2013年高考數學總復習 8-7 圓錐曲線的綜合問題(理)但因為測試 新人教B版
1.(2011•寧波十校聯(lián)考 )已知拋物線y＝－x2＋3上存在關于直線x＋y＝0對稱的相異兩點A、B，則AB等于( )
A．3 B．4
C．32 D．4 2
[答案] C
[解析] 設A(x1,3－x21)，B(x2,3－x22)，由于A、B關于直線x＋y＝0對稱，∴x1＝x22－33－x21＝－x2，解得x1＝－2x2＝1或x1＝1x2＝－2，設直線AB的 斜率為kAB，
∴AB＝1＋k2ABx1－x2＝32.故選C.
2．(2011•南昌檢測(二))過橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為( )
A.22 B.33
C.12 D.13
[答案] B
[解析] 記F1F2＝2c，則PF1＝2c3，PF2 ＝4c3，所以橢圓的離心率為F1F2PF1＋PF2＝2c2c3＋4c3＝33，選B.
3．(2011•長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學一模)已知雙曲線x2－y23＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則PA1→•PF2→的最小值為( )
A．－2 B．－8116
C．1 D．0
[答案] A
[解析] 由已知得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)．設P(x，y)(x≥1)，則PA1→•PF2→＝(－1－x，－y)•(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，則f(x)在x≥1上單調遞增，所以當x＝1時，函數f(x)取最小值，即PA1→•PF2→取最小值，最小值為－2.
4．(2011•大綱全國理，10)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB＝( )
A.45 B.35
C．－35 D．－45
[答案] D
[解析] 方法一：聯(lián)立y2＝4xy＝2x－4，
解得x＝4y＝4或x＝1y＝－2，不妨設A在x軸上方，
∴A(4,4)，B(1，－2)，
∵F點坐標為(1,0)，∴FA→＝(3,4)，F(xiàn)B→＝(0，－2)，
cos∠AFB＝FA→•FB→FA→•FB→＝－85×2＝－45.
方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，AB＝35，AF＝5，BF＝2，
由余弦定理知，
cos∠AFB＝AF2＋BF2－AB22•AF•BF＝－45.
5．(2011•臺州二模)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為60°的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點，則AFBF的值為( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案] C
[解析] 由題意設直線l的方程為y＝3(x－p2)，即x＝y(tǒng)3＋ p2，代入拋物線方程y2＝2px中，整理得3y2－2py－3p2＝0，設A(xA，yA)，B(xB，yB)，則yA＝3p，yB＝－33p，所以AFBF＝y(tǒng)AyB＝3.
6．(2011•海南一模)若AB是過橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中心的一條弦，是橢圓上任意一點，且A、B與兩坐標軸均不平行，kA、kB分別表示直線A、B的斜率，則kA•kB＝( )
A．－c2a2 B．－b2a2
C．－c2b2 D．－a2b2
[答案] B
[解析] 解法一(直接法)：設A(x1，y1)，(x0，y0)，則B(－x1，－y1)，
kA•kB＝y(tǒng)0－y1x0－x1•y0＋y1x0＋x1＝y(tǒng)20－y21x20－x21
＝－b2a2x20＋b2－－b2a2x21＋b2x20－x21
＝－b2a2.
解法二(特殊值法)：因為四個選項為確定值，取A(a,0)，B(－a,0)，(0，b)，可得kA•kB＝－b2a2.
7．(2010•吉林省調研)已知過雙曲線x2a2－y2b2＝1右焦點且傾斜角為45°的直線與雙曲線右支有兩個交點，則雙曲線的離心率e的取值范圍是________．
[答案] (1，2)
[解析] 由條件知，漸近線的傾斜角小于45°，即ba<1，∴c2－a2a2<1，∴c2a2<2，
即e2<2，∵e>1，∴1<e<2.
