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　　函數是刻畫客觀世界變化規律的數學模型，不同的變化規律應當用不同的函數來刻畫。三角函數是描述客觀世界中周期性變化規律的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要作用，它是學生在高中階段學習的又一類重要的基本初等函數。本章中，學生將在數學1中學習函數概念與基本初等函數I的基礎上，學習三角函數及其基本性質，體會三角函數在解決具有周期變化規律的問題中的作用．通過本章的學習，學生將進一步加深對函數概念的理解，提高用函數概念解決問題的能力。

　　一、內容與課程學習目標

　　本章的學習內容是三角函數及其基本性質。通過本章學習，要引導學生：

　　1．了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化；

　　2．借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義；

　　3．借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式（的正弦、余弦、正切），能畫出y=sin x，y=cos x，y=tan x的圖象，了解三角函數的周期性；

　　4．借助圖象理解正弦函數、余弦函數在，正切函數在上的性質（如單調性、最大和最小值、圖象與x軸交點等）；

　　5．理解同角三角函數的基本關系式：sin2x+cos2x=1，；

　　6．結合具體實例，了解的實際意義；能借助計算器或計算機畫出的圖象，觀察參數A對函數圖象變化的影響；

　　7．會用三角函數解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型。

　　二、內容安排

　　本章共安排了6個小節以及兩個選學內容，教學時間約需16課時，大體分配如下（僅供參考）：

　　1.1 任意角和弧度制                                       約2課時

　　1.2 任意角的三角函數                                     約3課時

　　1.3 三角函數的誘導公式                                   約2課時

　　1.4 三角函數的圖象與性質                                 約4課時

　　1.5 函數y=Asin( φ)的圖象                              約2課時

　　1.6 三角函數模型的簡單應用                               約2課時

　　小結      　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 約1課時

　　本章知識結構如下：

　　1．本章學習的認知基礎主要是幾何中圓的性質、相似形的有關知識，在數學1中建立的函數概念，以及指數函數、對數函數的研究經驗；主要的學習內容是三角函數的概念，圖象與性質，以及三角函數模型的簡單應用；單位圓是研究三角函數的重要工具，借助它的直觀，可以使學生更好地理解三角函數的概念和性質，因此三角函數的學習可以幫助學生更好地體會數形結合思想；三角函數作為描述周期現象的重要數學模型，與其他學科（特別是物理、地理）有緊密聯系，因此本章的學習可以培養學生的數學應用能力。

　　2．為了加強三角函數學習的目的性，本章采用月相變化圖和簡諧運動圖的組合作為章頭圖，并以“大到宇宙天體運行，小到質點的運動，現實世界中具有周期性變化的現象無處不在”為開篇語，再在章前引言中明確提出“三角函數是刻畫周期性變化規律的數學模型”。這樣的安排使得三角函數的作用體現得更加清楚，也能使學生更加明確學習三角函數的意義。

　　3．任意角的三角函數可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點。過去習慣于用角的終邊上點的坐標的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現出從銳角三角函數到任意角的三角函數的推廣，有利于引導學生從自己已有認知基礎出發學習三角函數，但它對準確把握三角函數的本質有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應關系與學生熟悉的一般函數概念中的“數集到數集”的對應關系有沖突，而且“比值”需要通過運算才能得到，這與函數值是一個確定的實數也有不同，這些都會影響學生對三角函數概念的理解。

　　本章利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數、余弦函數。

　　如圖1，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么

　　y叫做α的正弦，記作sinα，即

　　sinα=y；

　　x叫做α的余弦，記作cosα，即

　　cosα=x。

　　圖1

　　這個定義清楚地表明了正弦、余弦函數中從自變量到函數值之間的對應關系，也表明了這兩個函數之間的關系。另外，如果α是弧度數，即∠xOP=αrad，那么正弦、余弦函數就是關于任意實數α的函數，這時的自變量和函數值都是實數，這就與數學1中給出的一般函數概念完全一致了。事實上，在弧度制（這是一種用半徑來度量角的方法）下，角度和長度的單位是統一的，正是這種單位的統一，使得我們可以這樣來描述這兩個函數的對應關系：

　　把實數軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數軸上的任意一個實數（點）t被纏繞到單位圓上的點P（cost，sint）。

　　基于上述理由，我們認為這樣的定義可以更好地反映三角函數的本質，也正是三角函數的這種形式決定了它們在數學（特別是應用數學）中的重要性。事實上，后續的內容，特別是在微積分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函數。

