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江蘇省南通市通北片2012-2013學年八年級（下）期中
數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、：（每小題2分，共20分）
1．（2分）若分式 有意義，則x的取值范圍是（　　）
　A．x≠2B．x≠?2C．x＞?2D．x＞2

考點：分式有意義的條件．.
分析：分式有意義的條件是分母不為0，
解答：解：分式有意義，則x?2≠0，
∴x≠2．
故選A．
點評：本題比較簡單，考查了分式有意義的條件：分母不能為0．
　
2．（2分）在式子 ， ， ， + ， 中，分式的個數是（　　）
　A．5B．4C．3D．2

考點：分式的定義．.
分析：判斷分式的依據是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
解答：解： ， + 的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式．
， ， 分母中含有字母，因此是分式．
故選C．
點評：本題考查的是分式的定義，在解答此題時要注意分式是形式定義，只要是分母中含有未知數的式子即為分式．
　
3．（2分）下列函數是反比例函數的是（　　）
　A．y= B．y= C．y= D．y=

考點：反比例函數的定義．.
分析：此題應根據反比例函數的定義，解析式符合y= （k≠0）的形式為反比例函數．
解答：解：A、y= 是正比例函數，錯誤；
B、y= 是反比例函數，正確；
C、y= 不符合反比例函數的定義，錯誤；
D、y= 不符合反比例函數的定義，錯誤．
故選B．
點評：本題考查了反比例函數的定義，重點是掌握反比例函數解析式的一般式 （k≠0）．
　
4．（2分）現修建一座既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的花壇，征集到設計方案有平行四邊形、正三角形、等腰三角形、矩形、菱形、正方形等圖案，你認為符合條件的有（　　）
　A．3個B．4個C．5個D．6個

考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形．.
分析：根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念并分析各圖形的特征求解．
解答：解：平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；
正三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；
等腰三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；
矩形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；
菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；
正方形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；
綜上可得符合條件的有3個．
故選A．
點評：本題考查了軸對稱及中心對稱的知識，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．
　
5．（2分）如果把分式 中的x，y都擴大3倍，那么分式的值（　　）
　A．擴大3倍B．不變C．縮小3倍D．擴大2倍

考點：分式的基本性質．.
分析：依題意，分別用3x和3y去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質化簡即可．
解答：解：分別用3x和3y去代換原分式中的x和y，
得 = = ，
可見新分式與原分式相等．
故選B．
點評：解題的關鍵是抓住分子、分母變化的倍數．
規律總結：解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結論．
　
6．（2分）如圖，一棵大樹在離地面9米高的B處斷裂，樹頂A落在離樹底BC的12米處，則大樹斷裂之前的高度為（　　）

　A．9米B．15米C．21米D．24米

考點：勾股定理的應用．.
專題：．
分析：根據大樹折斷部分、下部、地面恰好構成直角三角形，根據勾股定理解答即可．
解答：解：由題意得BC=9，在直角三角形ABC中，根據勾股定理得：AB= =15米．
所以大樹的高度是15+9=24米．
故選D．
點評：本題考查了勾股定理．熟記9，12，15這組勾股數，計算的時候較快．
　
7．（2分）（2001•哈爾濱）直角三角形的兩條直角邊長分別為6c和8c，則連接這兩條直角邊中點線段的長為（　　）
　A．3cB．4cC．5cD．12c

考點：三角形中位線定理；勾股定理．.
分析：由題意可知：BC=6，AC=8．根據勾股定理得：BA=10．D、E是兩直角邊的中點，即為三角形中位線，根據中位線性質即可解答．
解答：解：如圖所示，在RT△ABC中，BC=6，AC=8，
根據勾股定理得：AB= =10，
又D、E是兩直角邊的中點，
所以DE= AB=5
故選C．

點評：此題不但考查了勾股定理，還考查了三角形中位線定理，所以學生要把學過的知識融合起來．要培養整體思維的能力．
　
8．（2分）下列命題中不正確的是（　　）
　A．直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半
　B．矩形的對角線相等
　C．矩形的對角線互相垂直
　D．矩形是軸對稱圖形

考點：命題與定理．.
分析：根據直角三角形斜邊上的性質對A進行判斷；根據矩形的性質對B、C、D進行判斷．
解答：解：A、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，所以A選項的命題正確；
B、矩形的對角線相等，所以B選項的命題正確；
C、矩形的對角線相等且互相平分，所以C選項的命題不正確；
D、矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸，所以D選項的命題正確．
故選C．
點評：本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．
　
9．（2分）順次連結矩形各邊的中點，所成的四邊形一定是（　　）
　A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．梯形

