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安徽省安慶市宿松縣2015屆九年級上學期期末數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中只有一個是正確的，請把正確選項的代號寫在題后的括號內.每一小題，選對得4分，不選、選錯或選出的代號超過一個的（不論是否寫在括號內）一律得0分．
1．sin30°的值是（）
 A．   B．   C．   D． 1

2．拋物線y=?（x?2）2+3的頂點坐標是（）
 A． （?2，3） B ． （2，3） C． （2，?3） D． （?2，?3）

3．若反比例函數y= ，當x＜0時，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（）
 A． k＞?2 B． k＜?2 C ． k＞2 D． k＜2

4．在4×4網格中，∠α的位置如圖所示，則tanα的值為（）
 
 A．   B．   C． 2 D． 

5．如圖，點D在△ABC的邊AC上，添加下列一個條件仍不能判斷△ADB與△ABC相似的是（）
 
 A． ∠ABD=∠C B． ∠ADB=∠ABC C． BC2=CD•AC D． AB2=AD•AC

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，則AC的長是（）
 
 A． 3 B． 4 C． 6 D． 8

7．反比例函數y= 的圖象如圖所示，則二次函數y=x2?kx+k的大致圖象是（）
 
 A．   B．   C．   D． 

8．如圖，菱形ABCD中，點E，F分別是邊AB，AD的中點，連接CE，CF，EF，若四邊形ABCD的面積是40cm2，則△CEF的面積為（）
 
 A． 5cm2 B． 10cm2 C． 15cm2 D． 20cm2

9．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其對稱軸為x=1，下列結論中：①ac＞0；②2a+b=0；③b2?4ac＞0；④a?b+c＞0．正確的是（）
 
 A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②③④

10．如圖，在等邊△ABC的邊長為2cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度向點C移動，同時點Q從點A出發，以1cm/s的速度沿AB?BC的方向向點C移動，若△APQ的面積為S（cm2），則下列最能反映S（cm2）與移動時間t（s）之間函數關系的大致圖象是（）
 
 A．   B．   C．   D． 

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．請寫一個二次函數，使它滿足下列條件：
（1）函數的圖象可由拋物線y=x2平移得到；
（2）當x＞1時，y隨x的增大而增大．
你的結果是．

12．如圖，點A是反比例函數y= 圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸于點B，連接OA，若△OAB的面積為3，則k的值為．
 

13． 如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡度i=3：4，壩高BC=4.5m，則坡面AB的長度為m．
 

14．如圖，四邊形ABCD、CEFG都是正方形，點G在線段CD上，連接BG、DE，DE和FG相交于點O．設AB=a，CG=b（a＞b）．下列結論：①BG⊥DE；② ；③△BCG∽△EFO；④ ．其中正確結論的序號是．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）
 

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．計算：2?2? cos60°?2sin45°+|1? |．

16．已知拋物線y=?x2+bx+c的對稱軸是直線x=?1，且經過點（2，?3），求這個二次函數的表達式．

四、（本大題共2小題 ，每小題8分，滿分16分）
17．如圖 ，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，建立如圖所示的平面直角坐標系，請按要求完成下面的問題：
（1）以圖中的點O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來的兩倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC內一點P的坐標為（a，b），則位似變化后對應的點P′的坐標是．
 

18．平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在坐標軸上，頂點B在第一象限內，如圖所示，且OA=a，OC=b．請根據下列操作，完成后面的問題．
【操作】
（1）連接AC，OB相交于點P1，則點P1的縱坐標為；
（2）過點P1作P1D⊥x軸于點D，連接BD交AC于點P2，則點P2的縱坐標為；
（3）過點P2作P2E⊥x軸于點E，連接BE交AC于點P3，則點P3的縱坐標為；
…
【問題】
（1）過點P3作P3F⊥x軸于點F，連接BF交AC于點P4，直接寫出點P4的縱坐標；
（2）按照上述操作進行下去，猜想點Pn（n為正整數）的縱坐標是．（用含n的代數式表示）
 

