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高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第十章 算法初步與框圖
【知識(shí)圖解】
【方法點(diǎn)撥】
1.學(xué)習(xí)算法要理解算法的含義.明確建立算法就是設(shè)計(jì)完成一件事的操作步驟.一般地說(shuō)，這樣的操作步驟應(yīng)該具有通用性，能處理一類問(wèn)題.
2.掌握算法的三種基本結(jié)構(gòu).順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)是算法的三種基本結(jié)構(gòu).要通.具體實(shí)例了解三種基本結(jié)構(gòu)的使用范圍，通過(guò)流程圖認(rèn)識(shí)它們的基本特征.
3.掌握流程圖的畫法.用流程圖表示算法具有、清晰的特點(diǎn)，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，要予以重視.特別是循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程圖，對(duì)判斷框中的條件與前測(cè)試還是后測(cè)試之間的關(guān)系一定要弄清楚.
4.熟悉建立算法的基本操作程序.建立算法的操作程序一般為：先探尋解決問(wèn)題的方法，并用通俗的語(yǔ)言進(jìn)行表述，再將通俗的算法語(yǔ)言用流程圖直觀表示，最后根據(jù)流程圖選擇適當(dāng)?shù)乃惴ㄕZ(yǔ)句用偽代碼表示算法過(guò)程.


第1課 算法的含義
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
正確理解算法的含義.掌握用自然語(yǔ)言分步驟表達(dá)算法的方法. 高考要求對(duì)算法的含義有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．下列語(yǔ)句中是算法的個(gè)數(shù)為 3個(gè)
①?gòu)臐?jì)南到巴黎：先從濟(jì)南坐火車到北京，再坐飛機(jī)到巴黎；
②統(tǒng)籌法中“燒水泡茶”的故事；
③測(cè)量某棵樹(shù)的高度，判斷其是否是大樹(shù)；
④已知三角形的一部分邊長(zhǎng)和角，借助正余弦定理求得剩余的邊角，再利用三角形的面積公式求出該三角
形的面積.
2．早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀溃? min）、刷水壺（2 min）、燒水（8 min）、泡面（3 min）、吃飯（10 min）、
聽(tīng)廣播（8 min）幾個(gè)步驟.從下列選項(xiàng)中選最好的一種算法 　③　　.
①S1洗臉?biāo)⒀馈�S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽(tīng)廣播
②S1刷水壺、S2燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀馈�S3泡面、S4吃飯、S5聽(tīng)廣播
③S1刷水壺、S2燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀馈�S3泡面、S4吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播
④S1吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播、S2泡面、S3燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀馈�S4刷水壺
3．寫出交換兩個(gè)大小相同的杯子中的液體（A水、B酒）的兩個(gè)算法.
答案：解析：算法1：
S1.再找一個(gè)大小與A相同的空杯子C；
S2.將A中的水倒入C中；
S3.將B中的酒倒入A中；
S4.將C中的水倒入B中，結(jié)束.
算法2：
S1.再找兩個(gè)空杯子C和D；
S2.將A中的水倒入C中，將B中的酒倒入D中；
S3.將C中的水倒入B中，將D中的酒倒入A中，結(jié)束.
注意：一個(gè)算法往往具有代表性，能解決一類問(wèn)題，如，可以引申為：交換兩個(gè)變量的值.
4．寫出求1＋2＋3＋4＋5＋6＋7的一個(gè)算法.
解析：本例主要是培養(yǎng)學(xué)生理解概念的程度，了解解決數(shù)學(xué)問(wèn)題都需要算法
算法一：按照逐一相加的程序進(jìn)行.
第一步　計(jì)算1＋2，得到3；
第二步　將第一步中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加，得到6；
第三步　將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加，得到10；
第四步　將第三步中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加，得到15；
第五步　將第四步中的運(yùn)算結(jié)果15與6相加，得到21；
第六步　將第五步中的運(yùn)算結(jié)果21與7相加，得到28.
算法二：可以運(yùn)用公式1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2 直接計(jì)算.
第一步　取n＝7；第二步　計(jì)算n（n＋1）2 ；第三步　輸出運(yùn)算結(jié)果.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)算法的靈活準(zhǔn)確應(yīng)用和自然語(yǔ)言表達(dá)一個(gè)問(wèn)題的算法的方法.算法不同，解決問(wèn)題的繁簡(jiǎn)程度也不同，我們研究算法，就是要找出解決問(wèn)題的最好的算法.

