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j.Co M

第十八章　不等式選講

高考導航

考試要求重難點擊命題展望
1.理解絕對值的幾何意義，并能用它證明絕對值三角不等式等較簡單的不等式.①a＋b≤a＋b；
②a－b≤a－c＋c－b.
2.能用絕對值的幾何意義解幾類簡單的絕對值型不等式，如ax＋b≤c或ax＋b≥c，以及x－a＋x－b≥c或x－a＋x－b≤c類型.
3.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法.
4.了解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用它證明一些簡單不等式及其他問題.
5.了解柯西不等式的幾種不同形式：二維形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式α?β≥α?β、一般形式 ，理解它們的幾何意義.掌握柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數極值中的應用.
6.了解排序不等式的推導及意義并能簡單應用.
7.會用數學歸納法證明貝努利不等式：

本章重點：不等式的基本性質；基本不等式及其應用、絕對值型不等式的解法及其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應用.
本章難點：三個正數的算術――幾何平均不等式及其應用；絕對值不等式的解法；用反證法、放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式.本專題在數學必修5“不等式”的基礎上，進一步學習一些重要的不等式，如絕對值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它們的證明，同時了解證明不等式的一些基本方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數學歸納法等，會用絕對值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解決一些簡單問題.高考中，只考查上述知識和方法，不對恒等變形的難度和一些技巧作過高的要求.

知識網絡


18.1　絕對值型不等式

典例精析
題型一　解絕對值不等式
【例1】設函數f(x)＝x－1＋x－2.
(1)解不等式f(x)＞3；
(2)若f(x)＞a對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.
【解析】(1)因為f(x)＝x－1＋x－2＝
所以當x＜1時，3－2x＞3，解得x＜0；
當1≤x≤2時，f(x)＞3無解；
當x＞2時，2x－3＞3，解得x＞3.
所以不等式f(x)＞3的解集為(－∞，0)∪(3，＋∞).
(2)因為f(x)＝ 所以f(x)min＝1.
因為f(x)＞a恒成立，
所以a＜1，即實數a的取值范圍是(－∞，1).
【變式訓練1】設函數f(x)＝x＋1＋x－2＋a.
(1)當a＝－5時，求函數f(x)的定義域；
(2)若函數f(x)的定義域為R，試求a的取值范圍.
【解析】(1)由題設知x＋1＋x－2－5≥0，如圖，在同一坐標系中作出函數y＝x＋1＋x－2和y＝5的圖象，知定義域為(－∞，－2]∪[3，＋∞).
(2)由題設知，當x∈R時，恒有x＋1＋x－2＋a≥0，即x＋1＋x－2≥－a，又由(1)知x＋1＋x－2≥3，
