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湖北省十堰市2013年中考數學試卷
一、（本題共10個小題，每小題3分，滿分30分）下面每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項的字母填在后面的括號里。
1．（3分）（2013?十堰）?2的值等于（　　）
　A．2B．? C． D．?2
考點：絕對值．
專題：．
分析：直接根據絕對值的意義求解．
解答：解：?2=2．
故選A．
點評：本題考查了絕對值：若a＞0，則a=a；若a=0，則a=0；若a＜0，則a=?a．
　
2．（3分）（2013?十堰）如圖，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，則∠B等于（　　）
　A．18°B．36°C．45°D．54°
考點：平行線的性質．
分析：根據角平分線的定義求出∠BCD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠B=∠BCD．
解答：解：∵CE平分∠BCD，∠DCE=18°，
∴∠BCD=2∠DCE=2×18°=36°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD=36°．
故選B．
點評：本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．
　
3．（3分）（2013?十堰）下列運算中，正確的是（　　）
　A．a2+a3=a5B．a6÷a3=a2C．（a4）2=a6D．a2?a3=a5
考點：同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的；冪的乘方與積的乘方．
分析：根據合并同類項法則，同底數冪相除，底數不變指數相減；冪的乘方，底數不變指數相乘；同底數冪相乘，底數不變指數相加，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解答：解：A、a2與a3不是同類項，不能合并，故本選項錯誤；
B、a6÷a3=a3，故本選項錯誤；
C、（a4）2=a8，故本選項錯誤；
D、a2?a3=a5，故本選項正確．
故選D．
點評：本題考查了同底數冪的除法，同底數冪的，合并同類項法則，冪的乘方的性質，理清指數的變化是解題的關鍵．
　
4．（3分）（2013?十堰）用兩塊完全相同的長方體擺放成如圖所示的幾何體，這個幾何體的左視圖是（　　）
　A． B． C． D．
考點：簡單組合體的三視圖．
分析：左視圖是從左邊看得到的視圖，結合選項即可得出答案．
解答：解：所給圖形的左視圖為C選項說給的圖形．
故選C．
點評：本題考查了簡單組合體的三視圖，屬于基礎題，解答本題需要明白左視圖是從左邊看得到的視圖．
　
5．（3分）（2013?十堰）已知關于x的一元二次方程x2+2x?a=0有兩個相等的實數根，則a的值是（　　）
　A．4B．?4C．1D．?1
考點：根的判別式．
專題：．
分析：根據根的判別式的意義得到△=22?4?（?a）=0，然后解方程即可．
解答：解：根據題意得△=22?4?（?a）=0，
解得a=?1．
故選D．
點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2?4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．
　
6．（3分）（2013?十堰）如圖，將△ABC沿直線DE折疊后，使得點B與點A重合．已知AC=5cm，△ADC的周長為17cm，則BC的長為（　　）
　A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm
考點：翻折變換（折疊問題）．
分析：首先根據折疊可得AD=BD，再由△ADC的周長為17cm可以得到AD+DC的長，利用等量代換可得BC的長．
解答：解：根據折疊可得：AD=BD，
∵△ADC的周長為17cm，AC=5cm，
∴AD+DC=17?5=12（cm），
∵AD=BD，
∴BD+CD=12cm．
故選：C．
點評：此題主要考查了翻折變換，關鍵是掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．
　
7．（3分）（2013?十堰）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，則下底BC的長為（　　）
　A．8B．9C．10D．11
考點：等腰梯形的性質；等邊三角形的判定與性質．
分析：首先構造直角三角形，進而根據等腰梯形的性質得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．
解答：解：過點A作AF⊥BC于點F，過點D作DE⊥BC于點E，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，
∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，
∴cos60°= = = ，
解得：BF=1.5，
故EC=1.5，
∴BC=1.5+1.5+5=8．
故選：A．
點評：此題主要考查了等腰梯形的性質以及解直角三角形等知識，根據已知得出BF=EC的長是解題關鍵．
　
8．（3分）（2013?十堰）如圖，是一組按照某種規律擺放成的圖案，則圖5中三角形的個數是（　　）
　A．8B．9C．16D．17
考點：規律型：圖形的變化類．
分析：對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，進而得出即可．
解答：解：由圖可知：第一個圖案有三角形1個．第二圖案有三角形1+3=5個．
第三個圖案有三角形1+3+4=8個，
第四個圖案有三角形1+3+4+4=12
第五個圖案有三角形1+3+4+4+4=16
故選：C．
點評：此題主要考查了圖形的變化規律，注意由特殊到一般的分析方法．這類題型在中考中經常出現．
　
9．（3分）（2013?十堰）張師傅駕車從甲地到乙地，兩地相距500千米，汽車出發前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽車都以100千米/小時的速度勻速行駛，已知油箱中剩余油量y（升）與行駛時間t（小時）之間的關系如圖所示．以下說法錯誤的是（　　）
　A．加油前油箱中剩余油量y（升）與行駛時間t（小時）的函數關系是y=?8t+25
　B．途中加油21升
　C．汽車加油后還可行駛4小時
　D．汽車到達乙地時油箱中還余油6升
考點：一次函數的應用．
分析：A、設加油前油箱中剩余油量y（升）與行駛時間t（小時）的函數關系式為y=kt+b，將（0，25），（2，9）代入，運用待定系數法求解后即可判斷；
B、由題中圖象即可看出，途中加油量為30?9=21升；
C、先求出每小時的用油量，再求出汽車加油后行駛的路程，然后與4比較即可判斷；
D、先求出汽車從甲地到達乙地需要的時間，進而得到需要的油量；然后用汽車油箱中原有的油量加上途中的加油量，再減去汽車行駛500千米需要的油量，得出汽車到達乙地時油箱中的余油量即可判斷．
解答：解：A、設加油前油箱中剩余油量y（升）與行駛時間t（小時）的函數關系式為y=kt+b．
將（0，25），（2，9）代入，
得 ，解得 ，
所以y=?8t+25，正確，故本選項不符合題意；
B、由圖象可知，途中加油：30?9=21（升），正確，故本選項不符合題意；
C、由圖可知汽車每小時用油（25?9）÷2=8（升），
所以汽車加油后還可行駛：30÷8=3 ＜4（小時），錯誤，故本選項符合題意；
D、∵汽車從甲地到達乙地，所需時間為：500÷100=5（小時），
∴5小時耗油量為：8×5=40（升），
又∵汽車出發前油箱有油25升，途中加油21升，
∴汽車到達乙地時油箱中還余油：25+21?40=6（升），正確，故本選項不符合題意．
故選C．
點評：本題考查了一次函數的應用，一次函數解析式的確定，路程、速度、時間之間的關系等知識，難度中等．仔細觀察圖象，從圖中找出正確信息是解決問題的關鍵．
　
10．（3分）（2013?十堰）如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（?1，0）．下列結論：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當x＞?1時，y＞0，其中正確結論的個數是（　　）
　A．5個B．4個C．3個D．2個
考點：二次函數圖象與系數的關系．
分析：由拋物線的對稱軸在y軸右側，可以判定a、b異號，由此確定①正確；
由拋物線與x軸有兩個交點得到b2?4ac＞0，又拋物線過點（0，1），得出c=1，由此判定②正確；
由拋物線過點（?1，0），得出a?b+c=0，即a=b?1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正確；
由a?b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正確；
由圖象可知，當自變量x的取值范圍在一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根之間時，函數值y＞0，由此判定⑤錯誤．
解答：解：∵二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）過點（0，1）和（?1，0），
∴c=1，a?b+c=0．
①∵拋物線的對稱軸在y軸右側，∴x=? ＞0，
∴a與b異號，∴ab＜0，正確；
②∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴b2?4ac＞0，
∵c=1，∴b2?4a＞0，b2＞4a，正確；
④∵拋物線開口向下，∴a＜0，
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a?b+c=0，c=1，∴a=b?1，
∵a＜0，∴b?1＜0，b＜1，
∴0＜b＜1，正確；
③∵a?b+c=0，∴a+c=b，
