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　　1．內容和內容解析

　　本節課是高中數學3（必修）第三章概率的第二節古典概型的第一課時，是在學習隨機事件的概率之后，幾何概型之前，尚未學習排列組合的情況下教學的 。古典概型是一種特殊的數學模型，也是一種最基本的概率模型，在概率論中占有相當重要的地位。

　　學好古典概型可以為其它概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些簡單事件的概率，有利于解釋生活中的一些現象與問題。

　　根據本節課的特點，采用引導發現和歸納概括相結合的教學方法，通過提出問題、思考問題、解決問題等教學過程，觀察對比、概括歸納古典概型的概念及其概率公式，再通過具體問題的提出和解決，來激發學生的學習興趣，調動學生的主體能動性，讓每一個學生充分地參與到學習活動中來。

　　2．目標和目標解析

　　（1）了解基本事件的意義

　　（2）理解古典概型及其概率計算公式，

　　（3）會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率

　　（4）會初步應用概率計算公式解決簡單的古典概型問題

　　根據本節課的內容和學生的實際水平，通過模擬試驗讓學生理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，觀察類比各個試驗，歸納總結出古典概型的概率計算公式，體現化歸的重要思想，掌握列舉法，學會運用分類討論的思想解決概率的計算問題。 樹立從具體到抽象、從特殊到一般的哲學觀點，鼓勵學生通過觀察類比提高發現問題、分析問題、解決問題的能力，增強學生數學思維情趣，形成學習數學知識的積極態度。

　　3.重點落實難點突破

　　重點：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率。

　　落實的途徑：

　　（1）通過舉實例的方法，理解古典概型的兩個重要的特征：結果的有限性與等可能性

　　除了教材中擲硬幣與擲骰子外，還可以舉學生身邊的事件，如班級里選班長等

　　（2）通過畫樹形圖和列表的方法，落實古典概型中隨機事件的概率的求解

　　（3）通過變式訓練的方法，提升學生掌握古典概型中隨機事件的概率計算的分析方法

　　難點：如何判斷一個試驗是否為古典概型，弄清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數。

　　突破的方法：

　　（1）在概率的計算上，鼓勵學生嘗試列表和畫出樹狀圖，讓學生感受求基本事件個數的一般方法，從而化解由于沒有學習排列組合而學習概率這一教學困惑；

　　（2）通過正、反兩方面的例子，特別是舉一些破壞了古典概型兩個重要特征的例子，以突破古典概型識別的難點，

　　（3）舉一些數學分支中的古典概型例子，如表面涂色正方體分割成等體積的27個小正方體，從中任取一個，則一面涂色、二面涂色、三面涂色的概率分別為多少？

　　4．教學問題診斷分析

　　在古典概型的概念理解與古典概型的計算中，一是學生不能正確理解等可能性；二是學生不能完整的列舉出基本事件總數和事件A所包含的基本事件數，因此需要用直觀地、描述性的語言暴露老師的思維過程，給學生以具體的指導。

　　初學者對基本事件與隨機事件的聯系與區別存在理解困難，對于基本事件的互斥性比較容易理解，但對于任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和這一特點不知所措，為了突破這一點，教學中可以用類比思想來解決，將集合的“單元素子集”比作基本事件，那么任一其他子集都可以是單元素子集的并集（和）；例3的教學中學生對為什么要把兩個骰子標上記號理解不透，關鍵是不能從實質上把握古典概型中“每個基本事件出現是等可能的”，或者說缺少判斷這一等可能性的意識，為了突破這一點，可以設計一個模擬方式來驗證每個基本事件是否具有等可能性。

　　5．教學支持條件分析

　　學生在教師創設的問題情景中，通過觀察、類比、思考、探究、概括、歸納和動手嘗試相結合，體現學生的主體地位，培養學生由具體到抽象，由特殊到一般的數學思維能力，形成實事求是的科學態度；在教學中利用直觀圖形、計算機模擬、列表、畫樹形圖、用Excel軟件等工具來支持對概率古典定義的理解與運用

