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【摘要】鑒于大家對十分關注，小編在此為大家整理了此文“高考數(shù)學沖刺易錯點：導數(shù)及應用”，供大家參考!

本文題目：高考數(shù)學沖刺易錯點：導數(shù)及應用

導數(shù)及應用

一、高考預測

從近幾年考查的趨勢看，本專題考查的重點是導數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性和極值中的應用、導數(shù)在研究方程和不等式中的應用，考查的形式是解答題考查導數(shù)在研究函數(shù)問題中的綜合運用，但常圍繞一些交叉點設計一些新穎的試題，大部分函數(shù)和導數(shù)的基礎試題難度也不大，但少數(shù)函數(shù)的基礎試題難度較大，解答題中的函數(shù)導數(shù)試題也具有一定的難度.

由于該專題的絕大多數(shù)內(nèi)容(除定積分)都是傳統(tǒng)的高中數(shù)學內(nèi)容，在考查上已經(jīng)基本穩(wěn)定(難度穩(wěn)定、考查重點穩(wěn)定、考查的分值穩(wěn)定)，預計2012年基本上還是這個考查趨勢，具體為：以選擇題或者填空題的方式考查導數(shù)的幾何意義的應用，定積分的計算及其簡單應用.以解答題的方式考查導數(shù)在函數(shù)問題中的綜合應用，重點是使用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值以及能夠轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題的不等式和方程等問題，考查函數(shù)建模和利用導數(shù)解模.

導數(shù)及其應用：要掌握好導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性與極值的關系，由于函數(shù)的極值和最值的解決是以函數(shù)的單調(diào)性為前提的，因此要重點解決導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應用，特別是含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性(這是高考考查分類與整合思想的一個主要命題點)，在解決好上述問題后，要注意把不等式問題、方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值進行研究性訓練，這是高考命制壓軸題的一個重要考查點.

二、知識導學

要點1：利用導數(shù)研究曲線的切線

1.導數(shù)的幾何意義：函數(shù) 在 處的導數(shù) 的幾何意義是：曲線 在點 處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數(shù) 對時間 的導數(shù))。

2.求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數(shù) 在點 的導數(shù)，即曲線 在點 處切線的斜率;(2)在已知切點坐標 和切線斜率的條件下，求得切線方程為 。注：①當曲線 在點 處的切線平行于 軸(此時導數(shù)不存在)時，由切線定義可知，切線方程為 ;②當切點坐標未知時，應首先設出切點坐標，再求解。

要點2：利用導數(shù)研究導數(shù)的單調(diào)性 利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導數(shù) ;(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù) 的定義域內(nèi)解(或證明)不等式 >0或 <0。②若已知 的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式 ≥0或 ≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解。

要點3：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

1.在求可導函數(shù)的極值時，應注意：(以下將導函數(shù) 取值為0的點稱為函數(shù) 的駐點可導函數(shù)的極值點一定是它的駐點，注意一定要是可導函數(shù)。例如函數(shù) 在點 處有極小值 =0，可是這里的 根本不存在，所以點 不是 的駐點.(1) 可導函數(shù)的駐點可能是它的極值點，也可能不是極值點。例如函數(shù) 的導數(shù) ，在點 處有 ，即點 是 的駐點，但從 在 上為增函數(shù)可知，點 不是 的極值點.(2) 求一個可導函數(shù)的極值時，常常把駐點附近的函數(shù)值的討論情況列成表格，這樣可使函數(shù)在各單調(diào)區(qū)間的增減情況一目了然.(3) 在求實際問題中的最大值和最小值時，一般是先找出自變量、因變量，建立函數(shù)關系式，并確定其定義域.如果定義域是一個開區(qū)間，函數(shù)在定義域內(nèi)可導(其實只要是初等函數(shù)，它在自己的定義域內(nèi)必然可導)，并且按常理分析，此函數(shù)在這一開區(qū)間內(nèi)應該有最大(小)值(如果定義域是閉區(qū)間，那么只要函數(shù)在此閉區(qū)間上連續(xù)，它就一定有最大(小).記住這個定理很有好處)，然后通過對函數(shù)求導，發(fā)現(xiàn)定義域內(nèi)只有一個駐點，那么立即可以斷定在這個駐點處的函數(shù)值就是最大(小)值。知道這一點是非常重要的，因為它在應用 一般情況下選那個不帶常數(shù)的。因為 .

