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22、（2013•寧波）若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，我們把這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形．
（1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線；
（2）如圖2，在12×16的網格圖上（每個小正方形的邊長為1）有一個扇形BAC，點A．B．C均在格點上，請在答題卷給出的兩個網格圖上各找一個點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形的兩條對角線都是和諧線，并畫出相應的和諧四邊形；
（3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數．

考點：四邊形綜合題．
分析：（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；
（2）根據扇形的性質弧上的點到頂點的距離相等，只要D在上任意一點構成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個以AC為腰的等腰三角形ACD，構成的四邊形ABCD就是和諧四邊形，
（3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運用等邊三角形的性質，正方形的性質和30°的直角三角形性質就可以求出∠BCD的度數．
解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴∠ABD=∠ADB，
∴△ADB是等腰三角形．
在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，
∴∠BDC=∠C=75°，
∴△BCD為等腰三角形，
∴BD是梯形ABCD的和諧線；

（2）由題意作圖為：圖2，圖3

（3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線，
∴△ACD是等腰三角形．
∵AB=AD=BC，
如圖4，當AD=AC時，
∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°．
∵∠BAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠BCD=60°+75°=135°．
如圖5，當AD=CD時，
∴AB=AD=BC=CD．
∵∠BAD=90°，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°
如圖6，當AC=CD時，過點C作CE⊥AD于E，過點B作BF⊥CE于F，
∵AC=CD．CE⊥AD，
∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，
∴四邊形ABFE是矩形．
∴BF=AE．
∵AB=AD=BC，
∴BF=BC，
∴∠BCF=30°．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC=∠ACE，
∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，
∴∠BCD=15°×3=45°．

點評：本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質的運用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質的運用，正方形的性質的運用，30°的直角三角形的性質的運用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時合理運用分類討論思想是關鍵．

23、(2013年南京壓軸題)對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應點順序環繞的方向相同，那么稱這兩個三角形互為順相似；如果沿周界按對應點順序環繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為逆相似。例如，如圖，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA與A’B’C’A’環繞的方向相同，因此△ABC 與△A’B’C’互為順相似；如圖，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA與 A’B’C’A’環繞的方向相反，因此△ABC 與△A’B’C’互為逆相似。

(1) 根據圖I、圖II和圖III滿足的條件，可得下列三對相似三角形： △ADE與△ABC；
 △GHO與△KFO； △NQP與△NQ。其中，互為順相似的是；互為逆相似的是。(填寫所有符合要求的序號)
(2) 如圖，在銳角△ABC中，A<B<C，點P在△ABC的邊上(不與點A、B、C重
合)。過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC互為逆相似。請根據點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明
理由。
解析：

(1) ； (4分)
(2) 解：根據點P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況。
第一種情況：如圖，點P在BC(不含點B、C)上，過點P只能畫出2條截線PQ1、
PQ2，分別使CPQ1=A，BPQ2=A，此時△PQ1C、△PBQ2都與△ABC互為逆相似。
第二種情況：如圖，點P在AC(不含點A、C)上，過點B作CB=A，B交AC
于點。
當點P在A(不含點)上時，過點P1只能畫出1條截線P1Q，使AP1Q=ABC，此
時△AP1Q與△ABC互為逆相似；
當點P在C上時，過點P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使AP2Q1=ABC，
CP2Q2=ABC，此時△AP2Q1、△Q2P2C都與△ABC互為逆相似。

第三種情況：如圖，點P在AB(不含點A、B)上，過點C作BCD=A，ACE=B，
CD、CE分別交AC于點D、E。
當點P在AD(不含點D)上時，過點P只能畫出1條截線P1Q，使AP1Q=ABC，此時
△AQP1與△ABC互為逆相似；
當點P在DE上時，過點P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使AP2Q1=ACB，
BP2Q2=BCA，此時△AQ1P2、△Q2BP2都與△ABC互為逆相似；
當點P在BE(不含點E)上時，過點P3只能畫出1條截線P3Q’，使BP3Q’=BCA，
此時△Q’BP3與△ABC互為逆相似。 (10分)

24、（綿陽市2013年壓軸題）我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性質，如在關線段比．面積比就有一些“漂亮”結論，利用這些性質可以解決三角形中的若干問題。請你利用重心的概念完成如下問題：
（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結AO并延長交BC于D，證明：；
（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；
（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S四邊形BCHG．S△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究 S四邊形BCGHS△AGH 的最大值。

解：（1）證明：如圖1，連結CO并延長交AB于點P，連結PD。
∵點O是△ABC的重心，
∴P是AB的中點，D是BC的中點，PD是△ABC的中位線，AC=2PD， AC // PD，
∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，
△OPD∽△CA，ODAO = PDAC = 12 , ADAO = OD+OAOA= 1+22= 32 ,∴AOAD = 23 ；
（2）點O是是△ABC的重心。
證明：如圖2，作△ABC的中線CP，與 AB邊交于點P，與△ABC的另一條中線AD交于點Q，則點Q是△ABC的重心，根據（1）中的證明可知 AQAD = 23 ，
而 AOAD = 23 ，點Q與點O重合（是同一個點），所以點O是△ABC的重心；
（3）如圖3，連結CO交AB于F，連結BO交AC于E，過點O分別作AB、AC的平行線O、ON，分別
與AC、AB交于點、N，
∵點O是△ABC的重心，
∴ OEBE = 13 ， OFCF = 13 ,
∵ 在△ABE中，O//AB，OAB = OEBE = 13 ，O = 13 AB，
在△ACF中，ON//AC，ONAC = OFCF = 13 ，ON = 13 AC，
在△AGH中，O//AH，OAG = OHGH ，
在△ACH中，ON//AH，ONAH = OGGH ，
∴ OAG + ONAH = OHGH +OGGH =1， 13ABAG + 13ACAH =1, ABAG + ACAH = 3 ,
令ABAG = , ACAH = n , =3-n,
∵ S四邊形BCGHS△AGH = S△ABC-S△AGHS△AGH ,
S四邊形BCGHS△AGH = 12AB•AC•sin∠BAC- 12 AG•AH•sin∠BAC 12 AG•AH•sin∠BAC =AB•AC-AG•AH AG•AH
= AB•ACAG•AH -1= n-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- 32 )2 + 54 ,
∴ 當 ACAH = n = 32 ，GH//BC時， S四邊形BCGHS△AGH 有最大值 54 。
附：BGAG + CHAH=1 或 ABAG + ACAH=3 的另外兩種證明方法的作圖。
方法一：分別過點B、C作AD的平行線BE、CF，分別交直線GH于點E、F。
方法二：分別過點B、C、A、D作直線GH的垂線，垂足分別為E、F、N、。

下面的圖解也能說明問題：

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2013年中考數學題歸類整理11項

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