　　6．教學過程設計

　　[創設問題情境]

　　問題1：

　　（1）拋擲一枚質地均勻的硬幣，會有哪幾種可能結果？這些結果具有哪些特點？

　　（2）拋擲一枚質地均勻的骰子，會有哪幾種可能結果？這些結果具有哪些特點？事件“出現質數點”可以用這些結果表示嗎？

　　教學設計方式：

　　Ⅰ、傳統教學設計：教師手持一枚硬幣，拋擲，顯示結果，寫出結果，說明結果特點；

　　教師手持一枚骰子，拋擲，顯示結果，寫出結果，說明結果特點；

　　這一問題創設情境方式，簡單、直觀、教學條件與設備要求低，有利于教學資源與條件差的地區，教學理念是以教師引導和傳授為主；

　　Ⅱ、以學生為本的教學設計：學生分小組進行實驗：各小組課前用一枚硬幣或一枚骰子，拋擲n次，記錄試驗結果，在課堂上交流試驗情況，教師匯總結果，并與學生一起討論試驗結果特點；

　　這一問題創設情境方式，簡單、直觀、教學條件與設備要求低，有利于教學資源與條件差的地區，教學理念是以學生自主學習為主，但要利用課余時間，組織工作較多；

　　Ⅲ、以多媒體為手段的教學設計：教師或學生中的“計算機專家”設計一個擲硬幣或擲骰子的軟件，由學生代表操作，顯示結果，寫出結果，說明結果特點；

　　這一問題創設情境方式，需要有現代教學媒介，對于經濟發達地區是可行的，

　　師生互動：拋擲一枚質地均勻的硬幣，有兩種可能結果：正面向上，反面向上；這兩個結果不可能同時發生，即“正面向上”“反面向上”是互斥事件；而且這兩個結果的出現是等可能的；

　　拋擲一枚質地均勻的骰子，會有6種可能結果：出現“1點”“2點”“3點”“4點”“5點”“6點”，這6個結果不可能同時發生，即它們是互斥事件，而且這6個結果的出現是等可能的；事件“出現質數點”可以用“出現2點”“出現3點”“出現5點”的和來表示

　　我們把上述試驗中的隨機事件稱為基本事件，它是試驗的每一個可能結果。

　　基本事件有如下的兩個特點：（1）任何兩個基本事件是互斥的；

　　（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

　　例1、從字母a，b，c，d中任意取出兩個不同字母的試驗中，有哪些基本事件？

　　分析：為了解基本事件，我們可以按照字典排序的順序，把所有可能的結果都列出來。

　　解：基本事件為A={a，b}，B={a，c}，C={a，d}，D={b，c}，E={b，d}，F={c，d}

　　概括：（1）問題1中兩個試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；（有限性）

　　（2）問題1中兩個試驗中每個基本事件出現的可能性相等。（等可能性）

　　我們將具有這兩個特點的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型。

　　概念辨析：

　　問題2、向一個圓面內隨機地投射一個點，如果該點落在圓內任意一點都是等可能的，你認為這是古典概型嗎?為什么？

　　因為試驗的所有可能結果是圓面內所有的點，試驗的所有可能結果數是無限的，雖然每一個試驗結果出現的“可能性相同”，但這個試驗不滿足古典概型的第一個條件。

　　問題3、從一個男女生人數差異性較大的班中隨機地抽取一位學生代表，出現兩個可能結果“男同學代表”“女同學代表”，你認為這是古典概型嗎？為什么？

　　不是古典概型，因為試驗的所有可能結果只有2個，而“男同學代表”“女同學代表”出現不是等可能的，即不滿足古典概型的第二個條件。

　　我們一般用列舉法列出所有基本事件的結果，畫樹狀圖是列舉法中的一種基本方法。

　　例2 、某人射擊5槍，命中了3槍，試寫出所有的基本事件

　　方法一：列舉法：⊙表示命中，X表示未命中

　　方法二：樹形圖

　　問題4、在古典概型下，基本事件出現的概率是多少？隨機事件出現的概率如何計算？

　　問題1（1）中，出現正面朝上概率與反面朝上概率相等，即P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）由概率的加法公式，得P（“正面朝上”）＋P（“反面朝上”）＝P（必然事件）＝1

