【導(dǎo)語】不去耕耘，不去播種，再肥的沃土也長不出莊稼，不去奮斗，不去創(chuàng)造，再美的青春也結(jié)不出碩果。不要讓追求之舟停泊在幻想的港灣，而應(yīng)揚起奮斗的風(fēng)帆，駛向現(xiàn)實生活的大海。逍遙右腦為正在拼搏的你整理了《高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷及答案》，希望對你有幫助！
【一】
一、選擇題：（共15個小題，每小題4分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）
1．已知全集U=R，A=，B=x，則A∪B=（）
A．?1≤x≤2B．?1≤x＜2C．x＜?1或x≥2D．0＜x＜2
2．已知，那么cosα=（）
A．B．C．D．
3．已知D為△ABC的邊BC的中點，△ABC所在平面內(nèi)有一個點P，滿足=+，則的值為（）
A．B．C．1D．2
4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，則cosC=（）
A．B．C．D．
5．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，則（?2）•（3?4）=（）
A．?B．?C．?6?D．?6+
6．設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9=（）
A．63B．45C．36D．27
7．已知角α是第二象限角，且|cos|=?cos，則角是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
8．已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為（）
A．5B．4C．3D．2
9．對任意一個確定的二面角α?l?β，a和b是空間的兩條異面直線，在下面給出的四個條件中，能使a和b所成的角也確定的是（）
A．a(chǎn)∥a且b∥βB．a(chǎn)∥a且b⊥βC．a(chǎn)⊆α且b⊥βD．a(chǎn)⊥α且b⊥β
10．定義2×2矩陣=a1a4?a2a3，若f（x）=，則f（x）的圖象向右平移個單位得到函數(shù)g（x），則函數(shù)g（x）解析式為（）
A．g（x）=?2cos2xB．g（x）=?2sin2x
C．D．
11．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）
A．7B．7C．7D．8
12．若sin（π+α）=，α是第三象限的角，則=（）
A．B．C．2D．?2
13．已知，記數(shù)列an的前n項和為Sn，則使Sn＞0的n的最小值為（）
A．10B．11C．12D．13
14．（1+tan18°）（1+tan27°）的值是（）
A．B．
C．2D．2（tan18°+tan27°）
15．?dāng)?shù)列an滿足：且an是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的范圍是（）
A．B．C．（1，3）D．（2，3）
二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分，將答案填在答題紙上）
16．已知向量=（k，12），=（4，5），=（?k，10），且A、B、C三點共線，則k=．
17．已知向量、滿足||=1，||=1，與的夾角為60°，則|+2|=．
18．在△ABC中，BD為∠ABC的平分線，AB=3，BC=2，AC=，則sin∠ABD等于．
19．在四棱錐S?ABCD中，SA⊥面ABCD，若四邊形ABCD為邊長為2的正方形，SA=3，則此四棱錐外接球的表面積為．
20．設(shè)數(shù)列an的通項為an=2n?7（n∈N*），則|a1|+|a2|+…+|a15|=．
三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
21．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，?x）（x∈R）．
（1）若∥，求|?|
（2）若與夾角為銳角，求x的取值范圍．
22．（文科）已知an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項a1=3，前n項和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，首項b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．
（Ⅰ）求an和bn的通項公式．
（Ⅱ）令Cn=nbn（n∈N+），求cn的前n項和Tn．
23．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2cosB?sin（A?B）sinB+cos（A+C）=?．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．
24．已知如圖：四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，點F為CE上一點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求三棱錐A?DBE的體積；
（3）求二面角D?BE?A的大小．
25．如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）的圖象與坐標(biāo)軸的三個交點為P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=，M為QR的中點，|PM|=．
（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)∠PRQ=θ，求tanθ．
26．設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．
（Ⅰ）求證：lgan是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)Tn是數(shù)列{}的前n項和，求Tn；
（Ⅲ）求使Tn＞（m2?5m）對所有的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合．
2018-2019學(xué)年河北省衡水市冀州中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）
參考答案與試題解析
一、選擇題：（共15個小題，每小題4分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的）
1．已知全集U=R，A=，B=lnx＜0，則A∪B=（）
