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湖南省衡陽市2013年中考數學試卷
一、（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）
1．（3分）（2013?衡陽）?3的相反數是（　　）
　A．3B．?3C． D．?
考點：相反數
分析：根據相反數的概念解答即可．
解答：解：?3的相反數是3，
故選A．
點評：本題考查了相反數的意義，一個數的相反數就是在這個數前面添上“?”號；一個正數的相反數是負數，一個負數的相反數是正數，0的相反數是0．
　
2．（3分）（2013?衡陽）如圖，AB平行CD，如果∠B=20°，那么∠C為（　　）
　A．40°B．20°C．60°D．70°
考點：平行線的性質．
分析：根據平行線性質得出∠C=∠B，代入求出即可．
解答：解：∵AB∥CD，∠B=20°，
∴∠C=∠B=20°，
故選B．
點評：本題考查了平行線性質的應用，注意：兩直線平行，內錯角相等．
　
3．（3分）（2013?衡陽）“a是實數，a≥0”這一事件是（　　）
　A．必然事件B．不確定事件C．不可能事件D．隨機事件
考點：隨機事件．
分析：根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念和絕對值的定義可正確解答．
解答：解：因為數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值，
因為a是實數，
所以a≥0．
故選A．
點評：用到的知識點為：必然事件指在一定條件下一定發生的事件．
　
4．（3分）（2013?衡陽）如圖，∠1=100°，∠C=70°，則∠A的大小是（　　）
　A．10°B．20°C．30°D．80°
考點：三角形的外角性質．
分析：根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式進行計算即可得解．
解答：解：∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1?∠C=100°?70°=30°．
故選C．
點評：本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質是解題的關鍵．
　
5．（3分）（2013?衡陽）計算 的結果為（　　）
　A． B． C．3D．5
考點：二次根式的乘除法；零指數冪．
專題：．
分析：原式第一項利用二次根式的法則計算，第二項利用零指數冪法則計算，即可得到結果．
解答：解：原式=2+1=3．
故選C
點評：此題考查了二次根式的乘除法，以及零指數冪，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
　
6．（3分）（2013?衡陽）如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠AOC等于（　　）
　A．50°B．80°C．90°D．100°
考點：圓周角定理．
分析：因為同弧所對圓心角是圓周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．
解答：解：∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ABC=100°．
故選D．
點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．
　
7．（3分）（2013?衡陽）要調查下列問題，你認為哪些適合抽樣調查（　　）
①市場上某種食品的某種添加劑的含量是否符合國家標準
②檢測某地區空氣質量
③調查全市中學生一天的學習時間．
　A．①②B．①③C．②③D．①②③
考點：全面調查與抽樣調查
分析：由普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似．
解答：解：①食品數量較大，不易普查，故適合抽查；
②不能進行普查，必須進行抽查；
③人數較多，不易普查，故適合抽查．
故選D．
點評：本題考查了抽樣調查和全面調查的區別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關重大的調查往往選用普查．
　
8．（3分）（2013?衡陽）下列幾何體中，同一個幾何體的主視圖與俯視圖不同的是（　　）
　A． B． C． D．
考點：簡單幾何體的三視圖．
分析：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、側面和上面看，所得到的圖形．
解答：解：A、圓柱的主視圖與俯視圖都是矩形，錯誤；
B、正方體的主視圖與俯視圖都是正方形，錯誤；
C、圓錐的主視圖是等腰三角形，而俯視圖是圓和圓心，正確；
D、球體主視圖與俯視圖都是圓，錯誤；
故選C．
點評：本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
　
9．（3分）（2013?衡陽）下列運算正確的是（　　）
　A．3a+2b=5abB．a3?a2=a5C．a8?a2=a4D．（2a2）3=?6a6
考點：同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的；冪的乘方與積的乘方．
分析：根據同底數冪的除法，底數不變指數相減；合并同類項，系數相加字母和字母的指數不變；同底數冪的乘法，底數不變指數相加；冪的乘方，底數不變指數相乘，對各選項計算后利用排除法求解．
解答：解：A、不是同類項，不能合并，選項錯誤；
B、正確；
