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　　向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系。

　　向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。在本章中，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。

　　一、內(nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

　　本章主要包括平面向量的實(shí)際背景及基本概念、平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容。通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生：

　　1．通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示。

　　2．通過實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義。

　　3．通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義。

　　4．了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。

　　5．了解平面向量的基本定理及其意義。

　　6．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。

　　7．會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算。

　　8．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。

　　9．通過物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。

　　10．體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。

　　11．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。

　　12．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。

　　13．經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力。

　　二、本章內(nèi)容安排

　　本章共安排了5個小節(jié)及2個選學(xué)內(nèi)容，大約需要12個課時，具體分配如下（僅供參考）：

　　2．1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念                           2課時

　　2．2 向量的線性運(yùn)算                                         2課時

　　2．3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示                           2課時

　　2．4 平面向量的數(shù)量積                                       2課時

　　2．5 平面向量應(yīng)用舉例                                       2課時

　　小 結(jié)                                                       2課時

　　本章知識結(jié)構(gòu)如下：

　　1．第一節(jié)包括向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量。

　　教科書首先從位移、力等物理量出發(fā)，抽象出既有大小、又有方向的量──向量，并說明向量與數(shù)量的區(qū)別。然后介紹了向量的幾何表示、有向線向量的長度（模）、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等基本概念。

　　2．第二節(jié)有向量加法運(yùn)算及其幾何意義、向量減法運(yùn)算及其幾何意義、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義等內(nèi)容。

　　教科書先講了向量的加法、加法的幾何意義、加法運(yùn)算律；再用相反向量與向量的加法定義向量的減法，把向量的減法與加法統(tǒng)一起來，并給出向量減法的幾何意義；然后通過向量的加法引入了實(shí)數(shù)與向量的積的定義，給出了實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律；最后介紹了兩個向量共線的條件和向量線性運(yùn)算的運(yùn)算法則。

　　3．第三節(jié)包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量共線的坐標(biāo)表示。

　　平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)。教科書首先通過一個具體的例子給出平面向量基本定理，同時介紹了基底、夾角、兩個向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，給出了平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示，向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算和向量坐標(biāo)的概念，最后給出平面向量共線的坐標(biāo)表示。坐標(biāo)表示使平面中的向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系，這為通過“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問題搭起了橋梁。

　　4．第四節(jié)包括平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角。

　　教科書從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出了平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義，接著介紹了向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律及坐標(biāo)表示。向量數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系了起來，這樣為解決有關(guān)的幾何問題提供了方便，特別能有效地解決線段的垂直問題。

　　5．第五節(jié)包括平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應(yīng)用舉例。由于向量來源于物理，并且兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用。本節(jié)通過幾個具體的例子說明了它的應(yīng)用。

　　6．為了拓展學(xué)生的知識面，使學(xué)生了解向量及向量符號的由來，向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）與幾何圖形形式的關(guān)系，本章安排了兩個“閱讀與思考”：向量幾向量符號的由來，向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）與圖形性質(zhì)。

　　三、編寫中考慮的幾個問題

　　1．突出向量的物理背景與幾何背景

　　教科書特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引入向量概念。在引言中通過日常生活中確定“位置”中的位移概念，說明學(xué)習(xí)向量知識的意義；在2.1節(jié)，通過物理學(xué)中的重力、浮力、彈力、速度、加速度等作為實(shí)際背景素材，說明它們都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科書又利用有向線段給出了向量的幾何背景，并定義了向量的模、單位向量等概念。這樣的安排，可以使學(xué)生認(rèn)識到向量在刻畫現(xiàn)實(shí)問題、物理問題以及數(shù)學(xué)問題中的作用，使學(xué)生建立起理解和運(yùn)用向量概念的背景支持。

　　教科書借助幾何直觀，并通過與數(shù)的運(yùn)算的類比引入向量運(yùn)算，以加強(qiáng)向量的幾何背景。例如，關(guān)于向量的減法，在向量代數(shù)中，常有兩種定義方法，第一種是將向量的減法定義為向量加法的逆運(yùn)算，即如果a+x=b，則x叫做向量b與a的差。這樣，作b－a時，可先在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，再作，則就是b－a。第二種方法是在相反向量的基礎(chǔ)上，通過向量的加法定義向量的減法，即已知、，定義。在這種定義下，作時，可先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，則由向量加法的平行四邊形法則知，。由于，即就是。實(shí)踐表明，中學(xué)生理解第一種定義方法存在困難，但能容易地作出；接受第二種定義方法容易，但作較繁。為便于學(xué)生接受，教科書先類比相反數(shù)給出相反向量，再把定義為，然后借助幾何直觀得出的作法（向量減法的幾何意義）。