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．如圖，AB、CD為兩個建筑物，建筑物AB的高度為80m，從建筑物AB的頂部A點測得建筑物CD的頂部C點的俯角∠EAC為30°，測得建筑物CD的底部D點的俯角∠EAD為69°．
（1）求兩建筑物兩底部之間的水平距離BD的長度（精確到1m）；
（參考數據：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（結果保留根號）．
 

20．如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8．
（1）求sin∠ABD．
（2）揚揚發現∠ABC=2∠ABD，于是她推測：sin∠ABC=2sin∠ABD，它的推測正確嗎？請通過本題圖形中的數據予以說明．
 

六、（本題滿分12分）
21．如圖，反比例函數y= 的圖象與一次函數y=ax+b的圖象交于點A（3，2）和B（?1，n）．
（1）試確定反比例函數與一次函數表達式；
（2）求△OAB的面積S；
（3）結合圖象，直接寫出函數值 ＜ax+b時，自變量x的取值范圍．
 

七、（本題滿分12分）
22．“宿松家樂福超市”以每件20元的價格進購一批商品，試銷一階段后發現，該商品每天的銷售量y（件）與售價x（元/件）之間的函數關系如圖：
（1）求每天銷售量y（件）與售價x（元/件）之間的函數表達式；
（2）若該商品每天的利潤為w（元），試確定w（元）與售價x（元/件）的函數表達式，并求售價x為多少時，每天的利潤w最大？最大利潤是多少？
 

八、（本題滿分14分）
23．如圖①在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A．B重合），分別連接ED．EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．
【試題再現】如圖②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角頂點C在直線DE上，分別過點A，B作AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E．求證：△ADC∽△CEB．
【問題探究】在圖①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，試判斷點E是否四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；
【深入探究】如圖③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于點P，過點P作AB⊥AD于點A，交BC于點B．
（1）請證明點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點；
（2）若AD=3，BC=5，試求AB的長；
 

安徽省安慶市宿松縣2015屆九年級上學期期末數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出代號為A、B、C、D的四個選項，其中只有一個是正確的，請把正確選項的代號寫在題后的括號內.每一小題，選對得4分，不選、選錯或選出的代號超過一個的（不論是否寫在括號內）一律得0分．
1．sin30°的值是（）
 A．   B．   C．   D． 1

考點： 特殊角的三角函數值．
分析： 直接根據特殊角的三角函數值進行計算即可．
解答： 解：sin30°= ．
故選：A．
點評： 本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角度的三角函數值是解答此題的關鍵．

2．拋物線y=?（x?2）2+3的頂點坐標是（）
 A． （?2，3） B． （2，3） C． （2，?3） D． （?2，?3）

考點： 二次函數的性質．
分析： 直接根據二次函數的頂點式進行解答即可．
解答： 解：∵拋物線的解析式為：y=?（x?2）2+3，
∴其頂點坐標為（2，3）．
故選B．
點評： 本題考查的是二次函數的性質，熟知二次函數的頂點式是解答此題的關鍵．

3．若反比例函數y= ，當x＜0時，y隨x的增大而增大，則k的取值范圍是（）
 A． k＞?2 B． k＜?2 C． k＞2 D． k＜2

考點： 反比例函數的性質．
分析： 根據反比例函數的性質列出關于k的不等式，求出k的取值范圍即可．
解答： 解：∵反比例函數y= ，當x＜0時y隨x的增大而增大，
∴k+2＜0，解得k＜?2．
故選：B．
點評： 本題考查了反比例函數的性質．對于反比例函數y= ，當k＞0時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x的增大而減小；當k＜0時，在每一個象限內，函數值y隨自變量x增大而增大．

