第二十七章 相似
27．1 圖形的相似
01 基礎題
知識點1 相似圖形
1．下列各組圖形相似的是(B)
知識點2 比例線段
2．(保定章末測試)下列各組中的四條線段成比例的是(A)
A．2 m，1 m，2 m，2 m
B．3 m，2 cm，6 cm，4 m
C．1.5 m，2.5 m，4.5 m，5.5 m
D．1 cm，7 cm，5 cm，3 cm
3．(唐山遷安中學月考)某市兩旅游區之間的距離為105公里，在一張比例尺為1∶2 000 000的交通旅游圖上，它們之間的距離大約相當于(A)
A．一根火柴的長度
B．一支鋼筆的長度
C．一支鉛筆的長度
D．一根筷子的長度
4．(邯鄲育華中學月考)如果ab＝32，那么a＋bb＝52．
5．已知線段a，b，c，d成比例，且ab＝cd，其中a＝8 cm，b＝4 cm，c＝12 cm，則d＝6cm.
知識點3 相似多邊形
6．(邯鄲育華中學月考)若如圖所示的兩個四邊形相似，則∠α的度數是(C)[來源:學科網]
A．75° B．60° C．87° D．120°
7．(莆田中考)下列四組圖形中，一定相似的是(D)
A．正方形與矩形
B．正方形與菱形
C．菱形與菱形
D．正五邊形與正五邊形
8．(達縣期中)如圖，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°，∠ACB＝60°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，CE＝6 cm.求：
(1)∠B的度數；
(2)AD的長．
解：(1)∵△ABC∽△DEC，
∴∠A＝∠D＝45°.
在△ACB中，∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－45°－60°＝75°.
(2)∵△ABC∽△DEC，
∴ACDC＝BCEC，
即DC＝AC•CEBC＝92 cm.
∴AD＝AC＋CD＝152 cm.
02 中檔題
9．用一個10倍的放大鏡看一個15°的角，看到的角的度數為(C)
A．150° B．105°
C．15° D．無法確定大小
10．觀察下列圖形，其中相似圖形有(D)
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
11．(唐山遷安中學月考)如圖，在長為8 cm、寬為4 cm的矩形中，截去一個矩形，使得留下的矩形(圖中陰 影部分)與原矩形相似，則留下矩形的面積是(C)
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
12．(保定章末測試)要做甲、乙兩個形狀相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三邊分別為50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一邊長為20 cm，那么，符合條件的三角形框架乙共有(C)
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種
13．如圖所示的兩個矩形相似嗎？為什么？若相似，相似比是多少？滿足什么條件的兩個矩形一定相似？
解：∵四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠A′＝∠B′＝∠C′＝∠D′＝90°，AD＝BC＝10，AB＝DC＝8，A′B′＝D′C′＝4，A′D′＝B′C′＝5.
∴ABA′B′＝BCB′C′＝CDC′D′＝DAD′A′＝21.
∴矩形ABCD與矩形A′B′C′D′相似，相似比是2.
∴兩個矩形只要滿足長與寬的比相等就相似．
14．如圖，G是正方形ABCD對角線AC上一點，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分別為點E，F.求證：四邊形AFGE與四邊形ABCD相似．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF.
又∵∠EAF＝90°，
∴四邊形AFGE為正方形．
∴AFAB＝FGBC＝GECD＝AEAD，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四邊形AFGE與四邊形ABCD相似．
03 綜合題
15．如圖，把矩形ABCD對折，折痕為MN，矩形DMNC與矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的長；
(2)求矩形DMNC與矩形ABCD的相似比．
解：(1)設AD＝x(x＞0)，則DM＝x2.
∵矩形DMNC與矩形ABCD相似，
∴ADAB＝DCDM，
即x4＝4x2.解得x＝42(舍負)．
∴AD的長為42.
(2)矩形DMNC與矩形ABCD的相似比為
DCAD＝442＝22.
27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1課時 平行線分線段成比例
01 基礎題
知識點1 相似三角形的有關概念
1．如圖所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A)
A.ADAC＝AEAB＝DEBC B.ADAB＝AEAC
C.ADAE＝ACAB＝DEBC D.AEEC＝DEBC
2．如果△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相似比為2，那么△A′B′C′與△ABC的相似比為12．
知識點2 平行線分線段成比例定理
3．(杭州中考)如圖，已知直線a∥b∥c，直線m交直線a，b，c于點A，B，C，直線n交直線a，b，c于點D，E，F，若ABBC＝12，則DEEF＝(B)
A.13 B.12 C.23 D．1
4．(杭州中考)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，則(B)
A.ADAB＝12 B.AEEC＝12
C.ADEC＝12 D.DEBC＝12
5．(濟寧中考)如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么BCCE的值等于35．
6．如圖，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．
解：∵EG∥BC，∴AEEB＝AGGC.
又∵GF∥DC，∴AGGC＝AFFD.
∴AEEB＝AFFD，即32＝6FD.
∴FD＝4.
∴AD＝AF＋FD＝10.
知識點3 相似三角形判定的預備定理
7．(南京中考)如圖，AB、CD相交于點O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD.EF是△ODB的中位線，且EF＝2，則AC的長為83．
8．(廈門中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝2，DB＝3，則DEBC＝25．
9．(唐山遷安中學月考)如圖，在▱ABCD中，E為AB延長線上一點，AB＝3BE，DE與BC相交于點F，請找出圖中各對相似三角形及其相似比．
解：根據平行四邊形性質得出DC∥AB，AD∥BC，
由DC∥AB，得△DFC∽△EFB.
由AB＝3BE，AB＝CD，得BECD＝13.
由AD∥BC，得△BFE∽△ADE，△DFC∽△EDA.
由AB＝3BE，得CDAE＝34.
02 中檔題
10．(唐山玉田縣期末)如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，則圖中相似三角形的對數是(C)
A．1對 B．2對 C．3對 D．4對
提示：△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，△ADE∽△EFC.
11．(天津中考)如圖，在▱ABCD中，點E是邊AD的中點，EC交對角線BD于點F，則EF∶FC等于(D)
A．3∶2 B．3∶1
C．1∶1 D．1∶2
12．已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求：
(1)△OAC與△OBD的相似比；
(2)BD的長．
解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，
∴線段OA與線段OB是對應邊．
∴△OAC與△OBD的相似比為OAOB＝42＝21.
(2)∵△OAC∽△OBD，
∴ACBD＝OAOB.
∴BD＝OB•ACOA＝2×24＝1.
13．小明正在攀登一個如圖所示的攀登架，DE和BC是兩根互相平行的固定架，DE＝10 m，BC＝18 m，小明從底部固定點B開始攀登，攀行8米，遇上第二個固定點D，小明再攀行多少米可到達這個攀登架的頂部A?
