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浙江省紹興市2013年中考數學試卷
一、（本大題共10小題，每小題4分，共40分，請選出每小題中一個最符合題意的選項，不選、多選、錯選，均不得分）
1．（4分）（2013•紹興）?2的絕對值是（　�。�
　A．2B．?2C．0D．

考點：絕對值．
分析：根據絕對值的概念：數軸上某個數與原點的距離叫做這個數的絕對值可直接得到答案．
解答：解：?2的絕對值是2，
故選：A．
點評：此題主要考查了絕對值，關鍵 是掌握絕對值規律總結：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相 反數；0的絕對值是0．
　
2．（4分）（2013•紹興）計算3a•（2b）的結果是（　�。�
　A．3abB．6aC．6abD．5ab

考點：單項式乘單項式．
分析 ：根據單項式與單項式相乘，把他們的系數分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數不變，作為積的因式，計算即可．
解答 ：解：3a•（2b）=3×2a•b=6ab．
故選C．
點評：本題考查了單項式與單項式相乘，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
　
3．（4分）（2013•紹興）地球半徑約為6400000米，則此數用科學記數法表示為（　�。�
　A．0.64×109B．6.4×106C．6.4×104D．64×103

考點：科學記數法—表示較大的數．
分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時， n是負數．
解答：解：6 400 000=6.4×106，
故選：B．
點評：此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
4．（4分）（2013•紹興）由5個相同的立方體搭成的幾何體如圖所示，則它的主視圖是（　�。�

考點：簡單組合體的三視圖．
分析：細心觀察圖中幾何體擺放的位置，根據主視圖是從正面看到的圖象判定則可．
解答：解：從正面可看到從左往右三列小正方形的個數為：1，1，2．
故選C．
點評：本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．
　
5．（4分）（2013•紹興）一個不透明的袋子中有3個白球、2個黃球和1 個紅球，這些球除顏色可以不同外其他完全相同，則從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率為（　�。�
　A． B． C． D．

考點：概率公式．
分析：根據概率的求法，找準兩點：①全部情 況的總數；②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率，即可求出答案．
解答：解：根據題意可得：袋子中有3個白球，2個黃球和1個紅球，共6個，
從袋子中隨機摸出一個球，它是黃球的概率2÷6= ．
故選：B．
點評：此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現種結果，那么事件A的概率P（A）= ．
　
6．（4分）（2013•紹興）紹興市著名的橋鄉，如圖，石拱橋的橋頂到水面的距離CD為8，橋拱半徑OC為5，則水面寬AB為（　�。�

　A．4B．5C．6D．8

考點：垂徑定理的應用；勾股定理．
分析：連接OA，根據橋拱半徑OC為5，求出OA=5，根據CD=8，求出OD=3，根據AD= 求出AD，最后根據AB=2AD即可得出答案．
解答：解：連接OA，
∵橋拱半徑OC為5，
∴OA=5，
∵CD=8，
∴OD=8?5=3，
∴AD= = =4，
∴AB=2AD=2×4=8（）；
故選；D．

點評：此題考查了垂徑定理的應用，關鍵是根據題意做出輔助線，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理．
　
7．（4分）（2013•紹興）若圓錐的軸截圖為等邊三角形，則稱此圓錐為正圓錐，則正圓錐的側面展開圖的圓心角是（　�。�
　A．90°B．120°C．150°D．180°

考點：圓錐的計算．
分析：設正圓錐的底面半徑是r，則母線長是2r，底面周長是2πr，然后設正圓錐的側面展開圖的圓心角是n°，利用弧長的計算公式即可求解．
解答：解：設正圓錐的底面半徑是r，則母線長是2r，底面周長是2πr，
設正圓錐的側面展開圖的圓心角是n°，則 =2πr，
解得：n=180．
故選D．
點評：正確理解圓錐的側面展開圖與原來的扇形之間的關系是解決本題的關鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．
　
8．（4分）（2013•紹興）如圖是我國古代計時器“漏壺”的示意圖，在壺內盛一定量的水，水從壺底的小孔漏出．壺壁內畫有刻度，人們根據壺中水面的位置計時，用x表示時間，y表示壺底到水面的高度，則y與x 的函數關系式的圖象是（　�。�

　A． B． C． D．

考點：函數的圖象．
分析：由題意知x表示時間，y表示壺底到水面的高度，然后根據x、y的初始位置及函數圖象的性質來判斷．xkb1.co
解答：解：由題意知：開始時，壺內盛一定量的水，所以y的初始位置應該大于0，可以排除A、B；
由于漏壺漏水的速度不變，所以圖中的函數應該是一次函數，可以排除D選項；
故選C．
點評：本題主要考查了函數圖象的讀圖能力和函數與實際問題結合的應用．要能根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函數的類型和所需要的條件，結合實際意義得到正確的結論．
　
9．（4分）（2013•紹興）小敏在作⊙O的內接正五邊形時，先做了如下幾個步驟：
（1）作⊙O的兩條互相垂直的直徑，再作OA的垂直平分線交OA于點，如圖1；
（2）以為圓心，B長為半徑作圓弧，交CA于點D，連結BD，如圖2．若⊙O的半徑為1，則由以上作圖得到的關于正五邊形邊長BD的等式是（　　）

　A．BD2= ODB．BD2= ODC．BD2= ODD．BD2= OD

考點：正多邊形和圓．
分析：首先連接B，根據題意得：OB=OA=1，AD⊥OB，B=D，然后由勾股定理可求得B與OD的長，繼而求得BD2的值．
解答：解：如圖2，連接B，
根據題意得：OB=OA=1，AD⊥OB，B=D，
∵OA的垂直平分線交OA于點，
∴O=A= OA= ，
∴B= = ，
∴D= ，
∴OD=D?O= ? = ，
∴BD2=OD2+OB2= = = OD．
故選C．

點評：此題考查了勾股定理、線段垂直平分線的性質以及分母有理化的知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．
　
10．（4分）（2013•紹興）教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫（℃）與開機后用時（in）成反比例關系．直至水溫降至30℃，飲水機關機．飲水機關機后即 刻自動開機，重復上述自動程序．若在水溫為30℃時，接通電源后，水溫y（℃）和時間（in）的關系如圖，為了在上午第一節下課時（8：45）能喝到不超過50℃的水，則接通電源的時間可以是當天上午的（　�。�

　A．7：20B．7：30C．7：45D．7：50

考點：反比例函數的應用．
分析：第1步：求出兩個函數的解析式；
第2步：求出飲水機完成一個循環周期所需要的時間；
第3步：求出每一個循環周期內，水溫不超過50℃的時間段；
第4步：結合4個選擇項，逐一進行分析計算，得出結論．
解答：解：∵開機加熱時每分鐘上升10℃，
∴從30℃到100℃需要7分鐘，
設一次函數關系式為：y=k1x+b，
將（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30
∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；
設反比例函數關系式為：y= ，
將（7，100）代入y= 得k=700，∴y= ，
將y=30代入y= ，解得x= ；
∴y= （7≤x≤ ），令y=50，解得x=14．
所以，飲水機的一個循環周期為 分鐘．每一個循環周期內，在0≤x≤2及14≤x≤ 時間段內，水溫不超過50℃．
逐一分析如下：
選項A：7：20至8：45之間有85分鐘．85? ×3=15，位于14≤x≤ 時間段內，故可行；
選項B：7：30至8：45之間有75分鐘．75? ×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤ 時間段內，故不可行；
選項C：7：45至8：45之間有60分鐘．60? ×2= ≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤ 時間段內，故不可行；
選項D：7：50至8：45之間有55分鐘．55? ×2= ≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤ 時間段內，故不可行．
綜上所述，四個選項中，唯有7：20符合題意．
故選A．

