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j.Co M
2012屆高考數學二輪復習資料
專題三 數列（教師版）
【考綱解讀】
1.理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項.
2.理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解答簡單的問題.
3.理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題.
【考點預測】
1.等差（比）數列的基本知識是必考內容，這類問題既有選擇題、填空題，也有解答題；難度易、中、難三類皆有.
2.數列中an與Sn之間的互化關系也是高考的一個熱點.
3.函數思想、方程思想、分類討論思想等數學思想方法在解決問題中常常用到，解答試題時要注意靈活應用.
4.解答題的難度有逐年增大的趨勢,還有一些新穎題型,如與導數和極限相結合等.
因此復習中應注意：
1.數列是一種特殊的函數，學習時要善于利用函數的思想來解決.如通項公式、前n項和公式等.
2.運用方程的思想解等差（比）數列，是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環節，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算.
3.分類討論的思想在本章尤為突出.學習時考慮問題要全面，如等比數列求和要注意q=1和q≠1兩種情況等等.
4.等價轉化是數學復習中常常運用的，數列也不例外.如an與Sn的轉化；將一些數列轉化成等差（比）數列來解決等.復習時，要及時總結歸納.
5.深刻理解等差（比）數列的定義，能正確使用定義和等差（比）數列的性質是學好本章的關鍵.
6.解題要善于總結基本數學方法.如觀察法、類比法、錯位相減法、待定系數法、歸納法、數形結合法，養成良好的學習習慣，定能達到事半功倍的效果.
7．數列應用題將是命題的熱點，這類題關鍵在于建模及數列的一些相關知識的應用.
【要點梳理】
1.證明數列 是等差數列的兩種基本方法：（1）定義法： 為常數；（2）等差中項法： .
2.證明數列 是等比數列的兩種基本方法：（1）定義法： (非零常數)；（2）等差中項法： .
3.常用性質:(1)等差數列 中,若 ,則 ;
(2)等比數列 中,若 ,則 .
4.求和:
(1)等差等比數列,用其前n項和求出;
(2)掌握幾種常見的求和方法:錯位相減法、裂項相消法、分組求和法、倒序相加法;
(3)掌握等差等比數列前n項和的常用性質.
【考點在線】
考點1 等差等比數列的概念及性質
在等差、等比數列中，已知五個元素 或 ， 中的任意三個，運用方程的思想，便可求出其余兩個，即“知三求二”。本著化多為少的原則，解題時需抓住首項 和公差（或公比 ）。另外注意等差、等比數列的性質的運用.例如
（1）等差數列 中，若 ，則 ；等比數列 中，若 ，則 .
（2）等差數列 中， 成等差數列。其中 是等差數列的前n項和；等比數列 中（ ）， 成等比數列。其中 是等比數列的前n項和；
（3）在等差數列 中，項數n成等差的項 也稱等差數列.
（4）在等差數列 中， ； .
在復習時，要注意深刻理解等差數列與等比數列的定義及其等價形式.注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數形結合思想的運用.
例1. (2011年高考重慶卷理科11)在等差數列 中， ，則
.
【答案】74
【解析】 ，故
【名師點睛】本題考查等差數列的性質.
【備考提示】：熟練掌握等差等比數列的概念與性質是解答好本類題的關鍵.
考點2 數列的遞推關系式的理解與應用
在解答給出的遞推關系式的數列問題時，要對其關系式進行適當的變形 ，轉化為常見的類型進行解題。如“逐差法”若 且 ；我們可把各個差列出來進行求和，可得到數列 的通項.