所以－a≤3，即a≥－3.
題型二　解絕對值三角不等式
【例2】已知函數f(x)＝x－1＋x－2，若不等式a＋b＋a－b≥af(x)對a≠0，a、b∈R恒成立，求實數x的范圍.
【解析】由a＋b＋a－b≥af(x)且a≠0得a＋b＋a－ba≥f(x).
又因為a＋b＋a－ba≥a＋b＋a－ba＝2，則有2≥f(x).
解不等式x－1＋x－2≤2得12≤x≤52.
【變式訓練2】(2010深圳)若不等式x＋1＋x－3≥a＋4a對任意的實數x恒成立，則實數a的取值范圍是　　　　　　　.
【解析】(－∞，0)∪{2}.
題型三　利用絕對值不等式求參數范圍
【例3】(2009遼寧)設函數f(x)＝x－1＋x－a.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍.
【解析】(1)當a＝－1時，f(x)＝x－1＋x＋1.
由f(x)≥3得x－1＋x＋1≥3，
①當x≤－1時，不等式化為1－x－1－x≥3，即－2x≥3，
不等式組 的解集為(－∞，－32]；
②當－1＜x≤1時，不等式化為1－x＋x＋1≥3，不可能成立，
不等式組 的解集為?；
③當x＞1時，不等式化為x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，
不等式組 的解集為[32，＋∞).
綜上得f(x)≥3的解集為(－∞，－32]∪[32，＋∞).
(2)若a＝1，f(x)＝2x－1不滿足題設條件.
若a＜1，f(x)＝
f(x)的最小值為1－a.由題意有1－a≥2，即a≤－1.
若a＞1，f(x)＝
f(x)的最小值為a－1，由題意有a－1≥2，故a≥3.
綜上可知a的取值范圍為(－∞，－1]∪[3，＋∞).
【變式訓練3】關于實數x的不等式x－12(a＋1)2≤12(a－1)2與x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0 (a∈R)的解集分別為A，B.求使A?B的a的取值范圍.
【解析】由不等式x－12(a＋1)2≤12(a－1)2?－12(a－1)2≤x－12(a＋1)2≤12(a－1)2，
解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x2a≤x≤a2＋1}.
由不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0?(x－2)[x－(3a＋1)]≤0，
①當3a＋1≥2，即a≥13時，B＝{x2≤x≤3a＋1}，
因為A?B，所以必有 解得1≤a≤3；
②當3a＋1＜2，即a＜13時，B＝{x3a＋1≤x≤2}，
因為A?B，所以 解得a＝－1.
綜上使A?B的a的取值范圍是a＝－1或1≤a≤3.
總結提高
1.“絕對值三角不等式”的理解及記憶要結合三角形的形狀，運用時注意等號成立的條件.
2.絕對值不等式的解法中，x＜a的解集是(－a，a)；x＞a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)，它可以推廣到復合型絕對值不等式ax＋b≤c，ax＋b≥c的解法，還可以推廣到右邊含未知數x的不等式，如3x＋1≤x－1?1－x≤3x＋1≤x－1.
3.含有兩個絕對值符號的不等式，如x－a＋x－b≥c和x－a＋x－b≤c型不等式的解法有三種，幾何解法和代數解法以及構造函數的解法，其中代數解法主要是分類討論的思想方法，這也是函數解法的基礎，這兩種解法都適宜于x前面系數不為1類型的上述不等式，使用范圍更廣.