解：∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
∴ADAB＝DEBC，
即ADAD＋8＝1018.[來源:學科網]
∴AD＝10.
答：小明再攀行10米可到達這個攀登架的頂部A.
03 綜合題
14．如圖，AD∥EG∥BC，EG分別交AB，DB，AC于點E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的長．
解：∵在△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC.
∴EGBC＝AEAB.
∴EG10＝35.∴EG＝6.
∵在△BAD中，EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD.∴EFAD＝BEAB.
∴EF6＝5－35.∴EF＝125.
∴FG＝EG－EF＝185.
第2課時 相似三角形的判定定理1，2
01 基礎題
知識點1 三邊成比例的兩個三角形相似
1．有甲、乙兩個三角形木框，甲三角形木框的三邊長分別為1，2，5，乙三角形木框的三邊長分別為5，5，10，則甲、乙兩個三角形(A)
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．無法判斷
2．(唐山玉田縣期末)已知△ABC的三邊長分別為2，6，2，△A′B′C′的兩邊長分別是1和3，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三邊長應該為(A)
A.2 B.22 C.62 D.33
3．(石家莊模擬)下列三個三角形中相似的是(B)
A．A與B B．A與C
C．B與C D．A，B，C都相似
4．如圖，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，試判斷這兩個三角形是否相似，并說明理由．
[來源:學科網]
解：相似．
理由：∵ACAE＝2018年＝53，ABAD＝2515＝53，
BCDE＝4024＝53，
∴ACAE＝ABAD＝BCDE.
∴△ABC∽△ADE.
知識點2 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似
5．(保定蓮池區期末)如圖，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中點，在AB上取一點F，使△CBF∽△CDE，則BF的長是(D)
A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8
6．如圖，已知△ABC，則下列4個三角形中，與△ABC相似的是(C)
7．如圖，已知：AB•AD＝AC•AE，∠B＝30°，則∠E＝30°．
8．根據下列條件，判斷△ABC和△A′B′C′是否相似，并說明理由．
∠B＝50°，AB＝2，BC＝3，∠B′＝50°，A′B′＝12，B′C′＝18.
解：相似．理由：
∵ABA′B′＝212＝16，BCB′C′＝318＝16，
∴ABA′B′＝BCB′C′.
∵∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
02 中檔題
9．如圖所示，小正方形的邊長均為1，則下列選項中陰影部分的三角形與△ABC相似的是(A)
10．如圖，在等邊△ABC中，D、E分別在AC、AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，則有(B)
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
11．一個鋼筋三腳架三邊長分別是20 cm、50 cm、60 cm.現在再做一個與其相似的鋼筋三腳架，而只有長為30 cm和50 cm的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下兩段(允許有余料)作為兩邊，則下列截法：①將30 cm截出5 cm和25 cm；②將50 cm截出10 cm和25 cm；③將50 cm截出12 cm和36 cm；④將50 cm截出20 cm和30 cm.其中正確的有(B)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
12．(唐山遷安中學月考)如圖，在△ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一點，AD＝12，在AB上取一點E，使A、D、E三點組成的三角形與ABC相似，則AE＝16或9．
13．(石家莊四十二中章末測試)已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6.在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，則△ABC和△EDF相似嗎？為什么？
解：△ABC∽△EDF相似．理由如下：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
根據勾股，得AC＝AB2－BC2＝102－62＝8.
在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，
根據勾股，得ED＝DF2＋EF2＝32＋42＝5.
在Rt△ABC和Rt△EDF中，BCDF＝63＝2，ACEF＝84＝2，ABED＝105＝2，
∴BCDF＝ACEF＝ABED.
∴△ABC∽△EDF.
14．(杭州中考)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且ADAC＝DFCG.
(1)求證：△ADF∽△ACG；
(2)若ADAC＝12，求AFFG的值．
解：(1)證明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，
∴∠ADF＝∠C.
又∵ADAC＝DFCG，
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG，
∴ADAC＝AFAG＝12.
∴AFFG＝1.
03 綜合題
15．(武漢中考改編)如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒(0＜t＜2)，連接PQ.若以B，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，求t的值．
解：由題意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝AC2＋BC2＝10 cm.
①當△BPQ∽△BAC時，
則BPBA＝BQBC，
∴5t10＝8－4t8.解得t＝1；
②當△BPQ∽△BCA時，則BPBC＝BQBA，
∴5t8＝8－4t10.解得t＝3241.
綜上所述，當t＝1或3241時，以B，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似．
第3課時 相似三角形的判定定理3
01 基礎題
知識點1 兩角分別相等的兩個三角形相似
1．有一個角為30°的兩個直角三角形一定(B)
A．全等 B．相似
C．既全等又相似 D．無法確定
2．(唐山遷安中學月考)如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D點，則圖中相似三角形有(C)
A．1對 B．2對
C．3對 D．4對
3．(石家莊四十二中章末測試)在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，下列條件不能判斷這兩個三角形相似的是(D)
A．∠A＝∠C′ B．∠A＝∠A′
C.ABBC＝A′B′B′C′ D.ABAC＝A′B′A′C′
4．如圖，銳角△ABC的邊AB，AC上的高線CE，BF相交于點D，請寫出圖中的一對相似三角形答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE等．(用相似符號連接)
5．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下圖各三角形中與△ABC相似的是△EFD，△HGK.
6．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點，BF⊥AE于F，試說明：△ABF∽△EAD.
證明：∵ 矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.
∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.
∴∠AFB＝∠D＝90°.
∴△ABF∽△EAD.
知識點2 斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似
7．(保定期中)下列命題不一定成立的是(C)
A．斜邊與一條直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似
B．兩個等腰直角三角形相似
C．兩邊對應成比例且有一個角相等的兩個三角形相似
D．各有一個角等于95°的兩個等腰三角形相似
8．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列條件不能判定兩個三角形相似的是(D)
A．∠B＝∠B1 B.ABA1B1＝ACA1C1
C.ABA1B1＝BCB1C1 D.ABB1C1＝ACA1C1
9．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，則當A′B′＝10時，△ABC∽△A′B′C′.
02 中檔題
10．(河北中考)如圖，菱形ABCD中，點M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，則AN＝(B)
A．3 B．4 C．5 D．6
11．(畢節中考)如圖，△ABC中，AE交BC于點D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，則DC的長等于(A)
A.154 B.125 C.203 D.174
12．一個直角三角形的兩邊長分別為3和6，另一個直角三角形的兩邊長分別為2和4，那么這兩個直角三角形不一定(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．
13．(婁底中考)如圖，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，還需添加一個條件，你添加的條件是答案不唯一，如AB∥DE．(只需寫一個條件，不添加輔助線和字母)
14．如圖，已知∠C＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的長為多少時，圖中兩直角三角形相似？
解：①若△ABC∽△ADB，
則ABAD＝ACAB.