【范例解析】
例1 下列關(guān)于算法的說(shuō)法，正確的有 .
（1）求解某一類問(wèn)題的算法是惟一的 （2）算法必須在有限步驟操作之后停止
（3）算法的每一操作必須是明確的，不能有歧義或模糊（4）算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果
解 由于算法具有可終止性，明確性和確定性，因而（2）（3）（4）正確，而解決某類問(wèn)題的算法不一定是惟一的，從而（1）錯(cuò).
例2.寫出解方程x2-2x-3=0的一個(gè)算法.
分析 本題是求一元二次方程的解的問(wèn)題，方法很多，下面利用配方法，求根公式法寫出這個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)算法
算法一：
（1）移項(xiàng)，得x2-2x=3； ①
（2）①兩邊同加1并配方，得(x-1)2=4 ②
（3）②式兩邊開(kāi)方，得x-1= 2; ③
（4）解③，得x=3或x=-1.
算法二：（1）計(jì)算方程的判別式，判斷其符號(hào)：
（2）將a=1，b=-2,c= -3,代入求根公式，得
點(diǎn)評(píng) 比較兩種算法，算法二更簡(jiǎn)單，步驟最少，由此可知，我們只要有公式可以利用，利用公式解決問(wèn)題是最理想，合理的算法.因此在尋求算法的過(guò)程中，首先是利用公式.下面我們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)求一般的一元二次方程的ax2+bx+c=0根的算法如下：
(1)計(jì)算 （2）若 （3）方程無(wú)實(shí)根;（4）若 （5）方程根
例3：一個(gè)人帶三只狼和三只羚羊過(guò)河.只有一條船，同船可以容一個(gè)人和兩只動(dòng)物.沒(méi)有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會(huì)吃掉羚羊.
（1）設(shè)計(jì)安全渡河的算法;
（2）思考每一步算法所遵循的相同原則是什么.
解析：（1）S1　人帶兩只狼過(guò)河.
S2　人自己返回.
S3　人帶兩只羚羊過(guò)河.
S4　人帶一只狼返回.
S5　人帶一只羚羊過(guò)河.
S6　人自己返回.
S7　人帶兩只狼過(guò)河.
（2）在人運(yùn)送動(dòng)物過(guò)河的過(guò)程中，人離開(kāi)岸邊時(shí)必須保證每個(gè)岸邊的羚羊數(shù)目要大于狼的數(shù)目.
點(diǎn)評(píng) 這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，生活中解決任何問(wèn)題都需要算法，我們要在處理實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中理解算法的含義，體會(huì)算法設(shè)計(jì)的思想方法.