考點：中點四邊形．.
分析：因為題中給出的條件是中點，所以可利用三角形中位線性質，以及矩形對角線相等去證明四條邊都相等，從而說明是一個菱形．
解答：解：連接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH= BD，
同理FG= BD，HG= AC，EF= AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四邊形EFGH為菱形．
故選C．

點評：本題考查了菱形的判定，菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分．
　
10．（2分）如圖，過四邊形ABCD的各頂點作對角線BD，AC的平行線圍成四邊形EFGH，若四邊形EFGH是菱形，則原四邊形一定是（　　）

　A．菱形B．平行四邊形
　C．矩形D．對角線相等的四邊形

考點：菱形的性質．.
分析：推出四邊形EFGH、HGCA\DGFB是平行四邊形，推出GH=GF，則可求解．
解答：解：∵EH∥BD，GF∥BD，
∴EH∥GF，
∵EF∥AC，GH∥AC，
∴EF∥GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵GH∥AC，EH∥CG，
∴四邊形HACG是平行四邊形，
∴GH=AC，
同理GF=BD，
∴GH=GF，
∴平行四邊形EFGH是菱形，
故選D．
點評：此題主要考查平行四邊形和菱形的判定．
　
二、題：（每空3分，共30分）
11．（3分）1納米=0.000000001米，則7.5納米用科學記數表示為　7.5×10?9米　．

考點：科學記數法—表示較小的數．.
分析：首先把7.5納米化為0.0000000075米，再用科學記數法表示，絕對值小于1的正數利用科學記數法表示，一般形式為a×10?n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
解答：解：7.5納米=0.0000000075米=7.5×10?9米，
故答案為：7.5×10?9米．
點評：本題主要考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10?n，其中1≤a＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
　
12．（3分）若反比例函數y= 的圖象分布在第一、三象限，則k的取值范圍是
　k＞?2　．

考點：反比例函數的性質．.
專題：．
分析：讓反比例函數的比例系數大于0列式求值即可．
解答：解：∵反比例函數y= 的圖象分布在第一、三象限，
∴k+2＞0，
解得k＞?2．
故答案為：k＞?2．
點評：考查反比例函數的性質；用到的知識點為：反比例函數的圖象在一、三象限，比例系數大于0．
　
13．（3分）已知正方形的邊長為10c，則對角線的長為　10 　 c．

考點：正方形的性質．.
分析：作一個邊長為4c的正方形，連接對角線，構成一個直角三角形如下圖所示：由勾股定理得AD2=AB2+BD2，求出AD的值即可．
解答：解：如圖所示：
四邊形ABCD是邊長為4c的正方形，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD= = =10 c．
所以對角線的長：AD=10 c．

點評：本題主要考查勾股定理的應用，應先構造一個直角三角形，在直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，作圖可以使整個題變得簡潔明了
　
14．（3分）已知反比例函數的圖象經過A（2，6），那么點B（?3，一4）是否在這個函數的圖象上　在　 （填“在”或“不在）．

考點：待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數圖象上點的坐標特征．.
分析：計算點B的橫縱坐標的積與點A的橫縱坐標的積是否相等即可．
解答：解：∵反比例函數的圖象經過A（2，6），
∴k=2×6=12．
又∵?3×（一4）=12=k，
∴點B（?3，一4）在這個函數的圖象上．
故答案為：在．
點評：考查反比例函數的圖象上的點的坐標的特征．用到的知識點為：反比例函數圖象上點的橫縱坐標的積相等．
　
15．（3分）（2013•資陽）在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若∠AOB=60°，AC=10，則AB=　5　．

考點：含30度角的直角三角形；矩形的性質．.
分析：根據矩形的性質，可以得到△AOB是等邊三角形，則可以求得OA的長，進而求得AB的長．
解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等邊三角形．
∴AB=OA= AC=5，
故答案是：5．

點評：本題考查了矩形的性質，正確理解△AOB是等邊三角形是關鍵．
　
16．（3分）若方程 = 無解，則=　?1　．

考點：分式方程的解．.
專題：．
分析：分式方程無解，即化成整式方程時無解，或者求得的x的值使最簡公分母為0，據此進行解答．
解答：解：方程兩邊同乘x?2，得x?1=?，
∴x=1?．
由于此整式方程一定有解，則此解使最簡公分母為0．
當x?2=0時，x=2，
∴1?=2時，=?1．
故若方程 = 無解，則=?1．
點評：分式方程無解分兩種情況：整式方程本身無解；分式方程產生增根．本題將分式方程化成整式方程以后，發現是一元一次方程，一定有解，則只能是整式方程的根使最簡公分母為0．
　
17．（3分）若菱形兩條對角線長分別為6c和8c，則它的周長為　20c　，面積是　24c2　．