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，
∴0＜a+b+c＜2，正確；
⑤拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為（?1，0），設另一個交點為（x，0），則x0＞0，
由圖可知，當x0＞x＞?1時，y＞0，錯誤；
綜上所述，正確的結論有①②③④．
故選B．
點評：本題主要考查二次函數圖象與系數之間的關系，不等式的性質，難度適中．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），a的符號由拋物線開口方向決定；b的符號由對稱軸的位置及a的符號決定；c的符號由拋物線與y軸交點的位置決定；拋物線與x軸的交點個數，決定了b2?4ac的符號，此外還要注意二次函數與方程之間的轉換．
　
二、題（共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．（3分）（2013?十堰）我國南海面積約為350萬平方千米，“350萬”這個數用科學記數法表示為　3.5×106　．
考點：科學記數法?表示較大的數．
分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數．確定n的值是易錯點，由于350萬有7位，所以可以確定n=7?1=6．
解答：解：350萬=3 500 000=3.5×106．
故答案為：3.5×106．
點評：此題考查科學記數法表示較大的數的方法，準確確定a與n值是關鍵．
　
12．（3分）（2013?十堰）計算： +（?1）?1+（ ?2）0=　2 　．
考點：實數的運算；零指數冪；負整數指數冪．
分析：分別進行二次根式的化簡、負整數指數冪、零指數冪的運算，然后合并即可得出答案．
解答：解：原式=2 ?1+1
=2 ．
故答案為：2 ．
點評：本題考查了實數的運算，涉及了零指數冪、負整數指數冪的知識，解答本題的關鍵是掌握各部分的運算法則．
　
13．（3分）（2013?十堰）某次能力測試中，10人的成績統計如表，則這10人成績的平均數為　3.1　．
分數54321
人數31222
考點：加權平均數．
分析：利用加權平均數的計算方法列式計算即可得解．
解答：解： ×（5×3+4×1+3×2+2×2+1×2）
= ×（15+4+6+4+2）
= ×31
=3.1．
所以，這10人成績的平均數為3.1．
故答案為：3.1．
點評：本題考查的是加權平均數的求法，是基礎題．
　
14．（3分）（2013?十堰）如圖，?ABCD中，∠ABC=60°，E、F分別在CD和BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BC，EF= ，則AB的長是　1　．
考點：平行四邊形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：根據平行四邊形性質推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四邊形ABDE，推出DE=DC=AB，根據直角三角形性質求出CE長，即可求出AB的長．
解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB=CD，
∵AE∥BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB=DE=CD，
即D為CE中點，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°，
∴∠CEF=30°，
∵EF= ，
∴CE=2，
∴AB=1，
故答案為1．
點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定，平行線性質，勾股定理，直角三角形斜邊上中線性質，含30度角的直角三角形性質等知識點的應用，此題綜合性比較強，是一道比較好的題目．
　
15．（3分）（2013?十堰）如圖，在小山的東側A點有一個熱氣球，由于受西風的影響，以30米/分的速度沿與地面成75°角的方向飛行，25分鐘后到達C處，此時熱氣球上的人測得小山西側B點的俯角為30°，則小山東西兩側A、B兩點間的距離為　750 　米．
考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：作AD⊥BC于D，根據速度和時間先求得AC的長，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度數，再求得AD的長度，然后根據∠B=30°求出AB的長．
解答：解：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°?30°=45°，
AC=30×25=750（米），
∴AD=AC?sin45°=375 （米）．
在Rt△ABD中，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=750 （米）．
