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一、（共10小題，每小題3分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）（2013?天津）計算（?3）+（?9）的結果等于（　　）
　A．12B．?12C．6D．?6
考點：有理數的加法．
分析：根據有理數的加法法則，先確定出結果的符號，再把絕對值相加即可．
解答：解：（?3）+（?9）=?12；
故選B．
點評： 本題考查了有理數的加法，用到的知識點是有理數的加法法則，比較簡單，屬于基礎題．
　
2．（3分）（2013?天津）tan60°的值等于（　　）
　A．1B． C． D．2
考點：特殊角的三角函數值．
分析：根據記憶的特殊角的三角函數值即可得出答案．
解答：解：tan60°= ．
故選C．
點評：本題考查了特殊角的三角函數值，一些特殊角的三角函數值是需要我們熟練記憶的內容．
　
3．（3分）（2013?天津）下列標志中，可以看作是中心對稱圖形的是（　　）
　A． B． C． D．
考點：中心對稱圖形
分析：根據 中心對稱圖形的定義，結合選項所給圖形進行判斷即可．
解答：解：A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
D、是中心對稱圖形，故本選項正確；
故選D．
點評：本題考查了中心對稱圖形的知識，判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉180度后與原圖形重合．
　
4．（3分）（2013?天津）中國園林網4月22日消息：為建設生態濱海，2013年天津濱海新區將完成城市綠化面積共8210 000m2，將8210 000用科學記數法表示應為（　　）
　A．821×102B．82.1×105C．8.21×106D．0.821×107
考點：科學記數法?表示較大的數．
分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
解答：X kB1.cOM解：8 210 000=8.21×106，
故選：C．
點評：此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
5．（3分）（2013?天津）七年級（1）班與（2）班各選出20名學生進行英文打字比賽，通過對參賽學生每分鐘輸入的單詞個數進行統計，兩班成績的平均數相同，（1）班成績的方差為17.5，（2）班成績的方差為15，由此可知（　　）
　A．（1）班比（2）班的成績穩定B．（2）班比（1）班的成績穩定
　C．兩個班的成績一樣穩定D．無法確定哪班的成績更穩定
考點：方差．
分析：根據方差的意義可作出判斷．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．
解答：解：∵（1）班成績的方差為17.5，（2）班成績的方差為15，
∴（1）班成績的方差＞（2）班成績的方差，
∴（2）班比（1）班的成績穩定．
故選B．
點評：本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．
　
6．（3分）（2013?天津）如圖是由3個相同的正方體組成的一個立體圖形，它的三視圖是（　　）
　A． B． C． D．
考點：簡單組合體的三視圖．
分析：主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．
解答：解：所給圖形的三視圖是A選項所給的三個圖形．
故選A．
點評：本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵．
　
7．（3分）（2013?天津 ）如圖，在△ABC中，AC=BC，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉180°得△CFE，則四邊形ADCF一定是（　　）
　A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形
考點：旋轉的性質；矩形的判定．
分析：根據旋轉的性質可得AE=CE，DE=EF，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ADCF是平行四邊形，然后利用等腰三角形三線合一的性質求出∠ADC=90°，再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形解答．
解答：解：∵△ADE繞點E旋轉180°得△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵AC=BC，點D是邊AB的中點，
∴∠ADC=90°，
∴四邊形ADCF矩形．
故選A．
點評：本題考查了旋轉的性質，矩形的判定，主要利用了對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角是平行四邊形是矩形的判定方法，熟練掌握旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小是解題的關鍵．
　
8．（3分）（2013?天津）正六邊形的邊心距與邊長之比為（　　）
　A． ：3B． ：2C．1：2D． ：2
考點：正多邊形和圓．
分析：首先根據題意畫出圖形，然后設六邊形的邊長是a，由勾股定理即可求得OC的長，繼而求得答案．
解答：解：如圖：設六邊形的邊長是a，
則半徑長也是a；
經過正六邊形的中心O作邊AB的垂線OC，
則AC= AB= a，
∴OC= = a，
∴正六邊形的邊心距與邊長之比為： a：a= ：2．
故選B．
點評：此題考查了正多邊形和圓的關系．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．
　
9．（3分）（2013?天津）若x=?1，y=2，則 ? 的值等于（　　）
　A． B． C． D．
考點：分式的化簡求值．
分析：先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x，y的值代入進行計算即可．
解答：解：原式= ?