考點：菱形的性質．.
專題：計算題．
分析：根據菱形的對角線互相平分且垂直，可得菱形的周長為20c；根據菱形的面積等于對角線積的一半，可得菱形的面積為24c2．
解答：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD，
∵AC=8c，BD=6c，
∴AD=5c，S菱形ABCD= AC•BD=24c2．
故答案為：20c、24c2．

點評：此題考查了菱形的性質：菱形的對角線互相平分且垂直；菱形的四條邊都相等．解題的關鍵注意菱形面積的求解方法：底乘以高或對角線積的一半．
　
18．（3分）（2005•杭州）當=　3　時，分式 的值為零．

考點：分式的值為零的條件．.
專題：計算題．
分析：要使分式的值為0，必須分式分子的值為0并且分母的值不為0．
解答：解：要使分式由分子（?1）（?3）=0．解得：=1或3；
而=3時，分母2?3+2=2≠0；
當=1時分母2?3+2=1?3+2=0，分式沒有意義．
所以的值為3．
故答案為3．
點評：要注意分母的值一定不能為0，分母的值是0時分式沒有意義．
　
19．（3分）如圖所示，一個梯子AB長5，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C間的距離為3梯子滑動后停在DE位置上，如圖，測得DB的長為1，則梯子頂端A下落了　1　．

考點：勾股定理的應用．.
專題：．
分析：根據梯子、墻、地面構成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
解答：解：在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，根據勾股定理得AC= =4米，
Rt△CDE中，ED=AB=5，CD=BC+DB=3+1=4米，
根據勾股定理得CE= =3，所以AE=AC?CE=1米，
即梯子頂端下滑了1．
點評：連續運用兩次勾股定理，分別求得AC和CE的長，進一步求得AE的長．
　
20．（3分）（2009•莆田）如圖，在x軸的正半軸上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，過點A1、A2、A3、A4、A5分別作x軸的垂線與反比例函數y= （x≠0）的圖象相交于點P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5，并設其面積分別為S1、S2、S3、S4、S5，則S5的值為　 　．

考點：反比例函數系數k的幾何意義．.
專題：壓軸題；規律型．
分析：根據反比例函數 中k的幾何意義再結合圖象即可解答．
解答：解：∵過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，S= k．
∴S1=1，S△OA2P2=1，
∵OA1=A1A2，
∴ S△OA2P2= ，
同理可得，S2= S1= ，S3= S1= ，S4= S1= ，S5= S1= ．

點評：主要考查了反比例函數 中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為k，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系即S= k．
　
三、解答題：（共50分）
21．（5分）已知y是x的反比例函數，當x=2時，y=6．
（1）寫出y與x的函數關系式；
（2）求當x=4時y的值．

考點：待定系數法求反比例函數解析式．.
專題：待定系數法．
分析：（1）因為函數經過一定點，將此點坐標代入函數解析式 （k≠0）即可求得k的值，從而求得反比例函數的解析式．
（2）把x=4代入函數的解析式，求出y的值．
解答：解：（1）設
∵當x=2時，y=6
∴
解得k=12
∴
（2）把x=4代入 ，得 ．
點評：本題考查的是用待定系數法求反比例函數的解析式，比較簡單．
　
22．（5分）（2013•武漢）解方程： ．

考點：解分式方程．.
分析：觀察可得最簡公分母是x（x?3），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解．
解答：解：方程兩邊同乘以x（x?3），得2x=3（x?3）．
解這個方程，得x=9．
檢驗：將x=9代入x（x?3）知，x（x?3）≠0．
所以x=9是原方程的根．
點評：本題考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程時需對得到的解進行檢驗．
　
23．（6分）判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15．

考點：勾股定理的逆定理．.
分析：根據兩小邊的平方和等于最長邊的平方就是直角三角形，否則就不是，分別進行判斷，即可求出答案．
解答：解：（1）∵152+82=172，即a2+b2=c2，則是直角三角形；
（2）132+142≠152，則不是直角三角形．
點評：此題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．
　
24．（6分）先化簡 ，然后選取一個你喜歡的x的值代入計算．

考點：分式的化簡求值．.
專題：計算題；開放型．
分析：先對x2?2x+1分解因式，再進行通分化簡，最后求值．
解答：解：
=
= ，（x≠1）
當x=2時，
原式=2．
點評：主要考查分式的化簡求值比較簡單，不過選擇喜歡的值時，一定要使分母有意義．
　
25．（6分）某空調廠的裝配車間計劃組裝9000臺空調：
（1）從組裝空調開始，每天組裝的臺數（單位：臺/天）與生產時間t（單位：天）之間有怎樣的函數關系？
（2）原計劃用2個月時間，（每月以30天計算）完成，由于氣溫提前升高，廠家決定這批空調提前10天上市，那么原裝配車間每天至少要組裝多少空調？