故答案為：750 ．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據仰角和俯角構造直角三角形并解直角三角形，難度適中．
　
16．（3分）（2013?十堰）如圖，正三角形ABC的邊長是2，分別以點B，C為圓心，以r為半徑作兩條弧，設兩弧與邊BC圍成的陰影部分面積為S，當 ≤r＜2時，S的取值范圍是　 ?1≤S＜ ? 　．
考點：扇形面積的計算；等邊三角形的性質．
分析：首先求出S關于r的函數表達式，分析其增減性；然后根據r的取值，求出S的最大值與最小值，從而得到S的取值范圍．
解答：解：如右圖所示，過點D作DG⊥BC于點G，易知G為BC的中點，CG=1．
在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG= = ．
設∠DCG=θ，則由題意可得：
S=2（S扇形CDE?S△CDG）=2（ ? ×1× ）= ? ，
∴S= ? ．
當r增大時，∠DCG=θ隨之增大，故S隨r的增大而增大．
當r= 時，DG= =1，∵CG=1，故θ=45°，
∴S= ? = ?1；
若r=2，則DG= = ，∵CG=1，故θ=60°，
∴S= ? = ? ．
∴S的取值范圍是： ?1≤S＜ ? ．
故答案為： ?1≤S＜ ? ．
點評：本題考查扇形面積的計算、等邊三角形的性質、勾股定理等重要知識點．解題關鍵是求出S的函數表達式，并分析其增減性．
　
三、解答題（共9小題，滿分72分）
17．（6分）（2013?十堰）化簡： ．
考點：分式的混合運算．
分析：首先將分式的分子與分母分解因式，進而化簡求出即可．
解答：解：原式= × +
= +
=1．
點評：此題主要考查了分式的混合運算，正確將分式的分子與分母分解因式是解題關鍵．
　
18．（6分）（2013?十堰）如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE．求證：AD=AE．
考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．
專題：證明題．
分析：利用等腰三角形的性質得到∠B=∠C，然后證明△ABD≌△ACE即可證得結論．
解答：證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD與△ACE中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質及等腰三角形的性質，解題的關鍵是利用等邊對等角得到∠B=∠C．
　
19．（6分）（2013?十堰）甲、乙兩名學生練習計算機打字，甲打一篇1000字的文章與乙打一篇900字的文章所用的時間相同．已知甲每分鐘比乙每分鐘多打5個字．問：甲、乙兩人每分鐘各打多少字？
考點：分式方程的應用．
專題：．
分析：設乙每分鐘打x個字，則甲每分鐘打（x+5）個字，再由甲打一篇1000字的文章與乙打一篇900字的文章所用的時間相同，可得出方程，解出即可得出答案．
解答：解：設乙每分鐘打x個字，則甲每分鐘打（x+5）個字，
由題意得， = ，
解得：x=45，
經檢驗：x=45是原方程的解．
答：甲每人每分鐘打50個字，乙每分鐘打45個字．
點評：本題考查了分式方程的應用，解答本題的關鍵是設出未知數，找到等量關系，根據等量關系建立方程，注意不要忘記檢驗．
　
20．（9分）（2013?十堰）某中學九（1）班為了了解全班學生喜歡球類活動的情況，采取全面調查的方法，從足球、乒乓球、籃球、排球等四個方面調查了全班學生的興趣愛好，根據調查的結果組建了4個興趣小組，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統計圖（如圖①，②，要求每位學生只能選擇一種自己喜歡的球類），請你根據圖中提供的信息解答下列問題：
（1）九（1）班的學生人數為　40　，并把條形統計圖補充完整；
（2）扇形統計圖中m=　10　，n=　20　，表示“足球”的扇形的圓心角是　72　度；
（3）排球興趣小組4名學生中有3男1女，現在打算從中隨機選出2名學生參加學校的排球隊，請用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2名學生恰好是1男1女的概率．
考點：條形統計圖；扇形統計圖；列表法與樹狀圖法．
分析：（1）根據喜歡籃球的人數與所占的百分比列式計算即可求出學生的總人數，再求出喜歡足球的人數，然后補全統計圖即可；
（2）分別求出喜歡排球、喜歡足球的百分比即可得到m、n的值，用喜歡足球的人數所占的百分比乘以360°即可；
（3）畫出樹狀圖，然后根據概率公式列式計算即可得解．
解答：解：（1）九（1）班的學生人數為：12÷30%=40（人），
喜歡足球的人數為：40?4?12?16=40?32=8（人），
補全統計圖如圖所示；
（2）∵ ×100%=10%，
×100%=20%，
∴m=10，n=20，
表示“足球”的扇形的圓心角是20%×360°=72°；
故答案為：（1）40；（2）10；20；72；
（3）根據題意畫出樹狀圖如下：
一共有12種情況，恰好是1男1女的情況有6種，