A．?1≤x≤2B．?1≤x＜2C．xD．0＜x＜2
【考點】并集及其運算．
【分析】求出A與B中不等式的解集，分別確定出A與B，找出兩集合的并集即可．
【解答】解：由A中不等式變形得：≤0，即（x+1）（x?2）＜0，且x?2≠0，
解得：?1≤x＜2，即A=?1≤x＜2，
由B中不等式變形得：lnx＜0=ln1，得到0＜x＜1，即B=0＜x＜1，
則A∪B=?1≤x＜2，
故選：B．
2．已知，那么cosα=（）
A．B．C．D．
【考點】誘導(dǎo)公式的作用．
【分析】已知等式中的角變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡，即可求出cosα的值．
【解答】解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．
故選C．
3．已知D為△ABC的邊BC的中點，△ABC所在平面內(nèi)有一個點P，滿足=+，則的值為（）
A．B．C．1D．2
【考點】平面向量的基本定理及其意義．
【分析】如圖所示，由于=+，可得：PA是平行四邊形PBAC的對角線，PA與BC的交點即為BC的中點D．即可得出．
【解答】解：如圖所示，
∵=+，
∴PA是平行四邊形PBAC的對角線，PA與BC的交點即為BC的中點D．∴=1．
故選：C．
4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，則cosC=（）
A．B．C．D．
【考點】正弦定理．
【分析】由已知及正弦定理可得sinC==，又AB＜AC，利用大邊對大角可得C為銳角，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得cosC得值．
【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=60°，
∴由正弦定理可得：sinC===，
又∵AB＜AC，C為銳角，
∴cosC==．
故選：D．
5．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，則（?2）•（3?4）=（）
A．?B．?C．?6?D．?6+
【考點】平面向量數(shù)量積的運算．
【分析】將式子展開計算．
【解答】解：（?2）•（3?4）=3?4?6+8
=3×1×1×cos120°?4×1×1×cos60°?6×12+8×1×1×cos60°
=??2?6+4
=?．
故選：B．
6．設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9=（）
A．63B．45C．36D．27
【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．
【分析】觀察下標(biāo)間的關(guān)系，知應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求得．
【解答】解：由等差數(shù)列性質(zhì)知S3、S6?S3、S9?S6成等差數(shù)列，即9，27，S9?S6成等差，∴S9?S6=45
∴a7+a8+a9=45
故選B．
7．已知角α是第二象限角，且|cos|=?cos，則角是（）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【考點】三角函數(shù)值的符號．
【分析】根據(jù)α的范圍判斷出的范圍，再由含有絕對值的式子得到角的余弦值的符號，根據(jù)“一全正二正弦三正切四余弦”再進(jìn)一步判斷的范圍．
【解答】解：由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．
又∵|cos|=?cos，∴cos＜0，
∴是第三象限角．
故選C．
8．已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為（）
A．5B．4C．3D．2
【考點】等差數(shù)列的通項公式．
【分析】寫出數(shù)列的第一、三、五、七、九項的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），寫出數(shù)列的第二、四、六、八、十項的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首項和公差表示，兩式相減，得到結(jié)果．
【解答】解：，
故選C．
9．對任意一個確定的二面角α?l?β，a和b是空間的兩條異面直線，在下面給出的四個條件中，能使a和b所成的角也確定的是（）
A．a(chǎn)∥a且b∥βB．a(chǎn)∥a且b⊥βC．a(chǎn)⊆α且b⊥βD．a(chǎn)⊥α且b⊥β
【考點】異面直線及其所成的角．
【分析】作輔助線，利用二面角的定義和線線角的定義證明兩角互補即可．
【解答】解：如圖，若a⊥α且b⊥β，
過A分別作直線a、b的平行線，交兩平面α、β分別為C、B
設(shè)平面ABC與棱l交點為O，連接BO、CO，
易知四邊形ABOC為平面四邊形，可得∠BOC與∠BAC互補
∵α?l?β是大小確定的一個二面角，而∠BOC就是它的平面角，
∴∠BOC是定值，∴∠BAC也是定值，
即a，b所成的角為定值．
故選D
10．定義2×2矩陣=a1a4?a2a3，若f（x）=，則f（x）的圖象向右平移個單位得到函數(shù)g（x），則函數(shù)g（x）解析式為（）
A．g（x）=?2cos2xB．g（x）=?2sin2x
C．D．
【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．
【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)g（x）解析式．
【解答】解：由題意可得f（x）==cos2x?sin2x?cos（+2x）
=cos2x+sin2x=2cos（2x?），
則f（x）的圖象向右平移個單位得到函數(shù)g（x）=2cos[2（x?）?]=2cos（2x?π）=?2cos2x，
故選：A．
11．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）
A．7B．7C．7D．8
【考點】由三視圖求面積、體積．
【分析】根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是棱長為2的正方體，去掉兩個三棱錐剩余的部分，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)即可求出它的體積．
【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是棱長為2的正方體，去掉兩個三棱錐剩余的部分，
如圖所示；
所以該幾何體的體積為
V=V正方體??