∴6AD＝26.∴AD＝3.
②若△ABC∽△DAB，
則ABAD＝BCAB.∴6AD＝6－46.
∴AD＝32.
綜上所述，當AD＝3或32時，圖中兩直角三角形相似．
15．(濱州中考改編)如圖，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q.
(1)求證：△APQ∽△CDQ；
(2)P點從A點出發沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒．當t為何值時，DP⊥AC?
解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.∴∠APQ＝∠CDQ.
又∵∠AQP＝∠CQD.
∴△APQ∽△CDQ.
(2)當t＝5時，DP⊥AC.
理由：∵t＝5，∴AP＝5.∴APAD＝510.
又∵DADC＝1020，∴APAD＝DADC.
又∵∠PAD＝∠ADC＝90°，∴△PAD∽△ADC.
∴∠ADP＝∠DCA.
∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°，
∴∠DCA＋∠CDP＝90°.
∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.
03 綜合題
16．(河北模擬)如圖，在▱ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B.
(1)求證：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝8，AD＝63，AE＝6，求AF的長．
解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠ADF＝∠CED，∠B＋∠C＝180°.
∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C.
∴△ADF∽△DEC.
(2)∵CD＝AB＝8，AE⊥BC，∴AE⊥AD.
在Rt△ADE中，DE＝（63）2＋62＝12.
∵△ADF∽△DEC，∴ADDE＝AFCD.
∴6312＝AF8，解得AF ＝43.
小專題(三) 相似三角形的基本模型
下面僅以X字型、A字型、雙垂型、M字型4種模型設置練習，幫助同學們認識相似三角形的基本模型，并能從復雜的幾何圖形中分辨出相似三角形，進而解決問題．
模型1 X字型及其變形
(1)如圖1，對頂角的對邊平行，則△ABO∽△DCO；
(2)如圖2，對頂角的對邊不平行，且∠OAB＝∠OCD，則△ABO∽△CDO.
1．(濱州中考)如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點E在對角線BD上，且BE＝1.8，連接AE并延長交DC于點F，則CFCD＝13．
2．如圖，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的長．
解：∵∠ADE＝∠ACB，
∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，
即∠BDF＝∠ECF.
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF.
∴BDCE＝DFCF，即84＝DF2.
∴DF ＝4.
模型2 A字型及其變形
(1)如圖1，公共角所對應的邊平行，則△ADE∽△ABC；
(2)如圖2，公共角的對邊不平行，且有另一對角相等，則△ADE∽△ABC；
(3)如圖3，公共角的對邊不平行，兩個三角形有一條公共邊，且有另一對角相等，則△ACD∽△ABC.
3．(濰坊中考)如圖，在△ABC中，AB≠AC，D，E分別為邊AB，AC上的點，AC＝3AD，AB＝3AE，點F為BC邊上一點，添加一個條件：答案不唯一，如：∠A＝∠BDF，∠A＝∠BFD，∠ADE＝∠BFD，∠EDA＝∠BFD，DF∥AC，BDAE＝BFED，BDDE＝BFAE等，可以使得△FDB與△ADE相似．(只需寫出一個)
4．(福州中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝5－12，在AC邊上截取AD＝BC，連接BD.
(1)通過計算，判斷AD2與AC•CD的大小關系；
(2)求∠ABD的度數．
解：(1)∵AD＝BC＝5－12，
∴AD2＝(5－12)2＝3－52.
∵AC＝1，
∴CD＝1－5－12＝3－52.
∴AD2＝AC•CD.
(2)∵AD2＝AC•CD，
∴BC2＝AC•CD，即BCAC＝CDBC.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.
∴ABBD＝ACBC.
又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.
設∠A＝∠ABD＝x，
則∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°.
∴∠ABD＝36°.
模型3 雙垂型
直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點，DE⊥AB于點E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，則AD的長為(C)
A．3
B．4
C．5
D．6
6．如圖，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D為垂足，且AD＝3，AC＝35，則斜邊AB的長為(B)
A．36 B．15
C．95 D．3＋35
7．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝313．
模型4 M字型及其變形
(1)如圖1，Rt△ABD與Rt△BCE的斜邊互相垂直，則有△ABD∽△CEB；
(2)如圖2，點B，C，E在同一條直線上，∠ABC＝∠ACD，則再已知一組條件，可得△ABC與△DCE相似．
8．如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，求AB的長．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
∴∠ACB＋∠A＝90°.
∵AC⊥CE，
∴∠ACB＋∠ECD＝90°.
∴∠A＝∠ECD.
∴△ABC∽△CDE.
∴ABCD＝BCDE.
又∵C是線段BD的中點，ED＝1，BD＝4，
∴BC＝CD＝2.
∴AB＝4.
9．如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點，點F在邊CD上，且∠BEF＝90°.
(1)求證：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝4，延長EF交BC的延長線于點G，求BG的長．
解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB＋∠DEF＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF.
∴△ABE∽△DEF.[來源:學|科|網]
(2)∵AB＝AD＝4，E為AD的中點，
∴AE＝DE＝2.
由(1)知，△ABE∽△DEF，[來源:Z_xx_k.Com]
∴ABDE＝AEDF，即42＝2DF.
∴DF＝1.∴CF＝3.
∵ED∥CG，
∴△EDF∽△GCF.
∴EDCG＝DFCF，即2GC＝13.
∴GC＝6.
∴BG＝BC＋GC＝10.
27.2.2 相似三角形的性質
01 基礎題
知識點1 相似三角形對應線段的比等于相似比
1．(重慶中考A卷)若△ABC∽△DEF，相似比為3∶2，則對應高的比為(A)
A．3∶2 B．3∶5
C．9∶4 D．4∶9
2．(蘭州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為34，則△ABC與△DEF對應中線的比為(A)
A.34 B.43 C.916 D.169
3．若兩個三角形相似，相似比為8∶9，則它們對應角平分線之比是8∶9，若其中較小三角形的一條角平分線的長為6 cm，則另一個三角形對應角平分線長為274_cm．
4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB邊上的中線，C′D′是A′B′邊上的中線，CD＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一條高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中對應高線A′E′的長．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB邊上的中線，C′D′是A′B′邊上的中線，且AE，A′E′是對應的高，
∴AEA′E′＝CDC′D′.
∴4.8A′E′＝410.
∴A′E′＝12 cm.