　　另外，這樣的定義使得三角函數所反映的數與形的關系更加直接，數形結合更加緊密，這就為后續內容的學習帶來方便，也使三角函數更加好用了。例如從定義可以方便地推導同角三角函數的關系式、誘導公式、和（差）角公式，而且為公式的記憶提供了圖形支持；單位圓為討論三角函數的性質提供了很好的直觀載體，我們可以借助單位圓，直接從定義出發討論三角函數的性質……

　　當然，這個定義與人們熟悉的用角的終邊上點的坐標的“比值”來定義是等價的，這正是教科書在1.2.1中安排例2的原因。

　　4．三角函數的誘導公式過去是從求三角函數值引入的，把，，，的三角函數與α的三角函數關系作為誘導公式，并且把關于的誘導公式作為和（差）角公式的推論給出。本教科書改變了這種做法。教科書借助單位圓，先引導學生討論了這些角的終邊與角α的終邊之間的對稱關系，然后根據三角函數定義導出所有誘導公式。這樣，既能很好地反映誘導公式的本質（圓的對稱性的代數表示），又使它們成了一個有機的整體。另外，去掉了關于的誘導公式（因為它與－α的誘導公式等價），增加了的誘導公式。為了使學生盡快熟悉并形成使用弧度制的習慣，在誘導公式中全部采用了弧度制。

　　5．正弦、余弦函數按照從函數的定義到作函數圖象再到討論函數性質最后到函數模型應用的順序展開，三角恒等變換不再穿插其中，這一順序與研究其他函數的順序一致，使得三角函數的研究更加簡潔．另外，把周期性作為第一條性質，目的是為了體現它的重要性。正切函數先利用誘導公式、單位圓討論性質，然后再利用性質作圖象，這樣做的目的是為了使學生體會可以從不同角度討論函數性質。

　　6．對函數圖象的研究，由于涉及的參數有3個，因此本章采取先討論某個參數對圖象的影響（其余參數相對固定），再整合成完整的問題解決的方法安排內容，具體線索如下：

　�。�1）探索φ對y＝sin(x+φ)的圖象的影響；

　�。�2）探索ω對y＝sin(ωx+φ)的圖象的影響；

　　（3）探索A對y＝Asin(ωx+φ)的圖象的影響；

　　（4）上述三個過程的合成。

　　在對上述四個問題的具體討論中，先讓學生對參數賦值，形成對圖象變化的具體認識，然后再推廣到一般情形。

　　這樣安排既分散了難點，又使學生形成清晰的討論線索，從中能使學生學習到如何將復雜問題分解為簡單問題并“各個擊破”，然后整合為整個問題的解決的思想方法，培養有條理地思考的習慣，有利于培養學生的邏輯思維能力。

　　7．“三角函數模型的簡單應用”是一個新增內容，主要以舉例的方式說明三角函數模型的應用方法。選擇的問題包括：

　�。�1）用已知的三角函數模型解決問題；

　�。�2）將復雜的函數模型轉化為等基本初等函數解決問題；

　�。�3）根據問題情景建立精確的三角函數模型解決問題；

　�。�4）通過數學建模，利用數據建立擬合函數解決實際問題。

　　安排本節內容的目的是要讓學生感受到三角函數在解決具有周期變化規律的問題中的作用，體驗三角函數與日常生活和其他學科的聯系，以使學生體會三角函數的價值和作用，增強應用意識，同時還要使學生加深理解有關知識。在安排內容時，特別注意了數學應用過程的完整性，加強了對問題情景和解題思路的分析，以及解題后的反思這兩個環節。這樣做可以保持數學應用中的數學思維水平，提高學生對相應的思想方法的認知層次，培養學生良好的解題習慣。

　　三、編寫中考慮的幾個問題

　　1．加強幾何直觀，強調數形結合思想。

　　從三角函數的定義方法可以看出，三角函數及其性質與圓有著直接的聯系。事實上，任意角、任意角的三角函數，三角函數的性質（周期性、單調性、最大值、最小值等），同角三角函數的關系式，誘導公式，三角函數的圖象等，都可以借助單位圓得到認識，這也是人們也把三角函數稱作“圓函數”的原因。因此，在三角函數的研究中，借助單位圓進行幾何直觀是非常重要的手段，而且這也是使學生領會數形結合思想，學會數形結合地思考和解決問題的好機會。

　　為了發揮單位圓在幾何直觀中的作用，教科書在引進弧度制時就滲透了單位圓概念，并在講三角函數概念之前給出單位圓概念，然后直接由單位圓引出三角函數定義。在后續內容的處理中，始終以單位圓作為一個載體。