考點：反比例函數的應用．.
專題：應用題．
分析：首先根據題意，因總工作量為9000臺空調，故每天組裝的臺數與生產時間t之間成反比例關系，即•t=9000；進一步求解可得答案．
解答：解：（1）每天組裝的臺數（單位：臺/天）與生產時間t（單位：天）之間的函數關系： ；
（2）當t=50時， ．
所以，這批空調提前10天上市，那么原裝配車間每天至少要組裝180臺空調．
點評：本題考查反比例函數的定義、性質與運用，解答該類問題的關鍵是確定兩個變量之間的函數關系，然后利用待定系數法求出它們的關系式，進一步根據題意求解答案．
　
26．（6分）如圖，在海上觀察所A，我邊防海警發現正北6k的B處有一可疑船只正在向東方向8k的C處行駛．我邊防海警即刻派船前往C處攔截．若可疑船只的行駛速度為40k/h，則我邊防海警船的速度為多少時，才能恰好在C處將可疑船只截住？

考點：勾股定理的應用．.
分析：首先利用勾股定理求得線段AC的長，然后利用行駛時間相等求得邊防海警船的速度．
解答：解：∵AB=6，BC=8
∴AC= =10k，
∵可疑船只的行駛速度為40k/h，
∴可疑船只的行駛時間為8÷40=0.2小時，
∴我邊防海警船的速度為10÷0.2=50k/小時，
∴我邊防海警船的速度為50k/h時，才能恰好在C處將可疑船只截住．
點評：本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中正確的找到OB，AB的等量關系，并且根據該等量關系在直角△OAB中求解是解題的關鍵．
　
27．（6分）（2010•黔南州）已知：如圖，在▱ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于G．
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

考點：全等三角形的判定；平行四邊形的性質；菱形的性質；矩形的判定．.
專題：幾何綜合題．
分析：（1）在證明全等時常根據已知條件，分析還缺什么條件，然后用（SAS，ASA，SSS）來證明全等；
（2）先由菱形的性質得出AE=BE=DE，再通過角之間的關系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四邊形AGBD是矩形．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵點E、F分別是AB、CD的中點，
∴AE= AB，CF= CD．
∴AE=CF．
在△AED與△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）解：當四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四邊形AGBD是平行四邊形．
∵四邊形BEDF是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°．
∴四邊形AGBD是矩形．

點評：主要考查了平行四邊形的基本性質和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四邊形基本性質：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．三角形全等的判定條件：SSS，SAS，AAS，ASA．
　
28．（10分）如圖，已知反比例函數 的圖象經過第二象限內的點A（?2，），AB⊥x軸于B，△AOB的面積為3，
（1）求k，的值；
（2）若直線y=ax+b經過點A，并且經過反比例函數 的圖象上另一點 ．
①求直線y=ax+b的解析式；
②設直線y=ax+b與x軸交于點，求A的長；
③根據圖象寫出使反比例函數 ＞y=ax+b的值x的取值范圍．

考點：反比例函數綜合題．.
專題：綜合題．
分析：（1）利用△AOB的面積可求出點A的坐標，把點A的坐標代入反比例函數解析式即可求得k的值；
（2）把C坐標代入反比例函數就能求得C完整的坐標：
①把A、C代入一次函數解析式就能求得解析式；
②求出的坐標，利用勾股定理即可求得A長；
③應從A、C兩點入手，判斷出反比例函數 的值＞y=ax+b的值x的取值范圍．
解答：解：（1）∵點A（?2，）在第二象限內
∴AB=，OB=2
∴
即：∴ ，解得=3
∴A（?2，3）
∵點A（?2，3）在反比例函數 的圖象上，
∴ ，解得：k=?6；

（2）由（1）知，反比例函數為 ，
又∵反比例函數 的圖象經過
∴ ，
解得：n=4．
∴
①∵直線y=ax+b過點A（?2，3）、
∴
∴
解方程組得 ∴直線y=ax+b的解析式為 ．
②當y=0時，即 ，解得：x=2，即點（2，0）
在Rt△AB中，∵AB=3，B=BO+O=2+2=4
由勾股定理得：A=5．
③由圖象知：當?2＜x＜0或x＞4時，
反比例函數 的值＞ 的值．

點評：過某個點，這個點的坐標應適合這個函數解析式．求一次函數的解析式需知道它上面的兩個點的坐標；求自變量的取值范圍應該從交點入手思考；需注意反比例函數的自變量不能取0．