=23?××12×2?××1×2×2
=7．
故選：A．
12．若sin（π+α）=，α是第三象限的角，則=（）
A．B．C．2D．?2
【考點】運用誘導(dǎo)公式化簡求值．
【分析】已知等式利用誘導(dǎo)公式化簡求出sinα的值，根據(jù)α為第三象限角，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出cosα的值，原式利用誘導(dǎo)公式化簡，整理后將各自的值代入計算即可求出值．
【解答】解：∵sin（π+α）=?sinα=，即sinα=?，α是第三象限的角，
∴cosα=?，
則原式====?，
故選：B．
13．已知，記數(shù)列an的前n項和為Sn，則使Sn＞0的n的最小值為（）
A．10B．11C．12D．13
【考點】數(shù)列的求和．
【分析】由，可得a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=0，a11＞0，則有S9＜0，S10=0，S11＞0可求
【解答】解：由，
可得a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=0，a11＞0
∴S9＜0，S10=0，S11＞0
使Sn＞0的n的最小值為11
故選：B
14．（1+tan18°）（1+tan27°）的值是（）
A．B．
C．2D．2（tan18°+tan27°）
【考點】兩角和與差的正切函數(shù)．
【分析】要求的式子即1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°，再把tan18°+tan27°=tan45°（1?tan18°tan27°）代入，化簡可得結(jié)果．
【解答】解：（1+tan18°）（1+tan27°）=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan45°（1?tan18°tan27°）+tan18°tan27°=2，
故選C．
15．?dāng)?shù)列an滿足：且an是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的范圍是（）
A．B．C．（1，3）D．（2，3）
【考點】數(shù)列的函數(shù)特性；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．
【分析】根據(jù)題意，首先可得an通項公式，這是一個類似與分段函數(shù)的通項，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，可得；解可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，an=f（n）=；
要使an是遞增數(shù)列，必有；
解可得，2＜a＜3；
故選D．
二、填空題（共5小題，每小題4分，共20分，將答案填在答題紙上）
16．已知向量=（k，12），=（4，5），=（?k，10），且A、B、C三點共線，則k=．
【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；三點共線．
【分析】利用三點共線得到以三點中的一點為起點，另兩點為終點的兩個向量平行，利用向量平行的坐標(biāo)形式的充要條件列出方程求出k．
【解答】解：向量，
∴
又A、B、C三點共線
故（4?k，?7）=λ（?2k，?2）
∴k=
故答案為
17．已知向量、滿足||=1，||=1，與的夾角為60°，則|+2|=．
【考點】平面向量數(shù)量積的運算．
【分析】根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的計算便可得出，從而便可求出，這樣即可求出的值．
【解答】解：根據(jù)條件，；
∴；
∴．
故答案為：．
18．在△ABC中，BD為∠ABC的平分線，AB=3，BC=2，AC=，則sin∠ABD等于．
【考點】正弦定理．
【分析】利用余弦定理求得cos∠ABC=cos2θ的值，可得θ的值．
【解答】解：∵△ABC中，BD為∠ABC的平分線，AB=3，BC=2，AC=，
設(shè)∠ABD=θ，則∠ABC=2θ，
由余弦定理可得cos2θ===，
∴2θ=，∴θ=，
故答案為：．
19．在四棱錐S?ABCD中，SA⊥面ABCD，若四邊形ABCD為邊長為2的正方形，SA=3，則此四棱錐外接球的表面積為17π．
【考點】球內(nèi)接多面體．
【分析】如圖所示，連接AC，BD相交于點O1．取SC的中點，連接OO1．利用三角形的中位線定理可得OO1∥SA．由于SA⊥底面ABCD，可得OO1⊥底面ABCD．可得點O是四棱錐S?ABCD外接球的球心，SC是外接球的直徑．
【解答】解：如圖所示
連接AC，BD相交于點O1．取SC的中點，連接OO1．
則OO1∥SA．
∵SA⊥底面ABCD，
∴OO1⊥底面ABCD．
可得點O是四棱錐S?ABCD外接球的球心．
因此SC是外接球的直徑．
∵SC2=SA2+AC2=9+8=17，∴4R2=17，
∴四棱錐P?ABCD外接球的表面積為4πR2=π•17=17π．
故答案為：17π
20．設(shè)數(shù)列an的通項為an=2n?7（n∈N*），則|a1|+|a2|+…+|a15|=153．
【考點】等差數(shù)列的前n項和．
【分析】先根據(jù)數(shù)列的通項公式大于等于0列出關(guān)于n的不等式，求出不等式的解集即可得到數(shù)列的前三項為負(fù)數(shù)，利用負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，求出前三項的絕對值，正數(shù)的絕對值等于本身把第四項及后面的各項化簡，然后利用等差數(shù)列的前n項和的公式即可求出所求式子的值．
【解答】解：由an=2n?7≥0，解得n≥，所以數(shù)列的前3項為負(fù)數(shù)，
則|a1|+|a2|+…+|a15|
=5+3+1+1+3+5+…+23
=9+12×1+×2
=153．
故答案為：153
三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
21．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，?x）（x∈R）．
（1）若∥，求|?|
（2）若與夾角為銳角，求x的取值范圍．
【考點】平面向量數(shù)量積的運算；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．
【分析】（1）根據(jù)向量平行與坐標(biāo)的關(guān)系列方程解出x，得出的坐標(biāo)，再計算的坐標(biāo)，再計算||；
（2）令得出x的范圍，再去掉同向的情況即可．
【解答】解：（1）∵，∴?x?x（2x+3）=0，解得x=0或x=?2．
當(dāng)x=0時，=（1，0），=（3，0），∴=（?2，0），∴||=2．
當(dāng)x=?2時，=（1，?2），=（?1，2），∴=（2，?4），∴||=2．
綜上，||=2或2．
（2）∵與夾角為銳角，∴，
∴2x+3?x2＞0，解得?1＜x＜3．
又當(dāng)x=0時，，
∴x的取值范圍是（?1，0）∪（0，3）．
22．（文科）已知an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項a1=3，前n項和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，首項b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．
（Ⅰ）求an和bn的通項公式．
（Ⅱ）令Cn=nbn（n∈N+），求cn的前n項和Tn．
【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和．
【分析】（Ⅰ）設(shè)公差為d，公比為q，則a2b2=（3+d）q=12①，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②
