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1.2.4 平面與平面的位置關系
第1課時　兩平面平行的判定及性質

【課時目標】　1．理解并掌握兩個平面平行、兩個平面相交的定義．2．掌握兩個平面平行的判定和性質定理，并能運用其解決一些具體問題．


1．平面與平面平行的判定定理
如果一個平面內有________________都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．用符號表示為________________________．
2．平面與平面平行的性質定理：
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，________________________．
符號表示為：________________?a∥b．
3．面面平行的其他性質：
(1)兩平面平行，其中一個平面內的任一直線平行于________________，即α∥βa?α?
________，可用來證明線面平行；
(2)夾在兩個平行平面間的平行線段________；
(3)平行于同一平面的兩個平面________．


一、填空題
1．平面α∥平面β，a?α，b?β，則直線a、b的位置關系是__________．
2．下列各命題中假命題有________個．
①平行于同一直線的兩個平面平行；
②平行于同一平面的兩個平面平行；
③一條直線與兩個平行平面中的一個相交，那么這條直線必和另一個相交；
④若平面α內兩條直線與平面β內兩條直線分別平行，則α∥β．
3．過正方體ABCD－A1B1C1D1的三個頂點A1、C1、B的平面與底面ABCD所在平面的交線為l，則l與A1C1的位置關系是________．
4．α和β是兩個不重合的平面，在下列條件中，可判定α∥β的是________．(填序號)
①α內有無數條直線平行于β；
②α內不共線三點到β的距離相等；
③l、m是平面α內的直線，且l∥α，m∥β；
④l、m是異面直線且l∥α，m∥α，l∥α，m∥β．
5．已知α∥β且α與β間的距離為d，直線a與α相交于點A、與β相交于B，若AB＝233d，則直線a與α所成的角等于________．
6．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，則S△A′B′C′∶S△ABC＝________．

7．α，β，γ為三個不重合的平面，a，b，c為三條不同的直線，則有下列命題，不正確的是________(填序號)．
①a∥cb∥c?a∥b；　　　　②a∥γb∥γ?a∥b；
③α∥cβ∥c?α∥β； ④α∥γβ∥γ?α∥β；
⑤α∥ca∥c?α∥a; ⑥α∥γa∥γ?a∥α．
8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一點，過點P的直線m與α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長為________．
9．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M滿足________時，有MN∥平面B1BDD1．


二、解答題
10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E、F、G分別是BC、DC和SC的中點．求證：平面EFG∥平面BDD1B1．

11．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中點，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求證：N為AC的中點．

能力提升
12．如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，面對角線AB1，BC1上分別有兩點E、F，且B1E＝C1F．求證：EF∥平面ABCD．


13．如圖所示，B為△ACD所在平面外一點，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求證平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC．


1．判定平面與平面平行的常用方法有：(1)利用定義，證明兩個平面沒有公共點，常用反證法．(2)利用判定定理．(3)利用平行平面的傳遞性，即α∥β，β∥γ，則α∥γ．
2．平面與平面平行主要有以下性質：(1)面面平行的性質定理．(2)兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線平行于另一個平面．(3)夾在兩個平行平面之間的平行線段相等．


1．2．4　平面與平面的位置關系
第1課時　兩平面平行的判定及性質
答案

知識梳理
1．兩條相交直線
a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β
2．那么所得的兩條交線平行　α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b
3．(1)另一個平面　a∥β　(2)相等　(3)平行
作業設計
1．平行或異面　2．2
3．平行
解析　由面面平行的性質可知第三平面與兩平行平面的交線是平行的．
4．④　5．60°
6．4∶25
解析　面α∥面ABC，面PAB與它們的交線分別為A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝(A′B′AB)2＝(PA′PA)2＝425．
7．②③⑤⑥
解析　由公理4及平行平面的傳遞性知①④正確．舉反例知②③⑤⑥不正確．②中a，b可以相交，還可以異面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α內；⑥中a可以在α內．
8．24或245
解析　當P點在平面α和平面β之間時，由三角形相似可求得BD＝24，當平面α和平面β在點P同側時可求得BD＝245．
9．M∈線段FH
解析　∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故線段FH上任意點M與N連結，
有MN∥平面B1BDD1．
10．

證明　如圖所示，連結SB，SD，
∵F、G分別是DC、SC的中點，
∴FG∥SD．
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴直線FG∥平面BDD1B1．
同理可證EG∥平面BDD1B1，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，
EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
11．證明　∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四邊形ANC1M為平行四邊形，
∴AN?C1M＝12A1C1＝12AC，
∴N為AC的中點．
12．證明　方法一　過E、F分別作AB、BC的垂線，EM、FN分別交AB、BC于M、N，連結MN．
∵BB1⊥平面ABCD，
∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，