知識點2 相似三角形周長的比等于相似比
5．(重慶中考)△ABC與△DEF的相似比為1∶4，則△ABC與△DEF的周長比為(C)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶16
6．若兩個相似三角形的周長的比為4∶5，且周長之和為45，則這兩個三角形的周長分別為20，25．
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周長分別為20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的長．
解：∵相似三角形周長的比等于相似比，
∴EFBC＝2520.
∴EF＝54BC＝54×5＝254(cm)．
同理ACDF＝2025，
∴AC＝45DF＝45×4＝165(cm)．
∴EF的長是254 cm，AC的長是165 cm.
知識點3 相似三角形面積的比等于相似比的平方
8．(唐山玉田縣期末)△ABC與△DEF的相似比為1∶3，則△ABC和△DEF的面積比為(D)
A．1∶3 B.3∶1
C．9∶1 D．1∶9
9．(銅仁中考)如圖，在▱ABCD中，點 E在邊DC上，DE∶EC＝3∶1，連接AE交BD于點F，則△DEF的面積與△BAF的面積之比為(B)
A．3∶4 B．9∶16
C．9∶1 D．3∶1
10．(巴中中考)如圖，點D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點，則△ADE的面積與四邊形BCED的面積的比為(B)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶1
11．已知△ABC與△DEF相似且對應中線的比為2∶3，則△ABC與△DEF的面積比為4∶9．
02 中檔題
12．(連云港中考)如圖，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，則下列等式一定成立的是(D)
A.BCDF＝12 B.∠A的度數∠D的度數＝12
C.△ABC的面積△DEF的面積＝12 D.△ABC的周長△DEF的周長＝12
13．(湘西中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面積為1，則四邊形DBCE的面積為(D)
A．3 B．5 C．6 D．8
14．(衡陽中考)若△ABC與△DEF相似且面積之比為25∶16，則△ABC與△DEF的周長之比為5∶4．
15．(金華中考)如圖，直線l1，l2，…，l6是一組等距離的平行線，過直線l1上的點A作兩條射線，分別與直線l3，l6相交于點B，E和C，F.若BC＝2，則EF的長是5．
16．(涼山中考)在▱ABCD中，M，N是AD邊上的三等分點，連接BD，MC相交于O點，則S△MOD∶S△COB＝19或49．
17．如圖，在△ABC中，BC>AC，點D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分線CF交AD于F，點E是AB的中點，連接EF.
(1)求證：EF∥BC；
(2)若四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積．
解：(1)證明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，
∴AF＝DF.
又∵點E是AB的中點，
∴EF是△ABD的中位線．
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.
∴S△AEFS△ABD＝(AEAB)2.
又∵點E是AB的中點，∴AEAB＝12.
∴S△AEFS△ABD＝14.∴S△AEF＝14S△ABD.
∴S△ABD－6＝14S△ABD.∴S△ABD＝8.
03 綜合題
18．(懷化中考)如圖，△ABC為銳角三角形，AD是BC邊上的高，正方形EFGH的一邊FG在BC上，頂點E，H分別在AB，AC上，已知BC＝40 cm，AD＝30 cm.
(1)求證：△AEH∽△ABC；
(2)求這個正方形的邊長與面積．
解：(1)證明：∵四邊形EFGH是正方形，
∴EH∥BC.
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C.
∴△AEH∽△ABC.
(2)設AD與EH相交于點M.
∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，
∴四邊形EFDM是矩形．
∴EF＝DM.
設正方形EFGH的邊長為x.
∵△AEH∽△ABC，
∴EHBC＝AMAD.
∴x40＝30－x30.∴x＝1207.
∴正方形EFGH的邊長為1207 cm，面積為14 40049 cm2.
小專題(四) 相似三角形的判定與性質
1．(河北中考)如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦(不是直徑)，AB⊥CD于點E，則下列結論正確的是(D)
A．AE>BE B.AD?＝BC?
C．∠D＝12∠AEC D．△ADE∽△CBE
2．如圖，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD等于(A)
A.b2c B.b2a C.abc D.a2c
3．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，如果添加下列條件，不能使得△ABC∽△DCA成立的是(D)
A．∠BAC＝∠ADC B．∠B＝∠ACD
C．AC2＝AD•BC D.DCAC＝ABBC
4．(邯鄲育華中學月考)如圖，在7×12的正方形網格中有一只可愛的小狐貍，算算看畫面中由實線組成的相似三角形有(C)
A．4對 B．3對 C．2對 D．1對
提示：△ABC∽△FGE，△HIJ∽△HKL.
5．如圖，P為線段AB上一點，AD與BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，則圖中相似三角形有3對．
提示：△BCP∽△PCF，△DAP∽△DPG，△APG∽△BFP.
6．(河池中考)如圖，菱形ABCD的邊長為1，直線l過點C，交AB的延長線于點M，交AD的延長線于N，則1AM ＋1AN＝1．
7．(保定高陽章末測試)如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE＝60°.
(1)求證：△ABD∽△DCE；
(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的邊長．
解：(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∴∠BAD＋∠ADB＝120°.
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＋∠EDC＝120°.
∴∠DAB＝∠EDC.
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE.
(2)∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC.
∴CD＝BC－BD＝AB－3.
∵△ABD∽△DCE，
∴ABCD＝BDCE，
即ABAB－3＝32.解得AB＝9.
8．(邯鄲育華中學月考)如圖所示，已知▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.
(1)求△AEF與△CDF的周長之比；
(2)如果S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.
解：(1)∵AE∶EB＝1∶2，
∴AE∶AB＝1∶3.
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴AE∶CD＝AE∶AB＝1∶3.
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF.
∴△AEF的周長∶△CDF的周長＝1∶3.
(2)∵△AEF∽△CDF，
∴S△AEF∶S△CDF＝1∶9.
又∵S△AEF＝6，
∴S△CDF＝6×9＝54(cm2)．
9．如圖，在△ABC中，AB＝AD，DC＝BD，DE⊥BC，DE交AC于點E，BE交AD于點F.求證：
(1)△BDF∽△CBA；
(2)AF＝DF.
證明：(1)∵BD＝DC，
DE⊥BC，
∴EB＝EC.
∴∠EBD＝∠C.
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABC.
∴△BDF∽△CBA.
(2)由(1)知，△BDF∽△CBA，
∴FDAB＝BDCB.
∵AB＝AD，BD＝12BC，
∴FDAD＝12BCCB＝12.
∴AF＝DF.
10．(衢州中考)如圖，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點，CD切半圓O于點D，連接OD，作BE⊥CD于點E，交半圓O于點F，已知CE＝12，BE＝9.
(1)求證：△COD∽△CBE；
(2)求半圓O的半徑r的長．
解：(1)證明：∵CD切半圓于點D，OD為⊙O的半徑，
∴CD⊥OD.∴∠CDO＝90°.