聯(lián)立①②結(jié)合d＞0可求d，q，利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式可求an，bn
（Ⅱ）由（I）可得，bn=2n?1，cn=n•2n?1，考慮利用錯位相減求解數(shù)列的和即可
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，公比為q，
則a2b2=（3+d）q=12①
S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②
聯(lián)立①②可得，（3d+7）（d?3）=0
∵an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，d＞0．
則d=3，q=2，
∴an=3+（n?1）×3=3n，bn=2n?1…
（Ⅱ）bn=2n?1，cn=n•2n?1，
∴Tn=c1+c2+…+cnTn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n?12Tn=1•21+2•22+…+（n?1）•2n?1+n•2n…
兩式相減可得，?Tn=1•20+1•21+1•22+…+1•2n?1?n•2n∴?Tn==2n?1?n•2n
∴Tn=（n?1）•2n+1…
23．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2cosB?sin（A?B）sinB+cos（A+C）=?．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．
【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)；向量數(shù)乘的運算及其幾何意義；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知條件利用三角形的內(nèi)角和以及兩角差的余弦函數(shù)，求出A的余弦值，然后求sinA的值；
（Ⅱ）利用，b=5，結(jié)合正弦定理，求出B的正弦函數(shù)，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．
【解答】解：（Ⅰ）由
可得，
可得，
即，
即，
（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，
由題意可知a＞b，即A＞B，所以B=，
由余弦定理可知．
解得c=1，c=?7（舍去）．
向量在方向上的投影：=ccosB=．
24．已知如圖：四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，點F為CE上一點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE∥平面BFD；
（2）求三棱錐A?DBE的體積；
（3）求二面角D?BE?A的大小．
【考點】二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．
【分析】（1）連接AC交BD于G，連結(jié)GF，則G為AC的中點，推導(dǎo)出BF⊥CE，F(xiàn)G為△ACE的中位線，由此能證明AE∥平面BFD．
（2）推導(dǎo)出BF⊥AE，BC⊥AE，AD⊥平面ABE，從而AE⊥BE，由VA?DBE=VD?ABE，能求出三棱錐A?DBE的體積．
（3）由AE⊥BE，AD⊥BE，得到∠DEA是二面角D?BE?A的平面角，由此能求出二面角D?BE?A的大小．
【解答】證明：（1）連接AC交BD于G，連結(jié)GF，
∵ABCD是矩形，∴G為AC的中點，…1分
由BF⊥平面ACE得：BF⊥CE，
由EB=BC知：點F為CE中點，…2分
∴FG為△ACE的中位線，
∴FG∥AE，…3分
∵AE⊄平面BFD，F(xiàn)G⊂平面BFD，
∴AE∥平面BFD．…4分
解：（2）由BF⊥平面ACE得：BF⊥AE，
由BC⊥平面ABE及BC∥AD，得：BC⊥AE，AD⊥平面ABE，
∵BC∩BF=F，∴AE⊥平面BCE，則AE⊥BE，…6分
∴VA?DBE=VD?ABE=，
即三棱錐A?DBE的體積為．…8分
（3）由（2）知：AE⊥BE，AD⊥BE，
∴BE⊥平面ADE，則BE⊥DE，
∴∠DEA是二面角D?BE?A的平面角，…10分
在Rt△ADE中，DE==4，
∴AD=DE，則∠DEA=30°，
∴二面角D?BE?A的大小為30°．…12分．
25．如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）的圖象與坐標(biāo)軸的三個交點為P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=，M為QR的中點，|PM|=．
（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)∠PRQ=θ，求tanθ．
【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．
【分析】（Ⅰ）由已知可得=，從而解得m的值，由圖象可求T，由周期公式可求ω，把p（1，0）代入f（x），結(jié)合|φ|≤，即可求得φ的值，把R（0，?4）代入f（x）=Asin（x?），即可解得A的值，從而可求f（x）的解析式．
（Ⅱ）由∠ORP=?θ，tan∠ORP=，根據(jù)tan（?θ）=即可解得tanθ的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵∠PQR=，∴OQ=OR，∵Q（m，0），∴R（0，?m），…
又M為QR的中點，∴M（，?），又|PM|=，
=，m2?2m?8=0，m=4，m=?2（舍去），…
∴R（0，4），Q（4，0），=3，T=6，=6，，…
把p（1，0）代入f（x）=Asin（x+φ），Asin（+φ）=0，
∵|φ|≤，∴φ=?．…
把R（0，?4）代入f（x）=Asin（x?），Asin（?）=?4，A=．…
f（x）的解析式為f（x）=sin（x?）．
所以m的值為4，f（x）的解析式為f（x）=sin（x?）．…
（Ⅱ）在△OPR中，∠ORP=?θ，tan∠ORP=，
∴tan（?θ）=，…
∴=，解得tanθ=．…
26．設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．
（Ⅰ）求證：lgan是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)Tn是數(shù)列{}的前n項和，求Tn；
（Ⅲ）求使Tn＞（m2?5m）對所有的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合．
【考點】數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定．
【分析】（I）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明lgan是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求出{}的通項公式，利用裂項法即可求Tn；
（Ⅲ）直接解不等式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（I）∵a1=10，an+1=9Sn+10．
∴當(dāng)n=1時，a2=9a1+10=100，
故，
當(dāng)n≥1時，an+1=9Sn+10①，
an+2=9Sn+1+10②，
兩式相減得an+2?an+1=9an+1，
即an+2=10an+1，
即，
即an是首項a1=10，公比q=10的等比數(shù)列，
則數(shù)列an的通項公式；
則lgan=lg10n=n，
則lgan?lgan?1=n?（n?1）=1，為常數(shù)，