點評：本題主要考查了一次函數及反比例函數的，還有時間的討論問題．同學們在解答時要讀懂題意，才不易出錯．
　
二、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
11．（5分）（2013•紹興）分解因式：x2?y2=�。▁+y）（x?y）�。�

考點：因式分解-運用公式法．
分析：因為是兩個數的平方差，所以利用平方差公式分解即可．
解答：解：x2?y2=（x+y）（x?y）．
點評：本題考查了平方差公式因式分解，熟記平方差公式的特點：兩項平方項，符號相反，是解題的關鍵．
　
12．（5分）（2013•紹興）分式方程 =3的解是　x=3　．

考點：解分式方程．
專題：．
分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：2x=3x?3，
解得：x=3，
經檢驗x=3是分式方程的解．
故答案為：x=3
點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
　
13．（5分）（2013•紹興）我國古代數學名著《孫子算經》中有這樣一題，今有雞兔同籠，上有35頭，下有94足，問雞兔各幾何？此題的答案是：雞有23只，兔有12只，現在小敏將此題改編為：今有雞兔同籠，上有33頭，下有88足，問雞兔各幾何？則此時的答案是：雞有　22　只，兔有　11　只．

考點：二元一次方程組的應用．
分析：設雞有x只，兔有y只，就有x+y=33，2x+4y=88，將這兩個方程構成方程組求出其解即可．
解答：解：設雞有x只，兔有y只，由題意，得
，
解得： ，
∴雞有22只，兔有11只．
故答案為：22，11
點評：本題考查了列二元一次方程解生活實際問題的運用，二元一次方程的解法的運用，解答時根據條件找到反應全題題意的等量關系建立方程是關鍵．
　
14．（5分）（2013•紹興）在平面直角坐標系中，O是原點，A是x軸上的點，將射線OA繞點O旋轉，使點A與雙曲線y= 上的點B重合，若點B的縱坐標是1，則點A的橫坐標是　2或?2�。�

考點：坐標與圖形變化-旋轉；反比例函數圖象上點的坐標特征．
分析：根據反比例函數的性質得出B點坐標，進而得出A點坐標．
解答：解：如圖所示：
∵點A與雙曲線y= 上的點B重合，點B的縱坐標是1，
∴點B的橫坐標是 ，
∴OB= =2，
∵A點可能在x軸的正半軸也可能在負半軸，
∴A點坐標為：（2，0），（?2，0）．
故答案為：2或?2．

點評：此題主要考查了勾股定理以及反比例函數的性質等知識，根據已知得出BO的長是解題關鍵．
　
15．（5分）（2013•紹興）如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，則∠A的度數是　12°�。�

考點：等腰三角形的性質．
分析：設∠A=x，根據等邊對等角的性質以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根據三角形的內角和定理列式進行計算即可得解．
解答：解：設∠A=x，
∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，
∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，
∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，
∴∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x，
…，
∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，
∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，
即x+7x+7x=180°，
解得x=12°，
即∠A=12°．
故答案為：12°．
點評：本題考查了等腰三角形等邊對等角的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，規律探尋題，難度較大．
　
16．（5分）（2013•紹興）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是對角線BD上不重合的兩點，點P關于直線AD，AB的對稱點分別是點E、F，點Q關于直線BC、CD的對稱點分別是點G、H．若由點E、F、G、H構成的四邊形恰好為菱形，則PQ的長為　2.8�。�

考點：幾何變換綜合題．
分析：如解答圖所示，本題要點如下：
（1）證明矩形的四個頂點A、B、C、D均在菱形EFGH的邊上，且點A、C分別為各自邊的中點；
（2）證明菱形的邊長等于矩形的對角線長；
（3）求出線段AP的長度，證明△AON為等腰三角形；
（4）利用勾股定理求出線段OP的長度；
（5）同理求出OQ的長度，從而得到PQ的長度．
解答：解：由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得對角線AC=BD=5．
依題意畫出圖形，如右圖所示．
由軸對稱性質可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°，
∴點A在菱形EFGH的邊EF上．同理可知，點B、C、D均在菱形EFGH的邊上．
∵AP=AE=AF，∴點A為EF中點．同理可知，點C為GH中點．
連接AC，交BD于點O，則有AF=CG，且AF∥CG，
∴四邊形ACGF為平行四邊形，
∴FG=AC=5，即菱形EFGH的邊長等于矩形ABCD的對角線長．
∴EF=FG=5，
∵AP=AE=AF，∴AP= EF=2.5．
∵OA= AC=2.5，
∴AP=AO，即△APO為等腰三角形．
過點A作AN⊥BD交BD于點N，則點N為OP的中點．
由S△ABD= AB•AD= AC•AN，可求得：AN=2.4．
在Rt△AON中，由勾股定理得：ON= = =0.7，
∴OP=2ON=1.4；
同理可求得：OQ=1.4，
∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8．
故答案為：2.8．

點評：本題是幾何變換綜合題，難度較大．首先根據題意畫出圖形，然后結合軸對稱性質、矩形性質、菱形性質進行分析，明確線段之間的數量關系，最后由等腰三角形和勾股定理求得結果．
　
三、解答題（本大題共有8小題，第17--20小題每小題8分，第21小題10分，第22、23小題每小題8分，第24小題14分，共80分，解答需寫出畢必要的文字說明、演算步驟或證明過程）[:學.科.網Z.X.X.K]
17．（8分）（2013•紹興）（1）化簡：（a?1）2+2（a+1）
（2）解不等式： + ≤1．

考點：整式的混合運算；解一元一次不等式．
專題：．
分析：（1）原式第一項利用完全平方公式展開，去括號合并即可得到結果．
解答：解：（1）原式=a2?2a+1+2a+2=a2+3；
（2）去分母得：3（x+1）+2（x?1）≤6，
去括號得：3x+3+2x?1≤6，
解得：x≤1．
點評：此題考查了整式的混合運算，以及解一元一次不等式，涉及的知識有：完全平方公式，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．
　
18．（8分）（2013•紹興）某市出租車計費方法如圖所示，x（k）表示行駛里程，y（元）表示車費，請根據圖象回答下面的問題：
（1）出租車的起步價是多少元？當x＞3時，求y關于x的函數關系式．
（2）若某乘客有一次乘出租車的車費為32元，求這位乘客乘車的里程．

考點：一次函數的應用．
分析：（1）根據函數圖象可以得出出租車的起步價是8元，設當x＞3時，y與x的函數關系式為y=kx+b，運用待定系數法就可以求出結論；
（2）將y=32代入（1）的解析式就可以求出x的值．
解答：解：（1）由圖象得：
出租車的起步價是8元，；
設當x＞3時，y與x的函數關系式為y=kx+b，由函數圖象，得
，
解得： ，
故y與x的函數關系式為：y=2x+2；

（2）當y=32時，
32=2x+2，
x=15
答：這位乘客乘車的里程是15k．
點評 ：本題考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，由函數值求自變量的值的運用，解答時理解函數圖象是重點，求出函數的解析式是關鍵．
　
19．（8分）（2013•紹興）如圖，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移將矩形ABCD沿AB的方向向右平移5個單位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移將矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個單位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移將矩形An?1Bn?1Cn?1Dn?1沿An?1Bn?1的方向平移5個單位，得到矩形AnBnCnDn（n＞2）．