18.2　不等式的證明(一)

典例精析
題型一　用綜合法證明不等式
【例1】 若a，b，c為不全相等的正數，求證：
lg a＋b2＋lg b＋c2＋lg a＋c2＞lg a＋lg b＋lg c.
【證明】 由a，b，c為正數，得
lg a＋b2≥lg ab；lg b＋c2≥lg bc；lg a＋c2≥lg ac.
而a，b，c不全相等，
所以lg a＋b2＋lg b＋c2＋lg a＋c2＞lg ab＋lg bc＋lg ac＝lg a2b2c2＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c.
即lg a＋b2＋lg b＋c2＋lg a＋c2＞lg a＋lg b＋lg c.
【點撥】 本題采用了綜合法證明，其中基本不等式是證明不等式的一個重要依據(是一個定理)，在證明不等式時要注意結合運用.而在不等式的證明過程中，還要特別注意等號成立的條件是否滿足.
【變式訓練1】已知a，b，c，d都是實數，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.求證：ac＋bd≤1.
【證明】因為a，b，c，d都是實數，
所以ac＋bd≤ac＋bd≤a2＋c22＋b2＋d22＝a2＋b2＋c2＋d22.
又因為a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以ac＋bd≤1.
題型二　用作差法證明不等式
【例2】 設a，b，c為△ABC的三邊，求證：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca).
【證明】a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2－a2－b2－c2
　　 ＝[(a－b)2－c2]＋[(b－c)2－a2]＋[(c－a)2－b2].
而在△ABC中，b－a＜c，所以(a－b)2＜c2，即(a－b)2－c2＜0.
同理(a－c)2－b2＜0，(b－c)2－a2＜0，所以a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＜0.
故a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca).
【點撥】 不等式的證明中，比較法特別是作差比較法是最基本的證明方法，而在牽涉到三角形的三邊時，要注意運用三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.
【變式訓練2】設a，b為實數，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求證：a2m＋b2n≥(a＋b)2.
【證明】因為a2m＋b2n－(a＋b)2＝na2＋mb2mn－nm(a2＋2ab＋b2)mn
＝na2(1－m)＋mb2(1－n)－2mnabmn
＝n2a2＋m2b2－2mnabmn＝(na－mb)2mn≥0，
所以不等式a2m＋b2n≥(a＋b)2成立.
題型三　用分析法證明不等式
【例3】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.
求證：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).
【證明】因為a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要證原不等式成立，
即證[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]
≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，
也就是證[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①
因為(a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，
(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，
(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，
三式相乘得①式成立，故原不等式得證.
【點撥】 本題采用的是分析法.從待證不等式出發，分析并尋求使這個不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執果索因”.分析法也可以作為尋找證題思路的方法，分析后再用綜合法書寫證題過程.
【變式訓練3】設函數f(x)＝x－a(x＋1)ln(x＋1)(x＞－1，a≥0).
(1)求f(x)的單調區間；
(2)求證：當m＞n＞0時，(1＋m)n＜(1＋n)m.
【解析】(1)f′(x)＝1－aln(x＋1)－a，
①a＝0時，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函數；
②當a＞0時，f(x)在(－1， －1]上單調遞增，在[ －1，＋∞)單調遞減.
(2)證明：要證(1＋m)n＜(1＋n)m，只需證nln(1＋m)＜mln(1＋n)，只需證ln(1＋m)m＜ln(1＋n)n.
設g(x)＝ln(1＋x)x(x＞0)，則g′(x)＝x1＋x－ln(1＋x)x2＝x－(1＋x)ln(1＋x)x2(1＋x).
由(1)知x－(1＋x)ln(1＋x)在(0，＋∞)單調遞減，
所以x－(1＋x)ln(1＋x)＜0，即g(x)是減函數，
而m＞n，所以g(m)＜g(n)，故原不等式成立.
總結提高
1.一般在證明不等式的題目中，首先考慮用比較法，它是最基本的不等式的證明方法.比較法一般有“作差比較法”和“作商比較法”，用得較多的是“作差比較法”，其中在變形過程中往往要用到配方、因式分解、通分等計算方法.
2.用綜合法證明不等式的過程中，所用到的依據一般是定義、公理、定理、性質等，如基本不等式、絕對值三角不等式等.
3.用分析法證明不等式的關鍵是對原不等式的等價轉換，它是從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質等)，從而得出要證的命題成立.
4.所謂“綜合法”、“分析法”其實是證明題的兩種書寫格式，而不是真正意義上的證明方法，并不像前面所用的比較法及后面要復習到的三角代換法、放縮法、判別式法、反證法等是一種具體的證明方法(或者手段)，而只是兩種互逆的證明題的書寫格式.