再看“逐商法”即 且 ，可把各個商列出來求積。

另外可以變形轉化為等差數列與等比數列，利用等差數列與等比數列的性質解決問題.
例2.（2011年高考四川卷文科9)數列{an}的前n項和為Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),則a6=( )
（A）3 ×44 （B）3 × 44+1
(C) 44 （D）44+1
【答案】A
【解析】由題意，得a2=3a1=3.當n ≥1時，an+1 =3Sn(n ≥1) ①，所以an+2 =3Sn+1 ②，
②-①得an+2 = 4an+1 ，故從第二項起數列等比數列，則a6=3 ×44.
【名師點睛】本小題主要考查 與 的關系： ，數列前n項和 和通項 是數列中兩個重要的量，在運用它們的關系式 時，一定要注意條件 ，求通項時一定要驗證 是否適合。解決含 與 的式子問題時，通常轉化為只含 或者轉化為只 的式子.
【備考提示】：遞推數列也是高考的內容之一,要熟練此類題的解法,這是高考的熱點.
練習2.（2011年高考遼寧卷文科5)若等比數列{an}滿足anan+1=16n，則公比為（ ）[Z
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
【答案】B
【解析】設公比是q，根據題意a1a2=16 ①，a2a3=162 ②，②÷①，得q2=16 .因為a12q=16>0, a12>0，則q>0，q=4.
考點3 數列的通項公式 與前n項和公式的應用
等差、等比數列的前n項和公式要深刻理解，等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數.等比數列的前n項和公式 （ ），因此可以改寫為 是關于n的指數函數，當 時， .
例3.(2011年高考江蘇卷13)設 ，其中 成公比為q的等比數列， 成公差為1的等差數列，則q的最小值是 .
【答案】
【解析】由題意： ，

【答案】A
【解析】通過 ，設公比為 ，將該式轉化為 ，解得 =-2，帶入所求式可知答案選A，本題主要考察了本題主要考察了等比數列的通項公式與前n項和公式.
考點4. 數列求和
例4. (山東省濟南市2011年2月高三質量調研理科20題)
已知 為等比數列， ； 為等差數列 的前n項和， .
（1） 求 和 的通項公式；
（2） 設 ，求 .
【解析】（1） 設 的公比為 ,由 ,得 所以
設 的公差為 ，由 得 ,
所以
（2）
①
②
②-①得：
所以
【名師點睛】本小題主要考查等比等差數列的通項公式及前n項和公式、數列求和等基礎知識，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力.
【備考提示】：熟練數列的求和方法等基礎知識是解答好本類題目的關鍵.
練習4. （2010年高考山東卷文科18）
已知等差數列 滿足： ， . 的前n項和為 .
（Ⅰ）求 及 ；（Ⅱ）令 （ ）,求數列 的前n項和 .
【解析】（Ⅰ）設等差數列 的公差為d，因為 ， ，所以有
考點5 等差、等比數列的綜合應用
解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用．
例5．(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不為0的等差數列 的首項 ( ),設數列的前n項和為 ，且 ， ， 成等比數列（Ⅰ）求數列 的通項公式及 （Ⅱ）記 ， ，當 時，試比較 與 的大小.[
當 時， 即 ；
所以當 時， ；當 時， .
【名師點睛】本小題主要考查等差等比數列的通項與前n項和等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．
【備考提示】：熟練掌握等差等比數列的基礎知識是解決本類問題的關鍵.
練習5.(2011年高考天津卷文科20)
已知數列 與 滿足 , ,且 .
（Ⅰ）求 的值;
(Ⅱ)設 , ,證明 是等比數列;
(Ⅲ)設 為 的前n項和,證明 .
【解析】（Ⅰ）由 ,可得
, ,
當n=1時, 由 ,得 ;
當n=2時, 可得 .
(Ⅱ)證明:對任意 , --------①
---------------②
②-①得: ,即 ,于是 ,所以 是等比數列.
(Ⅲ)證明: ,由(Ⅱ)知,當 且 時,
=2+3(2+ )=2+ ,故對任意 , ,
由①得 所以 , ,
因此, ,于是 ,
故 = ,
所以 .
【易錯專區】
問題：已知 ,求 時,易忽視 的情況
例. （2010年高考上海卷文科21）
已知數列 的前 項和為 ，且 ，
(1)證明： 是等比數列；
(2)求數列 的通項公式，并求出使得 成立的最小正整數 .
【考題回放】
1.(2011年高考安徽卷文科7)若數列 的通項公式是 ,則 （ ）
（A） 15 (B) 12 (C ) (D)
【答案】A
【解析】法一：分別求出前10項相加即可得出結論；
法二： ，故 .故選A.
2. （2011年高考江西卷文科5)設{ }為等差數列，公差d = -2， 為其前n項和.若 ，則 =（ ）
A.18 B.20 C.22 D.24
【答案】B
【解析】 .
3. (2011年高考江西卷理科5)已知數列{ }的前n項和 滿足： ，且 =1．那么 =（ ）
A．1 B．9 C.10 D．55
【答案】A
【解析】因為 ,所以令 ,可得 ;令 ,可得 ;同理可得 , , ,
,所以 = ,故選A.
4. (2011年高考四川卷理科8)數列 的首項為 ， 為等差數列且 .若則 ， ，則 ( )
（A）0 （B）3 （C）8 （D）11
【答案】B
【解析】由已知知 由疊加法 .
5．（ 2010年高考全國Ⅰ卷文科4）已知各項均為正數的等比數列{ }， =5， =10，則 =（ ）
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
【答案】A
【解析】由等比數列的性質知 ， 10,所以 ,所以 .
6．（2010年高考全國卷Ⅱ文科6）如果等差數列 中， + + =12，那么 + +???…+ =（ ）
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【答案】C
【解析】∵ ，∴
7.（2009年高考安徽卷理科第5題）已知 為等差數列， + + =105， =99，以 表示 的前 項和，則使得 達到最大值的 是高. （ ）
【解析】設公比為 ,由已知得 ,即 ,因為等比數列 的公比為正數，所以 ,故 ,選B
9．（2009年高考湖南卷文科第3題）設 是等差數列 的前n項和，已知 ， ，則 等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
【答案】C
【解析】 故選C.
或由 ,
所以 故選C.
10. （2009年高考福建卷理科第3題）等差數列 的前n項和為 ，且 =6， =4， 則公差d等于( )
A．1 B C.- 2 D 3
【答案】C
【解析】∵ 且 .故選C
11．（2009年高考江西卷理科第8題）數列 的通項 ，其前 項和為 ，則 為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 以3 為周期,故