C、a8?a2=a10，選項錯誤；
D、（2a2）3=8a6，選項錯誤．
故選B．
點評：本題考查同底數冪的除法，合并同類項，同底數冪的乘法，冪的乘方很容易混淆，一定要記準法則才能做題．
　
10．（3分）（2013?衡陽）下列命題中，真命題是（　　）
　A．位似圖形一定是相似圖形
　B．等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形
　C．四條邊相等的四邊形是正方形
　D．垂直于同一直線的兩條直線互相垂直
考點：命題與定理
分析：根據位似圖形的定義、等腰梯形的性質、正方形的判定、兩直線的位置關系分別對每一項進行分析即可．
解答：解：A、位似圖形一定是相似圖形是真命題，故本選項正確；
B、等腰梯形既是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，原命題是假命題；
C、四條邊相等的四邊形是菱形，原命題是假命題；
D、同一平面內垂直于同一直線的兩條直線互相垂直，原命題是假命題；
故選A．
點評：此題考查了命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．
　
11．（3分）（2013?衡陽）某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由168元降為128元．已知兩次降價的百分率相同，每次降價的百分率為x，根據題意列方程得（　　）
　A．168（1+x）2=128B．168（1?x）2=128C．168（1?2x）=128D．168（1?x2）=128
考點：由實際問題抽象出一元二次方程．
專題：增長率問題．
分析：設每次降價的百分率為x，根據降價后的價格=降價前的價格（1?降價的百分率），則第一次降價后的價格是168（1?x），第二次后的價格是168（1?x）2，據此即可列方程求解．
解答：解：根據題意得：168（1?x）2=128，
故選B．
點評：此題主要考查了一元二次方程的應用，關鍵是根據題意找到等式兩邊的平衡條件，這種價格問題主要解決價格變化前后的平衡關系，列出方程即可．
　
12．（3分）（2013?衡陽）如圖所示，半徑為1的圓和邊長為3的正方形在同一水平線上，圓沿該水平線從左向右勻速穿過正方形，設穿過時間為t，正方形除去圓部分的面積為S（陰影部分），則S與t的大致圖象為（　　）
　A． B． C． D．
考點：動點問題的函數圖象．
專題：動點型．
分析：本題考查動點函數圖象的問題．
解答：解：由圖中可知：在開始的時候，陰影部分的面積最大，可以排除B，C．
隨著圓的穿行開始，陰影部分的面積開始減小，當圓完全進入正方形時，陰影部分的面積開始不再變化．應排除D．
故選A．
點評：本題應首先看清橫軸和縱軸表示的量，然后根據實際情況采用排除法求解．
　
二、題（本大題共8個小題，每小題3分，滿分24分）
13．（3分）（2013?衡陽）計算 =　2　．
考點：有理數的乘法．
分析：根據有理數的乘法運算法則進行計算即可得解．
解答：解：（?4）×（? ）=4× =2．
故答案為：2．
點評：本題考查了有理數的乘法運算，熟記運算法則是解題的關鍵，要注意符號的處理．
　
14．（3分）（2013?衡陽）反比例函數y= 的圖象經過點（2，?1），則k的值為　?2　．
考點：待定系數法求反比例函數解析式．
分析：將此點坐標代入函數解析式y= （k≠0）即可求得k的值．
解答：解：將點（2，?1）代入解析式可得k=2×（?1）=?2．
故答案為：?2．
點評：本題比較簡單，考查的是用待定系數法求反比例函數的比例系數，是中學階段的重點內容．
　
15．（3分）（2013?衡陽）如圖，在直角△OAB中，∠AOB=30°，將△OAB繞點O逆時針旋轉100°得到△OA1B1，則∠A1OB=　70　°．
考點：旋轉的性質．
專題：探究型．
分析：直接根據圖形旋轉的性質進行解答即可．
解答：解：∵將△OAB繞點O逆時針旋轉100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，
∴△OAB≌△OA1B1，
∴∠A1OB=∠AOB=30°．
∴∠A1OB=∠A1OA?∠AOB=70°．
故答案為：70．
點評：本題考查的是旋轉的性質，熟知圖形旋轉前后對應邊、對應角均相等的性質是解答此題的關鍵．
　
16．（3分）（2013?衡陽）某中學舉行歌詠比賽，以班為單位參賽，評委組的各位評委給九（三）班的演唱打分情況為：89、92、92、95、95、96、97、，從中去掉一個最高分和一個最低分，余下的分數的平均數是最后得分，則該班的得分為　94　．
考點：算術平均數． 4
分析：先去掉一個最低分去掉一個最高分，再根據平均數等于所有數據的和除以數據的個數列出算式進行計算即可．
解答：解：由題意知，最高分和最低分為97，89，
則余下的分數的平均數=（92×2+95×2+96）÷5=94．
故答案為：94．
點評：本題考查了算術平均數，關鍵是根據平均數等于所有數據的和除以數據的個數列出算式．
　
17．（3分）（2013?衡陽）計算： =　a?1　．
考點：分式的加減法．
專題：．
分析：原式利用同分母分式的減法法則計算，約分即可得到結果．
解答：解：原式= =a?1．
故答案為：a?1
點評：此題考查了分式的加減法，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母．
　
18．（3分）（2013?衡陽）已知a+b=2，ab=1，則a2b+ab2的值為　2　．
考點：因式分解的應用．
專題：計算題．
分析：所求式子提取公因式化為積的形式，將各自的值代入計算即可求出值．
