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湖南省郴州市2013年中考數學試卷
　
一、（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（3分）（2013•郴州）5的倒數是（　　）
　A．?5B．5 C． D．?

考點：倒數．
分析：根據倒數的定義：若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數．
解答：解：∵5× =1，
∴5的倒數是 ．
故選C．
點評：本題主要考查倒數的定義，要求熟練掌握．需要注意的是：
倒數的性質：負數的倒數還是負數，正數的倒數是正數，0沒有倒數．
倒數的定義：若兩個數的乘積是1，我們就稱這兩個數互為倒數．
　
2．（3分）（2013•郴州）函數y= 中自變量x的取值范圍是（　　）
　A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x≠?3

考點：函數自變量的取值范圍．
分析：根據分母不等于0列式計算即可得解．
解答：解：根 據題意得，3?x≠0，
解得x≠3．
故選C．
點評：本題考查了函數自變量的范圍，一般從三個方面考慮：
（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；
（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；
（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負．
　
3．（3分）（2013•郴州）下列圖案中，不是中心對稱圖形的是（　　）
　A． B． C． D．

考點：中心對稱圖形．
分析：根據中心對稱圖形的概念求解．
解答：解：A、是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、不是中心對稱圖形，故本選項正確；
C、是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
D、是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
故選B．
點評：本題考查了中心對稱圖形的知識，解題的關鍵是掌握中心對稱圖形的概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后重合．
　
4．（3分）（2013•郴州）下列運算正確的是（　　）
　A．x•x4=x5B．x6÷x3=x2C．3x2?x2=3D．（2x2）3=6x6

考點：同底數冪的除法；合并同類項；同底數冪的；冪的乘方與積的乘方．
分析：結合各選項分別進行同底數冪的、同底數冪的除法、合并同類項、冪的乘方等運算，然后選出正確選項即可．
解 答：解：A、x•x4=x5，原式計算正確，故本選項正確；
B、x6÷x3=x3，原式計算錯誤，故本選項錯誤；
C、3x2?x2=2x2，原式計算錯誤，故本選項錯誤；
D、（2x2）3=8x，原式計算錯誤，故本選項錯誤；
故選A．
點評：本題考查了同底數冪的除法、同底數冪的乘法、冪的乘方等運算，屬于基礎題，掌握各運算法則是解題的關鍵．
　
5．（3分）（2013•郴州）化簡 的結果為（　　）
　A．?1B．1C． D．

考點：分式的加減法．
分析：先把分式進行通分，把異分母分式化為同分母分式，再把分子相加，即可求出答案．
解答：解：
= ?
=
=1；
故選B．
點評：此題考查了分式的加減，根據在分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同 分母分式，然后再相加減即可．
　
6．（3分）（2013•郴州）數據1，2，3，3，5，5，5的眾數和中位數分別是（　　）
　A．5，4B．3，5C．5，5D．5，3

考點：眾數；中位數．
分析：根據眾數的定義即眾數是一組數據中出現次數最多的數和中位數的定義即中位數是將一組數據從小到大重新排列后，最中間的那個數即可求出答案．
解答：解：數據1，2，3，3，5，5，5中，
5出現了3次，出現的次數最多，
則眾數是5；
最中間的數是3，
則中位數是3；
故選D．
點評：此題考查了眾數和中位數，掌握眾數和中位數的定義是解題的關鍵，眾數是一組數據中出現次數最多的數，中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數）．
　
7．（3分）（2013•郴州）在一年一度的“安仁春分藥王節”市場上，小明的媽媽用280元買了甲、乙兩種藥材．甲種藥材每斤20元，乙種藥材每斤60斤，且甲種藥材比乙種藥材多買了2斤．設買了甲種藥材x斤，乙種藥材y斤，你認為小明應該列出哪一個方程組求兩種藥材各買了多少斤？（　　）
　A． B．
　C． D．

考點：由實際問題抽象出二元一次方程組．
分析：設買了甲種藥材x斤，乙種藥材y斤，根據甲種藥材比乙種藥材多買了2斤，兩種藥材共花費280元，可列出方程．
解答：解：設買了甲種藥材x斤，乙種藥材y斤，
由題意得： ．
故選A．
點評：本題考查了有實際問題抽象出二元一次方程組，難度一般，關鍵是讀懂題意設出未知數找出等量關系．
　
8．（3分）（2013•郴州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點．將Rt△ABC沿CD折疊，使B點落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（　　）