4．在4×4網格中，∠α的位置如圖所示，則tanα的值為（）
 
 A．   B．   C． 2 D． 

考點： 銳角三角函數的定義．
專題： 網格型．
分析： 根據“角的正切值=對邊÷鄰邊”求解即可．
解答： 解：由圖可得，tanα=2÷1=2．
故選C．
 
點評： 本題考查了銳角三角函數的定義，正確理解正切值的含義是解決此題的關鍵．

5．如圖，點D在△ABC的邊AC上，添加下列一個條件仍不能判斷△ADB與△ABC相似的是（）
 
 A． ∠ABD=∠C B． ∠ADB=∠ABC C． BC2=CD•AC D． AB2=AD•AC

考點： 相似三角形的判定．
分析： 由∠A是公共角，利用有兩角對應相等的三角形相似，即可得C與D正確；又由兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，即可得B正確，繼而求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用．
解答： 解：∵∠A是公共角，
∴當∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC時，△ADB∽△ABC（有兩角對應相等的三角形相似）；
故A與B正確；
當 = ，即AB2=AC•AD時，△ADB∽△ABC（兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似）；
故D正確；
當 = ，即BC2=CD•AC時，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似，
故C錯誤．
故選C．
點評： 此題考查了相似三角形的判定．此題難度不大，注意掌握有兩角對應相等的三角形相似與兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似定理的應用．

6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA= ，則AC的長是（）
 
 A． 3 B． 4 C． 6 D． 8

考點： 銳角三角函數的定義；勾股定理．
分析： 根據銳角三角函數正切等于對邊比鄰邊，可得BC與AC的關系，根據勾股定理，可得AC的長．
解答： 解：由tanA= = ，得
BC=3x，CA=4x，
由勾股定理，得
BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，
解得x=2，
AC=4x=4×2=8．
故選：D．
點評： 本題考查了銳角三角函數，利用了銳角三角函數正切等于對邊比鄰邊，還利用了勾股定理．

7．反比例函數y= 的圖象如圖所示，則二次函數y=x2?kx+k的大致圖象是（）
 
 A．   B．   C．   D． 

考點： 二次函數的圖象；反比例函數的圖象．
分析： 根據反比例函數圖象判斷出k＜0，然后確定出拋物線的對稱軸和開口方向以及與y軸的交點，再選擇答案即可．
解答： 解：∵反比例函數y= 的圖象位于第二四象限，
∴k＜0，
∴二次函數圖象開口向上，
二次函數圖象的對稱軸為直線x=? = k＜0，
x=0時，y=k＜0，
所以，二次函數圖象與y軸的負半軸相交，
縱觀各選項，只有B選項圖形符合．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數圖象，反比例函數圖象，熟練掌握兩函數圖象的特征并確定出k的取值是解題的關鍵．

8．如圖，菱形ABCD中，點E，F分別是邊AB，AD的中點，連接CE，CF，EF，若四邊形ABCD的面積是40cm2，則△CEF的面積為（）
 
 A． 5cm2 B． 10cm2 C． 15cm2 D． 20cm2

考點： 菱形的性質．
分析： 如圖，作輔助線；證明AC⊥BD，AO=CO（設為λ）；證明EF= BD，AO⊥EF；由△ABD∽△AEF，得到 =2，進而得到CM=1.5λ；運用面積公式即可解決問題．
解答： 解：如圖，連接AC，分別交EF、BD于點M、O；
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO（設 為λ）；
∵點E，F分別是邊AB，AD的中點，
∴EF為△ABD的中位線，
∴EF∥BD，EF= BD，AO⊥EF；
∴△ABD∽△AEF，
∴ =2，
∴OM= OA=0.5λ，CM=1.5λ，
∴ ，
∵SABCD=40，
∴S△EFC=15（cm2）．
故選C．
 
點評： 該題主要考查了菱形的性質、三角形的中位線定理、相似三角形的判定及其性質等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線；靈活運用菱形的性質、三角形的中位線定理、相似三角形的判定等知識點來分析、解答．

