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第十九章矩形，菱形與正方形章末測試（二）
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．對角線相等且互相平分的四邊形是（　　）
A．一般四邊形 B．平行四邊形 C．矩形 D．菱形

2．下列說法中不能判定四邊形是矩形的是（　　）
A．四個角都相等的四邊形 B．有一個角為90°的平行四邊形
C．對角線相等的平行四邊形 D．對角線互相平分的四邊形
3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分別延長BA，CA到D，E點，使DA=AB，EA=CA，則四邊形BCDE是（　　）
A．任意四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

4．在平行四邊形ABCD中，增加一個條件能使它成為矩形，則增加的條件是（　　）
A．對角線互相平分 B．AB=BC C．AB= AC D．∠A+∠C=180°
5．如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30°的角，則重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（　　）
 
A．2 B．  C．1 D．
6．下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（　　）
A．AC⊥BD，AC與BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
7．已知四邊形ABCD是平行四邊形，若要使它成為正方形，則應增加的條件是（　　）
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD
8．△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點O到三邊AB、AC、BC的距離為（　　）
A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm
二．填空題（共6小題，每題3分）
9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再補充一個條件，如∠A=　_________　度時，就能推出四邊形ABCD是矩形．
 
10．如圖，已知MN∥PQ，EF與MN，PQ分別交于A、C兩點，過A、C兩點作兩組內錯角的平分線，分別交于點B、D，則四邊形ABCD是　_________　．
 
11．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是　_________　．
 

12．在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，則四邊形ABCD是　_________　．

13．一組鄰邊相等的　_________　是正方形，有一個角是　_________　角的菱形是正方形．

14．如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一動點，DE∥AC，DF∥AB，對△ABC及線段AD添加條件　_________　使得四邊形AEFD是正方形．
 

三．解答題（共11小題）
15．（6分）如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．過點C作CG⊥AD，垂足為G，AF是BC邊上的中線，連接FG．
（1）求證：AC=FG．
（2）當AC⊥FG時，△ABC應是怎樣的三角形？為什么？
 

16．（6分）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同側分別作三個等邊三角形：△ABD，△BCE，△ACF，請解答下列問題：
（1）求證：四邊形AFED是平行四邊形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED是矩形？
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED是菱形？
（4）對于任意△ABC，▱AFED是否總存在？
 

17．（6分）如圖，BC是等腰三角形BED底邊DE上的高，四邊形ABEC是平行四邊形．判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．
 

18．（6分）如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F．
（1）求證：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，連接AC，BE．求證：四邊形ABEC是矩形．
 

19．（6分）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分別為點D、E、F、G，DF、EG相交于點P．判斷四邊形MDPE的形狀，并說明理由．
 

20．（8分）如圖：在平行四邊形ABCD中，AC的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，交AC于O點，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
 

21．（8分）如圖所示，▱ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD、BC、AC分別交于點E、F、O，連接AF，EC，則四邊形AFCE是菱形嗎？為什么？
 

22．（8分）在△ABC中，點O是AC邊上一動點，點P在BC延長線上，過點O的直線DE∥BC交∠ACB與∠ACP的平分線于點D、E．
（1）點O在什么位置時，四邊形ADCE是矩形？說明理由．
（2）在（1）的條件下，當AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCE是正方形？為什么？
 

23．（8分）如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當點O在邊AC上運 動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．
（3）當點O在邊AC上運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
 
24．（8分）如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）判斷OE與OF的大小關系？并說明理由；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由；
（3）在（2）的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF會是正方形．
 

25．（8分）（1）如圖矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，過點D作DP∥OC，且DP=OC，連接CP，判斷四邊形CODP的形狀并說明理由．
（2）如果題目中的矩形變為菱形，結論應變為什么？說明理由．
（3）如果題目中的矩形變為正方形，結論又應變為什么？說明理由。
 

