參數）上與點 的距離等于 的點的坐標是
答案：（-3，4）或（-1，2）
三、解答題
17．已知直線 ，
（1）系數為什么值時，方程表示通過原點的直線；
（2）系數滿足什么關系時與坐標軸都相交；
（3）系數滿足什么條件時只與x軸相交；
（4）系數滿足什么條件時是x軸；
（5）設 為直線 上一點，
證明：這條直線的方程可以寫成 .
解答：（1）把原點 代入 ，得 ；（2）此時斜率存在且不為零
即 且 ；（3）此時斜率不存在，且不與 軸重合，即 且 ；
（4） 且
（5）證明： 在直線 上

.
18．（本小題滿分14分）
已知函數 的定義域為 ，且 . 設點 是函數圖象上的任意一點，過點 分別作直線 和 軸的垂線，垂足分別為 ．
（1）求 的值；（2分）
（2）問： 是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說明理由；（5分）
（3）設 為原點，求四邊形 面積最小值（7分）

本小題主要考查位置關系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力，滿分14分,
解答：（1）∵ ，∴ . （2分）
（2）點 的坐標為 ，
則有 ， ，（3分）
由點到直線的距離公式可知： ，（6分）
故有 ，即 為定值，這個值為1. （7分）
（3）由題意可設 ，可知 .（8分）
∵ 與直線 垂直，∴ ，即 ，解得
，又 ，∴ .（10分）
∴ ， ，（12分）
∴ ，
當且僅當 時，等號成立．
∴ 此時四邊形 面積有最小值 ．（14分）

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