　　2．強(qiáng)調(diào)向量作為解決現(xiàn)實(shí)問題和數(shù)學(xué)問題的工具作用。

　　為了強(qiáng)調(diào)向量作為刻畫力、速度、位移等現(xiàn)實(shí)中常見現(xiàn)象的有力的數(shù)學(xué)工具作用，本章特別注意聯(lián)系實(shí)際。特別是在概念引入中加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系。例如，在引入向量的概念時，聯(lián)系了位移、物體在液體中的受力分析、彈簧受力分析等；向量的加法運(yùn)算、平面向量的正交分解、平面向量的數(shù)量積等都與相應(yīng)的物理問題建立聯(lián)系；向量加法的三角形法則和平行四邊形法則與位移的合成、力的合成相聯(lián)系。

　　另外，向量也是解決數(shù)學(xué)問題的好工具，例如，和（差）角的三角函數(shù)公式、線段的定比分點(diǎn)公式、平面兩點(diǎn)間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量為工具進(jìn)行推導(dǎo)；向量作為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，是一個很好的數(shù)形結(jié)合工具，教科書通過“平面幾何中的向量方法”進(jìn)行了介紹，并在第三章用向量方法來推導(dǎo)兩角差的余弦公式。這些處理也都是為了體現(xiàn)向量作為基本的、重要的數(shù)學(xué)工具的地位。

　　3．根據(jù)數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程與學(xué)生的認(rèn)知過程安排內(nèi)容。

　　向量是高中數(shù)學(xué)課程近年來引進(jìn)的新內(nèi)容，為了保證其科學(xué)性，同時又易于被學(xué)生接受，根據(jù)向量知識的發(fā)展過程和學(xué)生的思維規(guī)律，根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)”對向量內(nèi)容的定位，并考慮到學(xué)生在數(shù)及其運(yùn)算中建立起來的經(jīng)驗(yàn)，本章按照如下次序來編排：

　　向量的實(shí)際背景及基本概念→向量的線性運(yùn)算→平面向量基本定理及坐標(biāo)表示→向量的數(shù)量積→向量應(yīng)用舉例。

　　具體的考慮是：

　　（1）借助力、速度、位移等現(xiàn)實(shí)中的常見現(xiàn)象，讓學(xué)生認(rèn)識引進(jìn)向量的必要性，并得出向量是既有大小又有方向的量，給出向量的概念。

　　（2）數(shù)學(xué)中引進(jìn)一個新的量，自然要看看它的運(yùn)算及其運(yùn)算律的問題。向量運(yùn)算可以與我們熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，從中得到啟發(fā)，因此在引進(jìn)向量概念后接著討論向量的線性運(yùn)算（加、減及數(shù)乘）是很自然的。只是要對向量與數(shù)之間不同的地方要非常小心，也即運(yùn)算中除了考慮大小，還要考慮方向問題。這里，為了便于學(xué)生理解，還要借助于物理中力的合成來定義向量的加法。

　　（3）受到數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的啟發(fā)，向量能不能用類似于數(shù)軸上的點(diǎn)的形式來表示呢？根據(jù)這個想法，以向量的加法運(yùn)算為基礎(chǔ)，得出平面向量基本定理，就可以引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示。

　　（4）從運(yùn)算的角度看，自然要研究兩個向量是否可以相乘，如果可以，那么結(jié)果怎樣？還是從向量的物理背景中得到啟發(fā)，可以定義兩個向量的數(shù)量積運(yùn)算，并討論運(yùn)算律問題。

　　至于向量是否可以作其他運(yùn)算，以及如何定義，可以作為懸念留待今后解決。

　　（5）學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用，應(yīng)用的過程中可以加深理解相關(guān)知識，因此安排了“向量的簡單應(yīng)用”。

　　本章內(nèi)容的這種想法，如果能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中明確起來，那么對他們掌握本章內(nèi)容會有很大幫助。