18.3　不等式的證明(二)

典例精析
題型一　用放縮法、反證法證明不等式
【例1】已知a，b∈R，且a＋b＝1，求證：(a＋2)2＋(b＋2)2≥252.
【證明】 方法一：(放縮法)
因為a＋b＝1，
所以左邊＝(a＋2)2＋(b＋2)2≥2[(a＋2)＋(b＋2)2]2＝12[(a＋b)＋4]2＝252＝右邊.
方法二：(反證法)
假設(a＋2)2＋(b＋2)2＜252，則 a2＋b2＋4(a＋b)＋8＜252.
由a＋b＝1，得b＝1－a，于是有a2＋(1－a)2＋12＜252.
所以(a－12)2＜0，這與(a－12)2≥0矛盾.
故假設不成立，所以(a＋2)2＋(b＋2)2≥252.
【點撥】 根據不等式左邊是平方和及a＋b＝1這個特點，選用重要不等式a2 ＋ b2≥
2(a ＋ b2)2來證明比較好，它可以將具備a2＋b2形式的式子縮小.
而反證法的思路關鍵是先假設命題不成立，結合條件a＋b＝1，得到關于a的不等式，最后與數的平方非負的性質矛盾，從而證明了原不等式.當然本題也可以用分析法和作差比較法來證明.
【變式訓練1】設a0，a1，a2，…，an－1，an滿足a0＝an＝0，且有
a0－2a1＋a2≥0，
a1－2a2＋a3≥0，
…
an－2－2an－1＋an≥0，
求證：a1，a2，…，an－1≤0.
【證明】由題設a0－2a1＋a2≥0得a2－a1≥a1－a0.
同理，an－an－1≥an－1－an－2≥…≥a2－a1≥a1－a0.
假設a1，a2，…，an－1中存在大于0的數，假設ar是a1，a2，…，an－1中第一個出現的正數. 即a1≤0，a2≤0，…，ar－1≤0，ar＞0，
則有ar－ar－1＞0，于是有an－an－1≥an－1－an－2≥…≥ar－ar－1＞0.
并由此得an≥an－1≥an－2≥…≥ar＞0.
這與題設an＝0矛盾.由此證得a1，a2，…，an－1≤0成立.
題型二　用數學歸納法證明不等式
【例2】用放縮法、數學歸納法證明：
設an＝1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)，n∈N*，求證：n(n＋1)2＜an＜(n＋1)22.
【證明】 方法一：(放縮法)
n2＜n(n＋1)＜n＋(n＋1)2，即n＜n(n＋1)＜2n＋12.
所以1＋2＋…＋n＜an＜12[1＋3＋…＋(2n＋1)].
所以n(n＋1)2＜an＜12?(n＋1)(1＋2n＋1)2，
即n(n＋1)2＜an＜(n＋1)22.
方法二：(數學歸納法)
①當n＝1時，a1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.
②假設n＝k (k≥1)時，不等式成立，即k(k＋1)2＜ak＜(k＋1)22.
則當n＝k＋1時，ak＋1＝1×2＋2×3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)，
所以k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)＜ak＋1＜(k＋1)22＋(k＋1)(k＋2).
而k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)＞k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋1)＝k(k＋1)2＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)2，
(k＋1)22＋(k＋1)(k＋2)＜(k＋1)22＋(k＋1)＋(k＋2)2＝k2＋4k＋42＝(k＋2)22.
所以(k＋1)(k＋2)2＜ak＋1＜(k＋2)22.
故當n＝k＋1時，不等式也成立.
綜合①②知當n∈N*，都有n(n＋1)2＜an＜(n＋1)22.
【點撥】 在用放縮法時，常利用基本不等式n(n＋1)＜n＋(n＋1)2將某個相乘的的式子進行放縮，而在上面的方法二的數學歸納法的關鍵步驟也要用到這個公式.在用數學歸納法時要注意根據目標來尋找思路.
【變式訓練2】已知數列8×112×32，8×232×52，…，8n(2n－1)2(2n＋1)2，…，Sn為其前n項和，計算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，觀察上述結果推測出計算Sn的公式且用數學歸納法加以證明.
【解析】猜想Sn＝(2n＋1)2－1(2n＋1)2(n∈N＋).
證明：①當n＝1時，S1＝32－132＝89，等式成立.
②假設當n＝k(k≥1)時等式成立，即Sk＝(2k＋1)2－1(2k＋1)2.