　　例如三角函數的誘導公式的推導，教科書引導學生利用單位圓的對稱性，通過討論單位圓上對稱點的坐標的關系來發現誘導公式，使得誘導公式二~公式六都與單位圓上的對稱圖形（即角的終邊的對稱性）聯系在一起，從而使這五組公式形成一個有機整體．

　　數形結合的思想表現在由數到形和由形到數兩個方面。教科書在討論三角函數的圖象和性質時，一方面從函數的圖象和單位圓中的三角函數線兩個角度出發來研究正弦函數、余弦函數的性質，另一方面又在討論正切函數性質的基礎上再研究函數的圖象．

　　2．強調三角函數作為刻畫現實世界周期變化現象的數學模型的思想。

　　教科書在開篇語中通過列舉大量現實世界中的周期變化現象，并提出現實問題中不同的變化規律需要不同的函數來刻畫，而三角函數就是刻畫周期變化規律的數學模型，這樣可以使學生在三角函數的學習之初就明確三角函數的地位作用。在研究三角函數的圖象、性質時，盡量結合物理中的簡諧運動等典型實例。為了加強數學模型思想，教科書專門設置了“三角函數模型的簡單應用”一節，通過典型實例，引導學生經歷分析實際問題、建立三角函數模型、用三角函數模型解決問題的基本過程，以使學生更好地體會三角函數在解決周期變化現象時的作用，例如本節的例4由給出的潮起潮落的變化數據，通過作散點圖，選擇函數模型，建立函數模型，并用得到的函數模型解決有關問題，就是一個比較完整的建立三角函數模型解決實際問題的過程。通過這樣的例子，可以使學生用三角函數刻畫周期現象的過程與方法。

　　另外，本章突出了對三角函數及其性質的研究這條主線，對于其他一些細節，例如求函數的定義域、值域，用同角三角函數的基本關系式、誘導公式進行恒等變形等等，都作了淡化處理．

　　3．通過問題引導學生主動思維，使學生得到思維訓練

　　為了引導學生主動思考，教科書利用“觀察”“思考”“探究”等欄目設置了大量問題。這些問題有的是從刻畫實際問題的需要而產生的，例如任意角概念的引入，三角函數圖象及其性質的研究，函數的圖象的研究等，更多的是從數學發展內部提出的，例如用單位圓上點的坐標定義三角函數后，自然要提出圓的性質與三角函數性質之間關系的問題，而這個問題恰好是討論同角三角函數之間的關系、誘導公式以及三角函數的圖象與性質的出發點：同角三角函數的關系與單位圓中直角三角形；誘導公式與圓的對稱性；三角函數的周期性與圓周長；三角函數的單調性與單位圓中有向線段的變化規律……總之，教科書利用知識的發生發展過程來自然地提出問題，引導學生層層深入地進行思考，可以使學生得到思維方法上的訓練。

　　類比、聯系、推廣、化歸等是數學研究中的常用方法，本章努力引導學生學習這些方法。例如，通過類比長度、重量的不同度量單位引入弧度制；聯系一般函數性質的研究思路引出研究三角函數性質的思路；從單位圓上點的坐標表示銳角三角函數推廣到任意角的三角函數定義；研究函數的圖象，按照y=sinx──y=sin(x+φ)──y=sin( φ)──的線索展開，體現了從簡單到復雜、由特殊到一般的化歸方法．

　　對于那些可以直接類比或經過簡單推論就可以得出的結論，教科書利用“思考”“探究”欄目，通過“留白”的方式讓學生自己思考探究而得出結果．例如，特殊角的角度與弧度的關系表；三角函數的定義域，三角函數值的符號；余弦函數性質的研究；由y=sinx的圖象到的圖象，等等。

　　4．適當使用信息技術

　　在本章，信息技術的使用在如下幾個方面得到體現：一是利用信息技術工具進行角度制、弧度制的單位互換，求三角函數值，作函數圖象等；二是利用信息技術研究問題；三是利用“信息技術使用”欄目提供彈性內容。例如，在利用計算機通過單位圓中的三角函數線作函數圖象時，將三角函數的定義、單位圓中的三角函數線、三角函數圖象等諸方面緊密聯系在一起，并通過角的變化，將這種聯系直觀地、動態地表現出來；在三角函數模型的應用中，既強調了信息技術工具對數據處理的必要性，又突出了信息技術工具在函數作圖中的優勢，還提出了利用信息技術進行函數的擬合；與算法聯系，設置了“用信息技術制作三角函數表”，等等．