故選A
12.（2011年高考湖北卷文科9)《九章算術》“竹九節”問題：現有一根9節的竹子，自下而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為（ ）
A. 1升B. 升C. 升D. 升
【答案】D
【解析】設9節竹子的容積從上往下依次為a1,a2,……a9，公差為d，則有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,聯立解得： ，所以選B.
13. (2011年高考湖南卷理科12)設 是等差數列 的前 項和，且 ， ，則 .
【答案】25
【解析】 因為 ， ，所以 ，則 .故填25
14. (2011年高考廣東卷理科11)等差數列 前9項的和等于前4項的和.若 ，則 .
【答案】10
【解析】由題得 .
【解析】 則
于是 令 得 ，則 ， 時遞增，令 得 ，則 ， 時遞減，故 是最大項，即 .
17. （2011年高考江西卷文科21) (本小題滿分14分）
（1）已知兩個等比數列 ，滿足 ，
若數列 唯一，求 的值；
（2）是否存在兩個等比數列 ，使得 成公差 為
的等差數列？若存在，求 的通項公式；若 存在，說明理由．
【解析】（1） 要唯一， 當公比 時，由 且 ，
， 最少有一個根（有兩個根時，保證僅有一個正根）
，此時滿足條件的a有無數多個，不符合。
當公比 時，等比數列 首項為a，其余各項均為常數0，唯一，此時由 ，可推得 符合
綜上： 。
（2）假設存在這樣的等比數列 ，則由等差數列的性質可得： ，整理得：
要使該式成立，則 = 或 此時數列 ， 公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數列 .
18. （2011年高考福建卷文科17)（本小題滿分12分）
已知等差數列{an}中，a1=1，a3=-3.
（I）求數列{an}的通項公式；
（II）若數列{an}的前k項和Sk=-35，求k的值.
【解析】（I）設等差數列{an}的公差為 ,則 ,由 ， 可得 ，解得
,從而 .
（II）由（I）可知 ,所以 ,由Sk=-35，可得 ,
即 ,解得 或 ,又 ,故 .
19．（2011年高考湖南卷文科20)（本題滿分13分）
某企業在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%．
（I）求第n年初M的價值 的表達式；
（II）設 若 大于80萬元，則M繼續使用，否則須在第n年初對M更新，證明：須在第9年初對M更新．
【解析】（I）當 時，數列 是首項為120，公差為 的等差數列．