所以，P（恰好是1男1女）= = ．
點評：本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．
　
21．（6分）（2013?十堰）定義：對于實數a，符號[a]表示不大于a的最大整數．例如：[5.7]=5，[5]=5，[?π]=?4．
（1）如果[a]=?2，那么a的取值范圍是　?2≤a＜?1　．
（2）如果[ ]=3，求滿足條件的所有正整數x．
考點：一元一次不等式組的應用．
專題：新定義．
分析：（1）根據[a]=?2，得出?2≤a＜?1，求出a的解即可；
（2）根據題意得出3≤[ ]＜4，求出x的取值范圍，從而得出滿足條件的所有正整數的解．
解答：解：（1）∵[a]=?2，
∴a的取值范圍是?2≤a＜?1，
（2）根據題意得：
3≤[ ]＜4，
解得：5≤x＜7，
則滿足條件的所有正整數為5，6．
點評：此題考查了一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是根據題意列出不等式組，求出不等式的解．
　
22．（7分）（2013?十堰）某商場計劃購進A，B兩種新型節能臺燈共100盞，這兩種臺燈的進價、售價如表所示：
類型 價格進價（元/盞）售價（元/盞）
A型3045
B型5070
（1）若商場預計進貨款為3500元，則這兩種臺燈各購進多少盞？
（2）若商場規定B型臺燈的進貨數量不超過A型臺燈數量的3倍，應怎樣進貨才能使商場在銷售完這批臺燈時獲利最多？此時利潤為多少元？
考點：一次函數的應用；一元一次方程的應用．
專題：銷售問題．
分析：（1）設商場應購進A型臺燈x盞，表示出B型臺燈為（100?x）盞，然后根據進貨款=A型臺燈的進貨款+B型臺燈的進貨款列出方程求解即可；
（2）設商場銷售完這批臺燈可獲利y元，根據獲利等于兩種臺燈的獲利總和列式整理，再求出x的取值范圍，然后根據一次函數的增減性求出獲利的最大值．
解答：解：（1）設商場應購進A型臺燈x盞，則B型臺燈為（100?x）盞，
根據題意得，30x+50（100?x）=3500，
解得x=75，
所以，100?75=25，
答：應購進A型臺燈75盞，B型臺燈25盞；
（2）設商場銷售完這批臺燈可獲利y元，
則y=（45?30）x+（75?50）（100?x），
=15x+2000?20x，
=?5x+2000，
∵B型臺燈的進貨數量不超過A型臺燈數量的3倍，
∴100?x≤3x，
∴x≥25，
∵k=?5＜0，
∴x=25時，y取得最大值，為?5×25+2000=1875（元）
答：商場購進A型臺燈25盞，B型臺燈75盞，銷售完這批臺燈時獲利最多，此時利潤為1875元．
點評：本題考查了一次函數的應用，主要利用了一次函數的增減性，（2）理清題目數量關系并列式求出x的取值范圍是解題的關鍵．
　
23．（10分）（2013?十堰）如圖，已知正比例函數y=2x和反比例函數的圖象交于點A（m，?2）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍；
（3）若雙曲線上點C（2，n）沿OA方向平移 個單位長度得到點B，判斷四邊形OABC的形狀并證明你的結論．
考點：反比例函數綜合題．
分析：（1）設反比例函數的解析式為y= （k＞0），然后根據條件求出A點坐標，再求出k的值，進而求出反比例函數的解析式；
（2）直接由圖象得出正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍；
（3）首先求出OA的長度，結合題意CB∥OA且CB= ，判斷出四邊形OABC是平行四邊形，再證明OA=OC即可判定出四邊形OABC的形狀．
解答：解：（1）設反比例函數的解析式為y= （k＞0），
∵A（m，?2）在y=2x上，
∴?2=2m，
∴m=?1，
∴A（?1，?2），
又∵點A在y= 上，
∴k=?2，
∴反比例函數的解析式為y= ；
（2）觀察圖象可知正比例函數值大于反比例函數值時自變量x的取值范圍為?1＜x＜0或x＞1；
（3）四邊形OABC是菱形．
證明：∵A（?1，?2），
∴OA= = ，
由題意知：CB∥OA且CB= ，
∴CB=OA，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
∵C（2，n）在y= 上，
∴n=1，
∴C（2，1），
OC= = ，
∴OC=OA，
∴四邊形OABC是菱形．
點評：本題主要考查了反比例函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握反比例函數的性質以及菱形的判定定理，此題難度不大，是一道不錯的中考試題．
　
24．（10分）（2013?十堰）如圖1，△ABC中，CA=CB，點O在高CH上，OD⊥CA于點D，OE⊥CB于點E，以O為圓心，OD為半徑作⊙O．
（1）求證：⊙O與CB相切于點E；
（2）如圖2，若⊙O過點H，且AC=5，AB=6，連接EH，求△BHE的面積和tan∠BHE的值．
考點：切線的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質．
