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人教版高中數學選修系列：4.2復數的運算(備課資料)
備課資料
(一)補充例題?
［例1］已知f(z)=2z+z-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.?
分析：欲求f(-z)的值，說明z一定是一個常數，由已知所給的條件可觀察出，實質上是通過復合函數的求法建立以z為變量的復數方程來求解z.?
解：∵f(z)=2z+ -3i,?
∴f( +i)=2( +i)+ -3i??
=2 +z-2i,?
又f( +i)=6-3i,?
∴2 +z-2i=6-3i,即2 +z=6-i.?
設z=a+bi(a、b∈R),則將 =a-bi代入上式得3a-bi=6-i.?
由兩復數相等的充要條件得
∴z=2+i.故f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.?
解題回顧：本題是牽涉面較廣的一道題，我們在學習過程中，一定要注意知識之間的橫、縱聯系.?
［例2］已知復數z1、z2滿足｜z1｜=｜z2｜=1,z1+z2= ,求z1、z2值.?
分析一：由已知｜z1｜=1可設出z1=a+bi(a、b∈R),代入z1+z2求出z2.再根據｜z2｜=1又得出一實數方程，聯立即可求解.?
解法一：設z1=a+bi(a、b∈R),則a2+b2=1.①?
∵z1+z2= ,?
∴z2= -a+( -b)i.?
∵｜z2｜=1,∴ ,?
即a+ b=1.②?
將a=1- b代入①,解得b=0或 .?
將b=0代入②得a=1;?
將 代入②得 .?
∴ 或 .?
分析二：從幾何角度入手分析這個題，由于｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1，所以z1、z2、z1+z2所對應的點都在以原點為圓心，1為半徑的圓上.再結合z1+z2實部、虛部的特殊性不難從圖中直接觀察出z1或z2.?
解法二：由｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1,故z1、z2、z1+z2均在

圖4-5
單位圓上，如圖,由z1+z2= + ,不難找出相應點為Z.又因z1+z2實部是 ,故圖中θ=6°.又｜z1｜=｜z2｜=1，z1+z2對應 ，又是和向量，所以可看出z1=1或z2=1,?
即 或
解題回顧：（1）對本題的解法一，若是設z1=a+bi,z2=c+di,則a2+b2=1,c2+d2=1,再根據z1+z2= 又得兩個方程，這樣，相當于解一個四元二次方程，變量設的太多，不利于解題，所以我們在解題時，注意巧設，盡量減少變量.?
(2)解法二由復數幾何意義進行數形結合求解，是一種很重要的思維方法.?
［例3］（1）復數z滿足｜z+5-12i｜=3,求z的軌跡；?
(2)復數z滿足2｜z-3-3i｜=｜z｜,求z的軌跡；?
(3)已知｜z｜=2,試求z+3-4i對應點的軌跡.?
（1）解：由｜z-z0｜意義可知｜z+5-12i｜=3表示動點Z到定點Z0距離為定值3，故z軌跡為以（-5+12i）對應點為圓心，3為半徑的圓.?
(2)解：本題由方程直接看不出z滿足的條件，故可設
z=x+yi(x、y∈R)，代入2｜z-3-3i｜=｜z｜得?到方程為
(x-4)2+(y-4)2=8.故z軌跡為?以(4,4)為圓心，22為半徑的圓.?
(3)解法一：設ω=z+3-4i,ω=x+yi(x,y∈R),z=a+bi(a、b∈R).?
∴x+yi=a+3+(b-4)i.?
∴ 即
∵a2+b2=4,?
∴(x-3)2+(y+4)2=4.?
故z軌跡為以(3,-4)為圓心，2為半徑的圓.?
解法二：設ω=z+3-4i?,?
則z=ω-3+4i.?
∵｜z｜=2,∴｜ω-3+4i｜=2.?
故z軌跡為以3-4i對應點為圓心，2為半徑的圓.?
解題回顧：（1）本題屬于求軌跡問題.方法與我們解析幾何中求軌跡方法一樣，有直接法、代入法和消參法.?
