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　　數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型。根據課程標準的要求，在本章中，學生將通過對日常生活中大量實際問題的分析，建立等差數列和等比數列這兩種數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。

　　一、內容與課程學習目標

　　本章的主要內容是數列的基本概念、等差數列和等比數列以及它們的一些基本數量關系。通過本章學習，要使學生達到如下學習目標：

　　1．通過日常生活中的實例，了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式），了解數列是一種特殊函數．

　　2．通過實例，理解等差數列、等比數列的概念；探索并掌握等差數列、等比數列的通項公式與前n項和的公式；能在具體的問題情境中，發現數列的等差關系或等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．體會等差數列、等比數列與一次函數、指數函數的關系．

　　二、內容安排

　　本章共有五節內容，教學時間約需12課時，具體安排如下(僅供參考)：

　　2．1數列的概念與簡單表示法                         約2課時

　　2．2等差數列                                       約2課時

　　2．3等差數列的前n項和                             約2課時

　　2．4等比數列                                       約2課時

　　2．5等比數列的前n項和                             約2課時

　　小結與復習                                      約2課時

　　本章的知識結構如下：

　　1．本章是通過對一般數列的研究，轉入對兩類特殊數列──等差數列、等比數列的通項公式及前n項求和公式的研究的。教科書首先通過三角形數、正方形數的實例引入數列的概念，然后將數列作為一種特殊函數，介紹了數列的幾種簡單表示法（列表、圖象、通項公式）。作為最基本的遞推關系──等差數列，是從現實生活中的一些實例引入的，然后由定義入手，探索發現等差數列的通項公式。等差數列的前n項和公式是通過的高斯算法推廣到一般等差數列的前n項和的算法。與等差數列呈現方式類似，等比數列的定義是通過細胞分裂個數、計算機病毒感染、銀行中的福利，以及我國古代關于“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”問題的研究探索發現得出的，然后類比等差數列的通項公式，探索發現等比數列的通項公式，接著通過實例引入等比數列的前n項求和，并用錯位相減法探索發現等比數列前n項求和公式。最后，通過“九連環”問題的閱讀與思考以及“購房中的數學”的探究與發現，進一步感受數列與現實生活中的聯系和具體應用。

　　2．人們對數列的研究有的源于現實生產、生活的需要，有的出自對數的喜愛。教科書從三角形數、正方形數入手，指出數列實際就是按照一定順序排列著的一列數。隨后，又從函數的角度，將數列看成是定義在正整數集或其有限子集上的函數。通過數列的列表、圖象、通項公式的簡單表示法，進一步體會數列是一種函數，是刻畫離散過程的一種重要數學模型。

　　教科書的這種編排和呈現方式，一方面可以讓學生體會數列是一種特殊函數，加深對函數概念和性質的理解，對數列的本質有清晰的認識和把握；另一方面，通過數列概念引入以及數列應用的過程，體會數列問題的實際應用，提高對本章內容的學習興趣，為下面將要開始的有關等差數列與等比數列的學習做好鋪墊。

　　3．等差數列在日常生活中有著廣泛的應用，并且大量存在于學生周圍．教科書首先從學生熟悉的四個實例入手，引出了等差數列的概念，并且結合實例（襯衫的尺碼）對等差數列作了說明。隨后由等差數列的概念導出等差中項的概念，然后推導出了等差數列的通項公式。

　　這種通過對日常生活中大量實際問題的分析、建立等差數列模型的過程，加強了對等差數列基本概念、性質的理解，初步培養了學生運用等差數列模型解決問題的能力。

　　用函數觀點去看等差數列，可以幫助學生理解等差數列的本質：是在特殊定義域上的一次函數，通項公式就是這個特殊函數的解析式．2.2節例3和探究題注意到了等差數列與一次函數（包括代數式和圖像）之間的聯系。