則Sk＋1＝Sk＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2＝(2k＋1)2－1(2k＋1)2＋8(k＋1)(2k＋1)2(2k＋3)2
＝(2k＋1)2(2k＋3)2－(2k＋1)2(2k＋1)2(2k＋3)2＝[2(k＋1)＋1]2－1[2(k＋1)＋1]2.
即當n＝k＋1時，等式也成立.綜合①②得，對任何n∈N＋，等式都成立.
題型三　用不等式證明方法解決應用問題
【例3】某地區原有森林木材存量為a，且每年增長率為25%，因生產建設的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設an為n年后該地區森林木材存量.
(1)求an的表達式；
(2)為保護生態環境，防止水土流失，該地區每年森林木材量應不少于79a，如果b＝1972a，那么該地區今后會發生水土流失嗎？若會，需要經過幾年？(取lg 2＝0.30)
【解析】(1)依題意得a1＝a(1＋14)－b＝54a－b，
a2＝54a1－b＝54(54a－b)－b＝(54)2a－(54＋1)b，
a3＝54a2－b＝(54)3a－[(54)2＋(54＋1)]b，
由此猜測an＝(54)na－[(54)n－1＋(54)n－2＋…＋54＋1]b＝(54)na－4[(54)n－1]b(n∈N＋).
下面用數學歸納法證明：
①當n＝1時，a1＝54a－b，猜測成立.
②假設n＝k(k≥2)時猜測成立，即ak＝(54)ka－4[(54)k－1]b成立.
那么當n＝k＋1時，ak＋1＝54ak－b＝54(54)ka－4[(54)k－1]b－b＝(54)k＋1a－4[(54)k＋1－1]b，
即當n＝k＋1時，猜測仍成立.
由①②知，對任意n∈N＋，猜測成立.
(2)當b＝1972a時，若該地區今后發生水土流失，則森林木材存量必須少于79a，
所以(54)na－4[(54)n－1]?1972a＜79a，整理得(54)n＞5，
兩邊取對數得nlg 54＞lg 5，
所以n＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.
故經過8年該地區就開始水土流失.
【變式訓練3】經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量y(千輛/時)與汽車的平均速度v(千米/時)之間的函數關系為y＝920vv2＋3v＋1 600(v＞0).
(1)在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/時)
(2)若要求在該時段內車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應在什么范圍內？
【解析】(1)依題意，y＝9203＋(v＋1 600v)≤9203＋21 600＝92083，當且僅當v＝1 600v，即v＝40時，上式等號成立，所以ymax＝92083≈11.1(千輛/時).
(2)由條件得920vv2＋3v＋1 600＞10，整理得v2－89v＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.
答：當v＝40千米/時時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時.如果要求在該時段內車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應大于25千米/時且小于64千米/時.
總結提高
1.有些不等式，從正面證如果不易說清，可以考慮反證法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定詞的命題適用反證法.在一些客觀題如填空、選擇題之中，也可以用反證法的方法進行命題正確與否的判斷.
2.放縮法是證明不等式特有的方法，在證明不等式過程中常常要用到它，放縮要有目標，目標在結論和中間結果中尋找.
常用的放縮方法有：
(1)添加或舍去一些項，如a2＋1＞a，n(n＋1)＞n；
(2)將分子或分母放大(或縮小)；
(3)利用基本不等式，如n(n＋1)＜n＋(n＋1)2；
(4)利用常用結論，如
k＋1－k＝1k＋1＋k＜12k，
1k2＜1k(k－1)＝1k－1－1k ；
1k2＞1k(k＋1)＝1k－1k＋1(程度大)；
1k2＜1k2－1＝1(k－1)(k＋1)＝12(1k－1－1k＋1) (程度小).
3.用數學歸納法證明與自然數有關的不等式的證明過程與用數學歸納法證明其他命題一樣，先要奠基，后進行假設與推理，二者缺一不可.