第十九章矩形，菱形與正方形章末測試（二）
參考答案與試題解析

一．選擇題（共8小題）
1．對角線相等且互相平分的四邊形是（　　）
A． 一般四邊形 B．平行四邊形 C．矩形 D． 菱形

考點： 矩形的判定．
分析： 根據矩形的判定（矩形的對角線 相等且互相平分）可得C正確．
解答： 解：因為對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，
所以C正確，
故選C．
點評： 本題考查的是矩形的判定定理（矩形的對角線相等且互相平分），難度簡單．

2．下列說法中不能判定四邊形是矩形的是（　　）
A． 四個角都相等的四邊形 B． 有一個角為90°的平行四邊形
C． 對角線相等的平行四邊形 D． 對角線互相平分的四邊形

考點： 矩形的判定．
專題： 常規題型．
分析： 矩形的判定定理有：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．據此判斷．
解答： 解：根據矩形的判定，可得A、B、C可判定四邊形為矩形，D不能．
故選D．
點評： 本題考查的是矩形的判定以及矩形的定理，難度簡單．

3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分別延長BA，CA到D，E點，使DA=AB，EA=CA，則四邊形BCDE是（　　）
A． 任意四邊形 B．矩形 C．菱形 D． 正方形

考點： 矩形的判定．
分析： 由一組對邊平行且相等可得其為平行四邊形，再由一角為90°且鄰邊不等可得其為矩形．
解答： 解：如圖所示，
∵AC=AE，AB=AD
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∠ABC=∠ACB
∴∠ABC+∠EBA=90°
∴四邊形BCDE為矩形．
故選B．
 
點評： 熟練掌握矩形的判定，會證明一個四邊形是矩形所滿足的條件．

4．在平行四邊形ABCD中，增加一個條件能使它成為矩形，則增加的條件是（　　）
A． 對角線互相平分 B．AB=BC C．AB= AC D． ∠A+∠C=180°

考點： 矩形的判定．
分析： 根據矩形的判定（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），所以在平行四邊形的基礎上，只要滿足一個角為直角即可．
解答： 解：答案D中∠A與∠C為對角，∠A=∠C，又∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，又四邊形為平行四邊形，所以可得其為矩形；故該選項正確，
故選D．
點評： 本題考查 了矩形的判定，矩形的判定定理有：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．

5．如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30°的角，則重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（　 　）
 
A． 2 B．  C．1 D． 

考點： 菱形的判定與性質；含30度角的直角三角形．
專題： 計算題．
分析： 因為在直角三角形中30度角對應的直角邊是斜邊的一半，已知菱形的高為1，可得邊長為2，所以面積為2．
解答： 解：因為在直角三角形中30度角對應的直角邊是斜邊的一半，
在題目中的菱形中，已知菱形的高為1，可得邊長為2，
所以面積為2．
故選：A．
點評： 本題考查了菱形的判定與性質，屬于基礎題，關鍵是掌握在直角三角形中30度角對應的直角邊是斜邊的一半．

6．下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（　　）
A． AC⊥BD，AC與BD互相平分           B． AB=BC=CD=DA
C． AB=BC，AD=CD，AC⊥BD            D． AB=CD，AD=BC，AC⊥BD

考點： 菱形的判定．
分析： 直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應用．
解答： 解：A、∵AC與BD互相平分，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形，故正確；
B、∵AB=BC=CD=DA，
∴四邊形ABCD為菱形，故 正確；
C、AB=BC，AD=CD，AC⊥BD，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故錯誤；
D、∵AB=CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形，故正確；
故選C．
點評： 此題考查了菱形的判定．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關鍵．

7．已知四邊形ABCD是平行四邊形，若要使它成為正方形，則應增加的條件是（　　）
A． AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D． AC平分∠BAD

考點： 正方形的判定．
分析： 由四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，可判定四邊形ABCD是菱形，又由AC=BD，即 可判定四邊形ABCD是正方形．注意掌握排除法在選擇題中的應用．
解答： 解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形，故錯誤；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形，故錯誤；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∵AC=BD，
∴四邊形ABCD是正方形，故正確；
D、∵四邊形ABCD是平行四 邊形，AC平分∠BAD，
∴四邊形ABCD是矩形，故錯誤．
故選C．
點評： 此題考查了正方形的判定．此題比較簡單，注意熟記判定定理是解此題的關鍵．

