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遼寧省東北育才學校2014-2014學年高一第一次月考數學試題 答題時間：120分鐘 滿分：150分 命題：高一數學組
一、：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1. 下列函數中，在 上為增函數的是（ ）
A. B.
C. D.
2.Sin2005°=（ ）
A．sin25° B．cos25° C．－sin25° D．－cos25°
3.若 ,則 的值為 （ ）
A B C D
4.已知集合 ,則E 與F的關系是( )
A. B. C. D.
5.已知偶函數 在區間 單調增加，則滿足 ＜ 的x 取值范圍是（ ）
A（ ， ） B ［ ， ） C（ ， ） D ［ ， ）
6.已知tan? tan?是方程x2+3 x+4=0的兩根，若?，??(- )，則?+?=（ ）
A． B． 或- C．- 或 D．-
7.已知偶函數y=f(x)在區間〔-1,0〕是減函數,又 是銳角三角形的兩個內角,則（ ）
A f(sin )＞f(cos ) B　 f(sin )＜ f(cos )
C 　f(sin )＞f(sin ) D　　f(cos )＜f(cos )
8..若 為第二象限角，則 = ( )
A． B． C． D 2
9．定義兩種運算： ， ，則
是（ ）函數．
A．奇函數 B．偶函數
C．既奇又偶函數 D．非奇非偶函數
10.已知函數 、 、 ,且 ， ， ，則 的值（ ）
A、一定大于零 B、一定小于零 C、等于零 D、正負都有
11．已知角 的終邊上一點的坐標為（ ），則正角 的最小值為（ ）。
A、 B、 C、 D、
12．給出下列三個命題：
①函數 與 是同一函數；
②在?ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA= ，則?C的大小應為 ；
③已知集合 ，若 則實數 的取值范圍是 ，則 =4。
其中真命題是（ ）
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
二、題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．集合 ， ，則集合M，N的關系是 。
14.如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的兩根，則sin(α＋β)cos(α－β)＝________.
15．求值： = .
16. 已知二次函數 與x軸交點的橫坐標為 （ ）．則對于下列結論：①當 時， ；②當 時， ；③關于x方程 有兩個不等實根；④ ；⑤ ．其中正確的結論是　　　　　　　�。�（只需填序號）
三、解答題：本大題共70分
17．（本小題滿分10分）
已知 .
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求 的值.
18. （本小題滿分12分）
已知
（1）求
19．(本題滿分12分)
如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(Rt?FHE,H是直角頂點)來處理污水,管道越長，污水凈化效果越好.設計要求管道的接口H是AB的中點，E,F分別落在線段BC,AD上.已知AB=20米，AD=103米，記∠BHE=θ.
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數,并寫出定義域；
（2）若sinθ+cosθ=2，求此時管道的長度L；
（3）問：當θ取何值時，污水凈化效果最好？
并求出此時管道的長度.
20．（本小題滿分12分）
已知集合 ， .
若 ，求實數 的取值范圍.
21. （本小題滿分12分）
設二次函數 ,已知不論 為何實數恒有 ,
(1)求證: ；
(2)求證: ；
(3)若函數 的最大值為8,求 值.
22（本小題滿分12分）
定義在R上的增函數y=f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
(Ⅰ)求f（0）
（Ⅱ）求證f（x）為奇函數；
（Ⅲ）若f（ ）+f（3 －9 －2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．
遼寧省東北育才學校2014-2014學年高二10月月考數學試題
答題時間：120分鐘 滿分：150分 命題：高一數學組
1. 下列函數中，在 上為增函數的是（ ）. D
A. B.
C. D.
2.Sin2005°=C
A．sin25°B．cos25°C．－sin25°D．－cos25°
3.若 ,則 的值為 【A】
（A） （B） （C） (D)
4.已知集合 ,則E與F的關系是( )A. B. C. D.
5.已知偶函數 在區間 單調增加，則滿足 ＜ 的x 取值范圍是
（A）（ ， ） (B) ［ ， ） (C)（ ， ） (D) ［ ， ）
【解析】由于f(x)是偶函數,故f(x)＝f(x)
∴得f(2x－1)＜f( ),再根據f(x)的單調性
得2x－1＜ 解得 ＜x＜
【答案】A
6．已知tan? tan?是方程x2+3 x+4=0的兩根，若?，??(- )，則?+?=（ ）
A． B． 或- C．- 或 D．-
正確答案：D 錯因：學生不能準確限制角的范圍。
7.已知偶函數y=f(x)在區間〔-1,0〕是減函數,又 是銳角三角形的兩個內角,則
A f(sin )＞f(cos ) B　 f(sin )＜ f(cos )
C 　f(sin )＞f(sin ) D　　f(cos )＜f(cos )
8..若 為第二象限角，則 = ( B )
A． B． C． D 2
9．定義兩種運算： ， ，則
是（ ）函數．（ ）
A．奇函數 B．偶函數
C．既奇又偶函數 D．非奇非偶函數
答案 A.