　　這里需要說明的是，向量的坐標(biāo)表示的引入，由于目的不同而有不同的處理方式。高等數(shù)學(xué)教材中，往往采取先介紹向量的概念及各種運(yùn)算，并直接用向量解決有關(guān)幾何問題，然后再引進(jìn)坐標(biāo)，并用向量和坐標(biāo)方法討論空間直線、平面、二次曲面及一般的曲面，其目的是突出向量的工具性。本章為了盡早讓學(xué)生知道處理幾何問題的另兩種方法——向量法和坐標(biāo)法，突出數(shù)形結(jié)合的思想，在平面向量基本定理、平面向量的正交分解后就引進(jìn)向量的坐標(biāo)，并把向量的線性運(yùn)算及向量的共線等用坐標(biāo)表示。

　　4．強(qiáng)調(diào)向量法的基本思想，明確向量運(yùn)算及運(yùn)算律的核心地位。

　　向量具有明確的幾何背景，向量的運(yùn)算及運(yùn)算律具有明顯的幾何意義，因此涉及長度、夾角的幾何問題可以通過向量及其運(yùn)算得到解決。另外，向量及其運(yùn)算（運(yùn)算律）與幾何圖形的性質(zhì)緊密相聯(lián)，向量的運(yùn)算（包括運(yùn)算律）可以用圖形直觀表示，圖形的一些性質(zhì)也可以用向量的運(yùn)算（運(yùn)算律）來表示。例如，平行四邊形是表示向量加法和減法的幾何模型，而向量的加法及其交換律（a+b=b+a）又可以表示平行四邊形的性質(zhì)（在平行四邊形AB∥CD中，AD∥BC，AB∥CD，△ABD ）。這樣，建立了向量運(yùn)算（包括運(yùn)算律）與幾何圖形之間的關(guān)系后，可以使圖形的研究推進(jìn)到有效能算的水平，向量運(yùn)算（運(yùn)算律）把向量與幾何、代數(shù)有機(jī)地聯(lián)系在一起。

　　幾何中的向量方法與解析幾何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來代替解析幾何中的“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”。這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量，對這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論，然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果。如果把解析幾何的方法簡單地表述為

　　[形到數(shù)]——[數(shù)的運(yùn)算]——[數(shù)到形]，

　　則向量方法可簡單地表述為

　　[形到向量]——[向量的運(yùn)算]——[向量和數(shù)到形]。

　　教科書特別強(qiáng)調(diào)了向量法的上述基本思想，并根據(jù)上述基本思想明確提出了用向量法解決幾何問題的“三步曲”。為了使學(xué)生體會向量運(yùn)算及運(yùn)算律的重要性，教科書注意引導(dǎo)學(xué)生在解決具體問題時及時進(jìn)行歸納，同時還明確使用了“因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限；如果沒有運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo)”的提示語。

　　5．通過與數(shù)及其運(yùn)算的類比，向量法與坐標(biāo)法的類比，建立相關(guān)知識的聯(lián)系，突出思想性。

　　向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算既有區(qū)別又有聯(lián)系，在研究的思想方法上可以進(jìn)行類比。這種類比可以打開學(xué)生討論向量問題的思路，同時還能使向量的學(xué)習(xí)找到合適的思維固著點(diǎn)。為此，教科書在向量概念的引入，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算等內(nèi)容的展開上，都注意與數(shù)及其運(yùn)算（加、減、乘）進(jìn)行類比。

　　例如，向量概念的引入用了這樣一段話：

　　我們可以從一支筆、一棵樹、一本書……抽象出只有大小的數(shù)量“1”。類似地，我們可以對力、位移……這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，形成一種新的量。

　　又如，在學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算及運(yùn)算律時，也是從數(shù)談起的：“數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算而使數(shù)的威力無窮。與數(shù)的運(yùn)算類比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？”“數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法。”“數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系，運(yùn)算律可以有效地簡化運(yùn)算。類似的，向量的加法是否也有運(yùn)算律呢？”“我們知道，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。向量的減法是否也有類似的法則？”……

　　再如，在向量的坐標(biāo)表示中，先提出問題：“在平面直角坐標(biāo)系中，每一個點(diǎn)都可用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示。對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的每一個向量，如何表示呢？”然后再利用平面向量基本定理得出向量的坐標(biāo)表示，并把向量（有向線段）的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)對應(yīng)起來，實(shí)現(xiàn)向量的運(yùn)算到數(shù)的運(yùn)算的轉(zhuǎn)化。