（1）求AB1和AB2的長．
（2）若ABn的長為56，求n．

考點：平移的性質；一元一次方程的應用；矩形的性質．
專題：規律型．
分析：（1）根據平移的性質得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1?A1A2=6?5=1，進而求出AB1和AB2的長；
（2）根據（1）中所求得出數字變化規律，進而得出A Bn=（n+1）×5+1求出n即可．
解答：解：（1）∵AB=6，第1次平移將矩形ABCD沿AB的方向向右平移5個單位，得到矩形A1B1C1D1，
第2次平移將矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5個單位，得到矩形A2B2C2D2…，
∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1?A1A2=6?5=1，
∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11，
∴AB2的長為：5+5+6=16；

（2）∵AB1=2×5+1=11，AB2=3×5+1=16，
∴ABn=（n+1）×5+1=56，
解得：n=10．
點評：此題主要考查了平移的性質以及一元一次方程的應用，根據平移的性質得出AA1=5，A1A2=5是解題關鍵．
　
20．（8分）（2013•紹興）某校體育組為了了解學生喜歡的體育項目，從全校同學中隨機抽取了若干名同學進行調查，每位同學從兵乓球、籃球、羽毛球、排球、跳繩中選擇一項最喜歡的項目，并將調查的結果繪制成如下的兩幅統計圖．根據以上統計圖，解答下列問題：

（1）這次被調查的共有多少名同學？并補全條形統計圖．
（2）若全校有1200名同學，估計全校最喜歡籃球和排球的共有多少名同學？

考點：條形統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖．
分析：（1）利用條形統計圖可得喜歡排球的人數有12人，根據扇形統計圖可得喜歡排球的人數有15%，利用12÷15%即可得到被調查的總人數；用總人數?喜歡乒乓球的人數?喜歡籃球的人數?喜歡羽毛球的人數?喜歡排球的人數可得喜歡跳繩的人數，再補圖即可；
（2）計算出調查的人數中喜歡籃球和排球的人數所占百分比，再乘以1200即可．
解答：解：（1）這次被調查的學生總數：30÷15%=200（人），
跳繩人數：200?70?40?30?12=48，如圖所示：

（2）1200× ×100%=312（人）．
答：全校有1200名同學，估計全校最喜歡籃球和排球的共有312名同學．

點評：本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，以及樣本估計總體，讀懂統計圖，從不同的統計圖中 得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大�。�
　
21．（10分）（2013•紹興）如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘架所成的角∠BAC，當傘收緊時，結點D與點重合，且點A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長度如下：單位：c
傘架DEDFAEAFABAC
長度363636368686
（1）求A的長．
（2）當∠BAC=104°時，求AD的長（精確到1c）．
備用數據：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．

考點：解直角三角形的應用．
分析：（1）根據A=AE+DE求解即可；
（2）先根據角平分線的定義得出∠EAD= ∠BAC=52°，再過點E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性質得出AD=2AG，然后在△AEG中，利用余弦函數的定義求出AG的長，進而得到AD的長度．
解答：解：（1）由題意，得A=AE+DE=36+36=72（c）．
故A的長為72c；

（2）∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°，
∴∠EAD= ∠BAC=52°．
過點E作EG⊥AD于G，
∵AE=DE=36，
∴AG=DG，AD=2AG．
在△AEG中，∵∠AGE=90°，
∴AG=AE•cos∠EAG=36•cos52°=36×0.6157=22.1652，
∴AD=2AG=2×22.1652≈44（c）．
故AD的長約為44c．

點評：本題考查了解直角三角形在實際生活中的應用，其中涉及到角平分線的定義，等腰三角形的性質，三角函數的定義，難度適中．
　
22．（12分）（2013•紹興）若一個矩 形的一邊是另一邊的兩倍，則稱這個矩形為方形，如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，則稱ABCD為方形．

（1）設a，b是方形的一組鄰邊長，寫出a，b的值（一組即可）．
（2）在△ABC中，將AB，AC分別五等分，連結兩邊對應的等分點，以這些連結為一邊作矩形，使這些矩形的邊B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的對邊分別在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如圖2所示．
①若BC=25，BC邊上的高為20，判斷以B1C1為一邊的矩形是不是方形？為什么？
②若以B3C3為一邊的矩形為方形，求BC與BC邊上的高之比．