3.利用定積分來求面積時，特別是位于 軸兩側的圖形的面積的計算，分兩部分進行計算，然后求兩部分的代數(shù)和.

三、易錯點點睛

命題角度 1導數(shù)的概念與運算

1.設 ， , …, ,n∈N,則 ( )

A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx

[考場錯解] 選C

[專家把脈] 由 = , ,f3(x) =(-sinx)’=-cosx, ， ，故周期為4。

[對癥下藥] 選A

2.已知函數(shù) 在x=1處的導數(shù)為3， 的解析式可能為 ( )

A. =(x-1)3+32(x-1) B. =2x+1 C. =2(x-1)2 D. =-x+3

[考場錯解] 選B ∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1x=1=3.

[專家把脈] 上面解答錯誤原因是導數(shù)公式不熟悉，認為(2x+1)’=2x+1.正確的是(2x+1)’=2,所以x=1時的導數(shù)是2，不是3。

=2e-xcosx令f’(x)=0,x=nπ+ (n=1，2，3，…)從而xn=nπ+ 。f(xn)=e-( nπ+ )(-1)n• =-e .

∴數(shù)列{f(xn)}是公比為q=-e-π的等比數(shù)列。

[專家把脈] 上面解答求導過程中出現(xiàn)了錯誤，即(e-x)’=e-x是錯誤的，由復合函數(shù)的求導法則知(e-x)’=e-x(-x)’=-e-x才是正確的。

[對診下藥](1)證明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’ =-e-x(cosx+sinx) +e-x(-sinx+cos)

=-2e-xsinx. 令f’(x)=0得-2e-xsinx=0，解出x=nπ,(n為整數(shù)，從而xn=nπ(n=1,2,3,…)，

f(xn)=(-1)ne-nπ ,所以數(shù)列f(xn)是公比q=-e-π的等比數(shù)列，且首項f(x1)=-e-π

(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1)

aSn=πq(q+2q2+…+nqn)=πq( -nqn)從而Sn= ( -nqn)

∵q=e-π<1 ∴ qn=0,∴

專家會診1.理解導數(shù)的概念時應注意導數(shù)定義的另一種形式：設函數(shù)f(x)在x=a處可導，則 的運用。2.復合函數(shù)的求導，關鍵是搞清復合關系，求導應從外層到內(nèi)層進行，注意不要遺漏3.求導數(shù)時，先化簡再求導是運算的基本方法，一般地，分式函數(shù)求導，先看是否化為整式函數(shù)或較簡單的分式函數(shù);對數(shù)函數(shù)求導先化為和或差形式;多項式的積的求導，先展開再求導等等。

命題角度 2導數(shù)幾何意義的運用

1.曲線y=x3在點(1,1)的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形面積為_________.

[考場錯解] 填2 由曲線y=x3在點(1，1)的切線斜率為1，∴切線方程為y-1==x-1,y=x.所以三條直線y=x,x=0,x=2所圍成的三角形面積為S= ×2×2=2。

[專家把脈] 根據(jù)導數(shù)的幾何意義，曲線在某點處的切線斜率等于函數(shù)在這點處的導數(shù)，上面的解答顯然是不知道這點，無故得出切線的斜率為1顯然是錯誤的。

[對癥下藥] 填 。∵ =3x2 當x=1時f’(1)=3.由導數(shù)的幾何意義知，曲線在點(1，1)處的斜率為3。即切線方程為y-1=3(x-1) 得y=3x-2.聯(lián)立 得交點(2，4)。又y=3x-2與x軸交于( ，0)。∴三條直線所圍成的面積為S= ×4×(2- )= 。

2.設t≠0,點P(t,0)是函數(shù) =x3+ax與g(x)=bx3+c的圖像的一個公共點，兩函數(shù)的圖像在P點處有相同的切線。(1)用t表示a、b、c;(2)若函數(shù)y=f(x)-g(x)在(-1，3)上單調(diào)遞減，求t的取值范圍。

[考場錯解] (1)∵函數(shù) =x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個公共點P(t,0).∴f(t)=g(t) t3+at=bt2+c. ①又兩函數(shù)的圖像在點P處有相同的切線，∴f’(t)=g’(t) 3t3+a=2bt. ②由①得b=t,代入②得a=-t2.∴c=-t3.