9．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，其對稱軸為x=1，下列結論中：①ac＞0；②2a+b=0；③b2?4ac＞0；④a?b+c＞0．正確的是（）
 
 A． ①② B． ②③ C． ②③④ D． ①②③④

考點： 二次函數圖象與系數的關系．
分析： 由拋物線開口方向得到a＜0，由拋物線與y軸交點位置得到c＞0，則可對①進行判斷；利用拋物線的對稱方程可對②進行判斷；由拋物線與x軸的交點個數可對③進行判斷；由于x=?1時函數值小于0，則可對④進行判斷．
解答： 解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸交點位于y軸正半軸，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以①錯誤；
∵拋物線的對稱軸為直線x=? =1，
∴b=?2a，即2a+b=0，所以②正確；
∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，
∴b2?4ac＞0，所以③正確；
∵x=?1時，y＜0，
∴a?b+c＜0，所以④錯誤．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數與系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開 口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b2?4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2?4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2?4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．

10．如圖，在等邊△ABC的邊長為2cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度向 點C移動，同時點Q從點A出發，以1cm/s的速度沿AB?BC的方向向點C移動，若△APQ的面積為S（cm2），則下列最能反映S（cm2）與移動時間t（s）之間函數關系的大致圖象是（）
 
 A．   B．   C．   D． 

考點： 動點問題的函數圖象．
分析： 當0≤t≤2和2＜t≤4時，分別求出函數解析式，根據函數的性質分析即可得出結論．
解答： 解：當0≤t≤2時，S= ，
此函數拋物線開口向上，且函數圖象為拋物 線右側的一部分；
當2＜t≤4時，S= ，
此函數圖象是直線的一部分，且S隨t的增大而減小．
所以符合題意的函數圖象只有C．
故選：C．
點評： 本題主要考查了動點問題的函數圖形，分段討論，求出函數表達式是解決問題的關鍵．

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）
11．請寫一個二次函數，使它滿足下列條件：
（1）函數的圖象可由拋物線y=x2平移得到；
（2）當x＞1時，y隨x的增大而增大．
你的結果是y=x2?2x或y=x2?x．

考點： 二次函數圖象與幾何變換．
專題： 開放型．
分析： 可由拋物線y=x2平移得到的拋物線解析式中二次項系數是1；當x＞1時，y隨x的增大而增大，則對稱軸小于1．
解答： 解：∵函數的圖象可由拋物線y=x2平移得到，當x＞1時，y隨x的增大而增大，
∴該函數的解析式為y=x2?2x或y=x2?x．
故答案是：y=x2?2x或y=x2?x．
點評： 本題考查了二次函數圖象與幾何變換．注意，根據（2）可以得到對稱軸小于1是解題的難點．

12．如圖，點A是反比例函數y= 圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸于點B，連接OA，若△OAB的面積為3，則k的值為6．
 

考點： 反比例函數系數k的幾何意義．
分析： 過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S= |k|．
解答： 解：根據題意可知：S△AOB= |k|=3，
又反比例函數的圖象位于第一象限，k＞0，
則k=6．
故答案為：6．
點評： 本題考查反比例函數系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|．本知識點是2015屆中考的重要考點，同學們應高度關注．

13． 如圖，河壩橫斷面迎水坡AB的坡度i=3：4，壩高BC=4.5m，則坡面AB的長度為7.5m．
 

考點： 解直角三角形的應用-坡度坡角問題．
分析： 在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及鉛直高度BC的值，通過解直角三角形即可求出斜面AB的長．
解答： 解：在Rt△ABC中，BC=4.5米，tanA=3：4；
∴AC=BC÷tanA=6米，
∴AB= =7.5米．
故答案為：7.5．
點評： 此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及三角函數的運用能力，熟練運用勾股定理是解答本題的關鍵．

14．如圖，四邊形ABCD、CEFG都是正方形，點G在線段CD上，連接BG、DE，DE和FG相交于點O．設AB=a，CG=b（a＞b）．下列結論：①BG⊥DE；② ；③△BCG∽△EFO；④ ． 其中正確結論的序號是①③④．（把所有正確結論的序號都填在橫線上）
 
