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第四 幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)

一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=ax(a>0, a 1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)0<a<1時(shí)，y=ax是減函數(shù)，當(dāng)a>1時(shí)，y=ax為增函數(shù)，它的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）。
2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： 。
3．對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=logax(a>0, a 1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，+∞），值域?yàn)镽，圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0）。當(dāng)0<a<1，y=logax為減函數(shù)，當(dāng)a>1時(shí)，y=logax為增函數(shù)。
4．對(duì)數(shù)的性質(zhì)（>0, N>0）；
1）ax= x=log¬a(a>0, a 1)；
2）log¬a¬(N)= log¬a + log¬a N；
3）log¬a（ ）= log¬a - log¬a N；4）log¬a n=n log¬a ；，
5）log¬a = log¬a ；6）alog¬a =; 7) log¬a b= (a,b,c>0, a, c 1).
5. 函數(shù)y=x+ （a>0）的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 和 。（請(qǐng)讀者自己用定義證明）
6．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若a<b, f(x)在[a, b]上連續(xù)，且f(a)•f(b)<0，則f(x)=0在（a,b）上至少有一個(gè)實(shí)根。
二、方法與例題
1．構(gòu)造函數(shù)解題。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求證：ab+bc+ca+1>0.
【證明】 設(shè)f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，則f(x)是關(guān)于x的一次函數(shù)。
所以要證原不等式成立，只需證f(-1)>0且f(1)>0（因?yàn)?1<a<1）.
因?yàn)閒(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，
所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.
例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全為0的實(shí)數(shù)，b1, b2,…,bn∈R，則（ ）•（ ）≥( )2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在 R，使a¬i= , i=1, 2, …, n時(shí)成立。
【證明】 令f(x)= （ ）x2-2( )x+ = ,
因?yàn)?>0，且對(duì)任意x∈R, f(x)≥0，
所以△=4( )-4（ ）( )≤0.
展開(kāi)得（ ）( )≥( )2。
等號(hào)成立等價(jià)于f(x)=0有實(shí)根，即存在 ，使a¬i= , i=1, 2, …, n。
例3 設(shè)x, y∈R+, x+y=c, c為常數(shù)且c∈(0, 2]，求u= 的最小值。
【解】u= =xy+ ≥xy+ +2•
=xy+ +2.
令xy=t，則0<t=xy≤ ,設(shè)f(t)=t+ ,0<t≤
因?yàn)?<c≤2，所以0< ≤1，所以f(t)在 上單調(diào)遞減。
所以f(t)min=f( )= + ，所以u(píng)≥ + +2.
當(dāng)x=y= 時(shí)，等號(hào)成立. 所以u(píng)的最小值為 + +2.
2．指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算技巧。
例4 設(shè)p, q∈R+且滿足log9p= log12q= log16(p+q)，求 的值。
【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，則p=9 t , q=12 t , p+q=16t，
所以9 t +12 t =16 t，即1+
記x= ，則1+x=x2，解得
又 >0，所以 =
例5 對(duì)于正整數(shù)a, b, c(a≤b≤c)和實(shí)數(shù)x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且 ，求證：a+b=c.
【證明】 由ax=by=cz=70w取常用對(duì)數(shù)得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70，
相加得 (lga+lgb+lgc)= lg70，由題設(shè) ，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，則因?yàn)閤lga=wlg70，所以w=0與題設(shè)矛盾，所以a>1.
又a≤b≤c，且a, b, c為70的正約數(shù)，所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 已知x 1, ac 1, a 1, c 1. 且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.
【證明】 由題設(shè)logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對(duì)數(shù)，得
，
因?yàn)閍c>0, ac 1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指數(shù)與對(duì)數(shù)式互化，取對(duì)數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。
3．指數(shù)與對(duì)數(shù)方程的解法。
解此類方程的主要思想是通過(guò)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換元等進(jìn)行化簡(jiǎn)求解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和未知數(shù)范圍的討論。
例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 方程可化為 =1。設(shè)f(x)= , 則f(x)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)，因?yàn)閒(3)=1，所以方程只有一個(gè)解x=3.
例8 解方程組： （其中x, y∈R+）.
【解】 兩邊取對(duì)數(shù)，則原方程組可化為 ①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y>0，所以y=2, x=4.
所以方程組的解為 .
例9 已知a>0, a 1，試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍。
【解】由對(duì)數(shù)性質(zhì)知，原方程的解x應(yīng)滿足 .①②③
若①、②同時(shí)成立，則③必成立，
故只需解 .
由①可得2kx=a(1+k2)， ④
當(dāng)k=0時(shí)，④無(wú)解；當(dāng)k 0時(shí)，④的解是x= ，代入②得 >k.
若k<0，則k2>1，所以k<-1；若k>0，則k2<1，所以0<k<1.
綜上，當(dāng)k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)時(shí)，原方程有解。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．命題p: “(log¬23)x-(log¬53)x≥(log¬23)-y-(log¬53)-y”是命題q:“x+y≥0”的_________條。
2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，則x1+x2=_________.
3．已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，點(diǎn)A（-1，1），B（1，3）在它的圖象上，y=f-1(x)是它的反函數(shù)，則不等式f-1(log2x)<1的解集為_(kāi)________。
4．若log2a <0，則a 取值范圍是_________。
5．命題p: 函數(shù)y=log¬¬2 在[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q: 函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽，則p是q的_________條。
6．若0<b<1, a>0且a 1，比較大小：loga(1-b)_________loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)開(kāi)________。
8．若x= ，則與x最接近的整數(shù)是_________。
9．函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是_________。
10．函數(shù)f(x)= 的值域?yàn)開(kāi)________。
11．設(shè)f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x•a]，其中n為給定正整數(shù), n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]時(shí)有意義，求a的取值范圍。
12．當(dāng)a為何值時(shí)，方程 =2有一解，二解，無(wú)解？
四、高考水平訓(xùn)練題
1．函數(shù)f(x)= +lg(x2-1)的定義域是_________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈ 時(shí)恒成立，則m的取值范圍是_________.
3．若x∈{xlog2x=2-x}，則x2, x, 1從大到小排列是_________.
4. 若f(x)=ln ，則使f(a)+f(b)= _________.