　　另外，有關等差數列的概念、通項公式的推導都是由歸納得到，對培養學生觀察分析、探索歸納能力提供了很好的素材。

　　4．對等差數列前n項和公式的推導及應用，體現了特殊到一般、一般到特殊的思想：

　　教科書是從求1+2+3+…+100的高斯算法出發，并以1+2+3+…+n求和為過渡，目的是為了讓學生發現等差數列任意的第k項與倒數第k項的和等于首項、末項的和這個規律。教科書給出的探究題就是為了讓學生在前面基礎上，把數列1+2+3+…+n內在的這種規律性推廣到一般的等差數列，獲得一般的等差數列求和思路。2.3節的例1突出了等差數列求和公式的實際應用；例3強調了等差數列前n項和公式與二次函數之間的關系，探究題是為了進一步認識等差數列前n項和公式是一個常數項為0的二次函數，例4是對等差數列前n項和公式性質（二次型）的一個應用。從特殊到一般，可以幫助學生獲取一般等差數列求和思路；從一般到特殊，可以使學生應用等差數列求和公式解決一些實際問題，使其來于實際，用于實際。

　　5.與等差數列類似，等比數列概念的引入也是通過日常生活中的實例抽象出了等比數列的模型。2.4節所列的4個背景實例和所傳達的思想為：
　 

1. 細胞分裂模型

生命科學中的數列模型；類似的有人口增長的模型

2.《莊子》中“一尺之棰”的論述

中國古代學者的極限思想

3. 計算機病毒的傳播

計算機科學中的數列模型；計算機病毒的危害；

　　“指數爆炸”的例子

4. 儲蓄中復利的計算

日常經濟生活中的數列模型

　　6.“為什么要求等比數列的前n項和呢”？2.5節開篇用諾貝爾獎金的計算問題——從獎金開始發放的第一年（1897）到今年（2004）所發放獎金的總額來引入了這個問題。等比數列前n項和公式的推導采用了“錯位相減”的方法，其中體現了等比數列與指數函數、方程、程序框圖中的循環結構等內容的前后聯系。本節課后有關“九連環”的閱讀與思考，進一步體現了從具體問題中抽象出數列模型，借助數列的相關知識解決問題的思想。

　　三、編寫中考慮的幾個問題

　　1．體現“現實問題情境——數學模型——應用于現實問題”的特點

　　數列作為一種特殊函數，是反映自然規律的基本數學模型。教科書通過日常生活中大量實際問題（存款利息、放射性物質的衰變等）的分析，建立起等差數列與等比數列這兩種數列模型。通過探索和掌握等差數列與等比數列的一些基本數量關系，進一步感受這兩種數列模型的廣泛應用，并利用它們解決了一些實際問題。教科書的這一編寫特點，可由下面圖示清楚表明：

　　數列：三角形數、正方形數 數列概念 數列的三種表示 回歸到實際問題（希爾賓斯基三角形、斐波那契數列、銀行存款等）

　　等差數列：4個生活實例 等差數列概念 等差數列通項公式 等差數列基本數量關系的探究（出租車收費問題等）

　　前100個自然數的高斯求解 等差數列的前n項和公式等差數列數量關系的探究及實際應用（校園網問題）

　　等比數列：細胞分裂、古代“一尺之棰”問題、計算機病毒、銀行復利的實例等比數列概念等比數列的通項公式等比數列基本數量關系的探究及實際應用（放射性物質衰變、程序框圖等）

　　諾貝爾獎金發放金額問題 等比數列前n項和公式 等比數列基本數量關系探究及實際應用（商場計算機銷售問題、九連環的智力游戲、購房中的數學等）

　　教科書的這種內容呈現方式，一方面可以使學生感受數列是反映現實生活的數學模型，體會數學是來源于現實生活，并應用于現實生活的，數學不僅僅是形式的演繹推導，數學是豐富多彩而不是枯燥無味的；另一方面，這種通過具體問題的探索和分析建立數學模型、以及應用于解決實際問題的過程，有助于學生對客觀事物中蘊涵的數學模式進行思考和做出判斷，提高數學地提出、分析、解決問題的能力，提高學生的基本數學素養，為后續的學習奠定良好的數學基礎。