【反饋演練】：
1．下面對(duì)算法描述正確的一項(xiàng)是 C 　　.
A．算法只能用偽代碼來(lái)描述 B．算法只能用流程圖來(lái)表示
C．同一問(wèn)題可以有不同的算法 D．同一問(wèn)題不同的算法會(huì)得到不同的結(jié)果
解析：自然語(yǔ)言、圖形和偽代碼都可以表示算法，只要是同一問(wèn)題，不同的算法也應(yīng)該有相同的結(jié)果.
2．計(jì)算下列各式中的S的值，能設(shè)計(jì)算法求解的是　①　③.
① ；② ；③
解析：因?yàn)樗惴ú襟E具有“有限性”特點(diǎn)，故②不可用算法求解.
3．已知一個(gè)學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?9，數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?6，外語(yǔ)成績(jī)?yōu)?9，求他的總分和平均成績(jī)的一個(gè)算法為：
第一步　取A＝89，B＝96，C＝99;
第二步　　　　①　　　；
第三步　　　　②　　　；
第四步　輸出D，E.
請(qǐng)將空格部分（兩個(gè)）填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容
答案：①計(jì)算總分D＝A+B+C　②計(jì)算平均成績(jī)E＝
4．寫出1×2×3×4×5×6的一個(gè)算法.
答案：解析：按照逐一相乘的程序進(jìn)行.
第一步　計(jì)算1×2，得到2；
第二步　將第一步中的運(yùn)算結(jié)果2與3相乘，得到6；
第三步　將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相乘，得到24；
第四步　將第三步中的運(yùn)算結(jié)果24與5相乘，得到120；
第五步　將第四步中的運(yùn)算結(jié)果120與6相乘，得到720；
第六步　輸出結(jié)果.
5．已知一個(gè)三角形的三邊邊長(zhǎng)分別為2、3、4，設(shè)計(jì)一個(gè)算法，求出它的面積.
答案：解析：可利用公式
S＝ 求解.
第一步　取a＝2，b＝3，c＝4；
第二步　計(jì)算p＝ ；
第三步　計(jì)算三角形的面積S＝ ；
第四步　輸出S的值.
6. 求1734，816，1343的最大公約數(shù).
分析：三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)分別是每個(gè)數(shù)的約數(shù)，因此也是任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)，也就是說(shuō)三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與第三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù).
解：用“輾轉(zhuǎn)相除法”.
先求1734和816的最大公約數(shù)，
1734=816×2+102；
816=102×8；
所以1734與816的最大公約數(shù)為102.
再求102與1343的最大公約數(shù)，
1343=102×13+17；102=17×6.
所以1343與102的最大公約數(shù)為17，即1734，816，1343的最大公約數(shù)為17.
7. 寫出用二分法求關(guān)于x的方程x2－2＝0的根（精確到0.005）的算法.
第一步 令f(x)=x2-2，因?yàn)閒(1)<0，f(2)>0，所以設(shè)x1=1，x2=2
第二步 令m=(x1+x2)/2，判斷f(m)是否為0，若是，則m為所求，否則，則繼續(xù)判斷f(x1)?f(m)大于0還是小于0.
第三步 若f(x1)?f(m) >0則令x1=m，否則x2=m.
第四步 判斷x1-x2<0.005是否成立？若是則x1、x2之間的任意值均為滿足條件的近似值；否則返回第二步.
點(diǎn)評(píng) .區(qū)間二分法是求方程近似解的常用算法，其解法步驟為
S1　取［a，b］的中點(diǎn)x0=（a+b）/2；
S2　若f(x0)=0，則x0就是方程的根，否則
若f(a)f(x0)>0，則a←x0；否則b←x0；
S3　若a－b
第2課 流程圖
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
了解常用流程圖符號(hào)的意義，能用流程圖表示順序，選擇，循環(huán)這三種基本結(jié)構(gòu)，并能識(shí)別簡(jiǎn)單的流程圖所描述的算法.高考要求對(duì)流程圖有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.算法的三種基本結(jié)構(gòu)是 順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu) .
2.流程圖中表示判斷框的是 菱形框 .
3．根據(jù)題意，完成流程圖填空：
這是一個(gè)輸入兩個(gè)數(shù)，輸出這兩個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值的一個(gè)算法.
請(qǐng)將空格部分填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容
（1） a>b ；（2）　b-a　 　

【范例解析】
例1.已知梯形的上底、下底和高分別為5、8、9，寫出求梯形的面積的算法，畫出流程圖.
解 算法如下
S1 a←5；
S2　b←8；
S3　h←9；
S4　S←（a+b）×h/2；
S5　輸出S.
流程圖為 ：

點(diǎn)評(píng) 本題中用的是順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的基本結(jié)構(gòu).
例2 .設(shè)計(jì)求解不等式ax＋b＞0（a≠0）的一個(gè)算法，并用流程圖表示.
解：第一步 輸入a，b；
第二步
第三步 若a＞0，那么輸出x>x0,否則輸出x流程圖為：

點(diǎn)評(píng) 解決此類不等式問(wèn)題時(shí)，因涉及到對(duì)一次
項(xiàng)系數(shù)的討論一般采用條件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)算法.


【反饋演練】
1．如圖表示的算法結(jié)構(gòu)是 順序 結(jié)構(gòu)．
2．下面的程序執(zhí)行后的結(jié)果是 4，1 .