8．△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點O到三邊AB、AC、BC的距離為（　　）
A． 2cm，2cm，2cm     B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D． 2cm， 3cm，5cm

考點： 正方形的判定與性質．
分析： 連接OA，OB，OC，利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又因為點O到三邊AB、AC、BC的距離是CD，∴AB=8?CD+6?CD=10，解得CD=2，所以點O到三邊AB、AC、BC的距離為2．
解答： 解：連接OA，OB，OC，則△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，
又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O為△ABC三條角平分線的交點
∴四邊形OECD是正方形，
則點O到三邊AB、AC、BC的距離=CD，
∴AB=8?CD+6?CD=?2CD+14，又根據勾股定理可得：AB=10，
即?2CD+14=10
∴CD=2，
即點O到三邊AB、AC、BC的距離為2cm．
故選A
 
點評： 本題主要考查垂直平分線上的點到線段兩段的距離相等的性質和邊的和差關系．

二．填空題（共6小題）
9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再補充一個條件，如∠A=　90　度時，就能推出四邊形ABCD是矩形．
 

考點： 矩形的判定．
專題： 推理填空題．
分析： 矩形的判定定理有：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，據此分析可得．
解答： 解：∵四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵有一個角為90°的平行四邊形是矩形，
∴添加∠A=90°就能推出四邊形ABCD是矩形，
故答案為：90．
點評： 本題考查了矩形的判定，解題的關鍵是了解有一個角是直角的平行四邊形是矩形．

10．如圖，已知MN∥PQ，EF與MN，PQ分別交于A、C兩點，過A、C兩點作兩組內錯角的平分線，分別交于點B、D，則四邊形ABCD是　矩形　．
 

考點： 矩形的判定；平行線的性質．
專題： 幾何圖形問題；推理填空題．
分析： 首先推出∠BAC=∠DCA，繼而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，進而推出AD∥CB，因此四邊形ABCD平行四邊形，再證明∠ABC=90°，可得平行四邊形ABCD是矩形．
解答： 證明：∵MN∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分別平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC= ∠MAC、∠DCA= ∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分別平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA= ∠ACP、∠DAC= ∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD平行四邊形，
∵∠BAC= ∠MAC，∠ACB= ∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACP=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
故答案為：矩形．
 
點評： 此題主要考查了矩形的判定，關鍵是掌握有一個角是直角的平行四邊形是矩形，難度不大，重點考查基本定理的應用．

11．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是　3 　．
 

考點： 正方形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．
分析： 過點D作DE⊥DP交BC的延長線于E，先判斷出四邊形DPBE是矩形，再根據等角的余角相等求出∠ADP =∠CDE，再利用“角角邊”證明△ADP和△CDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得DE=DP，然后判斷出四邊形DPBE是正方形，再根據正方形的面積公式解答即可．
解答： 解：如圖，過點D作DE⊥DP交BC的延長線于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四邊形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
 ，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四邊形ABCD的面積=四邊形DPBE的面積=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP= =3 ．
故答案為：3 ．
 
點評： 本題考查了正方形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，熟記各性質并作輔助線構造出全等三角形和正方形是解題的關鍵．

12．在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，則四邊形ABCD是　矩形　．

考點： 正方形的判定．
分析： 根據四邊形的內角和為360就可以求出就可以求出，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，從而得出四邊形ABCD是矩形．
解答： 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∴四邊形ABCD是矩形．
故答案為：矩形
點評： 本題考查了四邊形內角和定理的運用，矩形的判定的運用，解答時求出每個角為90°是關鍵．