考點： 相似三角形的判定與性質；正方形的性質．
分析： 延長BG交DE于點H由四邊形ABCD、CEFG都是正方形，得到BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，通過△BCG≌△DCE，可證得①正確；由EF∥CD，證得△DGO∽△DCE，可得 ，而不是 ，②錯誤；由∠F=∠BCD=90°，∠CBG=∠CDE=∠FEO，得到△BCG∽△EFO，故③正確；根據△EFO∽△DGO，即可得到結果（a?b） 2S△EFO=b2S△DGO，故④正確．
解答： 證明：延長BG交D E于點H．
∵四邊形ABCD、CEFG都是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCG=∠DCE=90°，
在△BCG和△DCE中，
 ，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠CDE=∠CBG，
∵∠DGH=∠BGC，
∴∠BCG=DHG=90°，
即BG⊥DE，故①正確；
∵EF∥CD，
∴∠GDE=∠FEO，
∵∠F?∠DCE=90°，
∴△DGO∽△DCE，
∴ ，而不是 ，
∴故②錯誤；
∵∠F=∠BCD=90°，
∠CBG=∠CDE=∠FEO，
∴△BCG∽△EFO，故③正確；
∵△EFO∽△DGO，
∴ = = ，
∴（a?b）2S△EFO=b2S△DGO，故④正確．
故答案為：①③④．
 
點評： 本題考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
15．計算：2?2? cos60°?2sin45°+|1? |．

考點： 實數的運算；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．
專題： 計算題．
分析： 原式第一項利用負指數冪法則計算，第二、三項利用特殊角的三角函數值計算，最后一項利用絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果．
解答： 解：原式= ? × ?2× + ?1= ? ? + +1=1．
點評： 此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．

16．已知拋物線y=?x2+bx+c的對稱軸是直線x=?1，且經過點（2，?3），求這個二次函數的表達式．

考點： 待定系數法求二次函數解析式．
分析： 由拋物線的一般形式可知：a=?1，由對稱軸方程x=? ，可得一個等式? ①，然后將點（2，?3）代入y=?x2+bx+c即可得到等式?4+2b+c=?3②，然后將①②聯立方程組解答即可．
解答： 解：根據題意，得： ，
解得 ，
所求函數表達式為y=?x2?2x+5．
點評： 此題考查了用待定系數法求二次函數的解析式，解題的關鍵是：熟練掌握待定系數法及對稱軸表達式x=? ．

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）
17．如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，建立如圖所示的平面直角坐標系，請按要求完成下面的問題：
（1）以圖中的點O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來的兩倍，得到△A1B1C1；
（2）若△ABC內一點P的坐標為（a，b），則位似變化后對應的點P′的坐標是（2a，2b）．
 

考點： 作圖-位似變換．
分析： （1）由以圖中的點O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來的兩倍，可得△A1B1C1的坐標，繼而畫出△A1B1C1；
（2）由（1）可得△A1B1C1與△ABC的位似比為2：1，繼而可求得位似變化后對應的點P′的坐標．
解答： 解：（1）如圖：

（2）∵以點O為位似中心，將△ABC作位似變換且同向放大到原來的兩倍，且△ABC內一點P的坐標為（a，b），
∴位似變化后對應的點P′的坐標是：（2a，2b）．
故答案為：（2a，2b）．
 