　　因此 P（“正面朝上”）＝P（“反面朝上”）＝0.5

　　即P（“正面朝上”）=

　　問題1（2）中，出現1―6各個點的概率相等，即

　　P（“1點”）＝P（“2點”）＝P（“3點”）＝P（“4點”）＝P（“5點”）＝P（“6點”）

　　反復利用概率的加法公式，我們有P（“1點”）＋P（“2點”）＋P（“3點”）＋P（“4點”）＋P（“5點”）＋P（“6點”）＝P（必然事件）＝1

　　∴P（“1點”）＝P（“2點”）＝P（“3點”）＝P（“4點”）＝P（“5點”）＝P（“6點”）＝

　　進一步地，利用加法公式還可以計算這個試驗中任何一個事件的概率，例如，P（“出現偶數點”）＝P（“2點”）＋P（“4點”）＋P（“6點”）＝  + +  =

　　根據上述兩則模擬試驗，可以概括總結出，古典概型計算任何事件的概率計算公式為：

　　P（A）==

　　提問：（1）在例1的實驗中，出現字母“d”的概率是多少？

　　P（出現字母d）==

　　（2）在例2中，所命中的三槍中，恰好有2槍連中的概率為多少？

　　P（三槍中兩槍連中）=

　　在使用古典概型的概率公式時，應該注意什么？

　　注意：（1）要判斷該概率模型是不是古典概型；

　　（2）要找出隨機事件A包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數。

　　例3、單選題是標準化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個選項中選擇一個正確答案。如果考生掌握了考察的內容，他可以選擇唯一正確的答案。假設考生不會做，他隨機的選擇一個答案，問他答對的概率是多少？

　　分析：解決這個問題的關鍵，即討論這個問題什么情況下可以看成古典概型。如果考生掌握或者掌握了部分考察內容，這都不滿足古典概型的第2個條件――等可能性，因此，只有在假定考生不會做，隨機地選擇了一個答案的情況下，才可以化為古典概型。

　　解：這是一個古典概型，因為試驗的可能結果只有4個：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D，即基本事件共有4個，考生隨機地選擇一個答案是選擇A，B，C，D的可能性是相等的。從而由古典概型的概率計算公式得：P（答對）==

　　問題5、在標準化考試中既有單選題又有多選題，多選題是從A，B，C，D四個選項中選出所有正確的答案，同學們可能有一種感覺，如果不知道正確答案，多選題更難猜對，這是為什么？

　　答：這是因為多選題選對的可能性比單選題選對的可能性要小；事實上，在多選題中，基本事件有15個，（A）（B）（C）（D）（A，B）（A，C）（A，D）（B，C）（B，D）（C，D）（A，B，C）（A，B，D）（A，C，D）（B，C，D）（A，B，C，D），假定考生不會做，在他隨機選擇任何答案是等可能的情況下，他答對的概率為＜

　　例4、 同時擲兩個骰子，計算：

　　（1）一共有多少種不同的結果？

　　（2）其中向上的點數之和是5的結果有多少種？

　　（3）向上的點數之和是5的概率是多少？

　　分析：如果我們只關注兩個骰子出現的點數和，則有2，3，4，…，11，12這11種結果；

　　如果我們關注兩個不加識別骰子出現的點數，則有下表中的21種結果

　　如果我們把兩個骰子標上記號1，2以便區分，由于1號骰子的結果都可以與2號骰子的任意一個結果配對，我們用一個“有序實數對”來表示組成同時擲兩個骰子的一個結果（如表），其中第一個數表示1號骰子的結果，第二個數表示2號骰子的結果。