= xkb1.com
=
= ，
當x=?1，y=2時，原式= = ．
故選D．
點評：本題考查的是分式的混合運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．
　
10．（3分）（2013?天津）如圖，是一對變量滿足的函數關系的圖象，有下列3個不同的問題情境：
①小明騎車以400米/分的速度勻速騎了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度勻速騎回出發地，設時間為x分，離出發地的距離為y千米；
②有一個容積為6升的開口空桶，小亮以1.2升/分的速度勻速向這個空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度勻速倒空桶中的水，設時間為x分，桶內的水量為y升；
③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，動點P從點A出發，依次沿對角線AC、邊CD、邊DA運動至點A停止，設點P的運動路程為x，當點P與點A不重合時，y=S△ABP；當點P與點A重合時，y=0．
其中，符合圖中所示函數關系的問題情境的個數為（　　）
　A．0B．1C．2D．3
考點：函數的圖象．
分析：①小明騎車以400米/分的速度勻速騎了5分，所走路程為2000米，與圖象不符合；
②小亮以1.2升/分的速度勻速向這個空桶注水，注5分后停止，注水量為1.2×5=6升，等4分鐘，這段時間水量不變；再以2升/分的速度勻速倒空桶中的水，則3分鐘后水量為0，符合函數圖象；
③當點P在AC上運動時，S△ABP的面積一直增加，當點P運動到點C時，S△ABP=6，這段時間為5，；當點P在CD上運動時，S△ABP不變，這段時間為4，；當點P在DA上運動時，S△ABP減小，這段時間為3，符合函數圖象；
解答：解：①小明騎車以400米/分的速度勻速騎了5分，所走路程為2000米，與圖象不符合；
②小亮以1.2升/分的速度勻速向這個空桶注水，注5分后停止，注水量為1.2×5=6升，等4分鐘，這段時間水量不變；再以2升/分的速度 勻速倒空桶中的水，則3分鐘后水量為0，符合函數圖象；
③如圖所示：
當點P在AC上運動時，S△ABP的面積一直增加，當點P運動到點C時，S△ABP=6，這段時間為5，；當點P在CD上運動時，S△ABP不變，這段時間為4，；當點P在DA上運動時，S△ABP減小，這段時間為3，符合函數圖象；
綜上可得符合圖中所示函數關系的問題情境的個數為2．
故選C．
點評：本題考查了函數的圖象，解答本題需要同學們仔細分析所示情景，判斷函數圖象是否符合，要求同學們能將實際問題轉化為函數圖象，有一定難度．
　
二、題（共8小題，每小題3分，滿分24分）
11．（3分）（2013?天津）計算a?a6的結果等于　a7　．
考點：同底數冪的．
專題：．
分析：利用同底數冪的法則計算即可得到結果．
解答：解：a?a6=a7．
故答案為：a7
點評：此題考查了同底數冪的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
　
12．（3分）（2013?天津）一元二次方程x（x?6）=0的兩個實數根中較大的根是　6　．
考點：解一元二次方程-因式分解法．
專題：．
分析：原方程轉化為x=0或x?6=0，然后解兩個一次方程即可得到原方程較大的根．
解答：解：∵x=0或x?6=0，
∴x1=0，x2=6，
∴原方程較大的根為6．
故答案為6．
點評：本題考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程右邊變形為0，再把方程左邊分解為兩個一次式的乘積，這樣原方程轉化為兩個一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．
　
13．（3分）（2013?天津）若一次函數y=kx+1（k為常數，k≠0）的圖象經過第一、二、三象限，則的取值范圍是　k＞0　．
考點：一次函數圖象與系數的關系．
分析：根據一次函數圖象所經過的象限確定k的符號．
解答：解：∵一次函數y=kx+1（k為常數，k≠0）的圖象經過第一、二、三象限，
∴k＞0．
故填：k＞0．
點評：本題主要考查一次函數圖象在坐標平面內的位置與k、b的關系．解答本題注意理解：直線y=kx+b所在的位置與k、b的符號有直接的關系．k＞0時，直線必經過一、三象限．k＜0時，直線必經過二、四象限．b＞0時，直線與y軸正半軸相交．b=0時，直線過原點；b＜0時，直線與y軸負半軸相交．
　
14．（3分）（2013?天津）如圖，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC與BD相交于點O，請寫出圖中一組相等的線段　AC=BD（答案不唯一）　．
考點：全等三角形的判定與性質．
專題：開放型．
分析：利用“角角邊”證明△ABC和△BAD全等，再根據全等三角形對應邊相等解答即可．
解答：解：∵在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS），
∴AC=BD，AD=BC．
故答案為：AC=BD（答案不唯一）．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，是基礎題，關鍵在于公共邊AB的應用，開放型題目，答案不唯一．
　
15．（3分）（2013?天津）如圖，PA、PB分別切⊙O于點A、B，若∠P=70°，則∠C的大小為　55　（度）．
考點：切線的性質．