[專家把脈] 上面解答中得b=t理由不充足，事實上只由①、②兩式是不可用t表示a、b、c，其實錯解在使用兩函數(shù)有公共點P，只是利用f(t)=g(t)是不準確的，準確的結論應是f(t)=0，即t3+at=0，因為t≠0,所以a=-t2.g(t)=0即bt2+c=0,所以c=ab又因為f(x)、g(x)在(t,0)處有相同的切線，

所以f’(t)=g;(t).即3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此c=ab=-t2•t=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3

(2)解法1 y= -g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).

當y’=(3x+t)(x-t)<0時,函數(shù)y=f(d)-g(x)單調(diào)遞減。 由y’<0,若t<0,則t0,則-

解法2 y= -g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y’=3x2-3tx-t2=(3x+t)(x-t).

成為切點。因此過點A不在曲線，因此根求方程必須先求切點坐標。

[對癥下藥] (1)f’(x)=3ax2+2bx-3，依題意f’(1)=f’(-1)=0

即 解得 a=1,b=0∴f(x)=x3+3x,f’(x)=3x2-3=0.解得x=±1.

又∵x∈(-∞,-1) ∪(1,+∞)f’(x)>0∴f(x)在(-∞,-1)與(1，+∞)上是增函數(shù)。

若x∈[-1,1]時，f’(x) ≤0,故f9x)在[-1，1]上是減函數(shù)。

∴f(-1)=2是極大值。f(1)=-2是極小值。

(2)解：曲線方程為y= =x3-3x,點A(0，16)不在曲線上。設切點M(x0,y0),則點M在曲線上，

∴y0=x30-3x0.因f’(x0)=3x20-3.故切線的方程為y-y0=(3x20-3)(x-x0). ∵點A(0，16)在曲線上，有16-(x20-0)=3(x20-1)(0-x0),化簡得x30=-8，得x0=-2.

專家會診 設函數(shù)y=f(x),在點(x0,y0)處的導數(shù)為f’(x0)，則過此點的切線的斜率為f’(x0),在此點處的切線方程為y-y0=f’(x0)(x-x0).利用導數(shù)的這個幾何意義可將解析幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解。

命題角度 3導數(shù)的應用

1.(典型例題)已知函數(shù) =-x3+3x2+9x+a.(1)求 的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若 在區(qū)間[-2，2]上最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值。

[考場錯解](1) =-3x2+6x+9,令 <0,解得x<-1或x>3,∴函數(shù) 的音調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，-1)(3，+∞)

(2)令 =0,得x=-1或x=3當-20;當x>3時， <0.

∴x=-1,是 的極不值點，x=3是極大值點。∴f(3)=-27+27+27+a=20,∴a=-7. 的最小值為f(-1)=-1+3-9+a=-14.

[專家把脈] 在閉區(qū)間上求函數(shù)的最大值和最小值，應把極值點的函數(shù)值與兩端點的函數(shù)值進行比較大小才能產(chǎn)生最大(小)值點，而上面解答題直接用極大(小)值替代最大(小)值，這顯然是錯誤的。

[專家把脈] 當 >0時， 是減函數(shù)，但反之并不盡然，如 =-x3是減函數(shù)， =3x2并不恒小于0，(x=0時 =0).因此本題應該有 在R上恒小于或等于0。

[對癥下藥] 函數(shù) 的導數(shù)： =3x2+6x-1.

當 =3ax2+6x-1<0對任何x∈R恒成立時， 在R上是減函數(shù)。

①對任何x∈R,3ax2+6x-1<0恒成立， a<0且△=36+12a<0 a<-3.

所以當a<-3時，由 <0對任何x∈R恒成立時， 在R上是減函數(shù)。

②當a=-3時, =-3x3+3x2-x+1=-3(x- )3+ .