解析：由題意得 ，故執(zhí)行到第三步時(shí)，把 的值給 ，這時(shí) ，第四步，把 的值給 ，這時(shí) .
3 輸入x的值，通過(guò)函數(shù)y= 求出y的值，
現(xiàn)給出此算法流程圖的一部分，請(qǐng)將空格部分填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容
①　 x　　　　　
②　1≤x<10　　　
③　　3x－11　　

4 如圖所示,給出的是計(jì)算 的值的一個(gè)程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是 i>20 .


5. 給出以下一個(gè)算法的程序框圖（如圖所示）.該程序框圖的功能是 求出a,b,c三數(shù)中的最小數(shù) .


6.根據(jù)下面的算法畫出相應(yīng)的流程圖.
算法：
S1　T←0；
S2　I←2；
S3　T←T+I；
S4　I←I+2；
S5　如果I不大于200，轉(zhuǎn)S3；
S6　輸出T .
答案：解：這是計(jì)算2+4+6+…+200的一個(gè)算法.
流程圖如下：


第3課 算法語(yǔ)句A
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
會(huì)用偽代碼表述四種基本算法語(yǔ)句：輸入輸出語(yǔ)句，賦值語(yǔ)句，條件語(yǔ)句和循環(huán)語(yǔ)句.會(huì)用上述基本語(yǔ)句描述簡(jiǎn)單問(wèn)題的算法過(guò)程.高考要求對(duì)算法語(yǔ)句有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1 .下列賦值語(yǔ)句中，正確的是 （1） .

2．條件語(yǔ)句表達(dá)的算法結(jié)構(gòu)為 ② .
①．順序結(jié)構(gòu) ②．選擇結(jié)構(gòu) ③．循環(huán)結(jié)構(gòu)④．以上都可以
解析：條件語(yǔ)句典型的特點(diǎn)是先判斷再執(zhí)行，對(duì)應(yīng)的是選擇結(jié)構(gòu).
3．關(guān)于 循環(huán)說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ④ .
①．在 循環(huán)中，循環(huán)表達(dá)式也稱為循環(huán)體
②．在 循環(huán)中，步長(zhǎng)為1，可以省略不寫，若為其它值，則不可省略
③．使用 循環(huán)時(shí)必須知道終值才可以進(jìn)行
④． 循環(huán)中 控制結(jié)束一次循環(huán)，開(kāi)始一次新循環(huán)
解析： 循環(huán)中 是指整個(gè)循環(huán)結(jié)束，而不是一次循環(huán)結(jié)束
【范例解析】
例1．試寫出解決求函數(shù)y=x2-1(x<2) -x2+1(x≥2)的函數(shù)值這一問(wèn)題的偽代碼．
解：　　　　Read x
If x<2 Then
y ← x2-1
Else
y ← -x2+1
End If
Print y
點(diǎn)評(píng) 分段函數(shù)問(wèn)題是考查If語(yǔ)句一個(gè)重要的載體，因此，我們要注意此類問(wèn)題可以先根據(jù)語(yǔ)言敘說(shuō)，讓學(xué)生先列出函數(shù)關(guān)系式，再寫出相應(yīng)的偽代碼．
例2.已知S＝5+10+15+…+1500，請(qǐng)用流程圖描述求S的算法并用偽代碼表示.
解 流程圖如下圖所示：


從流程圖可以看出這是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)，我們可以運(yùn)用循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn).
S←5
For I from 10 to 1500 step 5
S←S+I
End For
Print S
點(diǎn)評(píng) 在準(zhǔn)確理解算法的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)循環(huán)語(yǔ)句的使用.循環(huán)語(yǔ)句包括for循環(huán)、While循環(huán).解題時(shí)要根據(jù)需要靈活運(yùn)用.
循環(huán)語(yǔ)句包括if…then，if…then…else，并且if…then…else可以嵌套，解題時(shí)要根據(jù)需要靈活運(yùn)用.
例3. 青年歌手大獎(jiǎng)賽有10名選手參加，并請(qǐng)了12名評(píng)委.為了減少極端分?jǐn)?shù)的影響，通常去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后再求平均分.請(qǐng)用算法語(yǔ)句表示：輸入12名評(píng)委所打的分?jǐn)?shù)ai，用函數(shù)Max(a1,a2,…,a12)和Min (a1,a2,…,a12) 分別求出中ai(i=1,2,…,12)的最大值和最小值，最后輸出該歌手的成績(jī).
解
S←0
For I from 1 to 12
Read ai
S←S+ai
End For
G←(S - Max(a1,a2,…,a12)- Min (a1,a2,…,a12))/10
Print G
【反饋演練】
1.下圖中程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是_____7___________.