解答：解：∵a+b=2，ab=1，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=2．
故答案為：2
點評：此題考查了因式分解的應用，將所求式子進行適當的變形是解本題的關鍵．
　
19．（3分）（2013?衡陽）如圖，要制作一個母線長為8cm，底面圓周長是12πcm的圓錐形小漏斗，若不計損耗，則所需紙板的面積是　48πcm2　．
考點：圓錐的計算．
專題：計算題．
分析：圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2．
解答：解：圓錐形小漏斗的側面積= ×12π×8=48πcm2．
故答案為48πcm2．
點評：本題考查了圓錐的計算，圓錐的側面積=×底面周長×母線長
　
20．（3分）（2013?衡陽）觀察下列按順序排列的等式： ， ， ， ，…，試猜想第n個等式（n為正整數）：an=　 ? 　．
考點：規律型：數字的變化類．
分析：根據題意可知a1=1? ，a2= ? ，a3= ? ，…故an= ? ．
解答：解：通過分析數據可知第n個等式為：an= ? ．
故答案為： ? ．
點評：本題考查了數字變化規律，培養學生通過觀察、歸納、抽象出數列的規律的能力，要求學生首先分析題意，找到規律，并進行推導得出答案．
　
三、解答題（本大題共8個小題，滿分60分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）
21．（6分）（2013?衡陽）先化簡，再求值：（1+a）（1?a）+a（a?2），其中 ．
考點：整式的混合運算?化簡求值．
分析：原式第一項利用平方差公式化簡，第二項利用單項式乘多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，將a的值代入計算即可求出值．
解答：解：原式=1?a2+a2?2a=1?2a，
當a= 時，原式=1?1=0．
點評：此題考查了整式的混合運算?化簡求值，涉及的知識有：平方差公式，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．
　
22．（6分）（2013?衡陽）解不等式組： ；并把解集在數軸上表示出來．
考點：解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集．
分析：先求出不等式的解集，再根據不等式的解集找出不等式組的解集即可．
解答：解：
∵解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＞2，
∴不等式組的解集為x＞2，
在數軸上表示不等式組的解集為
．
點評：本題考查了解一元一次不等式（組），在數軸上表示不等式組的解集的應用，關鍵是能根據不等式的解集找出不等式組的解集．
　
23．（6分）（2013?衡陽）如圖，小方在五月一日假期中到郊外放風箏，風箏飛到C 處時的線長為20米，此時小方正好站在A處，并測得∠CBD=60°，牽引底端B離地面1.5米，求此時風箏離地面的高度（結果精確到個位）
考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：易得DE=AB，利用BC長和60°的正弦值即可求得CD長，加上DE長就是此時風箏離地面的高度．
解答：解：依題意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，
∴四邊形ABDE是矩形，（1分）
∴DE=AB=1.5，（2分）
在Rt△BCD中， ，（3分）
又∵BC=20，∠CBD=60°，
∴CD=BC?sin60°=20× =10 ，（4分）
∴CE=10 +1.5，（5分）
即此時風箏離地面的高度為（10 +1.5）米．
點評：考查仰角的定義，能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形是仰角問題常用的方法．
　
24．（6分）（2013?衡陽）目前我市“校園手機”現象越來越受到社會關注，針對這種現象，我市某中學九年級數學興趣小組的同學隨機調查了學校若干名家長對“中學生帶手機”現象的看法，統計整理并制作了如下的統計圖：
（1）這次調查的家長總數為　600　．家長表示“不贊同”的人數為　80　；
（2）從這次接受調查的家長中隨機抽查一個，恰好是“贊同”的家長的概率是　60%　；
（3）求圖②中表示家長“無所謂”的扇形圓心角的度數．
考點：條形統計圖；扇形統計圖；概率公式．
分析：（1）根據贊成的人數與所占的百分比列式計算即可求調查的家長的總數，然后求出不贊成的人數；
（2）根據扇形統計圖即可得到恰好是“贊同”的家長的概率；
（3）求出無所謂的人數所占的百分比，再乘以360°，計算即可得解．
解答：解：（1）調查的家長總數為：360÷60%=600人，
很贊同的人數：600×20%=120人，
不贊同的人數：600?120?360?40=80人；
（2）“贊同”態度的家長的概率是60%；
（3）表示家長“無所謂”的圓心角的度數為： ×360°=24°．
故答案為：600，80；60%．
點評：本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．
　
25．（8分）（2013?衡陽）為了響應國家節能減排的號召，鼓勵市民節約用電，我市從2014年7月1日起，居民用電實行“一戶一表”的“階梯電價”，分三個檔次收費，第一檔是用電量不超過180千瓦時實行“基本電價”，第二、三檔實行“提高電價”，具體收費情況如右折線圖，請根據圖象回答下列問題；
（1）檔用地阿亮是180千瓦時時，電費是　108　元；