因為 是遞減數列，所以 是遞減數列，又
所以須在第9年初對M更新．
20. （2011年高考四川卷文科20)（本小題共12分）
已知? ?是以 為首項，q為公比的等比數列， 為它的前 項和.
（Ⅰ）當 成等差數列時，求q的值；
(Ⅱ)當 ， ， 成等差數列時，求證：對任意自然數 也成等差數列.
【解析】（Ⅰ）當 時， ，因為 成等差數列，所以 ，解得 ，因為 ，故 ；
當 時， ，由 成等差數列得 ，得 ，即 ， .
21．（2010年高考天津卷文科22）（本小題滿分14分）
在數列 中， =0，且對任意k ， 成等差數列，其公差為2k.
（Ⅰ）證明 成等比數列；（Ⅱ）求數列 的通項公式；
（Ⅲ）記 ，證明 .
【解析】（I）證明：由題設可知， ， ， ， ， .從而 ，所以 ， ， 成等比數列.
（II）解：由題設可得
所以

.
由 ，得 ，從而 .
所以數列 的通項公式為 或寫為 ， 。
（III）證明：由（II）可知 ， ，
以下分兩種情況進行討論：
（1）當n為偶數時，設n=2m
若 ，則 ，
若 ，則


.
所以 ，從而
（2）當n為奇數時，設 。


所以 ，從而
綜合（1）和（2）可知，對任意 有
22．(2010年高考北京卷文科16)（本小題共13分）
已知 為等差數列，且 ， 。
（Ⅰ）求 的通項公式；
（Ⅱ）若等差數列 滿足 ， ，求 的前n項和公式
【解析】（Ⅰ）設等差數列 的公差 。
23．(2010年高考江西卷文科22)（本小題滿分14分）
正實數數列 中， ， ，且 成等差數列．
（1）證明數列 中有無窮多項為無理數；
（2）當 為何值時， 為整數，并求出使 的所有整數項的和．
【解析】證明：（1）由已知有： ，從而 ，
方法一：取 ，則 ．
用反證法證明這些 都是無理數．
假設 為有理數，則 必為正整數，且 ，
故 ． ，與 矛盾，
所以 都是無理數，即數列 中有無窮多項為無理數；
方法二：因為 ，當 得末位數字是3,4,8,9時， 的末位數字是3和7，它不是整數的平方，也不是既約分數的平方，故此時 不是有理數，因這種 有無窮多，故這種無理項 也有無窮多．
（2）要使 為整數，由 可知： 同為偶數，且其中一個必為3的倍數，所以有 或 當 時，有 又 必為偶數，所以 滿足
即 時， 為整數；同理 有
也滿足
即 時， 為整數；顯然 和 是數列中的不同項；所以當 和 時， 為整數；由 有 ，
由 有 ．
設 中滿足 的所有整數項的和為 ，則
．
24. (2010年高考浙江卷文科19)（本題滿分14分）設a1，d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列{an}的前n項和為Sn，滿足 +15=0.
（Ⅰ）若 =5，求 及a1；（Ⅱ）求d的取值范圍.
【解析】(Ⅰ)解：由題意知S6= =-3,
A6=S6-S5=-8所以 解得a1=7,所以S6= -3,a1=7
(Ⅱ)解：因為S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
【解析】通過 ，設公比為 ，將該式轉化為 ，解得 =-2，帶入所求式可知答案選A，本題主要考察了本題主要考察了等比數列的通項公式與前n項和公式
2．(2010年高考安徽卷文科5)設數列 的前n項和 ，則 的值為( )
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
【答案】A
【解析】 .
3．（2010年高考山東卷文科7）設 是首項大于零的等比數列，則“ ”是“數列 是遞增數列”的( )
（A）充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若已知 ，則設數列 的公比為 ，因為 ，所以有 ，解得 又 ，所以數列 是遞增數列；反之，若數列 是遞增數列，則公比 且 ，所以 ，即 ，所以 是數列 是遞增數列的充分必要條件。
4．(2010年高考江西卷文科7)等比數列 中， ， ， ，則
A． B． C． D．

5．（2010年高考遼寧卷文科3）設 為等比數列 的前 項和，已知 ， ，則公比 ( )
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】B
【解析】兩式相減得， ， .