13．一組鄰邊相等的　矩形　是正方形，有一個角是　直　角的菱形是正方形．

考點： 正方形的判定．
分析： 根據正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形是正方形，有一個角是直角的菱形是正方形，即可求得答案．
解答： 解：一組鄰邊相等的矩形是正方形，有一個角是直角的菱形是正方形．
故答案為：矩形，直．
點評： 此題考查了正方形的定義．此題比較簡單，注意熟記正方形的定義是解此題的關鍵．

14．如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一動點，DE∥AC，DF∥AB，對△ABC及線段AD添加條件　△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分線　使得四邊形AEFD是正方形．
 

考點： 正方形的判定．
分析： 由DE∥AC，DF∥AB，易得四邊形AEDF是平行四邊形，由∠BAC=90°，可得四邊形AEDF是矩形，又由鄰邊相等，即可判定四邊形AEFD是正方形．
解答： 解：添加條件：△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分線．
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
∵AD是角平分線，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴AE=DE，
∴四邊形AEFD是正方形．
故答案為：：△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分線．
點評： 此題考查了正方形的判定．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．

三．解答題（共11小題）
15．如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．過點C作CG⊥AD，垂足為G，AF是BC邊上的中線，連接FG．
（1）求證：AC=FG．
（2）當AC⊥FG時，△ABC應是怎樣的三角形？為什么？
 

考點： 矩形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；等腰直角三角形．
專題： 證明題．
分析： 先根據題意推理出四邊形AFCG是矩形，然后根據矩形的性質得到對角線相等；由第一問的結論和AC⊥FG得到四邊形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．
解答： （1）證明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，
∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，
∴AB=AC；
AF是BC邊上的中線，
∴AF⊥BC，
∵CG⊥AD，AD∥BC，
∴CG⊥BC，
∴AF∥CG，
∴四邊形AFCG是平行四邊形，
∵∠AFC=90°，
∴四邊形AFCG是矩形；
∴AC=FG．
（2）解：當AC⊥FG時，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：
∵四邊形AFCG是矩形，
∴四邊形AFCG是正方形，∠ACB=45°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
點評： 該題目考查了矩形的判定和性質、正方形的判定和性質、等腰三角形的性質，知識點比較多，注意解答的思路要清晰．

16．如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同側分別作三個等邊三角形：△ABD，△BCE，△ACF，請解答下列問題：
（1）求證：四邊形AFED是平行四邊形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED是矩形？
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED是菱形？
（4）對于任意△ABC，▱AFED是否總存在？
 

考點： 矩形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定．
分析： （1）當一個圖中出現2個等邊三角形時就可以找出一對全等三角形，可得出一對對邊相等，進而往四邊形ADEF是平行四邊形方面進行證明．
（2）四邊形ADEF是矩形，那么它的每個內角是90°，那么可利用在點A處組成的周角算出∠BAC的度數．
（3）AB=AC，根據菱形的判定推出即可；
（4）當∠BAC=60°時四邊形不存在．
解答： （1）證明：四邊形ADEF是平行四邊形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等邊三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°?∠EBA，∠ABC=60°?∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
又∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四邊形ADEF為平行四邊形；

（2）解：若四邊形ADEF為矩形，則∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°?∠DAB?∠FAC?∠DAF=360°?60°?60°?90°=150°，
∴當△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

（3）解： 當∠BAC≠60°且AB=AC時，四邊形AFED是菱形，
∵此時AB=AC=AF=AD，四邊形AFED是平行四邊形，
∴四邊形AFED是菱形；

（4）解：當∠BAC=60°時，以A，D，E，F為頂點的四邊形不存在．
 
點評： 本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等邊三角形的性質的應用，本題主要應用的知識點為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一個角是直角的平行四邊形是矩形．

17．如圖，BC是等腰三角形BED底邊DE上的高，四邊形ABEC是平行四邊形．判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．
 

考點： 矩形的判定；等腰三角形的性質；平行四邊形的性質．
分析： 根據平行四邊形的性質可以證得AB與CD平行且相等，則四邊形ABCD是平行四邊形，再證得對角線相等即可證得．
解答： 解：四邊形ABCD是矩形，
理由：∵BC是等腰△BED底邊ED上的高，
∴EC=CD，
∵四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵AC=BE，BE=BD，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形．
 