　　2．加強數學知識內容之間的相互聯系

　　數學學習絕不是孤立的學習。數學學習的聯系性表現為兩個方面，一方面是數學與現實生活的聯系，我們稱為數學外部的聯系；另一方面是數學內部之間的聯系，表現為數學知識內容之間的相互聯系。本章數列與其他知識內容的聯系，主要體現在：

　　（1）數列與“函數”知識內容的聯系

　　數列可以看成是定義域為正整數集N*（或它的有限子集）的函數。當自變量順次從小到大依次取值時對應的一列函數值，而數列的通項公式則是相應的函數解析式。由于數列的項是函數值，序號是自變量，所以以序號為橫坐標，相應的項為縱坐標畫出的圖像是一些孤立的點，所以說數列是一類特殊的函數。本章內容的設計，突出了數列的這一函數背景，在通過實際問題引入數列概念后，教材對數列的函數背景進行了分析，指出通項公式實際可看作是數列的函數解析式。對兩類特殊數列——等差數列與等比數列的概念、通項公式，求和公式的研究，也是類比函數展開的：首先，它們是特殊數列，也是特殊函數，等差數列實際是一次型函數，是最簡單的遞推數列，等比數列實際是指數型函數；其次，它們具有函數的一般性質，都借助了數形結合的思想研究問題，但研究的側重點有所不同，函數側重研究單調性、最值、奇偶性等，這兩類數列側重研究下標子數列或兩個數列的合成的性質等。

　　（2）數列與“算法”、“微積分”內容的聯系

　　首先，本章對數列內容的整體研究，體現了一種算法思想。具體而言，如對等差數列、等比數列前n項和公式的推導實際就是一種算法。前者是通過高斯算法推廣到一般等差數列的前n項求和，后者是通過“錯位相減”推導求得。

　　其次，聯系算法中的程序以及程序框圖，對數列問題進行了研究。如P57例2、P65例3。

　　另外，結合了微積分中的“分割、取值、近似求和”思想，對數列問題進行了研究。如P65例3中對區域面積的求和。

　　3．加強學生的數學探索活動

　　根據學習的現代建構理論，學生的數學學習是在已有認知的基礎上，經過學習主體的主動建構產生的。數學學習不是簡單的鏡面式反映，而是經過觀察、實驗、猜測、歸納、類比、抽象、概括等過程，經過交流、反思、調整等完成的。本章內容的設計，充分體現了學生是學習的主體這一特點。例如：

　　等差數列概念的教科書設置就是在對日常生活中大量實際問題分析的基礎上，通過學生的觀察、分析、猜想、歸納給出的，教科書對學生的自主性學習提供了一定時間和空間：在給出大量的生活實例之后，教科書沒有立刻給出等差數列的概念，緊跟在實例之后的“觀察”欄目，是為了給學生一定的思考和探索的空間，讓他們自己通過觀察、歸納、猜想等認識到等差數列的特性。通過對數列①、②、③、④共同特點的探索，學生可以發現這幾個數列的前后項的差值都是一個常數（不同數列的常數可能不相同），從而總結出等差數列的一般概念。

　　等差數列前n項和公式的導出也給學生留有了充分發揮和自主學習的空間。教科書是從求1+2+3+…+100的高斯算法出發，并以1+2+3+…+n求和為過渡，目的是為了啟發學生

　　發現等差數列任意的第k項與倒數第k項的和等于首項、末項的和這個規律。緊接的探究題是為了讓學生在前面基礎上，把數列1+2+3+…+n內在的這種規律性推廣到一般等差數列，從而獲得一般等差數列的求和思路。隨后的思考題進一步給學生提供了反思、回味的空間和余地，對知識內容之間的相互聯系以及深入理解公式，回顧、調整前面的思考過程，起到了很好的啟發和引導作用。

　　4．突出了數學思想方法的教學

　　本章內容設置，突出了數學思想方法的教學，尤其突出了一般到特殊、特殊到一般，以及數列的函數思想、類比思想等。

　　有關等差數列前n項和公式的推導及應用，就體現了特殊到一般、一般到特殊的思想：從特殊到一般，可以由前100個自然數求和的高斯算法過渡到一般等差數列求和思路的獲得；從一般到特殊，可以使學生應用等差數列求和公式解決一些實際問題，使其來于實際，用于實際。