　　從表中可以看出同時擲兩個骰子的結果共有36種。

　　值得關注的是第一、二種情形中的結果不是等可能的，不能直接運用古典概型公式計算事件的概率；

　　（2）上面結果中，向上的點數之和為5的結果有4種：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）

　　（3）由于所有36種結果是等可能的，其中向上點數之和為5的結果（記為事件A）有4種，因此，由古典概型的概率計算公式可得

　　P（A）==

　　問題6：為什么要把兩個骰子標上記號？如果不標記號會出現什么情況？你能解釋其中的原因嗎？

　　答：如果不標上記號，類似于（1，2）和（2，1）的結果將沒有區別。這時，所有可能的結果為21種：和是5的結果有2個：（1，4）（2，3），所求的概率為P（A）=

　　以上兩種答案都是利用古典概型的概率計算公式得到的，為什么不同呢？這里關鍵是第二種解法中的基本事件不是等可能發生的，它不能利用古典概型公式來計算。

　　小結：

　　1．古典概型：我們將具有：

　　（1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；（有限性）

　　（2）每個基本事件出現的可能性相等。（等可能性）

　　這樣兩個特點的概率模型稱為古典概率概型，簡稱古典概型。

　　2．古典概型計算任何事件的概率計算公式為：P（A）=

　　3．求某個隨機事件A包含的基本事件的個數和實驗中基本事件的總數常用的方法是列舉法（畫樹狀圖和列表），注意做到不重不漏。

　　7．目標檢測設計

　　（1）從甲、乙、丙三人中任選兩名代表,甲被選中的概率      (    )

　　A 、             B、               C、                 D、

　　（2）盒中有十個鐵釘，其中八個合格，兩個不合格，從中任取一個恰為合格鐵釘的概率（   ）

　　A、              B、               C、                 D、

　　（3）將一個邊長為3的正方體木塊表面涂上紅色，將其切成大小相等的27塊，從中任取一塊，恰有兩個面紅色的概率                    ，至少有兩個面紅色的概率             .

　　（4）若拋擲一次骰子得到的點數m為點M的坐標，則點M落在區間[0，4]外的概率是__

　　變式一：若以連續擲兩次骰子分別得到的點數作為點的坐標，則點落在直線下方的概率是         

　　變式二：若以連續擲三次骰子分別得到的點數,p作為點Q的坐標，則點Q落在以原點為球心，2為半徑的球面內的概率是_____

　　（1.）C.（2）.C.（3.）27個小塊中三面有紅色的有8個頂點；二面有色的有12棱中點；一面紅色的有6個面中心；0面紅色的有1個體中心，∴p1=，p2=4．；；

兩個班教學目標檢測結果分析（古典概型）

13班

14班

利用多媒體輔助教學

僅利用黑板

A（7空全對）

11

20．8%

2

3．7%

B（7空1錯）

20

37．7%

16

29．6%

C（7空2錯）

22

41．5%

36

66．7%

教學時間：2007年9月17日（校內公開課）

　　測試時間：2007年9月17日下午4：00-4：20

　　現象分析：

　　2007年9月17日在必修3第三章古典概型第一節課教學中，設計了兩種教學手段，一種是傳統的一只粉筆打天下的方式，一種是利用多媒體，將備課素材做成PPT，再利用黑板書寫分析過程；兩節課教下來的感覺是，對于數學應用問題的教學，由于教學過程中要使用大量的輔助手段才能講明白一些數學概念，僅運用粉筆教學，書寫量較大，忙于書寫，學生的思維時間較多，教學容量較小，但在數學應用問題中，數學思維量較小，因此課堂容量顯得不夠，檢測結果也說明這一點。