∵BE⊥CD，
∴∠E＝90°.
∵∠CDO＝∠E＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDO∽△CEB.
(2)∵在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9，
∴CB＝15.
∵△CDO∽△CEB.
∴ODEB＝COCB，即r9＝15－r15.
∴r＝458.
11．(淄博中考)如圖，在△ABC中，點P是BC邊上任意一點(點P與點B，C不重合)，▱AFPE的頂點F，E分別在AB，AC上．已知BC＝2，S△ABC＝1.設BP＝x，▱AFPE的面積為y.
(1)求y與x的函數關系式；
(2)上述函數有最大值或最小值嗎？若有，則當x取何值時，y有這樣的值，并求出該值；若沒有，請說明理由．
解：(1)∵四邊形AFPE是平行四邊形，
∴PF∥CA.
∴△BFP∽△BAC.
∴S△BFPS△BAC＝(BPBC)2＝(x2)2.
∵S△ABC＝1，∴S△BFP＝x24.
同理S△PEC＝(2－x2)2＝x2－4x＋44.
∴y＝1－x24－x2－4x＋44.
∴y＝－x22＋x.
(2)y＝－x22＋x＝－12(x－1)2＋12.
當x＝1時，y有最大值，最大值為12.
12．(菏澤中考)正方形ABCD的邊長為6 cm，點E、M分別是線段BD、AD上的動點，連接AE并延長，交邊BC于F，過M作MN⊥AF，垂足為H，交邊AB于點N.
(1)如圖1，若點M與點D重合，求證：AF＝MN；
(2)如圖2，若點M從點D出發，以1 cm/s的速度沿DA向點A運動，同時點E從點B出發，以2 cm/s的速度沿BD向點D運動，運動時間為t s.
①設BF＝y cm，求y關于t的函數表達式；
②當BN＝2AN時，連接FN，求FN的長．
解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAN＝∠FBA＝90°.
∵MN⊥AF，∴∠NAH＋∠ANH＝90°.
∵∠NDA＋∠ANH＝90°，
∴∠NAH＝∠NDA.
∴△ABF≌△DAN.
∴AF＝DN.
∴AF＝MN.
(2)①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BF.
∴∠ADE＝∠FBE.
∵∠AED＝∠BEF，∴△EBF∽△EDA.
∴BFAD＝BEED.
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝CB＝6.
∴BD＝62.
由題意得，BE＝2t，則DE＝62－2t.
∴y6＝2t62－2t，即y＝6t6－t.
②∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠MAN＝∠FBA＝90°.
∵MN⊥AF，∴∠NAH＋∠ANH＝90°.
∵∠NMA＋∠ANH＝90°，
∴∠NAH＝∠NMA.
∴△ABF∽△MAN.
∴ANAM＝BFAB.
∵BN＝2AN，AB＝6，∴AN＝2.
∴26－t＝6t6－t 6 .解得t＝2.
周周練 (27.1～27.2)
(時間：40分鐘 滿分：100分)
一、選擇題(每小題4分，共32分)
1．(保定高陽月考)下面圖形中，形狀相同的一組是(D)
2．(x疆生產建設兵團)如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，下列說法中不正確的是(D)
A．DE＝12BC
B.ADAB＝AEAC
C．△ADE∽△ABC
D．S△ADE∶S△ABC＝1∶2
3．(河北中考)在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下：
甲：將邊長為3，4，5的三角形按圖1的方式向外擴張，得到新三角形，它們的對應邊間距為1，則新三角形與原三角形相似．
乙：將鄰邊為3和5的矩形按圖2的方式向外擴張，得到新的矩形，它們的對應邊間距均為1，則新矩形與原矩形不相似．
對于兩人的觀點，下列說法正確的是(A)
A．兩人都對 B．兩人都不對
C．甲對，乙不對 D．甲不對，乙對
4．(安徽中考)如圖，△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為(B)
A．4 B．42 C．6 D．43
5．如圖，已知：DE∥AC，DF∥AB，則下列比例式中正確的是(B)
A.AEEB＝BDDC B.DFAB＝DCBC
C.AEAB＝AFAC D.BDDC＝FCAF
6．(巴彥淖爾中考)如圖，P為▱ABCD的邊AD上的一點，E，F分別為PB，PC的中點，△PEF，△PDC，△PAB的面積分別為S，S1，S2.若S＝3，則S1＋S2的值為(B)
A．24 B．12 C．6 D．3
7．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F是CD上一點，且CF＝14CD，下列結論：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF.其中正確的個數為(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．(臺灣中考)如圖，矩形ABCD中，E點在CD上，且AE＜AC.若P、Q兩點分別在AD、AE上，AP∶PD＝4∶1，AQ∶QE＝4∶1，直線PQ交AC于R點，且Q、R兩點到CD的距離分別為q、r，則下列關系正確的是(D)
A．q＜r，QE＝RC
B．q＜r，QE＜RC
C．q＝r，QE＝RC
D．q＝r，QE＜RC
二、填空題(每小題4分，共24分)
9．如圖，若△ABC∽△DEF，則∠D的度數為30°．
10．(邢臺臨城縣一模)已知c4＝b5＝a6≠0，則b＋ca的值為32．
11．(臨沂中考)如圖，已知AB∥CD，AD與BC相交于點O.若BOOC＝23，AD＝10，則AO＝4．
12．在長8 cm，寬6 cm的矩形中，截去一個矩形，使留下的矩形與原矩形相似，那么留下的矩形面積是27cm2.
13．如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB交弧BC于點D，連接CD、OD，給出以下四個結論：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE•AB.其中正確結論的序號是①④．
14．如圖，正五邊形的邊長為2，連接對角線AD，BE，CE，線段AD分別與BE和CE相交于點M，N，則MN＝3－5．
三、解答題(共44分)
15．(10分)如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點，∠DBC＝∠A.
(1)求證：△BDC∽△ABC；
(2)如果BC＝6，AC＝3，求CD的長．
解：(1)證明：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC.
(2)∵△BDC∽△ABC，
∴BCAC＝CDBC.
∴63＝CD6.∴CD＝2.
16．(10分)(白銀、張掖中考)如圖，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.
(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
(2)求證：OA2＝OE•OF.
證明：(1)∵EC∥AB，
∴∠C＝∠ABF.
∵∠EDA＝∠ABF，
∴∠C＝∠EDA.
∴DA∥CF.
∵EC∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
(2)∵DA∥CF，∴△OBF∽△ODA.∴OAOF＝ODOB.
∵EC∥AB，∴△OAB∽△OED.∴OEOA＝ODOB.
∴OAOF＝OEOA，
即OA2＝OE•OF.
17．(12分)(秦皇島海港區月考)如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且ADCD＝CDBD.