（2）對于（3）題的兩種解法均為代入法，從上述解法可看出，有時就用復數直接代入還是很方便的.?
［例4］已知｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i.?
(1)求｜z｜的最大值和最小值；?
(2)求｜z-1｜2+｜z+1｜2的最大值和最小值.?
(1)分析：由｜z｜的幾何意義可知，只需弄清z的軌跡即可.?
解法一：∵｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i,??
∴｜z-(3-4)i｜=2,z軌跡如圖46,以z0=3-4i為圓心，2為半徑的圓.?

圖4-6
故｜z｜max?=2+9+16=7,｜z｜min=5-2=3.?
分析：由模的性質｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1+z2｜≤｜z1｜+｜z2｜知，只要存在λ使得z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0有最大值，λ＜0有最小值)即可.?
解法二：｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≤｜z-(3-4i)｜+｜3-4i｜≤2+5=7,當且僅當z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0)時，等號成立.?
∵｜z-(3-4i)｜=2,∴｜λ(3-4i)｜=2.?
∴ ，?
即當 時，｜z｜max=7.?
又∵｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≥｜｜z-(3-4i)｜-｜3-4i｜｜=｜2-5｜=3,當且僅當z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＜0)時，等號成立，即 .?
∴當 時，｜z｜min=3.?
解題回顧：本題可拓寬到求｜z-z1｜的最值，相當于在圓上求一點到z1對應點距離的最值，此時，不論z1點與圓位置如何，均有?
｜z-z1｜max=｜z1-z0｜+r,?
｜z-z1｜min=｜｜z1-z0｜-r｜.?
(2)分析：此問題實質上是在圓上求一點P，使P到兩點（-1，0）、（1，0）距離和最大.此問題，若用圓的參數方程解時較繁，此時可利用向量加、減法幾何意義將問題轉化為（1）來求解.?

圖4-7
解：如圖,設A（1，0），B（-1，0），在圖上任取一點P，以PA、PB為鄰邊作平行四邊形，則由模性質得?
｜PA｜2+｜PB｜2
= ［｜AB｜2+(2｜OP｜)2］?
= ［｜AB｜2+4｜OP｜2］,?
而｜AB｜2=4，欲求｜PA｜2+｜PB｜2的最值，只需求｜OP｜2最值即可.?
由（1）知｜OP｜max=7,｜OP｜min=3,?
故｜z-1｜2+｜z+1｜2最大值為100，最小值為20.?
解題回顧：本題可拓寬到求｜z-z1｜2+?｜z-z2｜2的最值.設z1、z2對應點仍為A、B，線段AB中點為C，則｜z-z1｜2+｜z-z2｜2= ［｜AB｜+4｜PC｜2］,問題轉化為在圖上求點P到點C的最大、最小值.?
（二）名篇欣賞?
對挖掘數學課本知識的實踐與思考?
方均斌（浙江溫州師范學院　325027）?
一個有經驗的教師，應該對挖掘課本知識非常重視.筆者經常在各種中學數學雜志上看到諸如《談課本某某知識的挖掘》《要重視課本知識的挖掘》《要挖掘數學知識的思想方法》等等之類的文章，筆者非常同意這些作者的觀點.但在如何把握挖掘數學知識的度，挖掘的過程中應注意的事項以及挖掘課本知識的策略方面，談得不多.為此，筆者想借貴刊一角談談自己的一點想法，供大家參考.?
1.“典型、適時、有度”地挖掘　充分調動學生的積極性?
1.1 “挖”得典型減輕負擔?