即lgan是等差數(shù)列；
（Ⅱ）∵lgan=n，則=（?），
則Tn=3（1?+…+?）=3（1?）=3?，
（Ⅲ）∵Tn=3?≥T1=，
∴要使Tn＞（m2?5m）對所有的n∈N*恒成立，
則＞（m2?5m）對所有的n∈N*恒成立，
解得?1＜m＜6，
故整數(shù)m的取值集合0，1，2，3，4，5．
【二】
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）
1．點P從（?1，0）出發(fā)，沿單位圓x2+y2=1順時針方向運動π弧長到達(dá)Q，則Q點坐標(biāo)（）
A．（?，）B．（?，?）C．（?，?）D．（?，）
2．從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A=抽到一等品，事件B=抽到二等品，事件C=抽到三等品，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．則事件“抽到的不是一等品”的概率為（）
A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3
3．已知，為單位向量，其夾角為60°，則（2?）•=（）
A．?1B．0C．1D．2
4．sin（?15°）=（）
A．B．C．D．
5．已知向量=（?2，1），=（3，0），則在方向上的正射影的數(shù)量為（）
A．?B．C．?2D．2
6．在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，則使△ABC有兩解的x的范圍是（）
A．B．（1，+∞）C．D．（1，2）
7．如圖的程序框圖，如果輸入三個實數(shù)a，b，c，要求輸出這三個數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入下面四個選項中的（）
A．c＞xB．x＞aC．c＞bD．b＞c
8．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若＜cosA，則△ABC為（）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形
9．設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且，，，則與（）
A．反向平行B．同向平行
C．互相垂直D．既不平行也不垂直
10．設(shè)函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=0對稱，則（）
A．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為增函數(shù)
B．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為減函數(shù)
C．y=f（x）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)
D．y=f（x）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)
11．設(shè)O點在△ABC內(nèi)部，且有，則△ABC的面積與△AOC的面積的比為（）
A．2B．C．3D．
12．已知在等邊△ABC中，AB=3，O為中心，過O的直線與△ABC的邊分別交于點M、N，則+的最大值是（）
A．B．2C．D．
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．高一某班有學(xué)生56人，現(xiàn)將所有同學(xué)隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本，則需要將全班同學(xué)分成組．
14．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是銳角，則tan=．
15．有一解三角形的題目因紙張破損，有一條件不清，具體如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（?1）cosB，c=，求角A，若該題的答案是A=60°，請將條件補充完整．
16．在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，且x+y=1，函數(shù)的最小值為，則的最小值為．
三、解答題（共6小題，滿分70分）
17．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知，且，，求f（α?β）的值．
18．在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且=2csinA
（1）確定角C的大小；
（2）若c=，且△ABC的面積為，求a+b的值．
19．如圖，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），設(shè)Z是直線OP上的一動點．
（1）求使•取最小值時的；
（2）對（1）中求出的點Z，求cos∠AZB的值．
20．學(xué)校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生，并統(tǒng)計了他們的數(shù)學(xué)成績（成績均為整數(shù)且滿分為150分），數(shù)學(xué)成績分組及各組頻數(shù)如下：
[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4．
（1）在給出的樣本頻率分布表中，求A，B，C，D的值；
（2）估計成績在120分以上（含120分）學(xué)生的比例；
（3）為了幫助成績差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績，學(xué)校決定成立“二幫一”小組，即從成績在[135，150]的學(xué)生中選兩位同學(xué)，共同幫助成績在[60，75）中的某一位同學(xué)．已知甲同學(xué)的成績?yōu)?2分，乙同學(xué)的成績?yōu)?40分，求甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率．
樣本頻率分布表：
分組頻數(shù)頻率
[60，75）20.04
[75，90）30.06
[90，105）140.28
[105，120）150.30
[120，135）AB
[135，150]40.08
合計CD
21．某休閑農(nóng)莊有一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=25米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建三條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=90°．
（1）設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費用均為4000元，試問如何設(shè)計才能使建設(shè)總費用最低并求出最低總費用．
22．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知向量=（?1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．（1）若⊥，且||=||，求向量；
（2）若向量與向量共線，常數(shù)k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；
（3）當(dāng)（2）問中f（θ）的最大值4時，求•．
參考答案與試題解析
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）
1．點P從（?1，0）出發(fā)，沿單位圓x2+y2=1順時針方向運動π弧長到達(dá)Q，則Q點坐標(biāo)（）