由函數(shù)y=x3在R上的單調(diào)性知，當a=-3時， 在R上是減函數(shù)。

③當a>-3時，f’(x)=3ax2+6x-1>0在R上至少可解得一個區(qū)間，所以當a>-3時， 是在R上的減函數(shù)。綜上，所求a的取值范圍是(-∞，-3)。

3.已知a∈R,討論函數(shù) =ex(x2+ax+a+1)的極值點的個數(shù)。

[對癥下藥] =ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]

令 =0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.

(1)當△=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0即a<0或a>4時,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個不同的實根x1、x2,不妨設x1

X (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+ ∞)

F’(x) + 0 - 0 +

F(x) f(x1)有極大值 f(x2)有極小值

即此時f(x)有兩個極值點。

(2)當△=0，即a=0或a=4時，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個相同的實根x1=x2

于是f’(x)=ex(x1-x1)2.故當x0;當x>x1時，f’(x)>0因此f(x)無極值。

(3)當△<0，即00 ,f’(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故f(x)為增函數(shù)，此時f(x)無極值點，因此，當a>4或a<0時，f(x)有兩個極值點，當0≤a≤4時，f(x)無極值點。

4.設函數(shù) =x-ln(x+m)其中常數(shù)m為整數(shù)。(1)當m為何值時， ≥0;(2)定理：若g(x)在[a、b]上連續(xù)，且g(a)與g(b)異號，則至少存在一點x0∈(a、b),使g(x0)=0.試用上述定理證明：當整數(shù)m>1時，方程 =0，在[e-m-m,e2m-m]內(nèi)有兩個實根。

[考場錯解] 令 ≥0,x≥ln(x+m).∴m≤ex-x ∴m取小于或等于ex-x的整數(shù)。

[專家把脈] 上面解答對題意理解錯誤，原題“當m為何值時， ≥0恒成立”，并不是對x的一定范圍成立。因此，m≤ex-x這個結果顯然是錯誤的。

[對癥下藥] (1)函數(shù) =x-ln(x+m),x∈(-m,+ ∞)連續(xù)，且f’(x)=1- ,令f’(x)=0,得x=1-m.當-m1-m時， >0, 為增函數(shù)。

根據(jù)函數(shù)極值判別方法，f(1-m)=1-m為極小值，而且對x∈(-m,+ ∞)都有 ≥f(1-m)=1-m，故當1-m=f( )≥0,即m≤1時， ≥0.即m≤1且m∈Z時， ≥0.

(2)證明：由(1)可知，當整數(shù)m>1時，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又 為連續(xù)函數(shù)，且當m>1時，f(e-m-m)與f(1-m)異號，由所給定理知，存在唯一的x1∈(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而當m>1時，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+ -3m>0.(∵m>1 2m-1>1).

類似地，當整數(shù)m>1時， =x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上為連續(xù)增函數(shù)，且f(1-m)與f(e2m-m) ∵x<10時,V’>0,1036時V’>0.所以，當x=10時V有最大值V(10)=1960cm3

又V(0)=0,V(24)=0所以當x=10時,V有最大值V(10)=1960。所以該窗口的高為10cm，容器的容積最大，最大容積是1960cm3.

專家會診1.證函數(shù) 在(a,b)上單調(diào)，可以用函數(shù)的單調(diào)性定義，也可用導數(shù)來證明，前者較繁，后者較易，要注意若 在(a、b)內(nèi)個別點上滿足 =0(或不存在但連續(xù))其余點滿足 >0(或 <0)函數(shù) 仍然在(a、b)內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減)，即導數(shù)為零的點不一定是增、減區(qū)間的分界點。

2.函數(shù)的極值是在局部對函數(shù)值的比較，函數(shù)在區(qū)間上的極大值(或極小值)可能有若干個，而且有時極小值大于它的極大值，另外， =0是可導數(shù)f(x)在x=x0處取極值的必要而不充分條件，對于連續(xù)函數(shù)(不一定處處可導)時可以是不必要條件。

3.函數(shù)的最大值、最小值，表示函數(shù)f(x)在整個區(qū)間的情況，即是在整體區(qū)間上對函數(shù)值 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 且 則

由 ，解得 或 ; ，解得 或 ; ，解得

的遞增區(qū)間為: 和 ; 遞減區(qū)間為: 又

要 有兩個根,則 有兩解，由函數(shù)的單調(diào)性可得： 。

2、設函數(shù) ， .(Ⅰ)試問函數(shù) 能否在 時取得極值?說明理由;(Ⅱ)若 ，當 時， 與 的圖象恰好有兩個公共點，求 的取值范圍.