分析：首先連接OA，OB，由PA、PB分別切⊙O于點A、B，根據切線的性質可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四邊形的內角和等于360°，求得∠AOB的度數，又由圓周角定理，即可求得答 案．
解答：解：連接OA，OB，
∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°?∠PAO?∠P?∠PBO=360°?90°?70°?90°=110°，
∴∠C= ∠AOB=55°．
故答案為：55．
點評：此題考查了切線的性質以及圓 周角定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．
　
16．（3分）（2013?天津）一個口袋中有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4，隨機地摸出一個小球，然后放回，再隨機地摸出一個小球，則兩次摸出的小球標號的和等于4的概率是　 　．
考點：列表法與樹狀圖法．
專題：計算題．
分析：先畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果數，其中兩次摸出的小球標號的和等于4的占3種，然后根據概率的概念計算即可．
解答：解：如圖，
隨機地摸出一個小球，然后放回，再隨機地摸出一個小球，共有16種等可能的結果數，其中兩次摸出的小球標號的和等于4的占3種，
所有兩次摸出的小球標號的和等于4的概率= ．
故答案為 ．
點評：本題考查了列表法或樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果數n，再找出某事件所占有的結果數m，然后利用概率的概念求得這個事件的概率= ．
　
17．（3分）（2013?天津）如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，則AE的長為　7　．
考點：相似三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．
分析：先根據邊長為9，BD=3，求出CD的長度，然后根據∠ADE=60°和等邊三角形的性質，證明△ABD∽△DCE，進而根據相似三角形的對應邊成比例，求得CE的長度，即可求出AE的長度．
解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC?BD=9?3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB =∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
則 = ，
即 = ，
解得：CE=2，
故AE=AC?CE=9?2=7．
故答案為：7．
點評：此題主要考查了相似三角形的判定和性質以及等邊三角形的性質，根據等邊三角形的性質證得△ABD∽△DCE是解答此題的關鍵．
　
18．（3分）（2013?天津）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B、C均落在格點上．
（Ⅰ）△ABC的面積等于　6　；
（Ⅱ）若四邊形DEFG是△ABC中所能包含的面積最大的正方形，請你在如圖所示的網格中，用直尺和三角尺畫出該正方形，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）　取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F，則四邊形DEFG即為所求　．
考點：作圖?相似變換；三角形的面積；正方形的性質．
專題：計算題．
分析：（Ⅰ）△ABC以AB為底，高為3個單位，求出面積即可；
（Ⅱ）作出所求的正方形，如圖所示，畫圖方法為：取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F，則四邊形DEFG即為所求
解答：解：（Ⅰ）△ABC的面積為： ×4×3=6；
（Ⅱ）如圖，取格點P，連接PC，過點 A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，
與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F，
則四邊形DEFG即為所求．
故答案為：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格點P，連接PC，過點A畫PC的平行線，與BC交于點Q，連接PQ與AC相交得點D，過點D畫CB的平行線，與AB相交得點E，分別過點D、E畫PC的平行線，與CB相交得點G，F，則四邊形DEFG即為所求
點評：此題考查了作圖?位似變換，三角形的面積，以及正方形的性質，作出正確的圖形是解本題的關鍵．
　
三、解答題（共8小題，滿分66分）
19．（6分）（2013?天津）解不等式組 ．
考點：解一元一次不等式組．
專題：計算題．
分析：分別解兩個不等式得到x＜3和x＞?3，然后根據大于小的小于大的取中間確定不等式組的解集．
解答：解： ，
解①得x＜3，
解②得x＞?3，
所以不等式組的解集為?3＜x＜3．
點評：本題考查了解一元一次不等式組：求解出兩個不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中間，小于小的大于大的無解”確定不等式組的解集．
　
20．（8分）（2013?天津）已知反比例函數y= （k為常數，k≠0）的圖象經過點A（2，3）．