認知結構發展反思表

課題

古典概型（第一課時）

執教者

余繼光

班級

高二（13）

時間

2007．9．17

類

反思問題

具體反思

概念圖的解釋

學生在學習本節內容之前具有的概念圖是怎樣的？

學習古典概率定義之前學生已有二個學段接觸概率概念，一是初中概率概念啟蒙，只是可能性的描述；二是高中概率統計定義的描述

學習完本節內容之后的概念圖又是怎樣的？二者比較，能發現學生的認知結構發生了怎樣的變化？

概率的統計定義與古典定義學習后，對概率概念有了一個較完整的印象，學生既可以通過頻率的穩定值來了解概率，又可以從樣本空間中的基本事件的比來理解概率意義

前后概念圖分析

在前概念圖中存在什么不足，教師怎樣幫助其改進，使之更有利于新的學習過程？

前概念（概率統計定義）在具體問題的研究中不方便，但在理論上作用較大；教師對兩者比較中指明兩概念的差異

后概念圖與教學目標之間還存在什么差距，如何彌補？

后概念（概率古典定義）在具體問題的研究中比較方便，容易計算基本事件具有等可能性且有限性的概率；但后概念在解決基本事件的無限性時無能為力，這為今后學習幾何概型打下基礎

認知分析

本節課采用的是同化還是順應的方式？在不同方式下，認知結構發生了怎樣的變化？如果不能進行同化，也不能進行順應，你是如何幫助學生建立現先行組織者的？

本節課的教學設計是采取同化的方式，由概率的統計定義過渡到古典定義，在問題情境創設時設計多種形式，其中由學習小組先行進行試驗，得出結果，分析結果特征，體現以學生主動學習為本的理念。

為了學生的認知結構不斷的豐富、完善，在平時的教學中采用了哪些方法，比如定期復習、學生定期寫學習報告、測試等？這些方法奏效嗎？

在列舉法學習中，增加一個例子“某人射擊5槍，命中了3槍，試寫出所有的基本事件”，分別用樹形圖與直接列舉法展示思維過程，在平時教學中曾組織數學研究性學習，對培養學生自主學習能力有幫助。

其

　　它

在本節課中最值得記錄的一件事是什么？為什么？

在目標檢測中一個問題“將一個邊長為3的正方體木塊表面涂上紅色，將其切成大小相等的27塊，從中任取一塊，恰有兩個面紅色的概率     ，至少有兩個面紅色的概率     ”不會綜合分析，

通過上述分析，你認為本節課的目標是否達成？標志是什么？

從教學檢測結果看，13班達成度高；14班達成度較低，

教學相長，在本節課中你的收獲是什么？

變式訓練教學反思表

課題

古典概型

執教者

余繼光

班級

高二（14）班

時間

2007．9．17

類

反思問題

具體反思

變式訓練的依據

變式訓練的依據是什么？注重了知識的系統性和整體性了嗎？還是僅僅在外在因素上進行了變化？

概率的古典定義及古典概型的計算是一個重要內容，如何使學生掌握，需要使用變式訓練教學，如從擲硬幣到擲骰子情境的變式，考慮到基本事件這一知識點的系統性與整體性，

這種變式有助于學生理解問題的本質嗎？還是助長了機械訓練？

變式訓練的設計在于養育學生思維習慣，熟悉轉化方法，如關于樹形圖的變式設計是為了學生理解這一方法的本質，

變式訓練的價值

通過變式訓練，學生對這個數學對象的理解深刻了嗎？為什么？

問題（4）的變式設計有助于學生的綜合能力提高

通過變式訓練，學生糾正原有的錯誤理解嗎？

例4的教學中，不同思維的變式將古典概型中學生最容易錯的忽視基本事件的“等可能性”暴露無遺，以引起學生的注意與理解

變式訓練的作用

預設的變式訓練對學生的認知有擴展嗎？

問題（4）將概率與相關數學知識融合，有助于對學生的認知的擴展

此節課變式訓練的類型恰當嗎？如何不妥當，如何調整呢？

問題（4）中變式二設計有些不妥，學生的空間概念較弱，轉化能力也較弱，在檢測后發現了這一點。

其

它

在本節課中最值得記錄的一件事是什么？為什么？

學生在問題（4）的變式（二）中空間概念缺乏，轉化能力較弱，不能將其轉化為m2+n2+p2＜4檢驗

通過上述分析，你認為本節課的目標是否達成？標志是什么？

從教學檢測結果看，13班達成度高；14班達成度較低，

教學相長，在本節課中你的收獲是什么？