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絕密★啟用前
2013年普通高等學校招生全國統一考試（遼寧卷）
數 學（供文科考生使用）
第I卷
一、：本大題共12小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）已知集合
（A） （B） （C） （D）
（2）復數的 模為
（A） （B） （C） （D）
（3）已知點
（A） （B）
（C） （D）
（4）下面是關于公差 的等差數列 的四個命題：
其中的真命題為
（A） （B） （C） （D）
（5）某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，
數據的分組一次為
若低于60分的人數是15人，則該班的學生人數是
（A） （B）
（C） （D）
（6）在 ，內角 所對的邊長分別為
A． B． C． D．
（7）已知函數
A． B． C． D．
（8）執行如圖所示的程序框圖，若輸入
A． B． C． D．
（9）已知點
A． B．
C． D．
（10）已知三棱柱
A． B． C． D．
（11）已知橢圓 的左焦點為F
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函數 設 表示 中的較大值， 表示 中的較小值，記 得最小值為 得最小值為 ,則
（A） （B）
（C） （D）
第II卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題-第22題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22題-第24題為選考題，考生根據要求作答。
二、題：本大題共4小題，每小題5分.
（13）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 .
（14）已知等比數列
.
（15）已知 為雙曲線
.
（16）為了考察某校各班參加課外書法小組的人數，在全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的認為作為樣本數據.已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本數據互相不相同，則樣本數據中的最大值為 .
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
設向量
（I）若
（II）設函數
18．（本小題滿分12分）
如圖，
（I）求證：
（II）設
19．（本小題滿分12分）
現有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學從中任取3道題解答.試求：
（I）所取的2道題都是甲類題的概率；
（II）所取的2道題不是同一類題的概率.
20．（本小題滿分12分）
如圖，拋物線
（I） ；
（II）
21．（本小題滿分12分）
（I）證明：當
（II）若不等式 取值范圍.
請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號下方的方框涂黑。
22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，
（I）
（II）
22．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系 中以 為極點， 軸正半軸為極軸建立坐標系.圓 ，直線 的極坐標方程分別為 .
（I）
（II）
22．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函數
（I）
（II）
2013高考數學遼寧卷（文科）解析
大連市紅旗高級中學 王金澤
一．
1. [答案]B
[解析] 由已知 ，所以 ，選B。
2. [答案]B
[解析]由已知 所以
3 [答案]A
[解析] ，所以 ，這樣同方向的單位向量是
4 [答案]D
[解析]設 ，所以 正確；如果 則滿足已知，但 并非遞增所以 錯；如果若 ，則滿足已知，但 ，是遞減數列，所以 錯； ，所以是遞增數列， 正確
5 [答案]B
[解析]第一、第二小組的頻率分別是 、 ，所以低于60分的頻率是0.3，設班級人數為 ，則 ， 。
6 [答案]A
[解析]邊換角后約去 ，得 ，所以 ，但B非最大角，所以 。
7 [答案]D
[解析] 所以 ，因為 ， 為相反數，所以所求值為2.
8 [答案]A
[解析] 的意義在于是對 求和。因為 ，同時注意 ，所以所求和為 =
9 [答案]C
[解析]若A為直角，則根據A、B縱坐標相等，所以 ；若B為直角，則利用 得 ，所以選C
10 [答案]C
[解析]由球心作面ABC的垂線，則垂足為BC中點M。計算AM= ，由垂徑定理，OM=6，所以半徑R=
11 [答案]B
[解析]由余弦定理，AF=6，所以 ，又 ，所以
12 [答案]C
[解析] 頂點坐標為 ， 頂點坐標 ，并且 與 的頂點都在對方的圖象上，圖象如圖， A、B分別為兩個二次函數頂點的縱坐標，所以A-B=
[方法技巧]（1）本題能找到頂點的特征就為解題找到了突破口。（2）并不是A，B在同一個自變量取得。
二．題
13 [答案]
[解析]直觀圖是圓柱中去除正四棱柱。
14 [答案]63
[解析] 由遞增， ，所以 ， 代入等比求和公式得
15 [答案]44
[解析] 兩式相加，所以并利用雙曲線的定義得 ，所以周長為
16 [答案]10
[解析]設五個班級的數據分別為 。由平均數方差的公式得 ， ，顯然各個括號為整數。設 分別為 ， ，則 。設 =
= ，由已知 ，由判別式 得 ，所以 ，所以 。
三．解答題
17[解題思路]（Ⅰ）（1）一般給出模的關系就可以考慮把模平方，進而可以把向量問題轉化為三角函數問題求出 （2）因為 ，根據象限符號知 求出 ，所以 。
（Ⅱ）通過降冪公式和二倍角公式可化簡 ，最后解得最大值為 。
18. [解題思路]（Ⅰ）由AB為直徑條件推出 ，再結合 面ABC即可證 面PAC。（Ⅱ）由重心想到中點是關鍵，由面面平行推出線面平行是重要方法。
19[解題思路]（Ⅰ）基本事件空間中有15個基本事件，都是甲類的有6個，所以可求得概率 （Ⅱ）不是同一類的有8個基本事件，所以所求的概率是 。
20[解題思路]（Ⅰ）（1）切線的斜率可通過求導求解。（2）用點斜式建立切線方程（3）用方程的思想解決求值問題。（Ⅱ）列MA和MB兩個切線方程，利用解方程的方法求得M坐標再代入C2最后可得所求的軌跡方程
21[解題思路]（Ⅰ）（1）不等式中間式子分別減左，減右的式子記為 ， ，（2）求導研究單調性（3）根據單調性分析在區間上的那個自變量能得到為零的最值。然后與這個最值比較即可證出不等式。（Ⅱ）解法一，利用上面證明的不等式代入化簡，在進行分析;解法二：利用二階導數研究單調性，進而求出范圍。
22[解題思路]（Ⅰ）(1)弦切角等于弦所對的圓周角(2)直徑所對是圓周角是直角得到互余關系從而找到角的相等關系（Ⅱ）利用全等相似導乘積式。
23[解題思路]（Ⅰ）由已知極坐標化成直角坐標方程再解出直角坐標，然后再化極坐標（Ⅱ）參數方程化成普通方程，列PQ兩種形式的直角坐標方程，再用待定系數法求解。


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