點評： 此題考查了位似圖形的性質與位似變換．此題難度不大，注意掌握位似圖形的性質是解此題的關鍵．

18．平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在坐標軸上，頂點B在第一象限內，如圖所示，且OA=a，OC=b．請根據下列操作，完成后面的問題．
【操作】
（1）連接AC，OB相交于點P1，則點P1的縱坐標為 a；
（2）過點P1作P1D⊥x軸于點D，連接BD交AC于點P2，則點P2的縱坐標為 a；
（3）過點P2作P2E⊥x軸于點E，連接BE交AC于點P3，則點P3的縱坐標為 a；
…
【問題】
（1）過點P3作P3F⊥x軸于點F，連接BF交AC于點P4，直接寫出點P4的縱坐標；
（2）按照上述操作進行下去，猜想點Pn（n為正整數）的縱坐標是 ．（用含n的代數式表示）
 

考點： 四邊形綜合題．
分析： 【操作】（1）由矩形的性質得出∠AOC=90°，OA=BC，OA∥BC，P1A=P1C= AC，P1O=P1B= OB，證出P1D是△AOC的中位線，得出P1D= OA= a即可；
（2）由平行線得出△DP1P2∽△BCP2，得出對應邊成比例 = ，求出P2E即可；
（3）同（2），即可得出結果；
【問題】（1）由【操作】（1）（2）（3）得出規律，即可得出結果；
（2）由以上得出規律，即可得出結果．
解答： 解：【操作】（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=90°，OA=BC=a，OA∥BC，P1A=P1C= AC，P1O=P1B= OB，
∵P1D⊥x軸，
∴P1D∥AO，
∴P1D是△AOC的中位線，
∴P1D= OA= a，
∴點P1的縱坐標為 a；
故答案為： a；
（2）∵P1D∥OA，OA∥BC，
∴P1D∥BC，
∴△DP1P2∽△BCP2，
∴ = ，
∵P1D⊥x軸，P2E⊥x軸，
∴P2E∥P1 D，
∴ = ，
∴P2E= × a= a，
∴點P2的縱坐標為 a；
故答案為： a；
（3）同（2）可得：點P3的縱坐標為 a；
故答案為： a；
【問題】（1）由：【操作】（1）（2）（3）得出規律，點P4的縱坐標為 a；
（2）由以上得出規律：點Pn（n為正整數）的縱坐標是 ；
故答案為： ．
點評： 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質、三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質、平行線的判定等知識；本題有一定難度，綜合性強，需要運用三角形中位線定理和三角形相似才能得出結果，得出規律．

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）
19．如圖，AB、CD為兩個建筑物，建筑物AB的高度為80m，從建筑物AB的頂部A點測得建筑物CD的頂部C點的俯角∠EAC為30°，測得建筑物CD的底部D點的俯角∠EAD為69°．
（1）求兩建筑物兩底部之間的水平距離BD的長度（精確到1m）；
（參考數據：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，tan69°≈2.70）
（2）求建筑物CD的高度（結果保留根號）．
 

考點： 解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析： （1）先根據平行線的性質得出∠ADB=69°，再由tan69°= 即可得出結論；
（2）先根據平行線的性質得出∠ACF=30°，由tan30°= 得出AF的長，故可得出BF的長，進而得出結論．
解答： 解：（1）∵AE∥BD，∠EAD=69°，
∴在Rt△ABD中，∠ADB=69°，
∵tan69°= ，
∴BD= ．
∴BD≈ ≈30（m）；

（2）過點C作CF⊥AB于點F，在Rt△ACF中，∠ACF=30°，CF=BD≈30，
∵AF∥CF，∠EAC=30°，
∴∠ACF=30°．
∵tan30°= ，
∴AF=CF•tan30°=30× ，
∴CD=BF=80?10 （m）．
 
點評： 本題考查的是解直角三角形的應用?仰角俯角問題，根據題意作出輔助線構造出直角三角形是解答此題的關鍵．

20．如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8．
（1）求sin∠ABD．
（2）揚揚發現∠ABC=2∠ABD，于是她推測：sin∠ABC=2sin∠ABD，它的推測正確嗎？請通過本題圖形中的數據予以說明．
 