（2）第二檔的用電量范圍是　180＜x≤450　；
（3）“基本電價”是　0.6　元/千瓦時；
（4）小明家8月份的電費是328.5元，這個月他家用電多少千瓦時？
考點：一次函數的應用．
分析：（1）通過函數圖象可以直接得出用電量為180千瓦時，電費的數量；
（2）從函數圖象可以看出第二檔的用電范圍；
（3）運用總費用÷總電量就可以求出基本電價；
（4）結合函數圖象可以得出小明家8月份的用電量超過450千瓦時，先求出直線BC的解析式就可以得出結論．
解答：解：（1）由函數圖象，得
當用電量為180千瓦時，電費為：108元．
故答案為：108；
（2）由函數圖象，得
設第二檔的用電量為x°，則180＜x≤450．
故答案為：180＜x≤450
（3）基本電價是：108÷180=0.6；
故答案為：0.6
（4）設直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得
，
解得： ，
y=0.9x?121.5．
y=328.5時，
x=500．
答：這個月他家用電500千瓦時．
點評：本題考查了運用函數圖象求自變量的取值范圍的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，由解析式通過自變量的值求函數值的運用，解答時讀懂函數圖象的意義是關鍵．
　
26．（8分）（2013?衡陽）如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個動點，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F，已知AD=4．
（1）試說明AE2+CF2的值是一個常數；
（2）過點P作PM∥FC交CD于點M，點P在何位置時線段DM最長，并求出此時DM的值．
考點：正方形的性質；二次函數的最值；全等三角形的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質．
分析：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數；
（2）設AP=x，則PD=4?x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關于x的一元二次函數，求出DM的最大值．
解答：解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數；
（2）設AP=x，則PD=4?x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴ = ，
即 = ，
∴DM= =x? x2，
當x=2時，DM有最大值為1．
點評：本題主要考查正方形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識，此題有一定的難度，是一道不錯的中考試題．
　
27．（10分）（2013?衡陽）如圖，已知拋物線經過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是x=?1．
（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）動點Q從點O出發，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從M從O點出發以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．
考點：二次函數綜合題
分析：（1）利用頂點式、待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）①當四邊形OMPQ為矩形時，滿足條件OM=PQ，據此列一元二次方程求解；
②△AON為等腰三角形時，可能存在三種情形，需要分類討論，逐一計算．
解答：解：（1）根據題意，設拋物線的解析式為：y=a（x+1）2+k，
∵點A（1，0），B（0，3）在拋物線上，
∴ ，
解得：a=?1，k=4，
∴拋物線的解析式為：y=?（x+1）2+4．
（2）①∵四邊形OMPQ為矩形，
∴OM=PQ，即3t=?（t+1）2+4，
整理得：t2+5t?3=0，
解得t= ，由于t= ＜0，故舍去，
∴當t= 秒時，四邊形OMPQ為矩形；
②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON為等腰三角形，有三種情況：
（I）若ON=AN，如答圖1所示：
過點N作ND⊥OA于點D，則D為OA中點，OD= OA= ，
∴t= ；
（II）若ON=OA，如答圖2所示：
過點N作ND⊥OA于點D，設AD=x，則ND=AD?tanA=3x，OD=OA?AD=1?x，
在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，
即（1?x）2+（3x）2=12，解得x1= ，x2=0（舍去），
∴x= ，OD=1?x= ，
∴t= ；
（III）若OA=AN，如答圖3所示：
過點N作ND⊥OA于點D，設AD=x，則ND=AD?tanA=3x，
在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，
即（x）2+（3x）2=12，解得x1= ，x2=? （舍去），
∴OD=1?x=1? ，
∴t=1? ．
綜上所述，當t為 秒、 秒，（1? ）秒時，△AON為等腰三角形．