8．(2010•安徽安慶聯(lián)考)設直線l：y＝2x＋2，若l與橢圓x2＋y24＝1的交點為A、B，點P為橢圓上的動點，則使△PAB的面積為2－1的點P的個數為________．
[答案] 3
[解析] 設與l平行且與橢圓相切的直線方程為y＝2x＋b，代入x2＋y24＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0，
由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±22，
顯見y＝2x＋2與兩軸交點為橢圓的兩頂點A(－1,0)，B(0,2)，
∵直線y＝2x＋22與l距離d＝22－25，
∴欲使S△ABP＝12AB•h＝52h＝2－1，須使h＝22－25，∵d＝h，∴直線y＝2x＋22與橢圓切點，及y＝2x＋4－22與橢圓交點均滿足，∴這樣的點P有3個．
9．(2011•海南五校聯(lián)考)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線與y軸的交點為，N為拋物線上的一點，且NF＝32N，則∠NF＝________.
[答案] 30°
[解析] 作NH垂直于準線于H，由拋物線的定義得
NH＝NF，
∴NHN＝NFN＝32＝sin∠HN，得∠HN＝60°，
∴∠NF＝90°－60°＝30°.
10．(2011•安徽模擬)點A、B分別為橢圓x236＋y220＝1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.
(1)求點P的坐標；
(2)設是橢圓長軸AB上的一點，到直線AP的距離等于B，求橢圓上的點到點的距離d的最小值．
[解析] (1)由已知可得點A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)，設點P的坐標是(x，y)，則AP→＝(x＋6，y)，F(xiàn)P→＝(x－4，y)．
由已知得x236＋y220＝1x＋6x－4＋y2＝0
消去y得，2x2＋9x－18＝0，∴x＝32或x＝－6
由于y>0，只能x＝32，于是y＝523
所以點P的坐標是(32，523)．
(2)直線AP的方程是x－3y＋6＝0
設點的坐標是(,0)，則到直線AP的距離是
＋62，于是＋62＝－6，
又－6≤≤6，解得：＝2
∵橢圓上的點(x，y)到點的距離是d，
∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2
＝49(x－92)2＋15，
由于－6≤x≤6，所以當x＝92時d取最小值15.
11.(2011•新標全國，9)已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，AB＝12，P為C的準線上一點，則△ABP的面積為( )
A．18 B．24
C．36 D．48
[答案] C
[解析] 設拋物線為y2＝2px，則焦點Fp2，0，準線x＝－p2，由AB＝2p＝12，知p＝6，所以F到準線距離為6，所以三角形面積為S＝12×12×6＝36.
12．已知橢圓x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) ，過橢圓的右焦點作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點，若OA→•OB→＝0，則橢圓的離心率e等于( )
A.－1＋52 B.－1＋32
C.12 D.32
[答案] A
[解析] 如上圖，F(xiàn)2(c,0)把x＝c代入橢圓x2a2＋y2a2＝1得A(c，b2a)．
由OA→•OB→＝0結合圖形分析得
OF2＝AF2，
即c＝b2a⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac
⇒(ca)2＋ca－1＝0⇒e2＋e－1＝0⇒e＝5－12.
13． (2011•遼寧沈陽二中檢測)已知曲線C：y＝2x2，點A(0，－2)及點B(3，a)，從點A觀察點B，要使視線不被曲線C擋住，則實數a的取值范圍是( )
A．(4，＋∞) B．(－∞，4]
C．(10，＋∞) D．(－∞，10]
[答案] D
[解析] 過點A(0，－2)作曲線C：y＝2x2的切線，設方程為y＝kx－2，代入y＝2x2得，
2x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－16＝0得k＝±4，
當k＝4時，切線為l，
∵B點 在直線x＝3上運動，直線y＝4x－2與x＝3的交點為(3,10)，當點B(3， a)滿足a≤10時，視線不被曲線C擋住，故選D.
