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　　1．甲、乙兩個圍棋隊各5名隊員按事先排好的順序進行擂臺賽，雙方1號隊員選賽，負者被淘汰，然后負方的2號隊員再與對方的獲勝隊員再賽，負者又被淘汰，一直這樣進行下去，直到有一方隊員全被淘汰時，另一方獲勝。假設每個隊員實力相當，則甲方有4名隊員被淘汰且最后占勝乙方的概率是____________。

　　2．某種比賽的規則是5局3勝制，甲、乙兩人在比賽中獲勝的概率分別是。

　�。�1）若有3局中乙以2：1領先，求乙獲勝的概率；

　　（2）若勝一局得2分，負一局得分，求甲得分ξ的數學期望。

　　難點 2以概率與統計為背景的數列題

　　1．從原點出發的某質點M，按向量a=(0,1)移動的概率為，按向量b=（0，2）移動的概率為，設M到達點（0，n）的概率為Pn,求Pn

　　質點能達（0，n）的概率為

　　2．一個口袋中放有若干個球，每一球上標有1至n中某一個整數，設標有數k的球有k個，現從中任取一球。ξ為取的球上所標數字，求ξ的期望與方差。

　　難點 3 利用期望與方差解決實際問題

　　1．四位母親帶領自己的孩子參加電視臺“我愛媽媽”綜藝節目，其中有一環節，先把四位小孩的眼睛蒙上，然后四位母親分開站，而且站?不許動、不許出聲，最后讓蒙上眼睛的小朋友找自己的媽媽，一位母親的身邊只許站一位小朋友，站對一對后亮起兩盞紅燈，站錯不亮燈，求所亮燈數的期望值。

　　2．某商場根據天氣預報來決定節目節日在商場內還有在商場外開展促銷活動，統計資料表明，每一年五一節商場內的促銷活動可獲得經濟效益2.5萬元，商場外的促銷活動如果不遇害到有雨天可獲得經濟效益12萬元，如果促銷活動遇到雨天則帶來經濟損失5萬元，4月30日氣象臺報五一節當地有雨的概率是40%，問商場應該采用哪種促銷方式？

　　【易錯點點睛】

　　易錯點 1 求某事件的概率

　　1．從數字1，2，3，4，5中，隨機抽取3個數字（允許重復）組成一個三位數，其各位數字之和等于9的概率為 ?（ ?）

　　個三位數；（3）三個數字都相同，有（3，3，3），共1個三位數。所求概率為。選D。

　　2．甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題，規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格。

　�。�1）分別求甲、乙兩人考試合格的概率；

　　（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。

　　3．某人有5把鑰匙，其中有1把可以打開房門，但忘記了開門的是哪一把，于是他逐把不重復地試開，那么恰好第三次打開房門的概率是____________.

　�。ǚ椒ㄈ�）只考慮第3把鑰匙，概率P=

　　4．甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別是。假設兩人射擊中目標，相互之間沒有影響；每次射擊是否擊中目標，相互之間沒有影響。

　　（1）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標的概率；

　�。�2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率；

　�。�3）假設某人連續2次未擊中目標，則停止射擊。問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？

　　【舉一反三】

　　1擲三枚骰子，求所得點數中最大點數是最小點數兩倍的概率是 ?（ ?）

　　2 、同時拋擲3枚均勻硬幣16次，則這三枚硬幣至少出現一次兩個正面一個反而的概率__________（用式子作答）。

　　3 、設棋子在正四面體ABCD的表面從一個頂點向另外三個頂點移動是等可能的，現拋擲骰子根據其點數決定棋子是否移動，若拋出的點數是奇數，則棋子不動；若拋出的點數是偶數，棋子移動到另一頂點，若棋子的初始位置為A，則：

　�。�1）投擲2次骰子，棋子才到達頂點BA的概率；

　�。�2）投擲次骰子，棋子恰巧在頂點B的概率是多少？

　　【特別提醒】

　　對于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考慮了順序，則分子也應考慮順序等；將一個較復雜的事件進行分解時，一定要注意各事件之間是否互斥，還要注意有無考慮全面；有時正面情況較多，應考慮利用公式P（A）=1-P（）；對于A、B是否獨立，應充分利用相互獨立的定義，只有A、B相互獨立，才能利用公式P（A?B）=P（A）?P（B），還應注意獨立與互斥的區別，不要兩者混淆。