【解析】：(Ⅰ) ， 令 ， …… 2分

當 時， ， 在 上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值.所以 在 處無極值.… 4分

(Ⅱ) ， ，令 ， ， ， 或

正 負 正

單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增

與 的圖象恰好有兩個公共點，等價于 的圖象與直線 恰好有兩個交點

或 ………………… 12分

3、已知函數(shù) 的圖象經(jīng)過點 ，曲線在點 處的切線恰好與直線 垂直。(Ⅰ)求實數(shù) 的值;(Ⅱ)若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，求 的取值范圍。

【解析】：(Ⅰ) 的圖象經(jīng)過點 ， 。…2分又 ，則 。由條件知 ，即 。…4分聯(lián)立 解得 6分

(Ⅱ) ， ，令 ，解得 ，或 。…8分

函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 。…10分

則 ，即 …12分

4、已知函數(shù) (Ⅰ)若曲線 在點 處的切線方程為 ,求函數(shù) 解析式;(Ⅱ) 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ) 若對于任意的 ,不等式 在 上恒成立,求 的取值范圍.

對任意的 成立.從而得 所以滿足條件 的取值范圍是 ……….13分

5、若定義在 上的函數(shù) 同時滿足以下條件：① 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù); ② 是偶函數(shù);③ 在 處的切線與直線 垂直. (Ⅰ)求函數(shù) 的解析式;(Ⅱ)設 ，若存在 ，使 ，求實數(shù) 的取值范圍

【解析】：(Ⅰ) ，∵ 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，

∴ ， ( )由 是偶函數(shù)得： ，又 在 處的切線與直線 垂直， ，代入( )得： 即 ....5分

(Ⅱ)由已知得：若存在 ，使 ，即存在 ，使 .

設 ，則 ，.....8分

令 =0，∵ ，∴ ， 當 時， ，∴ 在 上為減函數(shù)，當 時， ，∴ 在 上為增函數(shù)，∴ 在 上有最大值.

又 ，∴ 最小值為 . 于是有 為所求..13分

6、設函數(shù) (Ⅰ) 當 時，求函數(shù) 的極值;

(Ⅱ)當 時，討論函數(shù) 的單調(diào)性.(Ⅲ)若對任意 及任意 ，恒有

成立，求實數(shù) 的取值范圍.

【解析】：(Ⅰ)函數(shù)的定義域為 . 當 時， 2分

當 時， 當 時， 無極大值. 4分

(Ⅱ) 5分

當 ，即 時， 在定義域上是減函數(shù);

當 ，即 時，令 得 或

令 得 當 ，即 時，令 得 或

令 得 綜上，當 時， 在 上是減函數(shù);

當 時， 在 和 單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增;

當 時， 在 和 單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增; 8分

即 .令 ，解得： 或 .

當 時， ，故 的單調(diào)遞增區(qū)間是 .……3分

當 時， ， 隨 的變化情況如下：

[ 極大值 極小值

所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 .……5分

當 時， ， 隨 的變化情況如下：

極大值 極小值

所以，函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 .…7分

(Ⅱ)當 時， 的極大值等于 . 理由如下：當 時， 無極大值.

當 時， 的極大值為 ，…8分

令 ，即 解得 或 (舍)…9分 當 時， 的極大

值為 .……10分因為 ， 所以 .因為 ，所以

的極大值不可能等于 .綜上所述，當 時， 的極大值等于 ……12分

8、已知函數(shù) ( 是自然對數(shù)的底數(shù))(Ⅰ)若對于任意 恒成立，試確定實數(shù) 的取值范圍;(Ⅱ)當 時，是否存在 ，使曲線 在點 處的切線斜率與 在 上的最小值相等?若存在，求符合條件的 的個數(shù);若不存在，請說明理由.