A．（?，）B．（?，?）C．（?，?）D．（?，）
【考點】弧長公式．
【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形，求出∠xOQ的大小，即得Q點的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖所示，；
點P從（?1，0）出發(fā)，沿單位圓x2+y2=1順時針方向運動π弧長到達(dá)Q，
則∠POQ=?2π=，
∴∠xOQ=，
∴cos=?，sin=，
∴Q點的坐標(biāo)為（?，）；
故選：A．
2．從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A=抽到一等品，事件B=抽到二等品，事件C=抽到三等品，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．則事件“抽到的不是一等品”的概率為（）
A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3
【考點】互斥事件的概率加法公式．
【分析】根據(jù)對立事件的概率和為1，結(jié)合題意，即可求出結(jié)果來．
【解答】解：根據(jù)對立事件的概率和為1，得；
∵事件A=抽到一等品，且P（A）=0.65，
∴事件“抽到的不是一等品”的概率為
P=1?P（A）=1?0.65=0.35．
故選：C．
3．已知，為單位向量，其夾角為60°，則（2?）•=（）
A．?1B．0C．1D．2
【考點】平面向量數(shù)量積的運算．
【分析】由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求得、的值，可得（2?）•的值．
【解答】解：由題意可得，=1×1×cos60°=，=1，
∴（2?）•=2?=0，
故選：B．
4．sin（?15°）=（）
A．B．C．D．
【考點】三角函數(shù)的化簡求值；運用誘導(dǎo)公式化簡求值．
【分析】利用兩角差的正弦公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)，即可得出答案．
【解答】解：sin（?15°）=sin（30°?45°）
=sin30°cos45°?cos30°sin45°
=×?×
=．
故選：D．
5．已知向量=（?2，1），=（3，0），則在方向上的正射影的數(shù)量為（）
A．?B．C．?2D．2
【考點】平面向量數(shù)量積的運算．
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的關(guān)系進(jìn)行化簡，結(jié)合向量投影的定義進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵向量=（?2，1），=（3，0），
∴在方向上的正射影為||cos＜，＞===?2，
故選：C
6．在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，則使△ABC有兩解的x的范圍是（）
A．B．（1，+∞）C．D．（1，2）
【考點】正弦定理．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由題意得到三角形有兩解的條件為b=x＞a，bsinA＜a，即可確定出x的范圍．
【解答】解：結(jié)合圖形可知，三角形有兩解的條件為b=x＞a，bsinA＜a，
∴b=x＞1，xsin30°＜1，
則使△ABC有兩解的x的范圍是1＜x＜2，
故選：D．
7．如圖的程序框圖，如果輸入三個實數(shù)a，b，c，要求輸出這三個數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應(yīng)該填入下面四個選項中的（）
A．c＞xB．x＞aC．c＞bD．b＞c
【考點】程序框圖．
【分析】根據(jù)流程圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用，由于該題的目的是選擇最大數(shù)，因此根據(jù)第一個選擇框作用是比較x與b的大小，故第二個選擇框的作用應(yīng)該是比較x與c的大小，而且條件成立時，保存最大值的變量X=C．
【解答】解：由流程圖可知：
第一個選擇框作用是比較x與b的大小，
故第二個選擇框的作用應(yīng)該是比較x與c的大小，
∵條件成立時，保存最大值的變量X=C
故選A．
8．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若＜cosA，則△ABC為（）
A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形
【考點】三角形的形狀判斷．
【分析】由已知結(jié)合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0從而有sinAcosB＜0結(jié)合三角形的性質(zhì)可求
【解答】解：∵＜cosA，
由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA
∴sin（A+B）＜sinBcosA
∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA
∴sinAcosB＜0又sinA＞0
∴cosB＜0即B為鈍角
故選：A
9．設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且，，，則與（）
A．反向平行B．同向平行
C．互相垂直D．既不平行也不垂直
【考點】平行向量與共線向量．
【分析】根據(jù)向量的定必分點性質(zhì)可分別表示出，，，
然后三者相加即可得到答案．
【解答】解：由定比分點的向量式得：，，，
以上三式相加得，
故選A
10．設(shè)函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=0對稱，則（）
A．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為增函數(shù)
B．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為減函數(shù)
C．y=f（x）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)
D．y=f（x）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)
【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)．
【分析】將函數(shù)解析式提取2，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式，求出函數(shù)的最小正周期，再由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，將x=0代入函數(shù)解析式中的角度中，并令結(jié)果等于kπ（k∈Z），再由φ的范圍，求出φ的度數(shù)，代入確定出函數(shù)解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間確定出函數(shù)的得到遞減區(qū)間為[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函數(shù)在（0，）上為減函數(shù)，進(jìn)而得到正確的選項．
【解答】解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）
=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]
=2cos（2x+φ?），
∵ω=2，
∴T==π，
又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，