　　易錯點 2離散型隨機變量的分布列、期望與方差

　　1．盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個。第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同）。記第一次與第二次取得球的標號之和為ξ。

　　（1）求隨機變量ξ的分布列；

　�。�2）求隨機變量ξ的期望。

　　2．某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題競賽規則規定：每題回答正確得100分，回答不正確得-100分，假設這名同學每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響。

　　（1）求這名同學回答這三個問題的總得分ξ的概率分布和數學期望；

　�。�2）求這名同學總得分不為負分（即ξ≥0）的概率。

　�。�2）這名同學總得分不為負分的概率為P（ξ≥0）=0.384+0.512=0.986.

　　3．某電器商經過多年經驗發現本店每個月售出的電冰箱的臺數ξ是一個隨機變量，它的分布列如下：

　　ξ123…12P…設每售出一臺電冰箱，電器商獲利300元，如銷售不出而囤積于倉庫，則每臺每月需花保養費100元，問電器商月初購進多少臺電冰箱才能使自己平均收益最大？

　　4．一接等中心有A、B、C、D四部熱線電話，已知某一時刻電話A、B占線的概率為0.5，電話C、D戰線的概率為0.4，各部電話是否占線相互之間沒有影響，假設該時刻有ξ部電話占線，試求隨機變量ξ的概率分布和它的期望。

　　5．某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人瀏覽這三個景點的概率分別為0.4,0.5,0.6,且客人是否瀏覽哪個景點互不影響，設ξ表示客人離開該城市時瀏覽的景點數與沒有瀏覽的景點數之差的絕對值。

　�。�1）求ξ的分布及數學期望；

　�。�2）記“函數f(x)=x2-3ξx+1,在區間[2，+∞]上單調遞增”為事件A，求事件A的概率。

　　【舉一反三】

　　1．某商店搞促銷活動規則如下：木箱內放有5枚白棋子和5枚黑棋子，顧客從中一次性任意取出5枚棋子，如果取出的5枚棋子中恰有5枚白棋子或4枚白棋子或3枚白棋子，則有獎品，獎勵辦法如下表：

　　取出的棋子獎品5枚白棋子價值50元的商品4枚白棋子價值30元的商品3枚白棋子價值10元的商品如果取出的不是上述三種情況，則顧客需用50元購買商品。

　　（1）求獲得價值50元的商品的概率；

　�。�2）求獲得獎品的概率；

　�。�3）如果顧客所買商品成本價為10元，假設有10000人次參加這項促銷活動，同商家可以獲得的利潤大約是多少（精確到元）。

　　2．A、B兩地之間有6條網線并聯，它們能通過的信息量分別為：1，1，2，2，3， 3，現從中任取三條網線，設可通過的信息量為x，當可通過的信息量x≥6時，則保證信息暢通。

　�。�1）求線路信息暢通的概率；

　�。�2）求任取三條網線所通過信息量的數學期望。

　　3．袋中放2個白球和3個黑球，每次從中取一個球，直到取到白球為止，若每次取出的球不再放回去，求取球次數ξ的概率分布及數學期望。

　　【特別提醒】

　　離散型隨機變量的分布列，期望與方差是概率統計的重點內容，對離散型隨機變量及分布列，期望與方差的概念的關鍵。求離散型隨機變量的分布列的步驟是：（1）根據問題實際找出隨機變量ξ的所有可能值xi;（2）求出各個取值的概率P（ξ=xi）=Pi;(3)畫表填入相應數字，其中隨機變量ξ的取值很容易出現錯誤，解題時應認真推敲，對于概率通常利用所有概率之和是否等于1來進行檢驗。期望與方差的計算公式尤其是方差的計算公式較為復雜，要在理解的基礎上進行記憶。

　　易錯點 3統計

　　1．樣本總體中有100個個體，隨機編號為0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個小組，組號依次為1，2，3，…，10，現用系統抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規定如果在第一組抽取的號碼為m那么在第k組中抽取的號碼個位數字與m+k的個位數字相同，若m=6，則在第7組中抽取的號碼是____________.