(1)求證：△ACD∽△CBD；
(2)求∠ACB的大��；
(3)若AD＝3，BD＝2，求BC的長．
解：(1)證明：∵CD是邊AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°.
又∵ADCD＝CDBD，
∴△ACD∽△CBD.
(2)∵△ACD∽△CBD，
∴∠A＝∠BCD.
在△ACD中，∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
(3)∵ADCD＝CDBD，
∴CD2＝AD•BD＝6，即CD＝6.
∴BC＝BD2＋CD2＝10.
18．(12分)(六盤水中考)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點O是AC邊上的一點，以O為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點D，連接OD.
(1)求證：△ADO∽△ACB；
(2)若⊙O的半徑為1，求證：AC＝AD•BC.
解：(1)證明：∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB.
∴∠ADO＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADO.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB.
(2)由(1)知：△ADO∽△ACB，
∴ADAC＝ODBC.
∴AD•BC＝AC•OD.
又∵OD＝1，
∴AC＝AD•BC.
27.2.3 相似三角形應用舉例
01 基礎題
知識點1 測量物高
1．(邯鄲育華中學月考)如圖，小明在打網球時，使球恰好能打過網，而且落點恰好在離網6米的位置上，則球拍擊球的高度h為(C)
A.815 B．1 C.43 D.85
2．如圖，某一時刻，測得旗桿的影長為8 m，李明測得小芳的影長為1 m，已知小芳的身高為1.5 m，則旗桿的高度是12m.
3．(保定蓮池區期末)如圖，小明用長為3 m的竹竿CD做測量工具，測量學校旗桿AB的高度，移動竹竿，使竹竿與旗桿的距離DB＝12 m，則旗桿AB的高為9m.
4．如圖，已知有兩堵墻AB，CD，AB墻高2米，兩墻之間的距離BC為8米，小明將一架木梯放在距B點3米的E處靠向墻AB時，木梯有很多露出墻外．將木梯繞點E旋轉90°靠向墻CD時，木梯剛好達到墻的頂端，則墻CD的高為7.5米．
5．如圖是小玲設計的用手電來測量某古城墻高度的示意圖．在點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射后，剛好射到古城墻CD的頂端C處．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么該古城墻CD的高度是多少米？
解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP.
∴ABCD＝BPDP，即1.4CD＝2.112.解得CD＝8.
答：該古城墻CD的高度是8米．
知識點2 測量距離
6．(北京中考)如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上．若測得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，則河的寬度AB等于(B)
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
7．(秦皇島海港區月考)如圖所示，AB是斜靠在墻壁上的一個梯子，梯子下端B點到墻腳C的距離為1.4 m，梯子上點D距離墻壁1.2 m，梯子每級之間的距離(如BD )為0.5 m，則這個梯子的長度是(A)
A．3.5 m B．3.85 m
C．4 m D．4.2 m
8．(邯鄲育華中學月考)如圖，A，B兩點被池塘隔開，在AB外取一點C，連接AC，BC，在AC上取點M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN＝38 m，則AB的長為152_m．
9．如圖，已知零件的外徑為25 mm，現用一個交叉卡鉗(兩條尺長AC和BD相等，OC＝OD)量零件的內孔直徑AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，則零件的厚度x＝2.5_mm.
10．如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸邊每隔60米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸，發現北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為30米．
02 中檔題
11．(柳州中考)小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米(如圖)，然后在A處樹立一根高2米的標桿，測得標桿的影長AC為3米，則樓高為(A)
A．10米 B．12米
C．15米 D．22.5米
12．如圖，一油桶高0.8 m，桶內有油，一根木棒長1 m，從桶蓋小口斜插入桶內，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分長0.8 m，則桶內油的高度為0.64_m．
13．(秦皇島海港區月考)如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當用力壓杠桿的端點A時，杠桿繞C點轉動，另一端點B向上翹起，石頭就被撬動．現有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起10 cm，已知杠桿的動力臂AC與阻力臂BC之比為5∶1，則要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點A向下壓多少厘米呢？
解：如圖：AM、BN都與水平線垂直，即AM∥BN.
易知：△ACM∽△BCN.
∴ACBC＝AMBN.
∵杠桿的動力臂AC與阻力臂BC之比為5∶1，
∴AMBN＝51，即AM＝5BN.
∴當BN≥10 cm時，AM≥50 cm.
故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點A向下壓50 cm.
14．(菏澤中考)如圖，M，N為山兩側的兩個村莊，為了兩村交通方便，根據國家的惠民政策，政府決定打一直線涵洞，工程人員為計算工程量，必須計算M，N兩點之間的直線距離，選擇測量點A，B，C，點B，C分別在AM，AN上，現測得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N兩點之間的直線距離．
解：連接MN.
∵ACAM＝301 000＝3100，ABAN＝541 800＝3100，∴ACAM＝ABAN.
又∵∠BAC＝∠NAM，
∴△BAC∽△NAM.
∴BCMN＝3100，
即45MN＝3100.∴MN＝1 500.
答：M，N兩點之間的直線距離為1 500米．
03 綜合題
15．(濱州中考)某高中學校為高一新生設計的學生板凳如圖所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40 cm，8 cm，為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50 cm，那么橫梁EF應為多長？(材質及其厚度等暫忽略不計)
解：過點C作CM∥AB，分別交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，分別交EF，AD于Q，P.
由題意，得四邊形ABCM，EBCN是平行四邊形，
∴EN＝AM＝BC＝20 cm.
∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．
由題意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，
∴CQ＝32 cm.
∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.
∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240.
∴NF＝24 cm.
∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．
答：橫梁EF應為44 cm.
27．3 位似
第1課時 位似圖形的概念及畫法
01 基礎題
知識點1 位似圖形
1．下列關于位似圖形的表述：
①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；
②位似圖形一定有位似中心；
③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；
④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于相似比．
其中正確命題的序號是(A)
A．②③ B．①②
C．③④ D．②③④
2．(呼倫貝爾中考)視力表的一部分如圖，其中開口向上的兩個“E ”之間的變換是(D)
A．平移
B．旋轉
C．對稱
D．位似
3．兩個位似圖形中，對應點到位似中心的距離之比為2∶3，則這兩個圖形的相似比為(A)
A．2∶3 B．4∶9
C.2∶3 D．1∶2
4．(邯鄲育華中學月考)如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，相似比為2∶3，已知AB＝4，則DE的長等于(A)
A．6 B．5 C．9 D.83
5．如圖，兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是(A)
A．點P B．點O C．點M D．點N
6．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列圖形中，△ABC與△A′B′C′不存在位似關系的是(D)
7．(成都中考)如圖，四邊形ABCD和A′B′C′D′是以點O為位似中心的位似圖形，若OA∶OA′＝2∶3，則四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的面積比為(A)
A．4∶9 B．2∶5
C．2∶3 D.2∶3
8．(石家莊一模)如圖，已知△ABC，任取一點O，連接AO，BO，CO，并取它們的中點D，E，F，得△DEF，則下列說法正確的個數是(C)
①△ABC與△DEF是位似圖形；
②△ABC與△DEF是相似圖形；
③△ABC與△DEF的周長比為1∶2；
④△ABC與△DEF的面積比為4∶1.