專題：計算題．
分析：（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三線合一得到CH為角平分線，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分線定理得到OE=OD，利用切線的判定方法即可得證；
（2）由CA=CB，CH為高，利用三線合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的長，由圓O過H，CH垂直于AB，得到圓O與AB相切，由（1）得到圓O與CB相切，利用切線長定理得到BE=BH，如圖所示，過E作EF垂直于AB，得到EF與CH平行，得出△BEF與△BCH相似，由相似得比例，求出EF的長，由BH與EF的長，利用三角形面積公式即可求出△BEH的面積；根據EF與BE的長，利用勾股定理求出FB的長，由BH?BF求出HF的長，利用銳角三角形函數定義即可求出tan∠BHE的值．
解答：（1）證明：∵CA=CB，點O在高CH上，
∴∠ACH=∠BCH，
∵OD⊥CA，OE⊥CB，
∴OE=OD，
∴圓O與CB相切于點E；
（2）解：∵CA=CB，CH是高，
∴AH=BH= AB=3，
∴CH= =4，
∵點O在高CH上，圓O過點H，
∴圓O與AB相切于H點，
由（1）得圓O與CB相切于點E，
∴BE=BH=3，
如圖，過E作EF⊥AB，則EF∥CH，
∴△BEF∽△BCH，
∴ = ，即 = ，
解得：EF= ，
∴S△BHE= BH?EF= ×3× = ，
在Rt△BEF中，BF= = ，
∴HF=BH?BF=3? = ，
則tan∠BHE= =2．
點評：此題考查了切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．
　
25．（12分）（2013?十堰）已知拋物線y=x2?2x+c與x軸交于A．B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為（?1，0）．
（1）求D點的坐標；
（2）如圖1，連接AC，BD并延長交于點E，求∠E的度數；
（3）如圖2，已知點P（?4，0），點Q在x軸下方的拋物線上，直線PQ交線段AC于點M，當∠PMA=∠E時，求點Q的坐標．
考點：二次函數綜合題．
分析：（1）將點A的坐標代入到拋物線的解析式求得c值，然后配方后即可確定頂點D的坐標；
（2）連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，首先求得點C的坐標，然后證得△DCB∽△AOC得到∠CBD=∠OCA，根據∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到∠E=∠OCB=45°；
（3）設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點，增大△DGB∽△PON后利用相似三角形的性質求得ON的長，從而求得點N的坐標，進而求得直線PQ的解析式，
設Q（m，n），根據點Q在y=x2?2x?3上，得到? m?2=m2?2m?3，求得m、n的值后即可求得點Q的坐標．
解答：解：（1）把x=?1，y=0代入y=x2?2x+c得：1+2+c=0
∴c=?3
∴y=x2?2x?3=y=（x?1）2?4
∴頂點坐標為（1，?4）；
（2）如圖1，連接CD、CB，過點D作DF⊥y軸于點F，
由x2?2x?3=0得x=?1或x=3
∴B（3，0）
當x=0時，y=x2?2x?3=?3
∴C（0，?3）
∴OB=OC=3
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
BC=3
又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，
∴∠FCD=45°，CD= ，
∴∠BCD=180°?∠OCB?∠FCD=90°．
∴∠BCD=∠COA
又∵
∴△DCB∽△AOC，
∴∠CBD=∠OCA
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB
∴∠E=∠OCB=45°，
（3）如圖2，設直線PQ交y軸于N點，交BD于H點，作DG⊥x軸于G點
∵∠PMA=45°，
∴∠EMH=45°，
∴∠MHE=90°，
∴∠PHB=90°，
∴∠DBG+∠OPN=90°
又∴∠ONP+∠OPN=90°，
∴∠DBG=∠ONP
又∵∠DGB=∠PON=90°，
∴△DGB=∠PON=90°，
∴△DGB∽△PON
∴
即： =
∴ON=2，
∴N（0，?2）
設直線PQ的解析式為y=kx+b
則
解得：
∴y=? x?2
設Q（m，n）且n＜0，
∴n=? m?2
又∵Q（m，n）在y=x2?2x?3上，
∴n=m2?2m?3
∴? m?2=m2?2m?3
解得：m=2或m=?
∴n=?3或n=?
∴點Q的坐標為（2，?3）或（? ，? ）．


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