點評： 本題主要考查了平行四邊形的性質以及矩形的判定，關鍵是掌握對角線相等的平 行四邊形是矩形．

18．如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F．
（1）求證：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，連接AC，BE．求證：四邊形ABEC是矩形．
 

考點： 矩形的判定；平行四邊形的性質．
專題： 幾何圖形問題；證明題．
分析： （1）根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，AB=CD，然后根據CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷即可；
（2）由（1）得的結論先證得四邊形ABEC是平行四邊形，通過角的關系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得證．
解 答： 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AC=BE；

（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴FA=FE，FB=FC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四邊形ABEC是矩形．
點評： 此題考查的知識點是平行四邊形的判定與性質和性質及矩形的判定，關鍵是先由平行四邊形的性質證三角形全等，然后推出平行四邊形通過角的關系證矩形．

19．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分別為點D、E、F、G，DF、EG相交于點P．判斷四邊形MDPE的形狀，并說明理由．
 

考點： 菱形的判定．
專題： 證明題．
分析： 根據MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，先推得四邊形MDPE為平行四形，再根據AB=AC，M是BC的中點，得到MD=ME，由“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證明．
解答： 證明：四邊形MDPE為菱形，理由：
連接AM．
∵ME⊥AC，DF⊥AC，
∴ME∥DF，
∵MD⊥AB，EG⊥AB，
∴MD∥EG，
∴四邊形MDPE是平行四邊形；
∵AB=AC，M是BC的中點，
∴AM是角平分線，
∴MD=ME，
∴四邊形MDPE為菱形．
 
點評： 菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．

20．如圖：在平行四邊形ABCD中，AC的垂直平分線分別交C D、AB于E、F兩點，交AC于O點，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
 

考點： 菱形的判定；平行四邊形的性質．
分析： 根據平行四邊形性質推出AD∥BC，得出∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，根據AAS證△AEO≌△CFO，推出OE=OF即可．
解答： 證明：：四邊形AECF的形狀是菱形，
理由是：∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，
∵EF過AC的中點O，
∴OA=OC，
在△AEO和△CFO中，
 ，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
∵OA=CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．
點評： 本題考查了平行線性質，平行四邊形的性質，矩形、菱形的判定等知識點的應用，能熟練地運用性質進行推理是解此題的關鍵，題型較好，具有一定的代表性，但難度不大．

21．如圖所示，▱ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD、BC、AC分別交于點E、F、O，連接AF，EC，則四邊形AFCE是菱形嗎？為什么？
 

考點： 菱形的判定．
專題： 證明題．
分析： 要證四邊形AFCE是菱形，只需通過定義證明其四邊相等即可．
解答： 解：四邊形AFCE是菱形．
∵點E在AC的垂直平分線上，
∴AE=EC．
同理，AF=FC．
∴∠1=∠3．
又∵AE∥FC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
又∵CO⊥EF，
∴∠COF=∠COE=90°，
∴△COF≌△COE．
∴CF=CE．
∴AE=EC=CF=FA．
∴四邊形AFCE是菱形．
 
點評： 菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．

22．在△ABC中，點O是AC邊上一動點，點P在BC延長線上，過點O的直線DE∥BC交∠ACB與∠ACP的平分線于點D、E．
（1）點O在什么位置時，四邊形ADCE是矩形？說明理由．
（2）在（1）的條件下，當AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCE是正方形？為什么？
 

考點： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）根據CE平分∠ACP，DE∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECP，再根據等邊對等角得OE=OC，同理OC=OD，可得EO=DO，再有條件AO=CO，可得到四邊形ADCE為平行四邊形，再證明∠DCE=90°，可利用矩形的判定解答，即有一個內角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）利用正方形的判定得出DE⊥AC，進而得出答案．
解答： 解：（1）當O為AC的中點則四邊形ADCE是矩形；
理由：∵CE平分∠ACP，
∴∠ACE=∠PCE，
∵DE∥BC，
∴∠OEC=∠ECP，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OD，
∴OD=OE．
∵AO=CO，EO=DO，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
∵DC、CE是∠ACB與∠ACP的平分線，
∴∠DCE=90°，
∴四邊形AECF是矩形；