　　考慮到我國各地在數學教學中使用信息技術的不平衡性，教科書在使用信息技術上采取了彈性處理，即在適宜使用信息技術的地方，采用邊空注釋的方法，對信息技術的使用作出提示或說明。

　　四、對教學的幾個建議

　　1．準確把握教學要求。

　　與以往的三角函數內容相比較，本章加強了三角函數作為刻畫現實世界的數學模型，借助單位圓理解三角函數的概念、性質，以及通過建立三角函數模型解決實際問題等�！皹藴省睂θ�角函數內容的削減比較多，課時量也減少了，本章嚴格按照這種要求，刪減了任意角的余切、正割、余割，三角函數的奇偶性，已知三角函數求角，反三角函數符號，將對三角函數周期性的一般討論作為選學內容。另外，任意角概念，弧度制概念，同角三角函數的基本關系式，誘導公式等都降低了要求。這樣的處理，把重點放在使學生理解三角函數及其基本性質，體會三角函數在解決具有周期變化規律的問題中的作用上，而對一些細枝末節的內容不再作過多要求。教學時應當把握好這種變化，遵循“標準”所規定的內容和要求，不要隨意補充已被刪減的知識點，也不要引進那些繁瑣的、技巧性高的變換題目（例如求定義域、值域；已知，求α的其他三角函數值；用誘導公式進行復雜變換的問題等）。

　　2．加強相關知識的聯系性，強調數學思想方法。

　　由于周期現象在現實中廣泛存在，例如單擺運動、彈簧振子、圓周運動、交流電、音樂、潮汐、波浪、四季變化、生物鐘等，因此它是物理、地理、生物、天文等其他學科研究的對象，這樣，本章內容與其他學科有緊密聯系。從數學內部來說，三角函數的概念、性質與圓的知識有緊密聯系，在整個三角函數內容的討論中，單位圓發揮了關鍵作用。因此教學中應充分利用學生的生活經驗、其他學科的知識以及關于圓的性質方面的知識，使三角函數的學習建立在豐富的背景上。

　　從數學思想方法看，本章重點是數學模型思想和數形結合思想。教學中應當充分利用章引言提供的情景，引導學生從“刻畫周期現象的數學模型”的角度來認識三角函數，使學生從學習之初就建立起從數學模型的角度看三角函數的意識。在此基礎上，要充分注重運用三角函數模型解決實際問題的教學，使學生經歷運用三角函數模型描述周期現象、解決實際問題的全過程。

　　前已指出，本章討論的內容都可以用單位圓作為直觀工具。因此，為了更好地體現數形結合思想，教學中要充分發揮單位圓的作用，并且要注意逐漸使學生形成用單位圓討論三角函數問題的意識和習慣，引導學生自主地用單位圓探索三角函數的有關性質，提高分析和解決問題的能力。

　　三角函數是學生在高中階段系統學習的又一個基本初等函數，教學中應當注意引導學生以數學1中學到的研究函數的方法為指導來學習本章知識，即要結合三角函數引導學生進一步理解集合與對應觀點下的函數概念，函數中研究的基本問題和基本思路（根據刻畫現實中周期現象的需要，引進三角函數來描述周期性變化的規律；在遇到一個新的函數時，總要看看它的圖象、單調性、有沒有特殊取值等等），這樣可以使學生學習在高觀點指導下進行數學學習與研究的思想方法，這對提高學生在學習過程中的數學思維水平是非常有幫助的。同樣的，在討論 的圖象時，實際上涉及函數變換與圖象變換（圖象的平移、伸縮與函數變換的關系），需要數形結合思想的指導，雖然教師不一定要明確地向學生指出，但教學時還是要注意滲透．

　　3．恰當使用信息技術

　　在下列內容的教學中，應積極鼓勵學生使用計算器或計算機，以加強知識的發生發展過程，加深對有關概念的認識，突破學習中可能遇到的困難。

　　（1）終邊相同的角的概念的認識；

　�。�2）弧度制的認識，弧度與角度的互化，非特殊角的三角函數值的計算，sin-1，cos-1，tan-1的使用；

　　（3）任意角的三角函數的定義，用三角函數線表示正弦、余弦和正切函數；

　　（4）畫三角函數的圖象，用三角函數的圖象研究三角函數的性質；

　　（5）畫函數y=Asin( φ)的圖象，探索A、ω、φ對 圖象的影響；

　　（6）根據實際數據擬合函數圖象．