2.寫出下面流程圖所表述的算法的功能并用偽代碼表示.
(第2題)
答案：解：輸出兩個(gè)不同的數(shù)中小的一個(gè)數(shù).用偽代碼表示為
Read a，b
If a>b then
Print b
Else
Print a
End if

第4課 算法語(yǔ)句B
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法用循環(huán)語(yǔ)句表示.
2理解“While循環(huán)”和“For循環(huán)”，前者是前測(cè)試的當(dāng)當(dāng)型循環(huán)，后者是在循環(huán)次數(shù)已知時(shí)使用的循環(huán).
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．下列偽代碼中的循環(huán)次數(shù)為 9 ．
s←0
For I from 1 to 25 step 3
s←s+I
End for
Print s
2.要使以下For循環(huán)執(zhí)行20次，循環(huán)變量的初值應(yīng)該是 14 .(For k From To -5 Step -1)
3.下面這段偽代碼的功能 計(jì)算其中小于0數(shù)的個(gè)數(shù) .



4．下面是一個(gè)算法的偽代碼．如果輸出的y的值是20，則輸入的x的值是 2或6 .
解析：若 ，由 ，則 ；若 ，由 ，得 .
【范例解析】
例1.設(shè)計(jì)算法，求 的值.
解 偽代碼：
s←1
For I from 2 to 100

End for
Print s
點(diǎn)評(píng) 本題是連乘求積的問(wèn)題，自然想到用循環(huán)語(yǔ)句設(shè)計(jì)算法，算法的設(shè)計(jì)又帶有靈活性和通用性，熟練地掌握這一類題的解法，對(duì)于解決與此相關(guān)的問(wèn)題有很大幫助.
例3.某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%，試解答下面的問(wèn)題：
（1）寫出該城市人口數(shù)y（萬(wàn)人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）用偽代碼寫出計(jì)算10年以后該城市人口總數(shù)的算法；
（3）用偽代碼寫出計(jì)算大約多少年以后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人.

解：（1）y=100×（1+0.012）x.
（2）10年后該城市人口總數(shù)為y=100×（1+0.012）10.
算法如下：
y←100
t←1.012
For I from 1 to 10
y←y×t
End for
Print y
End
（3）設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬(wàn)人，即100×（1+0.012）x=120.
算法如下：
S←100
I←1.012
T←0
While S<120
S←S×I
T←T+1
End while
Print T
End
【反饋演練】
1．如果執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的 2550 .

3．下圖是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)的算法，下列說(shuō)法中：(1)①是循環(huán)變量的初始化，循環(huán)將要開(kāi)始；(2)②為循環(huán)體；(3)③是判斷是否繼續(xù)循環(huán)的條件；(4)①可以省略不寫．其中正確的的是 ① ② ③ ．
4．在如下程序框圖中，輸入f0(x)=cosx，則輸出的是 cosx ．



5. 當(dāng) x=2 時(shí) ，下面程序運(yùn)行結(jié)果是 15 .

While


End while
Print s
End


6．依據(jù)不同條件，給出下面的流程圖的運(yùn)行結(jié)果：
（1）當(dāng)箭頭a指向①時(shí)，輸出 6 ；
（2）當(dāng)箭頭a指向②時(shí)，輸出 20 .

；
7.已知數(shù)列 中， ，且 ，求這個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng) 的值 .現(xiàn)給出此算法流程圖的一部分，請(qǐng)將空格部分（兩個(gè)）填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容① 2

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