考點：四邊形綜合題．
分析：（1）答案不唯一，根據已知舉出即可；
（2）①求出△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，推出 = = ， = = ， = = ， = = ，求出B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，N=GN=GH=HE=4，BQ=B2O=B3Z=B4K=4，根據已知判斷即可；
②設A=h，根據△ABC∽△AB3C3，得出 = = ，求出N=GN=GH=HE= h，分為兩種情況：當B3C3=2 × h，時，當B3C3= × h時，代入求出即可．
解答：解：（1）答案不唯一，如a=2，b=4；

（2）①以B1C1為一邊的矩形不是方形．
理由是：過A作A⊥BC于，交B1C1于E，交B2C2于H，交B3C3于G，交B4C4于N，則A⊥B4C4，A⊥B3C3，A⊥B2C2，A⊥B1C1，
∵由矩形的性質得：BC∥B1C1∥B2C2∥B3C3∥B4C4，
∴△ABC∽△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽△AB4C4，
∴ = ， = = ， = = ， = = ，
∵A=20，BC=25，
∴B1C1=5，B2C2=10，B3C3=15，B4C4=20，AE=4，AH=8，AG=12，AN=16，
∴N=GN=GH=HE=4，
∴BQ=B2O=B3Z=B4K=4，
即B1C1≠2B1Q，B1Q≠2B1C1，
∴以B1C1為一邊的矩形不是方形；
②∵以B3C3為一邊的矩形為方形，設A=h，
∴△ABC∽△AB3C3，
∴ = = ，
則AG= h，
∴N=GN=GH=HE= h，
當B3C3=2× h，時， = ；
當B3C3= × h時， = ．
綜合上述：BC與BC邊上的高之比是 或 ．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定和矩形的性質的應用，注意：相似三角形的對應高的比等于相似比．
　
23．（12分）（2013•紹興）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．
（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．
（2）如圖2，AC：AB=1： ，EF⊥CE，求EF：EG的值．

考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．
分析：（1）根據同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；
（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據正弦函數的定義得出EQ= BE，在△AEH中，根據余弦函數的定義得出EH= AE，又BE=AE，進而求出EF：EG的值．
解答：（1）證明：如圖1，
在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，
∴∠CAD=∠B=90°?∠ACB．
∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，
∵點E為AB的中點，∴AB=2BE，
∴AC=BE．
在△ACD與△BEF中，
，
∴△ACD≌△BEF，
∴CD=EF，即EF=CD；

（2）解：如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，
∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，
∴四邊形EQDH是矩形，
∴∠QEH=90°，
∴∠FEQ=∠GEH=90°?∠QEG，
又∵∠EQF=∠EHG=90°，
∴△EFQ∽△EGH，
∴EF：EG=EQ：EH．
∵AC：AB=1： ，∠CAB=90°，
∴∠B=30°．
在△BEQ中，∵∠BQE=90°，
∴sin∠B= = ，
∴EQ= BE．
在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，
∴cos∠AEH= = ，
∴EH= AE．
∵點E為AB的中點，∴BE=AE，
∴EF：EG=EQ：EH= BE： AE=1： ．


點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度．解題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形．
　
24．（14分）（2013•紹興）拋物線y=（x?3）（x+1）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，點D為頂點．

（1）求點B及點D的坐標．
（2）連結BD，CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E．
①若線段BD上一點P，使∠DCP=∠BDE，求點P的坐標．
②若拋物線上一點，作N⊥CD，交直線CD于點N，使∠CN=∠BDE，求點的坐標．

