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　　所謂理論保級分數，就是指一般來講，一個參賽球隊只要達到了這個分數，無論別的球隊的成績如何，都能保證自己不會降級。這個分數無疑能給那些成績不佳的球隊的一個有效的參考，幫助他們調整策略。

　　當然，不僅是我國的足球聯賽，其它各個國家的足球聯賽，都會有保級分數的問題。

　　那么這個理論保級分數應該如何計算呢？怎樣找到一種普遍適用于各國足球聯賽的計算理論保級分數的方法呢？下面，我們建立一個數學模型解決這個問題。　

　　模型建立與分析

　　要想研究理論保級分數，就必須研究每支球隊在每場比賽中的成績。通過觀察各大聯賽的比賽情況，我們可以知道，球隊的實力對比賽結果有很大的影響。比如，實力差距比較大的兩支球隊比賽，實力強的一方獲勝的希望比較大。所以，如果討論聯賽的積分情況，就不能回避球隊實力的差異問題。

　　但是球隊的實力是一個很抽象的事物，不易計算和比較，為了能用數學語言描述它，可以為每個球隊引入一個參數，能夠較好的描述球隊的實力稱它為這個球隊的實力數，我們可以定義隨機變量X為一支球隊在某一場比賽中的結果。它可能有三種情況，即勝（積3分）、平（積1分）、負（積0分〕。我們可以統計出每場比賽中兩隊的勝、平、負的頻率（可近似地看成每種情況出現的概率）P，通過公式

　　求出一支球隊在每場比賽中的數學期望。將所有比賽的數學期望值相加，就可以求出理論上這支球隊的最后積分。另外，應該注意到主客場的差異對比賽結果的影響。所以，如果主客場情況不同，相應的勝、負、平頻率也不同，數學期望值也就不同。　　

　　一、模型假設

　　1．假設參加某一聯賽的所有球隊的實力數由小（實力強）到大（實大弱）可構成一個等差數列。并且認為等差數列的首項為1，公差為1。由此，一個聯賽中的各個球隊可以分別用一個數字代替，即，將所有n支參賽球隊按實力由強到弱排列,則依次1,2,3,4，...,n。這樣每場比賽就有一個對應的實力數之差。如實力數為3和7的兩支球隊之間的比賽，實力差是4。

　　2．假設任何不可預知的因素與比賽結果無關。即比賽結果只與兩支球隊的實力差和主客場因素有關。如認為球隊3主場與球隊8的比賽，和球隊1主場與球隊6的比賽沒有任何區別。　

　　3．假設統得出的每個實力差值對應的比勝、負、平的頻率等于在理論上這些情況出現的頻率。　

　　二、定義變量

　　：一支球隊在一場比賽中的數學期望值。

　　：一支球隊i在所有比賽中的數學期望值之和。

　　n:參加聯賽的球隊總數。

　　m：聯賽結束后將要降級的球隊數目。

　　s：一場比賽中實力較強的球隊獲勝的概率。

　　p：一場比賽中實力較強的球隊戰平的概率。　

　　f：一場比賽中實力較強的球隊失敗的概率。

　　解決問題　

　　一、統計隨機變量X的分布

　　我們選取了英格蘭足球超級聯賽、德國足球甲級聯賽、意大利足球甲級聯賽、中國的甲級聯賽中1999～2000賽季的詳細情況，并根據這些數據統計了當實力數差分別為1,2,3,...，19時，較強的一方獲勝、戰平、戰敗的頻率。如下表：（單位：％）