5. 命題p: 函數(shù)y=log¬2 在[2，+∞）上是增函數(shù)；命題q：函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽，則p是q的_________條.
6．若0<b<1, a>0且a 1，比較大小：log¬a(1-b) _________log¬a(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，則函數(shù)y=[f(x)]2+f(x2)的值域?yàn)開(kāi)________.
8．若x= ，則與x最接近的整數(shù)是_________.
9．函數(shù)y= 的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.
10．函數(shù)f(x)= 的值域?yàn)開(kāi)________.
11．設(shè)f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x•a]，其中n為給定正整數(shù)，n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]時(shí)有意義，求a的取值范圍。
12．當(dāng)a為何值時(shí)，方程 =2有一解，二解，無(wú)解？
四、高考水平訓(xùn)練題
1．函數(shù)f(x)= +lg(x2-1)的定義域是__________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈ 時(shí)恒成立，則m的取值范圍是 ________.
3．若x∈{xlog2x=2-x}，則x2, x, 1從大到小排列是________.
4．若f(x)=ln ，則使f(a)+f(b)= 成立的a, b的取值范圍是________.
5．已知an=logn(n+1)，設(shè) ，其中p, q為整數(shù)，且(p ,q)=1，則p•q的值為_(kāi)________.
6．已知x>10, y>10, xy=1000，則(lgx)•(lgy)的取值范圍是________.
7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
8．函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)镽，若關(guān)于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則b, c應(yīng)滿足的充要條是________.
（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f(x)= x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t 0)，則F(x)是________函數(shù)（填奇偶性）.
10．已知f(x)=lg ，若 =1， =2，其中a<1, b<1，則f(a)+f(b)=________.
11．設(shè)a∈R，試討論關(guān)于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。
12．設(shè)f(x)=lgx，實(shí)數(shù)a, b滿足0<a<b, f(a)=f(b)=2f ，求證：
（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3<b<4.
13．設(shè)a>0且a 1, f(x)=loga(x+ )(x≥1)，（1）求f(x)的反函數(shù)f-1(x)；（2）若f-1(n)< (n∈N+)，求a的取值范圍。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．如果log2[log (log2x)]= log3[log (log3x)]= log5[log (log5z)]=0，那么將x, y, z從小到大排列為_(kāi)__________.
2．設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)x0> x1> x2> x3>0，都有l(wèi)og 1993+ log 1993+ log 1993> klog 1993恒成立，則k的最大值為_(kāi)__________.
3．實(shí)數(shù)x, y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，則 的值為_(kāi)__________.
4．已知0<b<1, 00<α<450，則以下三個(gè)數(shù)：x=(sinα)logbsina, y=(cosα) logbsina, z=(sinα) logbsina從小到大排列為_(kāi)__________.
5．用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則方程lg2x-[lgx]-2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)是___________.
6．設(shè)a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，記a, b, c中的最大數(shù)為，則的最小值為_(kāi)__________.
7．若f(x)(x∈R)是周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)= ，則 ， 由小到大排列為_(kāi)__________.
8．不等式 +2>0的解集為_(kāi)__________.
9．已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).
10．（1）試畫(huà)出由方程 所確定的函數(shù)y=f(x)圖象。
（2）若函數(shù)y=ax+ 與y=f(x)的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍。
11．對(duì)于任意n∈N+(n>1)，試證明：[ ]+[ ]+…+[ ]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)x, y, z∈R+且x+y+z=1，求u= 的最小值。
2．當(dāng)a為何值時(shí)，不等式log •log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一個(gè)解（a>1且a 1）。
3．f(x)是定義在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函數(shù)，滿足條；對(duì)于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)] [f(y)] ①都成立，試確定所有這樣的函數(shù)f(x).
4. 求所有函數(shù)f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5．設(shè)m≥14是一個(gè)整數(shù)，函數(shù)f：N→N定義如下：
f(n)= ,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6．求定義在有理數(shù)集上且滿足下列條的所有函數(shù)f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)•f(y), x, y∈Q.
7．是否存在函數(shù)f(n)，將自然數(shù)集N映為自身，且對(duì)每個(gè)n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8．設(shè)p, q是任意自然數(shù)，求證：存在這樣的f(x) ∈Z(x)（表示整系數(shù)多項(xiàng)式集合），使對(duì)x軸上的某個(gè)長(zhǎng)為 的開(kāi)區(qū)間中的每一個(gè)數(shù)x, 有
9．設(shè)α，β為實(shí)數(shù)，求所有f: R+→R，使得對(duì)任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2•f 成立。

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.lg566.com/gaosan/40809.html

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