　　2．某校為了了解學生的課外閱讀情況，隨機調查了50名學生得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數據，結果用圖13-1所示的條形圖表示，根據條形圖可得這50名學生這一天平均每人的課外閱讀時間為 ? （ ?）A．0．6 ? ? ? ? B．0．9

　　C．1．0 ? ? ? ? ?D．1．5

　　3．若隨機變量ξ、η都服從正態分布，并且ξ~N（3，2），η=，則隨機變量η的期望是_________。

　　4．設隨機變量服從正態分布N（0，1），記φ（x）=P(ξ0)

　　D．P(|ξ|>a)=1-φ(a)(a>0)

　　【舉一反三】

　　1 某廠生產的零件外徑ξ~N（10，0.04），今從該廠上午生產的零件中各取一件，測得外徑分別為9.9cm,9.3cm,則可認為 ?（ ?）

　　A．上午生產情況正常，下午生產情況異常

　　B．上午生產情況異常，下午生產情況正常

　　C．上、下午生產情況均正常

　　D．上、下午生產情況均不正常

　　2 設隨機變量ξ~N（μ，σ2），且P（ξ≤c）=P(ξ>Ac),則c等于

　　A．0 ? ? ? ?B．6

　　C．-μ ? ? ?D．μ

　　3 從某社區家庭中按分層抽樣的方法，抽取100戶高、中、低收入家庭調查社會購買力的某項指標，若抽出的家庭中有56戶中等收入戶和19戶低收入戶，已知該社區高收入家庭有125戶，則該社區家庭總戶數為__________.

　　【特別提醒】

　　對抽樣方法，總體分布的估計，正態分布及線性回歸近幾年高考要求都不高，有的尚未考查，但作為新的知識點，高考也不會完全放棄，所以平時學習應以基礎知識為主，重點學習抽樣方法，正態分布的基礎知識。抽樣方法主要是概念的理解，正態分布主要是圖像的性質。

　　1．若n的展開式中第3項的二項式系數是15，則展開式中所有項系數之和為(　　)

　　A. ?B. ?C．－ ?D.

　　2．在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝3，在BC上任取一點D，使△ABD為鈍角三角形的概率為(　　)

　　A. ?B. ?C. ?D.

　　3．如圖4是統計高三年級2 000名同學某次數學考試成績的程序框圖，S代表分數，若輸出的結果是560，則這次考試數學分數不低于90分的同學的概率是(　　)

　　A．0.28 ?B．0.38 ?C．0.72 ?D．0.62

　　4．簽盒中有編號為1,2,3,4,5,6的六支簽，從中任意取3支，設X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則X的數學期望為(　　)

　　A．5 ?B．5.25 ?C．5.8 ?D．4.6

　　5．某班級有50名學生，其中有30名男生和20名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數學測驗中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是(　　)

　　A．這種抽樣方法是一種分層抽樣

　　B．這種抽樣方法是一種系統抽樣

　　C．這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差

　　D．該班男生成績的平均數小于該班女生成績的平均數

　�。�已知x，y滿足(x∈Z，y∈Z)，每一對整數(x，y)對應平面上一個點，則過這些點中的其中3個點可作不同的圓的個數為(　　)

　　A．45 ?B．36 ?C．30 ?D．27

　�。�某校開展“愛我家鄉”攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的分數如圖5所示．記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復核員在復核時，發現有一個數字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計算無誤，則數字x應該是________．

　　8．從n個正整數1,2，…，n中任意取出兩個不同的數，若取出的兩數之和等于5的概率為，則n＝________.

　�。�某工廠經過技術改造后，降低了能源消耗，經統計該廠某種產品的產量x(單位：噸)與相應的生產能耗y(單位：噸)有如下幾組樣本數據：

　　x3456y2.5344.5根據相關性檢驗，這組樣本數據具有線性相關關系，通過線性回歸分析，求得回歸直線的斜率為0.7.已知該產品的年產量為10噸，則該工廠每年大約消耗的汽油為________噸．

　�。畧绦腥鐖D7的程序框圖，若輸入的ε的值為0.25，則輸出的n的值為________．

　　11．某人在如圖8所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據歷年的種植經驗，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數X之間的關系如下表所示：

　　圖8

　　X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米．

　　(1)從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率；

　　(2)從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數學期望．

　�。�假設某班級教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節課上課預備鈴聲響起時，每扇窗戶或被敞開或被關閉，且概率均為0.5.記此時教室里敞開的窗戶個數為X.