要“挖”得典型，“挖”是為了教師今后“不挖”，重在教會學生“如何挖”.數學發展到現在，已經形成一門體系龐大的科學，就算經過長期實踐和論證而納入中學生必須學習的數學知識，如果教師處理不當 ，也會讓學生負擔過重而苦不堪言.例如對每一個定理、公式都進行推廣和變形的挖掘,由于這種挖掘都是教師一廂情愿下進行的，對學生來說是被動的，這些經教師挖掘出來的內容，將成為學生的一種新的負擔.挖掘課本知識的根本目的在于讓學生學會探索性學習，培養他們的探索能力和創新精神，教師應教會學生掌握對問題采用諸如歸納、類比、演繹、映射與反演、普遍化和特殊化、開放性處理以及條件的變更等挖掘知識的方法,而并非是讓學生掌握挖掘出來的知識，否則將增加學生的負擔.因此，挖掘課本知識要選擇典型的內容.那么到底哪些內容需要挖掘，哪些知識不需要挖掘呢？一般說來，這樣的幾個內容需要挖掘：（1）方法典型，培養學生的創新能力效果較好的內容；（2）思想蘊涵豐富的內容；（3）實際應用較廣的內容；（4）對后續知識學習作用較大的內容.當然，教師應著重考慮課程標準（或大綱）范圍內的內容.?
［例1］判斷下列函數是否具有奇偶性：（高中數學第一冊（上）試驗修訂本?必修P61例4）
（1）f(x)=x3+2x;(2)f(x)=2x4+3x2.?
該題教師要不要對奇偶函數經過四則運算后的函數奇偶性判斷的一般規律進行挖掘？筆者認為，需要挖掘.因為挖掘過程可以培養學生運用一般化的思想方法，而且學生也容易得出結論，對提高判斷函數的奇偶性的速度大有好處.但是要讓學生記住“非空公共定義域內非零奇函數與非零偶函數的和為非奇非偶函數” “非空公共定義域內奇函數和為奇函數”等等，恐怕就可能增加學生的不必要負擔了.其實學生如果記不住，只要簡單推導一下就可以了.至于是否在講解該例時就馬上進行挖掘，恐怕還為時過早.筆者認為，應該在學生完成習題2.3第7題后的作業評講或在小結課時進行總結和挖掘較好.如何把握好挖掘課本知識的時機是本文要討論的另一個話題.?
［例2］求下列兩條直線的交點：（高中數學第二冊（上）修訂本?必修P50例8）?
l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.?
有的教師感覺每一次都要求兩條直線的交點較麻煩，干脆將一般化的方程組：?
(A1B2-A2B1≠0)的通解 告訴學生，讓學生記住結論.雖然這樣做可以避免每一次都要解二元一次方程組的麻煩,但是增加了學生記憶公式的負擔（因為該公式容易記混，盡管有些教師采用行列式幫助學生記憶），而且會削弱學生解一次方程組的變形能力.當然，學生如果自己產生挖掘的需要，那就另當別論了.教師應積極鼓勵學生去挖掘，不要以高考不作要求為由，阻止學生對課本知識的挖掘.因為學生探索新知識的興趣和欲望是至關重要的.只要教師正確引導，相信一定能培養出具有強烈好奇心和探索能力的創新人才.?
1.2　把握時機　恰到好處?
判斷哪些知識需要挖掘，需要較多的經驗積累，而如何在恰當的時機進行挖掘，更需要教師有一個實踐的過程.一般說來，剛傳授的新知識不宜馬上進行挖掘，需要學生有一個接觸和熟悉新知識的過程.這些新知識對學生來說是一片未開發的處女地，讓學生在學習和熟悉新知識的過程中去感悟，給學生一點自由的開發時間和空間，教師最多只能做一些暗示、表揚等一些外圍工作.此外，教師應充分感悟教材編者的意圖，課本中的例題、練習、習題等陸續重復出現的類似問題和結論，很可能是編者有意識地安排并暗示學生進行挖掘的內容，以培養學生的創新和發現能力.教師切勿在學生剛開始學習或在學習中途就一挖到底，來個趕盡殺絕！?
［例3］如何處理以下來自教材（高中數學第二冊（上）試驗修訂本?必修）的類題？?
1.求證： + <2 .（P12例6）?
2.求證：（1） + <4；?
(2) > -2.(P17習題6.3第4題)?
3.已知a≥3,求證： - > - .(P17習題6.3第5題)?
4.已知a>b>0,求證： - < .(P30復習參考題六A組第6題)?
5.求證： + >1+ .(P30復習參考題六A組第7題)?

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