　　函數思想、類比思想幾乎貫穿整章內容。本章開始對數列概念的介紹，突出了數列的函數背景。對具體內容的展開，也充分體現了函數思想、類比思想：對兩類特殊數列——等差數列與等比數列的概念、通項公式，求和公式的研究，是類比函數展開的；類比于實數的加、減、乘、除運算，等差數列與等比數列實際是對數列中的項施行加法、乘法運算得到的；類比等差數列的通項、性質、前n項和，可以得出對等比數列相應問題的研究；類比函數概念、性質、表達式，可以得出對數列、等差數列、等比數列相應問題的研究。函數思想、類比思想的運用，是本章設計的主要特色。

　　另外，數形結合的思想、方程思想等，在本章也有體現。

　　本章注重了數學思想方法的教學，注重了對學生從實際問題抽象出數列模型的能力的培養。而對涉及數列中各量之間基本關系的繁難的技能訓練題目，要求有所降低，只要保證能達到基本技能訓練目的就可以了。

　　四、對教學的幾個建議

　　1．重視學生自主性學習能力和創新意識的培養

　　自主性學習能力是一個人今后生存和發展的前提和先決條件，而適應未來社會發展要求的創新意識的培養又是現代社會培養人才的方向和目標。

　　本章內容的設計，考慮到了培養學生的自主性學習能力和創新意識的社會要求，提供了可供學生自主探索的空間和余地。實際教學中，要讓學生充分體驗數學知識的形成過程，要盡可能的讓學生經歷觀察、分析、猜想、抽象、概括、歸納、類比等發現和探索的過程，鼓勵學生說出各種可能的設想和猜測。教師在教學中是組織者、引導者，要把人類已發現的這些“現成的數學”，經過教學法的加工，變為學生在教師指導下親自“發現”的結論，也就是學生自己“做出來的數學”。這種親身體驗和經歷的過程，如同是重新經歷數學的發現過程，也就是學生的“再發現”過程，可以啟迪學生發現問題、再創造的解決問題，為以后適應社會發展，解決面臨的新問題、新情況做好基礎的鋪墊。

　　本章教學要善于挖掘教材內容的延伸和拓廣。如有關等差數列的前n項求和和等比數列的前n項求和，可以鼓勵學生探索其他可能的解答思路。對教材中有關探索等差數列、等比數列的基本數量關系的題目，也可以有相應的問題拓展。這種已有資源的挖掘和拓廣，對學生自主性學習能力的培養是很有好處的。

　　2．重視探究題、練習題、閱讀與思考、探究與發現等內容的學習

　　 本章的探究題、練習題、閱讀與思考、探究與發現的內容素材很多是來源于古代或現實生活情境的題目，一方面加強了與實際生活的聯系，另一方面可以提高學生學習本章內容的興趣，教學中要注意相關內容的知識準備和問題解答和拓廣的準備。

　　這些題目設置的特點是貼近現實，有一定挑戰性和趣味性，具體教學時，可以結合這些題目進行，如等比數列概念引入可以結合練習題中有關“古印度國王獎賞國際象棋發明者”的題目，以設置懸念，從而更加激發學生學習興趣，調動學習積極性。

　　3．重視本章內容與其他學習內容的聯系，重視借助信息技術學習本章內容

　　 本章內容與函數、一次函數、指數函數、算法、微積分等內容都有直接聯系，與物理、化學、生物、經濟、天文、歷法等領域也有關聯，教學中既要注重數學知識內部的聯系，也要結合其他學科，使學生體會到數列在現實生活中是有著非常廣泛的應用的。

　　 為更好理解教學內容，可借助信息技術學習本章內容，除課本提供的有關信息技術的內容外，有條件的學校，可借助多媒體等展示例題、習題中的內容，通過現代教育技術手段，給學生展示一個更加豐富多彩的“數列”內容。