10、已知函數 、 、 ,且 ， ， ，則 的值 （ ）
A、一定大于零 B、一定小于零 C、等于零 D、正負都有
11．已知角 的終邊上一點的坐標為（ ），則正角 的最小值為（ ）。
A、 B、 C、 D、
正解：D ，而
所以，角 的終邊在第四象限，所以選D，
誤解： ,選B
12．給出下列三個命題：
①函數 與 是同一函數；
②在?ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA= ，則?C的大小應為 。
③已知集合 ，若 則實數 的取值范圍是 ，則 =4
其中真命題是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
【答案】C
【解析】考查相同函數、函數對稱性的判斷、周期性知識�？紤]定義域不同，①錯誤；排除A、B，驗證③【解析】 考查集合的子集的概念及利用對數的性質解不等式。
由 得 ， ；由 知 ，所以 4。
,選擇C。
二
13．集合 ， ，則集合M，N的關系是 。M
14.如果tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的兩根，則sin(α＋β)cos(α－β)＝________.
解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，則sin(α＋β)cos(α－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ
＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝31－3＝－32.答案：－32
15．求值： = .
16. 已知二次函數 與x軸交點的橫坐標為 （ ）．則對于下列結論：①當 時， ；②當 時， ；③關于x方程 有兩個不等實根；④ ；⑤ ．其中正確的結論是　134　　　　　　　．（只需填序號）
三．
17．已知 .
（I）求sinx－cosx的值； （Ⅱ）求 的值.
思路分析：將sinx-cosx= 平方，求出sinxcosx的值，進而求出（sinx-cosx）2，然后由角的范圍確定sinx-cosx的符號.
解法：（Ⅰ）由
即
又 故
（Ⅱ）
18.已知
（3）求 (2)求 .
解析：(1)由 則
(2)由 知 （舍正）
由
在 時， 與 矛盾，舍去.
在 時， 可取.因此 .
所以
19．(本題滿分12分) 如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(Rt?FHE,H是直角頂點)來處理污水,管道越長，污水凈化效果越好.設計要求管道的接口H是AB的中點，E,F分別落在線段BC,AD上.已知AB=20米，AD=103米，記∠BHE=θ.
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數,并寫出定義域；
（2）若sinθ+cosθ=2，求此時管道的長度L；
（3）問：當θ取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度.
解：（1）EH=10cosθ，FH=10sinθ
EF=10sinθcosθ 分
由于BE=10tanθ≤103, AF=10tanθ≤103 故33≤tanθ≤3,θ∈[π6,π3]分
L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ，θ∈[π6,π3]
(2) sinθ+cosθ=2時，sinθ?cosθ=12,
L=20(2+1);
(3)L=10cosθ+10sinθ+10sinθcosθ=10(sinθ+cosθ+1sinθcosθ)
設sinθ+cosθ=t 則sinθ?cosθ=t2-12
由于θ∈[π6,π3]，所以t=sinθ+cosθ=2sin(θ+π4)∈[3+12, 2]
L=20t-1在[3+12, 2]內單調遞減，
于是當t=3+12時，即θ=π6,θ=π3時L的最大值20(3+1)米.
答：當θ=π6或θ=π3時所鋪設的管道最短，為20(3+1)米分
20．（本小題滿分12分）
已知集合 ， .
若 ，求實數 的取值范圍.
20．解：由 得
即
由條件知，上述關于 的方程在 內必有解. ……………………3分
設
①若在 內只有一個解，
則
得 . ………………………………………………7分
②若在 有兩個解（含兩個相同的解），
則 得 ∴ .
由①②知： . ………………………………………………12分
21. 設二次函數 ,已知不論 為何實數恒有 ,
(1)求證: ；
(2)求證: ；
(3)若函數 的最大值為8,求 值.
21. 解(1) ， ， ， 恒成立. ， ，
即 恒成立. .
（2） ， ， ， .
（3）由題意可知： ，
①，
② ，
由① ，② 可得 b = ,c = 3 .
22（本小題滿分12分）
定義在R上的增函數y=f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
(Ⅰ)求f（0）
（Ⅱ）求證f（x）為奇函數；
（Ⅲ）若f（ ）+f（3 －9 －2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．
22．（本小題滿分12分）
解：(Ⅰ)令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．………2分
（Ⅱ）令y=-x，代入①式，得 f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，則有
0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）對任意x∈R成立，
所以f（x）是奇函數． ………………………………6分
(Ⅲ) 因為f（x）在R上是增函數，又由（Ⅱ）知f（x）是奇函數．
f（ ）＜-f（3 -9 -2）=f（-3 +9 +2）， ＜-3 +9 +2，
3 -（1+k） +2＞0對任意x∈R成立． …… …………………8分
令t=3 ＞0，問題等價于t -（1+k）t+2＞0對任意t＞0恒成立．
，其對稱軸為
………………10分
解得：
綜上所述，當 時，
f（ ）+f（3 -9 -2）＜0對任意x∈R恒成立.…12分
法二：由 ＜-3 +9 +2………………8分
得 ……………9分
，即u的最小值為 ，………11分


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