∴EM∥BB1，FN∥BB1，
∴EM∥FN，
∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，
∴AE＝BF，
又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，
∴EM＝FN．
∴四邊形MNFE是平行四邊形，
∴EF∥MN．
又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
方法二　

過E作EG∥AB交BB1于G，連結GF，
∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴C1FC1B＝B1GB1B，
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF?平面EFG，∴EF∥平面ABCD．
13．(1)證明　(1)連結BM，BN，BG并延長分別交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，

則有BMMP＝BNNF＝BGGH＝2，
且P，H，F分別為AC，CD，AD的中點．
連結PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解　由(1)可知MGPH＝BGBH＝23，
∴MG＝23PH．
又PH＝12AD，∴MG＝13AD．
同理NG＝13AC，MN＝13CD．
∴△MNG∽△ACD，其相似比為1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．


第2課時　兩平面垂直的判定

【課時目標】　1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，會求簡單的二面角的大小．2．掌握兩個平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定兩個平面垂直．


1．二面角：一條直線和由這條直線出發的____________所組成的圖形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范圍為________________．
2．平面與平面的垂直
①定義：如果兩個平面所成的二面角是__________，就說這兩個平面互相垂直．
②面面垂直的判定定理
文字語言：如果一個平面經過另一個平面的一條______，那么這兩個平面互相垂直．符號表示：l⊥α　　　?α⊥β．


一、填空題
1．下列命題：
①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；
②異面直線a、b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a、b組成的角與這個二面角的平面角相等或互補；
③二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成角的最小角；
④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關系．
其中正確的是________(填序號)．
2．若平面α與平面β不垂直，那么平面α內能與平面β垂直的直線有________條．
3．設有直線m、n和平面α、β，則下列結論中正確的是________(填序號)．
①若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥β；
②若m⊥n，α∩β＝m，n?α，則α⊥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β．
4．過兩點與一個已知平面垂直的平面有________個．
5．在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿對角線AC折起，使折起后BD＝32，則二面角B－AC－D的大小為________．
6．在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論中成立的是________(填序號)．
①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE；
③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC．
7．過正方形ABCD的頂點A作線段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，則平面ABP與平面CDP所成的二面角的度數是________．
8．如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，圖中互相垂直的平面有________對．

9．已知α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．
以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：____________．

二、解答題
10．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分別為CD、DA和對角線AC的中點．
求證：平面BEF⊥平面BGD．


11．如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝3．
(1)證明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．



能力提升
12．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點，點D在B1C1上，A1D⊥B1C．
求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．

13．如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D、E分別在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求證：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在點E使得二面角A—DE—P為直二面角？并說明理由．


1．證明兩個平面垂直的主要途徑
(1)利用面面垂直的定義，即如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定定理證明面面垂直時的一般方法：先從現有的直線中尋找平面的垂線，若圖中存在這樣的直線，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線則應有理論依據并有利于證明，不能隨意添加．
3．證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現的，因此，在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的的．

第2課時　兩平面垂直的判定 答案

知識梳理
1．兩個半平面　這條直線　每個半平面　0°≤α≤180°
2．①直二面角　②垂線　l?β
作業設計
1．②④
解析　①不符合二面角定義，③從運動的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．
2．0
解析　若存在1條，則α⊥β，與已知矛盾．
3．①③
解析　②錯，當兩平面不垂直時，在一個平面內可以找到無數條直線與兩個平面的交線垂直．
4．1或無數
解析　當兩點連線與平面垂直時，有無數個平面與已知平面垂直，當兩點連線與平面不垂直時，有且只有一個平面與已知平面垂直．
5．60°
解析　

如圖所示，由二面角的定義知∠BOD即為二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝32，
∴∠BOD＝60°．
6．①②④
解析　

如圖所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴①正確．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴②正確．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴④正確．
7．45°
解析　可將圖形補成以AB、AP為棱的正方體，不難求出二面角的大小為45°．
8．5
解析　由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB為二面角D—PA—B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④?②(或②③④?①)
10．證明　∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中點，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)證明　如圖所示，連結BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．
因為E是CD的中點，所以BE⊥CD．

又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因為PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．
(2)解　由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，
則∠PBA＝60°．
故二面角A—BE—P的大小是60°．
12．證明　(1)由E、F分別是A1B、A1C的中點知
EF∥BC．
因為EF?平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1為直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1．
又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．
又因為A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
13．(1)證明　∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC．
(2)解　∵DE∥BC，又由(1)知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP為二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一點E，
使得AE⊥PC．
這時∠AEP＝90°，
故存在點E，使得二面角A—DE—P為直二面角．