（Ⅰ）求這個函數的解析式；
（Ⅱ）判斷點B（?1，6），C（3，2）是否在這個函數的圖象上，并說明理由；
（Ⅲ）當?3＜x＜?1時，求y的取值范圍．
考點：待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征．
分析：（1）把點A的坐標代入已知函數解析式，通過方程即可求得k的值．
（Ⅱ）只要把點B、C的坐標分別代入函數解析式，橫縱坐標坐標之積等于6時，即該點在函數圖象上；
（Ⅲ）根據反比例函數圖象的增減性解答問題．
解答：解：（Ⅰ）∵反比例函數y= （k為常數，k≠0）的圖象經過點A（2，3），
∴把點A的坐標代入解析式，得
3= ，
解得，k=6，
∴這個函數的解析式為：y= ；
（Ⅱ）∵反比例函數解析式y= ，
∴6=xy．
分別把點B、C的坐標代入，得
（?1）×6=?6≠6，則點B不在該函數圖象上．
3×2=6，則點C中該函數圖象上；
（Ⅲ）∵當x=?3時，y=?2，當x=?1時，y=?6，
又∵k＞0，
∴當x＜0時，y隨x的增大而減小，
∴當?3＜x＜?1時，?6＜y＜?2．
點評：本題考查了反比例函數圖象的性質、待定系數法求反比例函數解析式以及反比例函數圖象上點的坐標特征．用待定系數法求反比例函數的解析式，是中學階段的重點．
　
21．（8分）（2013?天津）四川雅安發生地震后，某校學生會向全校1900名學生發起了“心系雅安”捐款活動，為了解捐款情況，學會生隨機調查了部分學生的捐款金額，并用得到的數據繪制了如下統計圖①和圖②，請根據相關信息，解答下列是問題：
（Ⅰ）本次接受隨機抽樣調查的學生人數為　50　，圖①中m的值是　32　；
（Ⅱ）求本次調查獲取的樣本數據的平均數、眾數和中位數；
（Ⅲ）根據樣本數據，估計該校本次活動捐款金額為10元的學生人數．
考點：條形統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖；加權平均數；中位數；眾數．
分析：（1）根據條形統計圖即可得出樣本容量根據扇形統計圖得出m的值即可；
（2）利用平均數、中位數、眾數的定義分別求出即可；
（3）根據樣本中捐款10元的人數，進而得出該校本次活動捐款金額為10元的學生人數．
解答：解：（1）根據條形圖4+16+12+10+8=50（人），
m=100?20?24?16?8=32；
（2）∵ = （5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，
∴這組數據的平均數為：16，
∵在這組樣本數據中，10出現次數最多為16次，
∴這組數據的眾數為：10，
∵將這組樣本數據按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個數都是15，
∴這組數據的中位數為： （15=15）=15；
（3）∵在50名學生中，捐款金額為10元的學生人數比例為32%，
∴由樣本數據，估計該校1900名學生中捐款金額為10元的學生人數比例為32%，有1900×32%=608，
∴該校本次活動捐款金額為10元的學生約有608名．
故答案為：50，32．
點評：此題主要考查了平均數、眾數、中位數的統計意義以及利用樣本估計總體等知識．找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數或兩個數的平均數為中位數；眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個；平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數．
　
22．（8分）（2013?天津） 已知直線I與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥I于點D．
（Ⅰ）如圖①，當直線I與⊙O相切于點C時，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；
（Ⅱ）如圖②，當直線I與⊙O相交于點E、F時，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．
考點：切線的性質；圓周角定理；直線與圓的位置關系．
分析：（Ⅰ）如圖①，首先連接OC，根據當直線l與⊙O相切于點C，AD⊥l于點D．易證得OC∥AD，繼而可求得∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如圖②，連接BF，由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性質，可求得∠AEF的度數，又由圓的內接四邊形的性質，求得∠B的度數，繼而求得答案．
解答：解：（Ⅰ）如圖①，連接OC，
∵直線l與⊙O相切于點C，
∴OC⊥l，
∵AD⊥l，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠DAC=30°；
（Ⅱ）如圖②，連接BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°?∠B，
∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，
在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內接四邊形，
∴∠AEF+∠B=180°，
∴∠B=180°?108°=72°，
∴∠BAF=90°?∠B=180°?72°=18°．