A．1 B．2 C．3 D．4
知識點2 位似圖形的畫法
9．如圖，以O為位似中心，將四邊形ABCD縮小為原來的一半．
解：圖略．
02 中檔題
10．如圖，已知BC∥DE，則下列說法中不正確的是(D)
A．兩個三角形是位似圖形
B．點A是兩個三角形的位似中心
C．∠ADE＝∠B
D．點B與點E，點C與點D是對應點
11．如圖，四邊形ABCD與四邊形AEFG是位似圖形，且AC∶AF＝2∶3，則下列結論不正確的是(B)
A．四邊形ABCD與四邊形AEFG是相似圖形
B．AD與AE的比是2∶3
C．四邊形ABCD與四邊形AEFG的周長比是2∶3
D．四邊形ABCD與四邊形AEFG的面積比是4∶9
12．(濟寧中考)如圖，放映幻燈時，通過光源，把幻燈片上的圖形放大到屏幕上．若光源到幻燈片的距離為20 cm，到屏幕的距離為60 cm，且幻燈片中圖形的高度為6 cm，則屏幕上圖形的高度為18_cm．
13．(欽州中考)如圖，以O為位似中心，將邊長為256的正方形OABC依次作位似變換，經第一次變化后得正方形OA1B1C1，其邊長OA1縮小為OA的12，經第二次變化后得正方形OA2B2C2，其邊長OA2縮小為OA1的12，經第三次變化后得正方形OA3B3C3，其邊長OA3縮小為OA2的12，…，依此規律，經第n次變化后，所得正方形OAnBnCn的邊長為正方形OABC邊長的倒數，則n＝16．
14．如圖，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且相似比是1∶2，若AB＝2 cm，則A′B′＝4cm，并在圖中畫出位似中心O.
解：如圖所示．
15．如圖，已知△DEO與△ABO是位似圖形， △OEF與△OBC是位似圖形，求證：OD•OC＝OF•OA.
證明：∵△DEO與△ABO位似，
∴ODOA＝OEOB.
∵△OEF與△OBC位似，
∴OEOB＝OFOC.
∴ODOA＝OFOC.
∴OD•OC＝OF•OA.
03 綜合題
16．(唐山路南中學期末)如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，按要求畫出△A1B1C1和△A2B2C2.
(1)將△ABC向右平移4個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到△A1B1C1；
(2)以圖中的O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△A2B2C2.
解：如圖．
第2課時 平面直角坐標系中的位似
01 基礎題
知識點1 位似圖形的坐標變化規律
1．(唐山玉田縣期末)如圖，線段AB兩個端點的坐標分別為A(6，6)，B(8，2)，以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的12后得到線段CD，則端點D的坐標為(B)
A．(3，3) B．(4，1)
C．(3，1) D．(4，3)
2．如圖，在平面直角坐標系中，以原點為位似中心，將△AOB擴大到原來的2倍，得到△OA′B′.若點A的坐標是(1，2)，則點A′的坐標是(C)
A．(2，4) B．(－1，－2)
C．(－2，－4) D．(－2，－1)
3．(盧龍模擬)如圖，將△ABC的三邊分別擴大一倍得到△A1B1C1(頂點均在格點上)，它們是以P點為位似中心的位似圖形，則P點的坐標是(A)
A．(－4，－3) B．(－3，－3)
C．(－4，－4) D．(－3，－4)
4．(東營中考)如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(－3，6)，B(－9，－3)，以原點O為位似中心，相似比為13，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是(D)
A．(－1，2) B．(－9，18)
C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)
5．(長沙中考)如圖，△ABO三個頂點的坐標分別為A(2，4)，B(6，0)，C(0，0)，以原點O為位似中心，把這個三角形縮小為原來的12，可以得到△A′B′O，已知點B′的坐標是(3，0)，則點A′的坐標是(1，2)．
知識點2 坐標系內圖形的位似作圖
6．如圖，在直角坐標系中，作出五邊形ABCDE的位似圖形，使得新圖形A1B1C1D1E1與原圖形對應線段的比為2∶1，位似中心是坐標原點O.
解：如圖所示．
7．(眉山中考)如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形網格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度．
(1)畫出△ABC向上平移6個單位長度得到的△A1B1C1；
(2)以點C為位似中心，在網格中畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且△A2B2C2與△ABC的相似比為2∶1，并直接寫出點A2的坐標．
解：(1)如圖．
(2)如圖，A2(－2，－2)．
02 中檔題
8．(保定高陽章末測試)如圖，“小魚”與“大魚”是位似圖形，已知“小魚”上一個“頂點”的坐標為(a，b)，那么“大魚”上對應“頂點”的坐標為(C)
A．(－a，－2b) B．(－2a，－b)
C．(－2a，－2b) D．(－2b，－2a)
9．(保定蓮池區月考)如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關于點O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的14，那么點B′的坐標是(D)
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(3，－2)或(－2，3) D．(－2，3)或(2，－3)
10．如圖，原點O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，點A(1，0)與A′(－2，0)是對應點，△ABC的面積是32，則△A′B′C′的面積是6.
11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC和△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，且點B(3，1)，B′(6，2)．
(1)請你根據位似的特征并結合點B的坐標變化回答下列問題：
①若點A(2.5，3)，則A′的坐標為(5，6)；
②△ABC與△A′B′C′的相似比為 1∶2；
(2)若△ABC的面積為m，求△A′B′C′的面積．(用含m的代數式表示)
解：∵△ABC與△A′B′C′的相似比為1∶2，
∴S△ABCS△A′B′C′＝14.
∵△ABC的面積為m，
∴△A′B′C′的面積為4m.
12．如圖，△ABC中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是(－1，0)．以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍．設點B的對應點B′的橫坐標是a，求點B的橫坐標．
解：過B′作B′F⊥x軸于點F，過B作BE⊥x軸于點E，則∠BEC＝∠B′FC＝90°.
又∵∠BCE＝∠B′CF，
∴△BEC∽△B′FC.
∴ECFC＝BCB′C.
∵△ABC∽△A′B′C，且相似比 為12，
∴BCB′C＝ECFC＝12.