考點：二次函數綜合題．
分析：（1）解方程（x?3）（x+1）=0，求出x=3或?1，根據拋物線y=（x?3）（x+1）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），確定點B的坐標為（3，0）；將y=（x?3）（x+1）配方，寫成頂點式為y=x2?2x?3=（x?1）2?4，即可確定頂點D的坐標；
（2）①根據拋物線y=（x?3）（x+1），得到點C、點E的坐標．連接BC，過點C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD= ，CB=3 ，證明△BCD為直角三角形．分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R．根據兩角對應相等的兩三角形相似證明△BCD∽△QOC，則 = = ，得出Q的坐標（?9，0），運用待定系數法求出直線CQ的解析式為y=? x?3，直線BD的解析式為y=2x?6，解方程組 ，即可求出點P的坐標；
②分兩種情況進行討論：（Ⅰ）當點在對稱軸右側時．若點N在射線CD上，如備用圖1，延長N交y軸于點F，過點作G⊥y軸于點G，先證明△CN∽△DBE，由相似三角形對應邊成比例得出N=2CN．設CN=a，再證明△CNF，△GF均為等腰直角三角形，然后用含a的代數式表示點的坐標，將其代入拋物線y=（x?3）（x+1），求出a的值，得到點的坐標；若點N在射線DC上，同理可求出點的坐標；（Ⅱ）當點在對稱軸左側時．由于∠BDE＜45°，得到∠CN＜45°，根據直角三角形兩銳角互余得出∠CN＞45°，而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，所以點不存在．
解答：解：（1）∵拋物線y=（x?3）（x+1）與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），
∴當y=0時，（x?3）（x+1）=0，
解得x=3或?1，
∴點B的坐標為（3，0）．
∵y=（x?3）（x+1）=x2?2x?3=（x?1）2?4，
∴頂點D的坐標為（1，?4）；

（2）①如右圖．
∵拋物線y=（x?3）（x+1）=x2?2x?3與與y軸交于點C，
∴C點坐標為（0，?3）．
∵對稱軸為直線x=1，
∴點E的坐標為（1，0）．
連接BC，過點C作CH⊥DE于H，則H點坐標為（1，?3），
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD= ，CB=3 ，△BCD為直角三角形．
分別延長PC、DC，與x軸相交于點Q，R．
∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，
∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，
∴∠CDB=∠QCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴ = = ，
∴OQ=3OC=9，即Q（?9，0）．
∴直線CQ的解析式為y=? x?3，
直線BD的解析式為y=2x?6．
由方程組 ，解得 ．
∴點P的坐標為（ ，? ）；

②（Ⅰ）當點在對稱軸右側時．
若點N在射線CD上，如備用圖1，延長N交y軸于點F，過點作G⊥y軸于點G．
∵∠CN=∠BDE，∠CN=∠BED=90°，
∴△CN∽△DBE，
∴ = = ，
∴N=2CN．
設CN=a，則N=2a．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△GF均為等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF= a，
∴F=N+NF=3a，
∴G=FG= a，
∴CG=FG?FC= a，
∴（ a，?3+ a）．
代入拋物線y=（x?3）（x+1），解得a= ，
∴（ ，? ）；
若點N在射線DC上，如備用圖2，N交y軸于點F，過點作G⊥y軸于點G．
∵∠CN=∠BDE，∠CN=∠BED=90°，
∴△CN∽△DBE，
∴ = = ，
∴N=2CN．
設CN=a，則N=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△GF均為等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF= a，
∴F=N?NF=a，
∴G=FG= a，
∴CG=FG+FC= a，
∴（ a，?3+ a）．
代入拋物線y=（x?3）（x+1），解得a=5 ，
∴（5，12）；
（Ⅱ）當點在對稱軸左側時．
∵∠CN=∠BDE＜45°，
∴∠CN＞45°，
而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，
∴點不存在．
綜上可知，點坐標為（ ，? ）或（5，12）．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的性質，運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定與性質，綜合性較強，有一定難度．（2）中第②問進行分類討論及運用數形結合的思想是解題的關鍵．

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