點評：此題考查了切線的性質、圓周角定理以及圓的內接四邊形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．
　
23．（8分）（2013?天津）天塔是天津市的標志性建筑之一，某校數學興趣小組要測量天塔的高度，如圖，他們在點A處測得天塔最高點C的仰角為45°，再往天塔方向前進至點B處測得最高點C的仰角為54°，AB=112m，根據這個興趣小組測得的數據，計算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，結果保留整數）．
考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：首先根據題意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD?AB=CD?112；在Rt△BCD中，可得BD=CD?tan36°，即可得CD?tan36°=CD?112，繼而求得答案．
解答：解：根據題意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵AD=AB+BD，
∴BD=AD?AB=CD?112（m），
∵在Rt△BCD中，tan∠BCD= ，∠BCD=90°?∠CBD=36°，
∴tan36°= ，
∴BD=CD?tan36°，
∴CD?tan36°=CD?112，
∴CD= ≈ ≈415（m）．
答：天塔的高度CD為：415m．
點評：本題考查了仰角的知識．此題難度適中，注意能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．
　
24．（8分）（2013?天津）甲、乙兩商場以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優惠方案：在甲商場累計購物超過100元后，超出100元的部分按90%收費；在乙商場累計購物超過50元后，超出50元的部分按95%收費，設小紅在同一商場累計購物x元，其中x＞100．
（1）根據題題意，填寫下表（單位：元）
累計購物
實際花費130290…x
在甲商場127…
在乙商場126…
（2）當x取何值時，小紅在甲、乙兩商場的實際花費相同？
（3）當小紅在同一商場累計購物超過100元時，在哪家商場的實際花費少？
考點：一元一次不等式的應用；一元一次方程的應用．
分析：（1）根據已知得出100+（290?100）×0.9以及50+（290?50）×0.95進而得出答案，同理即可得出累計購物x元的實際花費；
（2）根據題中已知條件，求出0.95x+2.5，0.9x+10相等，從而得出正確結論；
（3）根據0.95x+2.5與0.9x+10相比較，從而得出正確結論．
解答：解：（1）在甲商場：100+（290?100）×0.9=271，
100+（290?100）×0.9x=0.9x+10；
在乙商場：50+（290?50）×0.95=278，
50+（290?50）×0.95x=0.95x+2.5；
（2）根據題意得出：
0.9x+10=0.95x+2.5，
解得：x=150，
∴當x=150時，小紅在甲、乙兩商場的實際花費相同，
（3）由0.9x+10＜0.95x+2.5，
解得：x＞150，
0.9x+10＞0.95x+2.5，
解得：x＜150，
yB=0.95x+50（1?95%）=0.95x+2.5，正確；
∴當小紅累計購物大于150時上沒封頂，選擇甲商場實際花費少；
當小紅累計購物超過100元而不到150元時，在乙商場實際花費少．
點評：此題主要考查了一元一次不等式的應用和一元一次方程的應用，此題問題較多且不是很簡單，有一定難度．涉及方案選擇時應與方程或不等式聯系起來．
　
25．（10分）（2013?天津）在平面直角坐標系中，已知點A（?2，0），點B（0，4），點E在OB上，且∠OAE=∠0BA．
（Ⅰ）如圖①，求點E的坐標；
（Ⅱ）如圖②，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′．
①設AA′=m，其中0＜m＜2，試用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時點E′的坐標；
②當A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標（直接寫出結果即可）．
考點：相似形綜合題．
分析：（Ⅰ）根據相似三角形△OAE∽△OBA的對應邊成比例得到 = ，則易求OE=1，所以E（0，1）；
（Ⅱ）如圖②，連接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2?m）2+42=m2?4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，則
A′B2+BE′2=2m2?4m+29=2（m?1）2+27．所以由二次函數最值的求法知，當m=1即點E′的坐標是（1，1）時，A′B2+BE′2取得最小值．
解答：解：（Ⅰ）如圖①，∵點A（?2，0），點B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，
∴△OAE∽△OBA，
∴ = ，即 = ，
解得，OE=1，
∴點E的坐標為（0，1）；
（Ⅱ）①如圖②，連接EE′．
由題設知 AA′=m（0＜m＜2），則A′O=2?m．