　　(1)求X的分布列；

　　(2)若此時教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關閉，班長就會將關閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節課上課時該教室里敞開的窗戶個數為Y，求Y的數學期望．

　　13．某中學一名數學老師對全班50名學生某次考試成績分男女生進行了統計(滿分150分)，其中120分(含120分)以上為優秀，繪制了如下的兩個頻率分布直方圖：

　　男生

　　女生

　　圖6

　　(1)根據以上兩個直方圖完成下面的2×2列聯表：

　　成績

　　性別　　優秀不優秀總計男生女生總計(2)根據(1)中表格的數據計算，你有多大把握認為學生的數學成績與性別之間有關系？

　　(注：

　　k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.)

　　(3)若從成績在[130,140]的學生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．

　　14．近年來，我國的高鐵技術發展迅速，鐵道部門計劃在A、B兩城之間開通高速列車，假設在試運行期間，每天8：00－9：00,9：00－10：00兩個時段內各發一趟列車由A城到B城(兩車發生情況互不影響)，A城發車時間及其概率如下表所示：

　　發生時間8：108：308：509：109：309：50概率若甲、乙兩位旅客打算從A城到B城，假設他們到達A城火車站侯車的時間分別是周六8：00和周日8： 20.(只考慮候車時間，不考慮其他因素)

　　(1)設乙侯車所需時間為隨機變量X，求X的分布列和數學期望；

　　(2)求甲、乙二人候車時間相等的概率．

　　15．從正方體的各個表面上的12條面對角線中任取2條，設ξ為2條面對角線所成的角(用弧度制表示)，如當2條面對角線垂直時，ξ＝。

　　(1)求概率P(ξ＝0)；

　　(2)求ξ的分布列，并求其數學期望E(ξ)．

　�。�空氣質量指數PM2.5(單位：μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，代表空氣污染越嚴重．PM2.5的濃度與空氣質量類別的關系如下表所示：

　　PM2.5日均濃度0～3535～7575～115115～150150～250>250空氣質量類別優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染從甲城市9月份的30天中隨機抽取15天的PM2.5日均濃度指數數據莖葉圖如圖所示．

　　(1)試估計甲城市在9月份30天的空氣質量類別為優或良的天數；

　　(2)在甲城市這15個監測數據中任取2個，設X為空氣質量類別為優或良的天數，求X的分布列及數學期望．

　　．甲、乙兩支球隊進行總決賽，比賽采用七場四勝制，即若有一隊先勝四場，則此隊為總冠軍，比賽結束．因兩隊實力相當，每場比賽兩隊獲勝的可能性均為。據以往資料統計，第一場比賽可獲得門票收入40萬元，以后每場比賽門票收入比上一場增加10萬元．

　　(1)求總決賽中獲得門票總收入恰好為300萬元的概率；

　　(2)設總決賽中獲得門票總收入為X，求X的均值E(X)．

　　18．自駕游從A地到B地有甲、乙兩條線路，甲線路是A－C－D－B，乙線路是A－E－F－G－H－B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵車路段．假設這三條路段堵車與否相互獨立．這三條路段的堵車概率及平均堵車時間如表1所示．經調查發現，堵車概率x在上變化，y在上變化．在不堵車的情況下，走甲線路需汽油費500元，走乙線路需汽油費545元．而每堵車1小時，需多花汽油費20元．路政局為了估計CD段平均堵車時間，調查了100名走甲路線的司機，得到表2數據．

　　CD段EF段GH段堵車概率xy平均堵車時間(單位：小時)a21

　　堵車時間(單位：小時)頻數[0,1]8(1,2]6(2,3][38(3,4]24(4,5]24

　　(1)求CD段平均堵車時間a的值；

　　(2)若只考慮所花汽油費期望值的大小，為了節約，求選擇走甲線路的概率．