14．雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的離心率為2，坐標原點到直線AB的距離為32，其中A(0，－b)，B(a,0)．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)設F是雙曲線的右焦點，直線l過點F且與雙曲線的右支交于不同的兩點P、Q，點為線段PQ的中點．若點在直線x＝－2上的射影為N，滿足PN→•QN→＝0，且PQ→＝10，求直線l的方程．
[解析] (1)依題意有ca＝2，aba2＋b2＝32，a2＋b2＝c2.
解得a＝1，b＝3，c＝2.
所以，所求雙曲線的方程為x2－y23＝1.
(2)當直線l⊥x軸時，PQ→＝6，不合題意．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x－2)．
由x2－y23＝1x>0y＝kx－2得，
(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0. ①
因為直線與雙曲線的右支交于不同兩點，所以3－k2≠0.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(x0，y0)，則x1、x2是方程①的兩個正根，于是有
x1＋x2＝4k2k2－3>0，x1x2＝4k2＋3k2－3>0，Δ＝4k22－43－k2－4k2－3>0，
所以k2>3. ②
因為PN→•QN→＝0，則PN⊥QN，又為PQ的中點，PQ→＝10，所以P＝N＝Q＝12PQ＝5.
又N＝x0＋2＝5，∴x0＝3，
而x0＝x1＋x22＝2k2k2－3＝3，
∴k2＝9，解得k＝±3.
∵k＝±3滿足②式，∴k＝±3符合題意．
所以直線l的方程為y＝±3(x－2)．
即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.
15．(2010•北京崇區(qū))已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
(1)求橢圓的方程；
(2)當直線l的斜率為1時，求△POQ的面積；
(3)在線段OF上是否存在點(,0)，使得以P，Q為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
[解析] (1)由已知，橢圓方程可設為x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．∵兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，∴b＝c＝1，a＝2.
所求橢圓方程為x22＋y2＝1.
(2)右焦點F(1,0)，直線l的方程為y＝x－1.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由x2＋2y2＝2y＝x－1得，3y2＋2y－1＝0，
解得y1＝－1，y2＝13.
∴S△POQ＝12OF•y1－y2＝12y1－y2＝23.
(3) 假設在線段OF上存在點(,0)(0<<1)，使得以P、Q為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與x軸不垂直，所以設直線l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)．
由x2＋2y2＝2y＝kx－1可得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
∴x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－21＋2k2.
P→＝(x1－，y1)，Q→＝(x2－，y2)，PQ→＝(x2－x1，y2－y1)．其中x2－x1≠0以P，Q為鄰邊的平行四邊形是菱形
⇔(P→＋Q→)⊥PQ→⇔(P→＋Q→)•PQ→＝0
⇔(x1＋x2－2，y1＋y2)•(x2－x1，y2－y1)＝0
⇔(x1＋x2－2)(x2－x1)＋(y1＋y 2)(y2－y1)＝0
⇔(x1＋x2－2)＋k(y1＋y2)＝0
⇔4k21＋2k2－2＋k24k21＋2k2－2＝0
⇔2k2－(2＋4k2)＝0⇔＝k21＋2k2(k≠0)．
∴0<<12.
1． (2010•安徽江南十校聯(lián)考)已知橢圓C：x2a2＋y2＝1(a>1)的上頂點為A，左、右焦點為F1、F2，直線AF2與圓：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓內存在動點P，使PF1，PO，PF2成等比數列(O為坐標原點)，求PF1→•PF2→的取值范圍．
[解析] (1)圓：x2＋y2－6x－2y＋7＝0化為(x－3)2＋(y－1)2＝3，
則圓的圓心為(3,1)，半徑r＝3.
由A(0,1)，F(xiàn)2(c,0)，(c＝a2－1)，得直線AF2：
xc＋y＝1，
即x＋cy－c＝0，
由直線AF2與圓相切，得3＋c－cc2＋1＝3，
解得c＝2或c＝－2(舍去)．
則a2＝c2＋1＝3，故橢圓C的方程為：x23＋y2＝1.
(2)由(1)知F1(－2，0)、F2(2，0)，設P(x，y)，
由題意知PO2＝PF1•PF2，
即(x2＋y2)2＝x＋22＋y2•x－22＋y2，
化簡得：x2－y2＝1，則x2＝y(tǒng)2＋1≥1.