∴φ?=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），
又|φ|＜，
∴φ=，
∴f（x）=2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為[kπ，kπ+]（k∈Z），
又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），
∴函數(shù)在（0，）上為減函數(shù)，
則y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，）上為減函數(shù)．
故選B
11．設(shè)O點在△ABC內(nèi)部，且有，則△ABC的面積與△AOC的面積的比為（）
A．2B．C．3D．
【考點】向量在幾何中的應(yīng)用．
【分析】根據(jù)，變形得∴，利用向量加法的平行四邊形法則可得2=?4，從而確定點O的位置，進(jìn)而求得△ABC的面積與△AOC的面積的比．
【解答】解：分別取AC、BC的中點D、E，
∵，
∴，即2=?4，
∴O是DE的一個三等分點，
∴=3，
故選C．
12．已知在等邊△ABC中，AB=3，O為中心，過O的直線與△ABC的邊分別交于點M、N，則+的最大值是（）
A．B．2C．D．
【考點】解三角形的實際應(yīng)用．
【分析】如圖所示，設(shè)∠AOM=θ．由點O是正△ABC的中心，AC=3．可得AD?AC•sin60°，AO=AD．在△AMO中，由正弦定理可得：OM==，同理在△ANO中，可得：ON=．代入即可得出．
【解答】解：如圖所示，設(shè)∠AOM=θ．
∵點O是正△ABC的中心，AC=3．
∴AD?AC•sin60°=，AO=AD=．
在△AMO中，由正弦定理可得：=，
∴OM==，
同理在△ANO中，由正弦定理可得：ON=．
∴=+==2sinθ．
∵，由過O的直線交AB于M，交AC于N，
可得，
因此當(dāng)時，取得最大值2．
故選：B．
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．高一某班有學(xué)生56人，現(xiàn)將所有同學(xué)隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本，則需要將全班同學(xué)分成8組．
【考點】系統(tǒng)抽樣方法．
【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣進(jìn)行求解即可．
【解答】解：高一某班有學(xué)生56人，系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本，
則56÷8=7，
即樣本間隔為7，每7人一組，共需要分成8組，
故答案為：8
14．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是銳角，則tan=1+．
【考點】兩角和與差的正切函數(shù)；半角的三角函數(shù)．
【分析】先利用正切的兩角和公式求得tan（α+β）的值，進(jìn)而求得α+β，的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式即可計算得解．
【解答】解：tan（α+β）===?1，
∵α、β都是銳角，
∴α+β=，可得：=，tan＞0，
∵tan（α+β）=?1=，整理可得：tan2?2tan?1=0，
∴解得：tan=1+，或1?（舍去）．
故答案為：1+．
15．有一解三角形的題目因紙張破損，有一條件不清，具體如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（?1）cosB，c=，求角A，若該題的答案是A=60°，請將條件補充完整．
【考點】余弦定理．
【分析】利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得B，再利用兩角和的正弦公式求得sin75°的值，再利用正弦定理求得c的值．
【解答】解：在△ABC中，∵已知a=，2cos2=（?1）cosB，
∴1+cos（A+C）=（?1）cosB，
即1?cosB=（?1）cosB，∴cosB=，∴B=．
若A=60°，則C=180°?A?B=75°，sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，
則由正弦定理可得=，求得c=，
故答案為：．
16．在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，且x+y=1，函數(shù)的最小值為，則的最小值為．
【考點】向量加減混合運算及其幾何意義．
【分析】在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，函數(shù)f（m）的最小值為．利用數(shù)量積的性質(zhì)可得∠ACB，進(jìn)而再利用數(shù)量積的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，函數(shù)f（m）的最小值為．
∴函數(shù)==，
化為4m2?8mcos∠ACB+1≥0恒成立．
當(dāng)且僅當(dāng)m==cos∠ACB時等號成立，代入得到，∴．
∴===x2+（1?x）2?x（1?x）=，
當(dāng)且僅當(dāng)x==y時，取得最小值，
∴的最小值為．
故答案為：．
三、解答題（共6小題，滿分70分）
17．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知，且，，求f（α?β）的值．
【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；兩角和與差的余弦函數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)題意求出A，圖象經(jīng)過點，代入方程求出φ，然后求f（x）的解析式；
（2），且，，求出，然后求出sinα，sinβ，利用兩角差的余弦函數(shù)求f（α?β）的值．
【解答】解：（1）依題意有A=1，則f（x）=sin（x+φ），將點代入得，而0＜φ＜π，∴，∴，故．
（2）依題意有，而，∴，．
18．在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且=2csinA
（1）確定角C的大小；
（2）若c=，且△ABC的面積為，求a+b的值．
【考點】解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化成角的正弦，整理可求得sinC，進(jìn)而求得C．
（2）利用三角形面積求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．
【解答】解：（1）∵=2csinA
∴正弦定理得，
∵A銳角，
∴sinA＞0，
∴，
又∵C銳角，
∴
（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC
即7=a2+b2?ab，
又由△ABC的面積得．
即ab=6，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25
由于a+b為正，所以a+b=5．
19．如圖，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），設(shè)Z是直線OP上的一動點．
（1）求使•取最小值時的；
（2）對（1）中求出的點Z，求cos∠AZB的值．
【考點】平面向量的綜合題．
【分析】（1）運用向量共線的坐標(biāo)表示，求得向量ZA，ZB的坐標(biāo)，由數(shù)量積的標(biāo)準(zhǔn)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得最小值，及向量OZ；