6．（2010年高考廣東卷文科4）已知數列{ }為等比數列， 是它的前n項和，若 ，
且 與 的等差中項為 ，則S5=w( )
A．35 B．33 C．31 D．29

7．（2010年高考重慶卷文科2）在等差數列 中， ，則 的值為( )
（A）5 （B）6
（C）8 （D）10
【答案】A
【解析】由角標性質得 ，所以 =5.
8．（2010年高考湖北卷文科7）已知等比數列{ }中，各項都是正數，且 ， 成等差數列，則 ( )
A. B. C. D
【答案】C

二．填空題：
13．（2009年高考北京卷文科第10題）若數列 滿足： ，則
；前8項的和 .（用數字作答）
【答案】255
【解析】 ，
易知 .
14．（2010年高考遼寧卷文科14）設 為等差數列 的前 項和，若 ，則 。
【答案】15
【解析】由 ,解得 ，
15．(浙江省溫州市2011年高三第一次適應性測試理科)已知數列 是公比為 的等比數列，集合 ，從 中選出4個不同的數，使這4個數成等比數列，這樣得到4個數的不同的等比數列共有 ．
【答案】
【解析】以公比為 的等比數列有 … 共 組；
以公比為 的等比數列有 … 共 組；
以公比為 的等比數列有 共 組.
再考慮公比分別為 的情形，可得得到4個數的不同的等比數列共有 個.
三．解答題：
17.（2009年高考山東卷理科第20題）（本小題滿分12分）
等比數列{ }的前n項和為 ，已知對任意的 ，點 ，均在函數 的圖像上.
（Ⅰ）求r的值；
(文科)（Ⅱ）當b=2時，記 ,求數列 的前n項和 .
(理科)（Ⅱ）當b=2時，記 ,證明：對任意的 ，不等式 成立
【解析】(Ⅰ) 由題意知: ,
當 時, ,
由于 且 所以當 時, { }是以 為公比的等比數列,
又 , , 即 解得 .
(理科) (Ⅱ)∵ ,∴當 時, ,
又當 時, ,適合上式,∴ , ,
∴ ,
下面用數學歸納法來證明不等式:
證明:(1)當 時,左邊= 右邊,不等式成立.
(2)假設當 時,不等式成立,即 ,
則當 時,
不等式左邊=

所以當 時,不等式也成立,
綜上(1)(2)可知:當 時,不等式 恒成立,
所以對任意的 ,不等式 成立.
(文科)（Ⅱ）由（Ⅰ）知, , ,所以 = ,
,
+ ,
兩式相減得:

,
故 = .
（Ⅱ）因為 ， …10分
所以
． …14分
19．（天津市南開中學2011年3月高三月考文科）已知數列 的前以項和為 且對于任意的 恒有 設
(1)求證：數列 是等比數列；(2)求數列 的通項公式 和
(3)若 證明：
【解析】 (1)當n=l時， 得
當 時， 兩式相減得：

是以 為首項，2為公比的等比數列．……………………4分
(2)由(1)得
……………………………………8分
由 為正項數列，所以 也為正項數列，
從而 所以數列 遞減，
所以 …12分
另證：由
所以

20．(天津市紅橋區2011屆高三一模文科)（本題滿分14分）
設數列 的前 項和為 ，且 ；數列 為等差數列，且 。
（1）求數列 的通項公式；
（2）若 為數列 的前 項和，求證： 。
【解析】（1）由 ,


（2）數列 為等差數列，公差
從而

從而
21. (山東省濟南市2011年2月高三質量調研文科)
已知{an}是遞增的等差數列，滿足a2?a4=3,a1+a5=4.
(1) 求數列{an}的通項公式和前n項和公式；
(2) 設數列{bn}對n∈N*均有 成立，求數列{bn}的通項公式.
22. (山東省青島市2011年3月高考第一次模擬理科)已知數列 滿足 ，且 ， 為 的前 項和.
(Ⅰ)求證：數列 是等比數列，并求 的通項公式；
(Ⅱ)如果對任意 ，不等式 恒成立，求實數 的取值范圍.
【解析】(Ⅰ) 對任意 ,都有 ，所以
則 成等比數列,首項為 ，公比為 …………2分
所以 ， …………4分
(Ⅱ) 因為
所以 …………6分
因為不等式 ，化簡得 對任意 恒成立…………7分
設 ，則 …………8分
當 , , 為單調遞減數列，當 , , 為單調遞增數列
,所以, 時, 取得最大值 …………11分
所以, 要使 對任意 恒成立， …………12分

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.lg566.com/gaosan/56951.html

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