因為點P在橢圓內，故x23＋y2<1，即x23＋x2－1<1，
∴x2<32，∴1≤x2<32，
又PF1→•PF2→＝x2－2＋y2＝2x2－3，
∴－1≤PF1→•PF2→<32.
2．(2010•廣州市質檢)已知動點P到定點F(2，0)的距離與點P到定直線l：x＝22的距離之比為22.
(1)求動點P的軌跡C的方程；
(2)設、N是直線l上的兩個點，點E與點F關于原點O對稱，若E→•FN→＝0，求N的最小值．
[解析] (1)設點P(x，y)，
依題意有，x－22＋y2x－22＝22，整理得x24＋y22＝1，
所以動點P的軌跡C的方程為x24＋y22＝1.
(2)∵點E與點F關于原點O對稱，
∴點E的坐標為(－2，0)．
∵、N是直線l上的兩個點，
∴可設(22，y1)，N(22，y2)(不妨設y1>y2)．
∵E→•FN→＝0，∴(32，y1)•(2，y2)＝0，
∴6＋y1y2＝0，即y2＝－6y1.
由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.
∴N＝y(tǒng)1－y2＝y(tǒng)1＋6y1≥2y1•6y1＝26.
當且僅當y1＝6，y2＝－6時，等號成立．
故N的最小值為26.
3．(2011•浙江，22)如下圖，設P是拋物線C1：x2＝y(tǒng)上的動點，過點P做圓C2：x2＋( y＋3)2＝1的兩條切線，交直線l：y＝－3于A，B，兩點.
(1)求圓C2的圓心到拋物線C1準線的距離．
(2)是否存在點P，使線段AB被拋物 線C1在點P處的切線平分，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
[解析] (1)因為拋物線C1的準線方程為：y＝－14，
所以圓心到拋物線C1準線的距離為：
－14－ (－3)＝114.
(2)設點P的坐標為(x0，x20)，拋物線C1在點P處的切線交直線l于點D，再設A，B，D的橫坐標分別為xA，xB，xD；
過點P(x0，x20)的拋物線C1的切線方程為：
y－x20＝2x0(x－x0) ①
當x0＝1時，過點P(1,1)與圓C2的切線PA為：
y－1＝158(x－1)，
可得xA＝－1715，xB＝1，xD＝－1，xA＋xB≠2xD.
當x0＝－1時，過點P(－1,1)與圓C2的切線PB為：
y－1＝－158(x＋1)，
可得xA＝－1，xB＝1715，xD＝1，xA＋xB≠2xD.
所以x20－1≠0.
設切線PA，PB的斜率為k1，k2，則
PA：y－x20＝k1(x－x0)， ②
PB：y－x20＝k2(x－x0)， ③
將y＝－3分別代入①，②，③得
xD＝x20－32x0(x0≠0)；
xA＝x0－x20＋3k1，xB＝x0－x20＋3k2(k1，k2≠0)
從而xA＋xB＝2x0－(x20＋3)(1k1＋1k2)
又－x0k1＋x21＋3k21＋1＝1
即(x20－1)k21－2(x20＋3)x0k1＋(x20＋3)2－1＝0.
同理，(x20－1)k22－2(x20＋3)x0k2＋(x20＋3)2－1＝0
所以k1，k2是方程(x20－1)k2－2(x20＋3)x0k＋(x20＋3)2－1＝0的兩個不相等的根，從而k1＋k2＝23＋x20x0x20－1，
k1•k2＝3＋x202－1x20－1，
因為xA＋xB＝2xD.
所以2x0－(x20＋3)(1k1＋1k2)＝x20－3x0，即1k1＋1k2＝1x0.
從而23＋x20x0x20＋32－1＝1x0，進而得，x40＝8，x0＝±48.
綜上所述，存在點P滿足題意，點P坐標為(±48，22)．
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