在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2?m）2+42= m2?4m+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=m．
又BE=OB?OE=3，
∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，
∴A′B2+BE′2=2m2?4m+29=2（m?1）2+27．
當m=1時，A′B2+BE′2可以取得最小值，此時，點E′的坐標是（1，1）．
②如圖②，過點A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．
易證△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
當點B、A′、B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．
易證△AB′A′∽△OBA′，
∴ = = ，
∴AA′= ×2= ，
∴EE′=AA′= ，
∴點E′的坐標是（ ，1）．
點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質、平移的性質以及勾股定理等知識點．此題難度較大，需要學生對知識有一個系統的掌握．
　
26．（10分）（2013?天津）已知拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線l，頂點為點M．若自變量x和函數值y1的部分對應值如下表所示：
（Ⅰ）求y1與x之間的函數關系式；
（Ⅱ）若經過點T（0，t）作垂直于y軸的直線l′，A為直線l′上的動點，線段AM的垂直平分線交直線l于點B，點B關于直線AM的對稱點為P，記P（x，y2）．
（1）求y2與x之間的函數關系式；
（2）當x取任意實數時，若對于同一個x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范圍．
x…?103…
y1=ax2+bx+c…0 0…
考點：二次函數綜合題．
專題：探究型．
分析：（I）先根據物線經過點（0， ）得出c的值，再把點（?1，0）、（3，0）代入拋物線y1的解析式即可得出y1與x之間的函數關系式；
（II）先根據（I）中y1與x之間的函數關系式得出頂點M的坐標．
①記直線l與直線l′交于點C（1，t），當點A′與點C不重合時，由已知得，AM與BP互相垂直平分，故可得出四邊形ANMP為菱形，所以PA∥l，再由點P（x，y2）可知點A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=y2?t，過點P作PQ⊥l于點Q，則點Q（1，y2），故QM=y2?3，PQ=AC=x?1，在Rt△PQM中，根據勾股定理即可得出y2與x之間的函數關系式，再由當點A與點C重合時，點B與點P重合可得出P點坐標，故可得出y2與x之間的函數關系式；
②據題意，借助函數圖象：當拋物線y2開口方向向上時，可知6?2t＞0，即t＜3時，拋物線y1的頂點M（1，3），拋物線y2的頂點（1， ），由于3＞ ，所以不合題意，當拋物線y2開口方向向下時，6?2t＜0，即t＞3時，求出y1?y2的值；若3t?11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要拋物線方向及且頂點（1， ）在x軸下方，因為3?t＜0，只要3t?11＞0，解得t＞ ，符合題意；若3t?11=0，y1?y2=? ＜0，即t= 也符合題意．
解答：解：（Ⅰ） ∵拋物線經過點（0， ），
∴c= ．
∴y1=ax2+bx+ ，
∵點（?1，0）、（3，0）在拋物線y1=ax2+bx+ 上，
∴ ，解得 ，
∴y1與x之間的函數關系式為：y1=? x2+ x+ ；
（II）∵y1=? x2+ x+ ，
∴y1=? （x?1）2+3，
∴直線l為x=1，頂點M（1，3）．
①由題意得，t≠3，
如圖，記直線l與直線l′交于點C（1，t），當點A′與點C不重合時，
∵由已知得，AM與BP互相垂直平分，
∴四邊形ANMP為菱形，
∴PA∥l，
又∵點P（x，y2），
∴點A（x，t）（x≠1），
∴PM=PA=y2?t，
過點P作PQ⊥l于點Q，則點Q（1，y2），
∴QM=y2?3，PQ=AC=x?1，
在Rt△PQM中，
∵PM2=QM2+PQ2，即（y2?t）2=（y2?3）2+（x?1）2，整理得， y2= （x?1）2+ ，
即y2= x3? x+ ，
∵當點A與點C重合時，點B與點P重合，
∴P（1， ），
∴P點坐標也滿足上式，
∴y2與x之間的函數關系式為y2= x3? x+ （t≠3）；
②根據題意，借助函數圖象：
當拋物線y2開口方向向上時，6?2t＞0，即t＜3時，拋物線y1的頂點M（1，3），拋物線y2的頂點（1， ），
∵3＞ ，
∴不合題意，
當拋物線y2開口方向向下時，6?2t＜0，即t＞3時，
y1?y2=? （x?1）2+3?[ （x?1）2+ ]
= （x?1）2+ ，
若3t?11≠0，要使y1＜y2恒成立，
只要拋物線y= （x?1）2+ 開口方向向下，且頂點（1， ）在x軸下方，
∵3?t＜0，只要3t?11＞0，解得t＞ ，符合題意；
若3t?11=0，y1?y2=? ＜0，即t= 也符合題意．
綜上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范圍是t≥ ．


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