考點： 菱形的性質；勾股定理；解直角三角形．
分析： （1）由菱形的性質可得AC⊥BD，AO=3，BO=4，△ABO是直角三角形，再利用勾股定理可得到AB=5，再利用正弦的定義即可求得sin∠ABD的值；
（2）作AE⊥BC，構筑直角三角形ABE，利用平行四邊形的面積求得AE的長度，再在直角三角形ABE中，利用正弦的定義即可求得sin∠ABC，從而可證sin∠ABC與2sin∠ABD不相等．
解答： 解：（1）設AC、BD交于點O，
則AO⊥BO，AO=3，BO=4，
根據勾股定理得 ，
∴sin∠ABD= ．
（2）不正確．
理由：如圖，作AE⊥BC，垂足為E，菱形ABCD的面積= ，
即 ，
得 ，
所以 ．
由（1）得sin∠ABD= ，
∴2sin∠ABD=2× = ≠sin∠ABC，
即揚揚的推測不正確．
 
點評： 本題主要考查菱形的性質，面積公式及銳角三角函數中正弦的定義，掌握好菱形的性質和正弦定義是解題的關鍵．

六、（本題滿分12分）
21．如圖，反比例函數y= 的圖象與一次函數y=ax+b的圖象交于點A（3，2）和B（?1，n）．
（1）試確定反比例函數與一次函數表達式；
（2）求△OAB的面積S；
（3）結合圖象，直接寫出函數值 ＜ax+b時，自變量x的取值范圍．
 

考點： 反比例函數與一次函數的交點問題．
專題： 數形結合．
分析： （1）把點點A的坐標代入y= 就可求出反比例函數表達式，然后把點B的坐標代入反比例函數表達式，就可求出點B的坐標，然后把A、B兩點的坐標代入y=ax+b，就可求出一次函數表達式；
（2）設一次函數y=2x?4的圖象與y軸交點為C，運用割補法將S△OAB轉化為S△OAC+S△OBC，只需求出OC長就可解決問題；
（3）運用數形結合的思想，結合圖象就可解決問題．
解答： 解：（1）∵點A（3，2）在y= 的圖象上，∴2= ，
解得：k=6，
∴反比例函數表達式為y= ；
∵點B（?1，n）在y= 的圖象上，
∴n= =?6，
根據題意，得
 ，
解得： ，
∴一次函數表達式為y=2x?4；

（2）設一次函數y=2x?4的圖象與y軸交點為C，
當x=0時，y=0?4=?4，則點C坐標為（0，?4），
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC= ×4×3+ ×4×1=8；
∴△OAB的面積為8；

（3）結合圖象可得：當?1＜x＜0或x＞3時，函數值 ＜ax+b．
 
點評： 本題考查的是有關反比例函數與一次函數交點問題，在解決問題的過程中，用到待定系數法、割補法等重要的數學方法，還用到數形結合的思想，突出了對數學思想方法的考查，是一道好題．

七、（本題滿分12分）
22．“宿松家樂福超市”以每件20元的價格進購一批商品，試銷一階段后發現，該商品每天的銷售量y（件）與售價x（元/件）之間的函數關系如圖：
（1）求每天銷售量y（件）與售價x（元/件）之間的函數表達式；
（2）若該商品每天的利潤為w（元），試確定w（元）與售價x（元/件）的函數表達式，并求售價x為多少時，每天的利潤w最大？最大利潤是多少？
 

考點： 二次函數的應用．
分析： （1）分別利用當20≤x≤40時，設y=ax+b，當40＜x≤ 60時，設y=mx+n，利用待定系數法求一次函數解析式即可；
（2）利用（1）中所求進而得出w（元）與售價x（元/件）的函數表達式，進而求出函數最值．
解答： 解：（1）分兩種情況：當20≤x≤40時，設y=ax+b，
根據題意，得 ，
解得 ，
故y=x+20；
當40＜x≤60時，設y=mx+n，
根據題意，得 ，
解得 ，故
y=?2x+140；
故每天銷售量y（件）與售價x（元/件）之間的函數表達式是：
y= ．