∵點B′的橫坐標是a，點C的坐標是(－1，0)，
∴FO＝a，CO＝1.∴FC＝a＋1.
∴EC＝12(a＋1)．
∴點B的橫坐標是：－12(a＋1)－1＝－12(a＋3)．
03 綜合題
13．如圖，在直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為A(7，1)，B(8，2)，C(9，0)．
(1)請在圖中畫出△ABC的一個以點P(12，0)為位似中心，相似比為3的位似圖形(要求與△ABC同在P點一側)；
(2)求線段BC的對應線段B′C′所在直線的解析式．
解：(1)如圖所示．
(2)作BD⊥x軸，B′E⊥x軸，垂直分別是D，E點，
∴B′E∥BD.
∴△B′EP∽△BDP.∴B′EBD＝PEPD＝PB′PB.
∵B(8，2)，P(12，0)，∴OD＝8，BD＝2，OP＝12.
∴PD＝OP－OD＝12－8＝4.
∵△A′B′C′與△ABC的相似比為3，
∴PB′PB＝3.∴B′E2＝PE4＝3.
∴B′E＝6，PE＝12.
∵PO＝12，∴E與O點重合，線段B′E在y軸上．
∴B′點坐標為(0，6)．
同理PC′∶PC＝3∶1，
又∵PC＝OP－OC＝12－9＝3，∴PC′＝9.
∴OC′＝12－9＝3.∴C′點坐標為(3，0)．
設線段B′C′所在直線的解析式為y＝kx＋b，則
6＝b，0＝3k＋b，解得k＝－2，b＝6.
∴線段B′C′所在直線的解析式為y＝－2x＋6.
章末復習(二) 相似
01 基礎題
知識點1 圖形的相似
1．(邯鄲育華中學月考)如圖，兩個等 邊三角形， 兩個矩形，兩個正方形，兩個菱形各成一組，每組中的一個圖形在另一個圖形的內部，對應邊平行，且對應邊之間的距離都相等，那么兩個圖形不相似的一組是(B)
2．如圖，四邊形ABCD∽四邊形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21，則∠F＝60°，∠D＝110°，AD＝28．
知識點2 平行線分線段成比例
3．如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結論正確的是(A)
A.CECB＝DFDA B.ADDF＝CEBC
C.CDEF＝ADAF D.CEBE＝AFAD
4．(南皮模擬)如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，若AD＝2BD，則CFBF的值為(A)
A.12 B.13 C.14 D.23
知識點3 相似三角形的性質與判定
5．(自貢中考)如圖，在△ABC中，MN∥BC分別交AB，AC于點M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，則MN的長為1．
6．(邯鄲育華中學月考)如圖，已知△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F.
(1)求證：△AFE∽△ABC；
(2)若∠A＝60°時，求△AFE與△ABC面積之比．
解：(1)證明：∵∠AFB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，
∴△AFB∽△AEC.
∴AFAE＝ABAC.∴AFAB＝AEAC.
又∵∠A＝∠A，∴△AFE∽△ABC.
(2)∵∠A＝60°，∠AEC＝90°，∴∠ACE＝30°.
∴AE＝12AC.∵△AFE∽△ABC.
∴S△AFES△ABC＝(AEAC)2＝(12)2＝14.
知識點4 相似三角形的應用
7．九年級(1)班課外活動小組利用標桿測量學校旗桿的高度，如圖所示，已知標桿高度CD＝3 m，標桿與旗桿的水平距離BD＝15 m，人的眼睛與地面的高度EF＝1.6 m，人與標桿CD的水平距離DF＝2 m，則旗桿AB的高度為13.5m.
知識點5 位似
8．(濱州中考)在平面直角坐標系中，點C，D的坐標分別為C(2，3)，D(1，0)．現以原點為位似中心，將線段CD放大得到線段AB，若點D的對應點B在x軸上且OB＝2，則點C的對應點A的坐標為(4，6)或(－4，－6)．
02 中檔題
9．(長沙中考)如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的一點M重合(M不與端點C，D重合)，折痕交AD于點E，交BC于點F，邊AB折疊后與邊BC交于點G，設正方形ABCD的周長為m，△CMG的周長為n，則nm的值為(B)
A.22 B.12 C.5－12 D．隨H點位置的變化而變化
10．(棗莊中考)如圖，在矩形ABCD中，∠B的平分線BE與AD交于點E，∠BED的平分線EF與DC交于點F，若AB＝9，DF＝2FC，則BC＝62＋3．(結果保留根號)
11．(河北中考)如圖，在6×8網格圖中，每個小正方形邊長均為1，點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點．
(1)以O為位似中心，在網格圖中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且相似比為1∶2；
(2)連接(1)中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長．(結果保留根號)
解：(1)如圖所示．
(2)AA′＝CC′＝2.
在Rt△OA′C′中，
OA′＝OC′＝2，得A′C′＝22.
同理可得AC＝42，
∴四邊形AA′C′C的周長為4＋62.
12．如圖，矩形ABCD為臺球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm.球目前在E點位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄準BC邊上的點F將球打過去，經過反彈后，球剛好彈到D點的位置．
(1)求證：△BEF∽△CDF；
(2)求CF的長．
解：(1)證明：由題意，得∠EFG＝∠DFG.
∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，
∴∠BFE＝∠CFD.
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CDF.
(2)∵△BEF∽△CDF，∴BECD＝BFCF，
即70130＝260－CFCF.∴CF＝169 cm.
13．(杭州中考)如圖，在銳角△ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求證：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求AFAG的值．
解：(1)證明：∵AF⊥DE，AG⊥BC，
∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°.
∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC，
又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠C.
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B.
又∵∠AFD＝∠AGB＝90°，
∴△AFD∽△AGB.∴AFAG＝ADAB.
∵AD＝3，AB＝5，
∴AFAG＝35.
03 綜合題
14．(眉山中考)如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，連接DE，過頂點B作BF⊥DE，垂足為F，BF分別交AC于H，交CD于G.
(1)求證：BG＝DE；
(2)若點G為CD的中點，求HGGF的值．
解：(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°.
∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°.
∵∠BGC＝∠DGF，
∴∠CBF＝∠GDF.
∴△BCG≌△DCE.∴BG＝DE.
(2)設正方形ABCD的邊長為a，
∵點G是CD的中點，
∴CB＝a，CG＝GD＝12a.∴BG＝52a.
∵∠CBG＝∠GDF，∠BGC＝∠DGF，
∴△BCG∽△DFG.
∴GFGC＝DGBG，即GF12a＝12a52a.∴GF＝510a.
又∵AB∥CD，∴CGBA＝HGHB＝12.∴HGGB＝13.
∴GH＝13GB＝56a.∴HGGF＝56a510a＝53.
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