18.4　柯西不等式和排序不等式

典例精析
題型一　用柯西不等式、排序不等式證明不等式
【例1】設a1，a2，…，an都為正實數，證明：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an.
【證明】方法一：由柯西不等式，有
(a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1)(a2＋a3＋…＋an＋a1)≥
(a1a2?a2＋a2a3?a3＋…＋ana1?a1)2＝(a1＋a2＋…＋an)2.
不等式兩邊約去正數因式a1＋a2＋…＋an即得所證不等式.
方法二：不妨設a1≤a2≤…≤an，則a21≤a22≤…≤a2n，1a1≥1a2≥…≥1an.
由排序不等式有
a21?1a2＋a22?1a3＋…＋a2n－1?1an＋a2n?1a1≥a21?1a1＋a22?1a2＋…＋a2n?1an＝a1＋a2＋…＋an，
故不等式成立.
方法三：由均值不等式有
a21a2＋a2≥2a1，a22a3＋a3≥2a2，…，a2na1＋a1≥2an，將這n個不等式相加得
a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1＋a2＋a3＋…＋an＋a1≥2(a1＋a2＋…＋an)，整理即得所證不等式.
【點撥】 根據所證不等式的結構形式觀察是否符合柯西不等式、排序不等式的結構形式或有相似之處.將其配成相關結構形式是解決問題的突破口，有時往往要進行添項、拆項、重組、配方等方法的處理.
【變式訓練1】已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正數，求證：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.
【證明】左邊＝[2(a＋b＋c)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)
＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，
(或左邊＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](1a＋b＋1b＋c＋1c＋a)
＝3＋a＋bb＋c＋a＋bc＋a＋b＋ca＋b＋b＋cc＋a＋c＋aa＋b＋c＋ab＋c
≥3＋2 ＋2 ＋2 ＝9)
所以2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.
題型二　用柯西不等式求最值
【例2】 若實數x，y，z滿足x＋2y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值.
【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝4
(當且僅當1＝kx,2＝ky,3＝kz時等號成立，
結合x＋2y＋3z＝2，解得x＝17，y＝27，z＝37)，
所以14(x2＋y2＋z2)≥4.所以x2＋y2＋z2≥27.
故x2＋y2＋z2的最小值為27.
【點撥】 根據柯西不等式，要求x2＋y2＋z2的最小值，就要給x2＋y2＋z2再配一個平方和形式的因式，再考慮需要出現定值，就要讓柯西不等式的右邊出現x＋2y＋3z的形式，從而得到解題思路.由此可見，柯西不等式可以應用在求代數式的最值中.
【變式訓練2】已知x2＋2y2＋3z2＝1817，求3x＋2y＋z的最小值.
【解析】因為(x2＋2y2＋3z2)[32＋(2)2＋(13)2]
≥(3x＋2y?2＋3z?13)2≥(3x＋2y＋z)2，
所以(3x＋2y＋z)2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤23，
當且僅當x＝－9317，y＝－3317，z＝－317時，
3x＋2y＋z取最小值，最小值為－23.
題型三　不等式綜合證明與運用
【例3】 設x＞0，求證：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
【證明】(1)當x≥1時，1≤x≤x2≤…≤xn，由排序原理：順序和≥反序和得
1?1＋x?x＋x2?x2＋…＋xn?xn≥1?xn＋x?xn－1＋…＋xn－1?x＋xn?1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①
又因為x，x2，…，xn，1為序列1，x，x2，…，xn的一個排列，于是再次由排序原理：亂序和≥反序和得1?x＋x?x2＋…＋xn－1?xn＋xn?1≥1?xn＋x?xn－1＋…＋xn－1?x＋xn?1，
即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn，②
將①和②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③
(2)當0＜x＜1時，1＞x＞x2＞…＞xn.
由①②仍然成立，于是③也成立.
綜合(1)(2)，原不等式成立.
【點撥】 分類討論的目的在于明確兩個序列的大小順序.
【變式訓練3】把長為9 cm的細鐵線截成三段，各自圍成一個正三角形，求這三個正三角形面積和的最小值.
【解析】設這三個正三角形的邊長分別為a、b、c，則a＋b＋c＝3，且這三個正三角形面積和S滿足：
3S＝34(a2＋b2＋c2)(12＋12＋12)≥34(a＋b＋c)2＝934?S≥334.
當且僅當a＝b＝c＝1時，等號成立.
總結提高
1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用.教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數極值中的應用.
2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2＋b2≥2ab.有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明.證明排序不等式時，教科書展示了一個“探究――猜想――證明――應用”的研究過程，目的是引導學生通過自己的數學活動，初步認識排序不等式的數學意義、證明方法和簡單應用.
3.利用柯西不等式或排序不等式常常根據所求解(證)的式子結構入手，構造適當的兩組數，有難度的逐步調整去構造.對于具體明確的大小順序、數目相同的兩列數考慮它們對應乘積之和的大小關系時，通常考慮排序不等式.


第十九章　優選法

高考導航

考試要求重難點擊命題展望
　　1.通過分析和解決具體實際問題，使學生掌握分數法、0.618法及其適用范圍，運用這些方法解決一些實際問題，體會優選的思想方法.
2.了解斐波那契數列{Fn}，理解在試驗次數確定的情況下分數法最佳性的證明，通過連分數知道Fn－1和黃金分割的關系.
3.知道對分法、盲人爬山法、分批試驗法，以及目標函數為多峰情況下的處理方法.　　本章重點：根據不同的實際問題選擇恰當的尋找最佳點的方法.
本章難點：比較不同優選方法的利弊和適用范圍.　　在生產和科學試驗中，人們為了達到優質、高產、低耗等目標，需要對有關因素的最佳組合進行選擇.在實踐中的許多情況下，試驗結果與因素之間的關系要么很難用數學形式來表達，要么表達式很復雜.優選法是解決這類問題的常用數學方法.