（2）求得t=2的向量ZA，ZB，以及模的大小，由向量的夾角公式，計算即可得到．
【解答】解：（1）∵Z是直線OP上的一點，
∴∥，
設(shè)實數(shù)t，使=t，
∴=t（2，1）=（2t，t），
則=?=（1，7）?（2t，t）=（1?2t，7?t），
=?=（5，1）?（2t，t）=（5?2t，1?t）．
∴•=（1?2t）（5?2t）+（7?t）（1?t）
=5t2?20t+12=5（t?2）2?8．
當(dāng)t=2時，•有最小值?8，
此時=（2t，t）=（4，2）．
（2）當(dāng)t=2時，=（1?2t，7?t）=（?3，5），||=，
=（5?2t，1?t）=（1，?1），||=．
故cos∠AZB?=
=?=?．
20．學(xué)校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生，并統(tǒng)計了他們的數(shù)學(xué)成績（成績均為整數(shù)且滿分為150分），數(shù)學(xué)成績分組及各組頻數(shù)如下：
[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4．
（1）在給出的樣本頻率分布表中，求A，B，C，D的值；
（2）估計成績在120分以上（含120分）學(xué)生的比例；
（3）為了幫助成績差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)成績，學(xué)校決定成立“二幫一”小組，即從成績在[135，150]的學(xué)生中選兩位同學(xué)，共同幫助成績在[60，75）中的某一位同學(xué)．已知甲同學(xué)的成績?yōu)?2分，乙同學(xué)的成績?yōu)?40分，求甲、乙兩同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率．
樣本頻率分布表：
分組頻數(shù)頻率
[60，75）20.04
[75，90）30.06
[90，105）140.28
[105，120）150.30
[120，135）AB
[135，150]40.08
合計CD
【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．
【分析】（1）由樣本頻率分布表，能求出A，B，C，D的值．
（2）由頻率分布表能估計成績在120分以上（含120分）的學(xué)生比例．
（3）成績在[60，75）內(nèi)有2人，記為甲、A，成績在[135，150]內(nèi)有4人，記為乙，B，C，D，由此利用列舉法能求出甲、乙同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率．
【解答】解：（1）由樣本頻率分布表，得：
C=50，A=50?2?3?14?15?4=12，B==0.24，D=1．
（2）估計成績在120分以上（含120分）的學(xué)生比例為：0.24+0.08=0.32．
（3）成績在[60，75）內(nèi)有2人，記為甲、A，
成績在[135，150]內(nèi)有4人，記為乙，B，C，D，
則“二幫一”小組有以下12種分組辦法：
甲乙B，甲乙C，甲乙D，甲BC，甲BD，甲CD，A乙B，A乙C，A乙D，ABC，ABD，ACD，
其中甲、乙兩同學(xué)被分在同一小組有3種辦法：甲乙B，甲乙C，甲乙D，
∴甲、乙同學(xué)恰好被安排在同一小組的概率為：p=．
21．某休閑農(nóng)莊有一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=25米，為了便于游客休閑散步，該農(nóng)莊決定在魚塘內(nèi)建三條如圖所示的觀光走廊OE、EF和OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=90°．
（1）設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，三條走廊每米建設(shè)費用均為4000元，試問如何設(shè)計才能使建設(shè)總費用最低并求出最低總費用．
【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；函數(shù)解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）要將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，需把△OEF的三邊分別用含有α的關(guān)系式來表示，而OE，
OF，分別可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，從而可求．
（2）要求鋪路總費用最低，只要求△OEF的周長l的最小值即可．由（1）得l=，α∈[，]，
利用換元，設(shè)sinα+cosα=t，則sinαcosα=，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值．
【解答】解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=
在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=．
又∠EOF=90°，
∴EF==，
∴l(xiāng)=OE+OF+EF=．
當(dāng)點F在點D時，這時角α最小，此時α=；
當(dāng)點E在C點時，這時角α最大，求得此時α=．
故此函數(shù)的定義域為[，]；
（2）由題意知，要求鋪路總費用最低，只要求△OEF的周長l的最小值即可．
由（1）得，l=，α∈[，]，
設(shè)sinα+cosα=t，則sinαcosα=，
∴l(xiāng)==
由t=sinα+cosα=sin（α+），
又≤α+≤，得，
∴，
從而當(dāng)α=，即BE=25時，lmin=50（+1），
所以當(dāng)BE=AF=25米時，鋪路總費用最低，最低總費用為200000（+1）元．
22．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知向量=（?1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．（1）若⊥，且||=||，求向量；
（2）若向量與向量共線，常數(shù)k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；
（3）當(dāng)（2）問中f（θ）的最大值4時，求•．
【考點】平面向量數(shù)量積的運算．
【分析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于n，t的方程組，并解即可．
（2）向量與向量共線，得出f（θ）=tsinθ=（?2ksinθ+16）sinθ，利用配方法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解．
（3）根據(jù)（2）問中f（θ）的最大值4時，建立方程關(guān)系求出k或θ，求即可．
【解答】解：（1），∵，
∴8?n+2t=0
又，∴（n?8）2+t2=5×64得t=±8，
∴或（?8，?8）
（2），
∵向量與向量共線，
∴t=?2ksinθ+16，f（θ）=tsinθ=（?2ksinθ+16）sinθ=
①，∴時，f（θ）=tsinθ取最大值為，
sinθ=?1時，f（θ）取得最小值為?2k?16，
此時函數(shù)的值域為[?2k?16，]
②，
∴sinθ=1時，tsinθ取最大值為?2k+16，
sinθ=?1時，f（θ）取得最小值為?2k?16，
此時函數(shù)的值域為[?2k?16，?2k+16]．
（3）①當(dāng)k＞4時，由=4，得k=8，此時，，
∴
②當(dāng)0＜k＜4時，由?2k+16=4，得k=6，（舍去）
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