第3課時　兩平面垂直的性質

【課時目標】　1．理解平面與平面垂直的性質定理．2．能應用面面垂直的性質定理證明空間中線、面的垂直關系．
3．理解線線垂直、線面垂直、面面垂直的內在聯系．


1．平面與平面垂直的性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內________于它們________的直線垂直于另一個平面．
用符號表示為：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．
2．兩個重要結論：
(1)如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在________________________________________________________________________．
圖形表示為：
符號表示為：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?________．
(2)已知平面α⊥平面β，a?α，a⊥β，那么__________(a與α的位置關系)．


一、填空題
1．平面α⊥平面β，a?α，b?β，且b∥α，a⊥b，則a和β的位置關系是________．
2．已知三條不重合的直線m、n、l，兩個不重合的平面α，β，有下列命題：
①若m∥n，n?α，則m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，則α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，則n⊥α．
其中正確的命題是________(填序號)．
3．若平面α與平面β不垂直，那么平面α內能與平面β垂直的直線有________條．
4．設α－l－β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么下列說法正確的序號為________．
①a與b可能垂直，但不可能平行；
②a與b可能垂直，也可能平行；
③a與b不可能垂直，但可能平行；
④a與b不可能垂直，也不可能平行．

5．如圖，兩個正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，設M、N分別是BD和AE的中點，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE異面．
其中結論正確的是________(填序號)．
6．

如圖所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為π4和π6．過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足分別為A′、B′，則AB∶A′B′＝________．
7．若α⊥β，α∩β＝l，點P∈α，PD/∈l，則下列命題中正確的為________．(只填序號)
①過P垂直于l的平面垂直于β；
②過P垂直于l的直線垂直于β；
③過P垂直于α的直線平行于β；
④過P垂直于β的直線在α內．
8．α、β、γ是兩兩垂直的三個平面，它們交于點O，空間一點P到α、β、γ的距離分別是2 cm、3 cm、6 cm，則點P到O的距離為________ cm．
9．在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在底面ABC上的射影H必在________．


二、解答題
10．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求證：BC⊥AB．

11．如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
(2)求證：AD⊥PB．

能力提升
12．如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E為PA的中點．求證：平面EDB⊥平面ABCD．

13．如圖所示，在多面體P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝45．
(1)設M是PC上的一點，
求證：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求P點到平面ABCD的距離．


1．運用兩個平面垂直的性質定理時，一般需要作輔助線，其基本作法是過其中一個平面內一點在此平面內作交線的垂線，這樣，就把面面垂直轉化為線面垂直或線線垂直．
2．無論從判定還是從性質來看，線線垂直、線面垂直和面面垂直都是密切相關的，面對復雜的空間圖形，要善于發現它們之間的內在聯系，找出解決問題的切入點，垂直關系的轉化為：


第3課時　兩平面垂直的性質 答案

知識梳理
1．垂直　交線　a⊥β
2．(1)第一個平面內　a?α　(2)a∥α
作業設計
1．a⊥β
2．②④
3．0
解析　若存在1條，則α⊥β，與已知矛盾．
4．③
5．①②③
6．2∶1

解析　如圖：
由已知得AA′⊥面β，
∠ABA′＝π6，
BB′⊥面α，∠BAB′＝π4，
設AB＝a，則BA′＝32a，BB′＝22a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝12a，∴ABA′B′＝21．
7．①③④
解析　由性質定理知②錯誤．
8．7
解析　P到O的距離恰好為以2 cm,3 cm,6 cm為長、寬、高的長方體的對角線的長．
9．直線AB上
解析　由AC⊥BC1，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC1，又AC?面ABC，
∴面ABC1⊥面ABC．
∴C1在面ABC上的射影H必在交線AB上．
10．證明　在平面PAB內，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．

又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
11．證明　

(1)連結PG，由題知△PAD為正三角形，G是AD的中點，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，
∴PG⊥BG．
又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．
12．

證明　設AC∩BD＝O，
連結EO，
則EO∥PC．∵PC＝CD＝a，
PD＝2a，
∴PC2＋CD2＝PD2，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD為交線，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．
13．(1)證明　在△ABD中，
∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，
面PAD∩面ABCD＝AD，
BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD．
(2)解　

過P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO為四棱錐P—ABCD的高．
又△PAD是邊長為4的等邊三角形，∴PO＝23．

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