知識網絡



典例精析
題型一　關于黃金分割法的優選法應用問題
【例1】煉某種航天材料，需添加某種化學元素以增加抗氧化強度，加入范圍是1 000~
2 000克，求最佳加入量.
【解析】第一步：先在試驗范圍長度的0.618處做第(1)個試驗：
x1＝小＋(大－小)×0.618＝1 000＋(2 000－1 000)×0.618＝1 618克.
第二步：第(2)個試驗點由公式計算：
x2＝大＋小－x1＝2 000＋1 000－1 618＝1 382克.
第三步：比較(1)與(2)兩點上所做試驗的效果，現在假設第(1)點比較好，就去掉第(2)點，即去掉[1 000,1 382]這一段范圍，留下[1 382,2 000].
而第(3)試點x3＝大＋小－x1＝1 382＋2 000－1 618＝1 764克.
第四步：比較在上次留下的好點，即第(1)處和第(3)處的試驗結果，看哪個點好，然后就去掉效果差的那個試驗點以外的那部分范圍，留下包含好點在內的那部分范圍作為新的試驗范圍，……如此反復，直到得到較好的試驗結果為止.
【點撥】可以看出每次留下的試驗范圍是上一次長度的0.618倍，隨著試驗范圍越來越小，試驗越趨于最優點，直到達到所需精度即可.
【變式訓練1】設有一個優選問題，其因素范圍是1 500~2 500，假設最優點在2 300處.
(1)用0.618法進行優選，寫出第二，第三個試點的數值；
(2)若第一試點取2 010，寫出第二，第三，第四個試點的數值.
【解析】(1)由0.618法得第一個試點為x1＝1 500＋0.618×(2 500－1 500)＝2 118.
由“加兩頭，減中間”得x2＝1 500＋2 500－2 118＝1 882.
因為最優點在2 300處，所以新的存優范圍是[1 882,2 500]，
所以x3＝2 500＋1 882－2 118＝2 264.
同理可知新的存優范圍是[2 118,2 500].
(2)因為x1＝2 010，則由對稱原理知x2＝1 500＋2 500－2 010＝1 990，因為最優點在2 300處，所以x1優于x2，新的存優范圍是[1 990,2 500].
所以x3＝1 990＋2 500－2 010＝2 480，所以新的存優范圍是[2 010,2 500].
所以x4＝2 010＋2 500－2 480＝2 030.
題型二　用分數法解決優選法的應用問題
【例2】某化工廠準備對一化工產品進行技術改良，現決定優選加工溫度，試驗范圍定為60 ℃~81 ℃，精確度要求±1 ℃，現在技術員用分數法進行優選.
(1)如何安排試驗？
(2)若最佳點為69 ℃，請列出各試驗點的數值；
(3)要通過多少次試驗才可以找出最佳點？
【解析】(1)試驗區間為[60,81]，等分為21段，分點為61,62，…，79,80，所以60＋1321×
(81－60)＝73(℃).故第一試點安排在73 ℃.
由“加兩頭，減中間”的方法得60＋81－73＝68，所以第二試點選在68 ℃.后續試點也可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.
(2)若最佳點為69 ℃，即從第二次試驗開始知69 ℃在存優范圍內，由(1)知第一、二次試驗點的值分別為73,68，因為69?[60,68]，故去掉68 ℃以下的部分，則第三次試驗點的值為68＋81－73＝76.同理去掉76 ℃以上的部分，第四次試驗點的值為68＋76－73＝71，第五次試驗點的值為68＋73－71＝70，第六次試驗點的值為68＋71－70＝69.即安排了6次試驗，各試驗點的數值依次為：73,68,76,71,70,69.
(3)共有20個分點，由分數法的最優性定理可知F7＝21，即通過6次試驗可從這20個分點中找出最佳點.
【點撥】用分數法安排試驗，一旦用Fn－1Fn確定第一個試點，后續的試點可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.
【變式訓練2】某國有酒廠發酵某種酒精時規定發酵溫度為(28±1)℃，發酵時間為3 000小時以上.為提高工廠效益，技術員老王進行縮短發酵時間的技術改造，決定對發酵溫度進行優選.試驗范圍定為15 ℃~36 ℃，精確度為±1 ℃.請你用分數法幫助老王安排試驗.
【解析】(1)將試驗區間[15,36]等分為21段，分點為16,17，…，35.
(2)第一試點為15＋(36－15)×13÷21＝28(℃)，
第二試點為15＋(36－15)×8÷21＝23(℃).
(3)以下按分數法順次確定試點，就可以找到最優發酵溫度.
總結提高
單因素方法包括0.618法(也叫黃金分割法)、分數法、對分法、盲人爬山法、分批試驗法.其中0.618法和分數法是優選法的重點.優選法中的難點是理解0.618法和分數法的原理和認識分數法的最優性.


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