實力差

主場

客場

勝

平

負

勝

平

負

53.03

21.21

25.76

24.63

36.92

38.46

47.54

21.31

31.15

26.23

39.34

34.43

42.63

19.30

28.07

22.22

39.34

34.43

60.38

16.98

22.64

37.25

31.37

38.00

22.00

10.00

38.00

26.00

36.00

38.00

12.00

20.00

34.00

28.00

38.00

60.95

14.63

24.39

36.59

26.83

71.05

10.53

18.42

34.29

31.43

72.73

15.15

1212

41.18

26.47

32.35

73.33

3.37

20.00

40.00

30.00

88.00

0.00

12.00

12.31

30.77

26.92

86.36

1.55

9.09

40.91

13.64

45.45

88.24

0.00

11.76

31.11

11.11

27.78

85.71

0.00

14.29

71.13

21.43

7.14

90.91

0.00

9.09

54.55

36.36

9.09

75.00

12.50

70.00

10.00

20.00

60.00

40.00

0.00

60.00

0.00

40.00

100.00

0.00

100.00

0.00

100.00

0.00

100.00

0.00

　　二、計算各隊的理論積分　

　　有了這些數據之后，我們可以根據求隨機變量的數學期望的公式：

　　求出一支球隊在同比自己實力弱的球隊的比賽里的教學期望。即

　　當一支球隊和比自己實力強的球隊比賽時，實力較強球隊的戰敗概率就是實力較弱的球隊的獲勝概率。即

　　這樣一來，所有比賽的數學期望都能求出。也就是說，對于每一支球隊，其所有比賽數學期望值的和也能求出，我們用表示實力數i的球隊的所有數學期望值的和（理論積分）。然后，將1～n這支球隊對應的指從大到小依次排列成數列{ }，因為在世界各國的足球聯賽中對降級球隊數目的規定不同，有的是2支球以，有的是3支球隊。根據不同的情況，只要求出數列中相應的項（保級球隊中的最低分數）就是待求的理論保級分數值了。

　　根據這種思路，我們使用VisualBasic6.0編制一個程序來計算理論保級分數。

　　算法簡要說明　　

　　1.輸入數據：將計算所需的變量n、m通過文本框Textl、Text2輸入程序中。

　　2.定義數組：將統計得出的s、p、f各概率值定義為三個數組s()、p()、以便賦值。再定義數列{ }為一個一維數組T(20)。

　　3．對概率賦值：將統計得的概率數據賦至各個數組中。　　

　　4．通過循環嵌套，計算最后每支球隊的理論積分，即各個數學期望之和。

　　5．將恰好保級的一支球隊的分數輸出之文本框Text3中。　　

　　具體源代碼及說明（略）

　　運行源程序，得出下表數據：

參賽球隊數

降級球隊數

理論保級分數

26.257

58.5259

34.5975

35.0691

8.1738

這樣，一般的足球聯賽都能通過這個程序求出理論保級分數。　

　　驗證模型

　　以上，給出了足球聯賽中的理論保級分數的一種計算方法，這種方法是否理想？得出的結論能否令人滿意？下面，我們通過計算值與實際值的對比，來驗證這個模型。

　　首先，我們看2000年的甲A聯賽。下表是該賽季最終的排名情況。

排名

　　積分

　　排名

　　積分

　　去掉兩個降級球隊的分數，保級分數是29分。經過上述算法，將n=14，m=2代入，計算得來的理論保級分數是28.5259分，可見，與實際保級分數相差不大。　

　　再看看上賽季意大利足球甲級聯賽,去掉3個降級的球隊,實際保級分數是36分。將n=18,m=3代入，計算的理論保級分數是34.5975分，與實際情況也相差不大。　　

　　雖然用這個程序計算的保級分數有時會與實際分數有一點差距，但在大多數情況下，這個程序能夠較好地估計保級分數。

　　誤差分析　　

　　這個模型中可能產生誤差的地方有如下幾處：

　　一、在模型假設中，假設各球隊的實力數構成等差數列。這種假設與實際情況有一定差距。　　

　　二、在統計概率過程中，隨著n值不斷增大，能找到的比賽數量越來越少。所以在n較大時，統計出的頻率與理論上的頻率的偏差也就比較大。

　　三、在實際比賽中，很多其它因索，如天氣等都有可能影響比賽的結果。這個模型并沒有考慮這些因素，所以無法避免由此產生的誤差。　　

　　由于以上幾種可能產生誤差的原因，這個模型計算的結果與實際保級分數有大約6分以下的差距。由于一般情況下這個模型計算的結果比較合適，所以認為這樣的誤差在可以接受的范圍內。

　　參考資料

　　1．《問題解決的數學模型》，劉來福、曾文藝著，北京師范大學出版社。

　　2.《中學數學知識應用精編》，上海市中學生數學知識應用大競賽委員會編寫組著，華東理工大學出版社。　　

　　3．《數學建模精品案例》，朱道元編著，東南大學出版社。

　　　　（選自《中學生數學》期刊2001年11月上）

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.lg566.com/gaozhong/215212.html

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