【解析】：(Ⅰ) ①當 時， 在 上單調(diào)遞增，且當 時， ， ，故 不恒成立，所以 不合題意;②當 時， 對 恒成立，所以 符合題意;

③當 時令 ，得 ，當 時， ，當 時， ，故 在 上是單調(diào)遞減，在 上是單調(diào)遞增, 所以 又 ， ，綜上： .

(Ⅱ)當 時，由(2)知 ，

設 ，則 ，

【解析】：(1)

， ，

(Ⅱ) 因為 ，所以 恒成立求 的最小值

令

故 在(2，+∞)上為增函數(shù)

, ,

所以最小值點 滿足 ， ∴

當

∵ ∴

∴

故：

10、已知函數(shù) .(Ⅰ)當 時，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值;(Ⅱ)若存在 ，使 ，求 的取值范圍.

【解析】：(Ⅰ)由 　則 　得

知 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減.-- -----------(4分)

故 .又 ， ，故 .---------------(2分)

(Ⅱ)依題意，只需 ， .則依

①當 時，得 ，知 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減.

故 　得 .---------(3分)

②當 時， ，知 在區(qū)間 上單調(diào)遞減.

不成立.綜上所述，所求 的取值范圍是 ---------------(3分)

11、函數(shù)¦(x)=x2?x?lnx. (Ⅰ)求函數(shù)¦(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)是否存在實數(shù)m,n，同時滿足下列條件①1≤m

【解析】：(Ⅰ) ，…3分 ……5分

所以：遞增區(qū)間是 ，遞減區(qū)間是 ;……6分

(Ⅱ)因為 在 是單調(diào)遞增的，所以當 時， 的值域為 ，所以 在 時的值域是 等價于： 在區(qū)間 上有兩不同解…8分設 ，則 ，

由 得 …10分所以 在 上單調(diào)遞減，在 上遞增，…11分

且 ，所以：存在， .…………………13分

12、設函數(shù) (I)若函數(shù)f(x)在x=1處與直線y= 相切， ①求實數(shù)a，b的值; ②求函數(shù)f(x)在[ 土，e]上的最大值.(II)當b=0時，若不等式f(x)≥m+x對所有的 都成立，求實數(shù)m的取值范圍，

立，則 對所有的 都成立，即 對所有的 都成立，令 為一次函數(shù)， 上單調(diào)遞增 ， 對所有的 都成立 …12分

(注：也可令 對所有的 都成立，分類討論得 對所有的 都成立， ，請根據(jù)過程酌情給分)

13、已知函數(shù) (Ⅰ)求函數(shù) 的極值點;(Ⅱ)若直線 過點 且與曲線 相切，求直線 的方程;(Ⅲ)設函數(shù) 其中 求函數(shù) 在 上的最小值.( )

【解析】：(Ⅰ) >0 1分而 >0 lnx+1>0 > <0 <0 0< < 所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.………………3分

所以 是函數(shù) 的極小值點，極大值點不存在.…………………4分

(Ⅱ)設切點坐標為 ，則 切線的斜率為

所以切線 的方程為 …………6分

又切線 過點 ，所以有

解得 所以直線 的方程為 ………8分

(Ⅲ) ，則 <0 <0 0< < >0 > 所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增.………………9分

當 即 時， 在 上單調(diào)遞增，所以 在 上的最小值為 ……10分

當1<

在 上的最小值為 ………12分

當 即 時， 在 上單調(diào)遞減，

所以 在 上的最小值為 ……13分

綜上，當 時， 的最小值為0;當1

當 時， 的最小值為 ………14分

14、己知函數(shù) (Ⅰ)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)設函數(shù)

是否存在實數(shù)a、b、c∈[0，1]，使得 若存在，求出t的取值范圍;若不存在，說明理由.

得 .…8分③當 時，在 上， ， 在 上單調(diào)遞減，

在 上， ， 在 上單調(diào)遞增， …9分

即 .(*) 由(1)知 在 上單調(diào)遞減，

故 ，而 ，不等式(*)無解. ……11分

綜上所述，存在 ，使得命題成立. …12分

15、已知函數(shù) (Ⅰ)試判斷函數(shù) 的單調(diào)性，并說明理由;(Ⅱ)若 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍;(Ⅲ)求證： .