（2）當AC⊥BC時，四邊形ADCE是正方形．
理由：∵∠BCA=90°，
∵DE∥CB，
∴∠DOA=90°，
則DE⊥AC，
∴矩形AECF是正方形．
 
點評： 此題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的判定以及正方形的判定等知識，解決問題的關鍵是證明EO=DO和∠DCF=90°．

23．如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．
（3）當點O在邊AC上運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
 

考點： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）根據平行線的性質以及角平分線的性質得出∠1=∠2，∠3=∠4，進而得出答案；
（2）根據AO=CO，EO=FO可得四邊形AECF平行四邊形，再證明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；
（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，若∠ACB=90°，四邊形AECF為正方形，首先證明為矩形，再證明AC⊥EF根據對角線互相垂直的矩形是正方形可得結論．
解答： （1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴ ∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；

（2）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．
證明：當O為AC 的中點時，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，若∠ACB=90°，四邊形AECF為正方形．
證明：由（2）可得點O在邊AC上運動到AC中點時平行四邊形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，
∴∠2=45°，
∵平行四邊形AECF是矩形，
∴EO=CO，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠MOC=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．
 
點評： 此題主要考查了矩形和正方形的判定，關鍵是掌握矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．

24．如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）判斷OE與OF的大小關系？并說明理由；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由；
（3）在（2）的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF會是正方形．
 

考點： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）利用角平分線的性質的得出，∠1=∠2，進而得出，∠3=∠2，即可得出OE與OF的大小關系；
（2）首先的很粗四邊形AECF是平行四邊形，進而得出∠ECF=90度，再利用矩形的判定得出即可；
（3）由（2）證明可知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，進而得出AC⊥MN，即可得出答案．
解答： （1）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，
∴EO=CO，同理，FO=CO，
∴EO=FO．

（2）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
理由：∵EO=FO，點O是AC的中點．∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4= ×180°=90°．
即∠ECF=90度，∴平行四邊形AECF是矩形．

（3）解：當△ABC是直角三角形時，即∠ACB=90°時，四邊形AECF會是正方形，
理由：由（2）證明可知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，CE、CN分別是∠ACB與∠ACB的外角平分線，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，
∴AC⊥MN，
∴四邊形AECF是正方形．
 
點評： 此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，正確區分它們的定義是解題關鍵．

25．（1）如圖矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，過點D作DP∥OC，且DP=OC，連接CP，判斷四邊形CODP的形狀并說明理由．
（2）如果題目中的矩形變為菱形，結論應變為什么？說明理由．
（3）如果題目中的矩形變為正方形，結論又應變為什么？說明理由．
 

考點： 正方形的判定與性質；菱形的判定與性質；矩形的判定與性質．
分析： （1）根據矩形的性質得出OD=OC，根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形，根據菱形的判定推出即可；
（2）根據菱形的性質得出∠DOC=90°，根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形，根據矩形的判定推出即可；
（3）根據正方形的性質得出OD=OC，∠DOC=90°，根據有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形，根據正方形的判定推出即可；
解答： 解：（1）四邊形CODP的形狀是菱形，
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∴OC=OD，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四邊形CODP是平行四邊形，
∵OC=OD，
∴平行四邊形CODP是菱形；

（2）四邊形CODP的形狀是矩形，
理由是：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四邊形CODP是平行四邊形，
∵∠DOC=90°，
∴平行四邊形CODP是矩形；

（3）四邊形CODP的形狀是正方形，
理由是：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四邊形CODP是平行四邊形，
∵∠DOC=90°，OD=OC
∴平行四邊形CODP是正方形．
點評： 本題考查了平行四邊形的判定，矩形、菱形、正方形的性質和判定，主要考查學生的猜想能力和推理能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．