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2.1.2 函數的簡單性質

編輯: 逍遙路關鍵詞: 高中數學來源: 高中學習網

重難點：領會函數單調性的實質，明確單調性是一個局部概念，并能利用函數單調性的定義證明具體函數的單調性，領會函數最值的實質，明確它是一個整體概念，學會利用函數的單調性求最值；函數奇偶性概念及函數奇偶性的判定；函數奇偶性與單調性的綜合應用和抽象函數的奇偶性、單調性的理解和應用；了解映射概念的理解并能區別函數和映射．

考綱要求：①理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義；結合具體函數，了解函數奇偶性的含義；并了解映射的概念；

②會運用函數圖像理解和研究函數的性質．

經典例題：定義在區間（－∞，＋∞）上的奇函數f（x）為增函數，偶函數g（x）在［0，＋∞ )上圖象與f（x）的圖象重合.設a＞b＞0，給出下列不等式，其中成立的是

f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）

　　③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a）　　④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

當堂練習：

1．已知函數f(x)=2x2-mx+3，當時是增函數，當時是減函數，則f(1)等于（）

A．-3　　　　　　B．13 　　　　C．7 　　　　D．含有m的變量

2．函數是（）

A．非奇非偶函數 B．既不是奇函數,又不是偶函數奇函數 C．偶函數 D．奇函數

3．已知函數(1), (2),(3)

(4),其中是偶函數的有（）個

A．1 　　　　　　B．2 　　　　　C．3 　　　　　 D．4

4．奇函數y=f（x）（x≠0），當x∈（0，+∞）時，f（x）=x－1，則函數f（x－1）的圖象為（　）

5．已知映射f:AB,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且對任意的,在B中和它對應的元素是,則集合B中元素的個數是（）

A．4 　　　　　　 B．5　　　　　 C．6 　　　　　 D．7

6．函數在區間[0, 1]上的最大值g(t)是　　　　　　　　　　　．

7．已知函數f(x)在區間上是減函數,則與的大小關系是　　　．

8．已知f(x)是定義域為R的偶函數,當x<0時, f(x)是增函數,若x1<0,x2>0,且,則和的大小關系是．

9．如果函數y=f(x+1)是偶函數，那么函數y=f(x)的圖象關于_________對稱．

10．點(x,y)在映射f作用下的對應點是,若點A在f作用下的對應點是B(2,0),則點A坐標是　．

13. 已知函數,其中，(1)試判斷它的單調性；(2)試求它的最小值．

14．已知函數，常數。

（1）設，證明：函數在上單調遞增；

（2）設且的定義域和值域都是，求的最大值．

13.(1)設f(x)的定義域為R的函數,求證: 是偶函數；

是奇函數.

(2)利用上述結論，你能把函數表示成一個偶函數與一個奇函數之和的形式．

14. 在集合R上的映射:,.

(1)試求映射的解析式;

(2)分別求函數f1(x)和f2(z)的單調區間;

(3) 求函數f(x)的單調區間.

參考答案：

經典例題：

解析：本題可采用三種解法.

方法一：直接根據奇、偶函數的定義．

由f（x）是奇函數得f（－a）=－f（a），f（－b）=－f（b），g（a）=f（a），g（b）=f（b），g（－a）=g（a），g（－b）=g（b）．

∴以上四個不等式分別可簡化為①f（b）＞0；②f（b）＜0；③f（a）＞0；④f（a）＜0.

又∵f（x）是奇函數又是增函數，且a＞b＞0，故f（a）＞f（b）＞f（0）=0，從而以上不等式中①、③成立.故選C.

方法二：結合函數圖象．

由下圖，分析得f（a）=g（a）=g（－a）=－f（－a），f（b）=g（b）=g（－b）=－f（－b）．

從而根據所給結論，得到①與③是正確的.故選C．

方法三：利用間接法，即構造滿足題意的兩個函數模型f（x）=x，g（x）=|x|，取特殊值a、b.如a=2，b=1.可驗證正確的是①與③，故選C．

答案：C

當堂練習：

B ; 2. D ; 3. B ;4. D ;5. A ; 6. ;7. ;

8. >;9. x=-1; 10. ();

11. 解: (1)函數，設時，

，所以在區間上單調遞增；

(2)從而當x=1時，有最小值．

12. 解:（1）任取，，且，，因為，

，，所以，即，故在上單調遞增．

（2）因為在上單調遞增，的定義域、值域都是，

即是方程的兩個不等的正根有兩個不等的正根．

所以，

∴，

∴時，取最大值．

13.解: (1)利用定義易證之； (2)由(1)得=．

14. 解: (1)； (2)當時， f1(x)單調遞減，當時， f1(x)單調遞增；當時， f2(z) 單調遞減，當時， f1(x)單調遞增．

(3) 當和時， f(x)分別單調遞減；

當和分別單調遞增．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.lg566.com/gaozhong/108984.html

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