（2）w= ，
當20≤x≤40時，w=x2?400，
由于1＞0拋物線開口向上，且x＞0時w隨x的增大而增大，又20≤x≤40，
因此當x=40時，w最大值=402?400=1200；
當40＜x≤60時，w=?2x2+180x?2800=?2（x?45）2+1250，
由于?2＜0，拋物線開口向下，又40＜x≤60，
所以當x=45時，w最大值=1250．
綜上所述，當當x=45時，w最大值=1250．
點評： 此題主要考查了二次函數的應用以及一次函數的應用，利用分段函數求出是解題關鍵．

八、（本題滿分14分）
23．如圖①在四 邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A．B重合），分別連接ED．EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．
【試題再現】如圖②，在△ABC中，∠ACB=90°，直角頂點C在直線DE上，分別過點A，B作AD⊥DE于點D，BE⊥DE于點E．求證：△ADC∽△CEB．
【問題探究】在圖①中，若∠A=∠B=∠DEC=40°，試判斷點E是否四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；
【深入探究】如圖③，AD∥BC，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD交DP于點P，過點P作AB⊥AD于點A，交BC于點B．
（1）請證明點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點；
（2）若AD=3，BC=5，試求AB的長；
 

考點： 相似形綜合題．
分析： 【試題再現】根據已知條件證得∠BCE=∠CAD，由∠ADC=∠CEB=90°，于是得到△ADC∽△CEB．
【問題探究】點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．由∠DEC=40°，得到∠DEA+∠CEB=140°；根據∠A=40°，得到∠ADE+∠AED=140°，于是得到∠ADE=∠CEB，推出△ADE∽△BEC，同時得到結論；
【深入探究】（1）根據AD∥BC，得到∠ADC+∠BCD=180°，由于DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，于是得到∠CDP+∠DCP= （∠ADC+∠BCD）=90°，由于∠DPC=∠A=∠B=90°，∠ADP=∠CDP，有一定的△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，即點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點．
（2）過點P作PE⊥DC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，則四邊形ABFD是矩形，得到DF=AB，推出△ADP≌△EDP，得到AD=DE，同理△CBP≌△CEP，得到BC=EC，于是得到DC=AD+BC=8．在Rt△CDF中，CF=BC?BF=BC?AD=5?3=2，由勾股定理，得DF= ，即可得到結論．
解答： 解答：【試題再現】
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵AD⊥DE，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，
∵∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC∽△CEB．

【問題探究】點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．
理由如下：
∵∠DEC=40°，
∴∠DEA+∠ CEB=140°；
∵∠A=40°，
∴∠ADE+∠AED=140°，
∴∠ADE=∠CEB，
∴△ADE∽△BEC，
∴E點是四邊形ABCD的邊AB上的相似點．

【深入探究】
（1）∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠CDP+∠DCP= （∠ADC+∠BCD）=90°，
∵DA⊥AB，
∴CB⊥AB，
∴∠DPC=∠A=∠B=90°，
∵∠ADP=∠CDP，
∴△ADP∽△PDC，同理△BPC∽△PDC，
∴△ADP∽△PDC∽△BPC，即點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點．
（2）過點P作PE⊥DC于點E，過點D作DF⊥BC于點F，則四邊形ABFD是矩形，
∴DF=AB，
在△ADP與△EDP中，
∴△ADP≌△EDP，
∴AD=DE，
同理△CBP≌△CEP，
∴BC=EC，
∴DC=AD+BC=8．
在Rt△CDF中，CF=BC?BF=BC?AD=5?3=2，
由勾股定理，得DF= ，
∴AB=2 ．
 
點評： 本題考查了相似形綜合題，主要利用了相似三角形對應邊成比例，矩形的對邊平行且相等的性質，讀懂題目信息，理解四邊形邊上的相似點與強相似點的定義并根據圖形確定出相似三角形，準確找出對應邊是解題的關鍵．