　　6．用恰時恰點(diǎn)的問題引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

　　本章充分利用“觀察”“思考”“探究”等欄目設(shè)置了大量問題，教科書通過這些問題來啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識的形成過程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。例如，引進(jìn)向量加法運(yùn)算時，通過“探究”欄目，創(chuàng)設(shè)從力的合成到向量加法的問題情景；討論向量加法的運(yùn)算律時，提出“數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，向量的加法是否也滿足交換律與結(jié)合律？請畫圖進(jìn)行探索。”在討論向量數(shù)乘運(yùn)算時，先提出“已知非零向量a，作出a+a+a和（－a）＋（－a）＋（－a）。你能說明它們的幾何意義嗎？”平面向量基本定理的引入，先讓學(xué)生思考“給定平面內(nèi)任意兩個向量，請作出向量3e1+2e2，e1－2e2。平面內(nèi)任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢？”引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象，概括出平面向量基本定理。

　　四、對本章教學(xué)的幾個建議

　　1．引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型的觀點(diǎn)看待向量內(nèi)容

　　在向量概念的教學(xué)中，要利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、其他學(xué)科的相關(guān)知識，創(chuàng)設(shè)豐富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成與分解，物體受力做功等，通過這些實(shí)例是學(xué)生了解向量的物理背景、幾何背景，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識向量作為描述現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)模型的作用。同時還要通過解決一些實(shí)際問題或幾何問題，使學(xué)生學(xué)會用向量這一數(shù)學(xué)模型處理問題的基本方法。

　　2．加強(qiáng)向量與相關(guān)知識的聯(lián)系性，使學(xué)生明確研究向量的基本思路

　　向量既是代數(shù)的對象，又是幾何的對象。作為代數(shù)對象，向量可以運(yùn)算，而且正是因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的威力才得到充分的發(fā)揮；作為幾何對象，向量可以刻畫幾何元素（點(diǎn)、線、面），利用向量的方向可以與三角函數(shù)發(fā)生聯(lián)系，通過向量運(yùn)算還可以描述幾何元素之間的關(guān)系（例如直線的垂直、平行等），另外，利用向量的長度可以刻畫長度、面積、體積等幾何度量問題。教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)充分關(guān)注到向量的這些特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的聯(lián)系中學(xué)習(xí)本章知識。

　　值得特別注意的是，在本章的教學(xué)之初，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過與數(shù)及其運(yùn)算的類比，體會研究向量的基本思路，在學(xué)完本章內(nèi)容后，還要引導(dǎo)學(xué)生反思，重新概括研究思路，這樣可以使學(xué)生體會數(shù)學(xué)中研究問題的思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

　　3．引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會向量法的思想實(shí)質(zhì)

　　向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性，用它研究問題時可以實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合，因而向量方法是幾何研究的一個有效的強(qiáng)有力工具。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真體會通過建立向量及其運(yùn)算（運(yùn)算律）與幾何圖形之間的關(guān)系，利用向量的代數(shù)運(yùn)算研究幾何問題的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：

　　（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

　　（2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；

　　（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。

　　其中，由于向量的數(shù)量積集距離和角這兩個刻畫幾何元素（點(diǎn)、線、面）之間度量關(guān)系的基本量于一身，因而它在解決幾何問題中的作用更大，應(yīng)當(dāng)通過適當(dāng)?shù)膯栴}引起學(xué)生的注意。

　　4．注意與數(shù)及其運(yùn)算、解析幾何的思想方法的類比

　　前已指出，向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算可以類比，這種類比使學(xué)生體會向量研究中的問題與方法，使向量的學(xué)習(xí)有一個好的思維固著點(diǎn)。這樣的類比是教學(xué)中提高思想性的有效手段，因此教學(xué)中應(yīng)當(dāng)予以充分的關(guān)注。另外，從思想實(shí)質(zhì)來說，向量法與解析法是完全一致的，教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)學(xué)2中歸納的解析法的“三步曲”，然后讓學(xué)生自己概括出向量法的“三步曲”。

　　順便指出，作為向量數(shù)量化依據(jù)的平面向量基本定理，教科書是通過具體的例子來說明同一平面內(nèi)任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合，這種表示是學(xué)生所不熟悉的。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分用好具體例子，使學(xué)生形成對基本定理的直觀理解，但不要加以證明。在進(jìn)入平面向量的坐標(biāo)表示以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算后，可以引導(dǎo)學(xué)生通過例題，在解決線段的定比分點(diǎn)、平移、平面上兩點(diǎn)之間的距離等問題的過程中，使學(xué)生看到結(jié)果與在數(shù)學(xué)2中得到的一樣，從而進(jìn)一步體會平面向量基本定理的內(nèi)涵。