【解析】：(Ⅰ) 故 在 遞減 …3分

(Ⅱ) 記 ………5分

再令 在 上遞增。

，從而 故 在 上也單調(diào)遞增

………8分

(Ⅲ)方法1： 由(Ⅱ)知： 恒成立，即

令 則 ………10分 ， ， … 12分 疊加得：

…… 14分

方法2：用數(shù)學歸納法證明(略)。

16、已知函數(shù) .(Ⅰ)分別求函數(shù) 和 的圖象在 處的切線方程;(Ⅱ)證明不等式 ;(Ⅲ)對一個實數(shù)集合 ,若存在實數(shù) ,使得 中任何數(shù)都不超過 ,則稱 是 的一個上界.已知 是無窮數(shù)列 所有項組成的集合的上界(其中 是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù) 的最大值.

【解析】：(Ⅰ) ,則 ,且

,所以函數(shù) 和 的圖象在 處的切線方程都是 ……3分

(Ⅱ)令函數(shù) ,定義域是 ，

,

設 ,則 ,

令 ,則 ,

當 時, , 在 上為增函數(shù),

,設 ,則

………10分

由(Ⅱ)知， ,即 ,

所以 ,于是 在 上為減函數(shù).

故函數(shù) 在 上的最小值為 ,所以 的最大值為 ………13分

17、 已知函數(shù) .(Ⅰ)討論函數(shù) 的單調(diào)性;(Ⅱ)對于任意正實數(shù) ，不等式

恒成立，求實數(shù) 的取值范圍;(Ⅲ)求證:當 時，對于任意正實數(shù) ，不等式 恒成立.

構造函數(shù) ，則問題就是要求 恒成立. (9分)

對于 求導得 .

令 ，則 ，顯然 是減函數(shù). 當 時， ，從而函數(shù) 在 上也是減函數(shù).從而當 時， ，即 ，即函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù).當 時，對于任意的非零正數(shù) ， ，進而有 恒成立，結論得證. (12分)

18、設函數(shù) ， .(Ⅰ)當 時，求曲線 在 處的切線方程;(Ⅱ)如果存在 ，使得 成立，求滿足上述條件的最大整數(shù) ;

(Ⅲ)如果對任意的 都有 成立，求實數(shù) 的取值范圍.

【解析】：(Ⅰ)當 時, , , …2分

所以曲線 在 處的切線方程為

(Ⅱ) 使得 成立，等價于 …4分

考慮

0 2

0 - 0 +

遞減 極(最)小值 遞增 1

由上表可知， …………………………7分

所以滿足條件的最大整數(shù) …………8分

(Ⅲ)對任意的 ，都有 ，等價于：在區(qū)間 上，函數(shù) 的最小值不小于 的最大值……9分有(2)知，在區(qū)間 上， 的最大值為

，等價于 恒成立…………………………10分

記 …………………11分

記 由于 ，

，所以 在 上遞減，

當 時， ， 時，

所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 .………4分

(Ⅱ)(法1)對任意的正實數(shù) ，且 ，取 ，則 ，由(1)得 ，

即 ，所以， ①…6分

取 ，則 ，由(1)得 ，

即 ，

所以， ……②.

綜合①②，得 .…………8分

(法2)因為 ，所以，當 時， ;當 時， .

(Ⅲ)對 ，令 ( )，則

，

顯然 ， ，所以 ，

所以 ， 在 上單調(diào)遞減.由 ，得 ，

即 .所以 ， .……10分

所以

. ……12分又由(2)知 ，所以 . .

所以， .……14分

20、已知函數(shù) 的圖象在 處的切線與直線 平行.(Ⅰ)求實數(shù) 的值;(Ⅱ)若方程 在 上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù) 的取值范圍;(Ⅲ)設常數(shù)

，數(shù)列 滿足 ( )， .求證： .

【解析】：(Ⅰ) ， -----3分

(Ⅱ)由(Ⅰ) ，

設 ，得 ，

，

------9分

(Ⅲ)證明：由

當x>0時，

【總結】2013年為小編在此為您收集了此文章“高考數(shù)學沖刺易錯點：導數(shù)及應用”，今后還會發(fā)布更多更好的文章希望對大家有所幫助，祝您在學習愉快!

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