點評：本題考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性質、等腰三角形的性質等知識點，綜合性比較強，有一定的難度．第（2）問為運動型與存在型的綜合性問題，注意要弄清動點的運動過程，進行分類討論計算．
　
28．（10分）（2013?衡陽）如圖，在平面直角坐標系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M經過原點O及點A、B．
（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標；
（2）過點B作⊙M的切線l，求直線l的解析式；
（3）∠BOA的平分線交AB于點N，交⊙M于點E，求點N的坐標和線段OE的長．
考點：圓的綜合題．
專題：綜合題．
分析：（1）根據圓周角定理∠AOB=90°得AB為⊙M的直徑，則可得到線段AB的中點即點M的坐標，然后利用勾股定理計算出AB=10，則可確定⊙M的半徑為5；
（2）點B作⊙M的切線l交x軸于C，根據切線的性質得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根據相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以 = ，可解得OC= ，則C點坐標為（? ，0），最后運用待定系數法確定l的解析式；
（3）作ND⊥x軸，連結AE，易得△NOD為等腰直角三角形，所以ND=OD，ON= ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，則ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8?ND）：8，解得ND= ，所以OD= ，ON= ，即可確定N點坐標；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN= ，則BN=10? = ，然后利用圓周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE計算即可．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= =10，
∴⊙M的半徑為5；圓心M的坐標為（（4，3）；
（2）點B作⊙M的切線l交x軸于C，如圖，
∵BC與⊙M相切，AB為直徑，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBO+∠ABO=90°，
而∠BAO=∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBO，
∴Rt△ABO∽Rt△BCO，
∴ = ，即 = ，解得OC= ，
∴C點坐標為（? ，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，6）、C點（? ，0）分別代入 ，
解得 ，
∴直線l的解析式為y= x+6；
（3）作ND⊥x軸，連結AE，如圖，
∵∠BOA的平分線交AB于點N，
∴△NOD為等腰直角三角形，
∴ND=OD，
∴ND∥OB，
∴△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AD：AO，
∴ND：6=（8?ND）：8，解得ND= ，
∴OD= ，ON= ND= ，
∴N點坐標為（ ， ）；
∵△ADN∽△AOB，
∴ND：OB=AN：AB，即 ：6=AN：10，解得AN= ，
∴BN=10? = ，
∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，
∴△BON∽△EAN，
∴BN：NE=ON：AN，即 ：NE= ： ，解得NE= ，
∴OE=ON+NE= + =7 ．
點評：本題考查了圓的綜合題：掌握切線的性質、圓周角定理及其推論；學會運用待定系數法求函數的解析式；熟練運用勾股定理和相似比進行幾何計算．
　
四、附加題（本小題滿分0分，不計入總分）
29．（2013?衡陽）一種電訊信號轉發裝置的發射直徑為31km．現要求：在一邊長為30km的正方形城區選擇若干個安裝點，每個點安裝一個這種轉發裝置，使這些裝置轉發的信號能完全覆蓋這個城市．問：
（1）能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉發裝置后能達到預設的要求？在圖1中畫出安裝點的示意圖，并用大寫字母M、N、P、Q表示安裝點；
（2）能否找到這樣的3個安裝點，使得在這些點安裝了這種轉發裝置后能達到預設的要求？在圖2中畫出示意圖說明，并用大寫字母M、N、P表示安裝點，用計算、推理和文字來說明你的理由．
考點：作圖?應用與設計作圖．
專題：作圖題．
分析：（1）可把正方形分割為四個全等的正方形，作出這些正方形的對角線，把裝置放在交點處，交點到其余各個小正方形頂點的距離相等通過計算看是否適合；
（2）由（1）得到啟示，把正方形分割為三個長方形，左邊的一個矩形的對角線能輻射的最大直徑為31，看能否把三個裝置放在三個長方形的對角線的交點處．
解答：解：（1）如圖1，將正方形等分成如圖的四個小正方形，將這4個轉發裝置安裝在這4個小正方形對角線的交點處，
此時，每個小正方形的對角線長為 ，每個轉發裝置都能完全覆蓋一個小正方形區域，
故安裝4個這種裝置可以達到預設的要求；
（2）（畫圖正確給1分）
將原正方形分割成如圖2中的3個矩形，
使得BE=OD=OC．將每個裝置安裝在這些矩形的對角線交點處，
則AE= ， ，
∴OD= ，
即如此安裝三個這個轉發裝置，也能達到預設要求．


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