　A．25°B．30°C．35°D．40°

考點：翻折變換（折疊問題）．
分析：先根據三角形內角和定理求出∠B的度數，再由圖形翻折變換的性質得出∠CB′D的度數，再由三角形外角的性質即可得出結論．
解答：解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°?25°=65°，
∵△CDB′由△CDB反折而成，
∴∠CB′D=∠B=65°，
∵∠CB′D是△AB′D的外角，
∴∠ADB′=∠CB′D?∠A=65°?25°=40°．
故選D．
點評：本題考查的是圖形的翻折變換及三角形外角的性質，熟知圖形反折不變性的性質是解答此題的關鍵．
　
二、題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
9．（3分）（2013•郴州）據統計，我國今年夏糧的播種面積大約為415000000畝，415000000用科學記數法表示為　4.15×108　．

考點：科學記數法―表示較大的數．
分析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
解答：解：將415000000用科學記數法表示為4.15×108．
故答案為4.15×108．
點評：此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
　
10．（3分）（2013•郴州）已知a+b=4，a?b=3，則a2?b2=　12　．

考點：平方差公式．
分析：根據a2?b2=（a+b）（a?b），然后代入求解．
解答：解：a2?b2=（a+b）（a?b）=4×3=12．
故答案是：12．
點評：本題重點考查了用平方差公式．平方差公式為（a+b）（a?b）=a2?b2．本題是一道較簡單的題目．
　
11．（3分）（2013•郴州）已知一個多邊形的內角和是1080°，這個多邊形的邊數是　8　．

考點：多邊形內角與外角．
分析：根據多邊形內角和定理：（n?2）•180 （n≥3）且n為整數）可得方程180（x?2）=1080，再解方程即可．
解答：解：設多邊形邊數有x條，由題意得：
180（x?2）=1080，
解得：x=8，
故答案為：8．
點評：此題主要考查了多邊形內角和定理，關鍵是熟練掌握計算公式：（n?2）•180 （n≥3）且n為整數）．
　
12．（3分）（2013•郴州）已知關于x的一元二次方程x2+bx+b?1=0有兩個相等的實數根，則b的值是　2　．

考點：根的判別式．
專題：．
分析： 根據方程有兩個相等的實數根，得到根的判別式的值等于0，即可求出b的值．
解答：解：根據題意得：△=b2?4（b?1）=（b?2）2=0，
則b的值為2．
故答案為：2
點評：此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數根．[:學+科+網]
　
13．（3分）（2013•郴州）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，∠BAC=70°，則∠OCB=　20　°．

考點：圓周角定理．
分析：根據圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所 對的圓心角的一半得：∠BOC=2∠BAC，在等腰三角形OBC中可求出∠OCB．
解答：解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=70°，
∴∠B0C=2∠BAC=2×70°=140°，
∵OC=OB（都是半徑），
∴∠OCB=∠OBC= （180°?∠BOC）=20°．
故答案為：20°．
點評：此題考查了圓周角定理，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．
　
14．（3分）（2013•郴州）如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是　∠B=∠C（答案不唯一）　（只寫一個條件即可）．

考點：全等三角形的判定．
專題：開放型．
分析：由題意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可選擇利用AAS、SAS進行全等的判定，答案不唯一．
解答：解：添加∠B=∠C．
在△ABE和△ACD中，∵ ，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
故答案可為：∠B=∠C．
點評：本題考查了全等三角形的判定，屬于開放型題目，解答本題需要同學們熟練掌握三角形全等的幾種判定定理．
　
15．（3分）（2013•郴州）擲一枚質地均勻的骰子，骰子的六個面上分別標有數字1～6，擲得朝上的一面的數字為奇數的概率是　 　．

考點：概率公式．
分析：讓向上一面的數字是奇數的情況數除以總情況數6即為所求的概率．
解答：解：正方體骰子，六個面上分別刻有的1，2，3，4，5，6六個數字中，
奇數為1，3，5，則向上一面的數字是奇數的概率為 = ．
故答案為： ．
點評：此題主要考查了概率公式的應用，明確概率的意義是解答的關鍵，用到的知識點為：概率等于所求情況數與總情況數之比．
　
16．（3分）（2013•郴州）圓錐的側面積為6πc2，底面圓的半徑為2c，則這個圓錐的母線長為　3　c．

考點：圓錐的計算．
分析：圓錐的側面積=底面周長×母線長÷2，把相應數值代入即可求解．
解答：解：設母線長為R，底面半徑是2c，則底面周長=4π，側面積=2πR=6π，
∴R=3．
故答案為：3．
點評：本題利用了圓的周長公式和扇形面積公式求解．比較基礎，重點是掌握公式．
　
三、解答題（本大題共6小題，每小題6分，共36分）
17．（6分）（2013•郴州）計算：? +（2013? ）0?（ ）?1?2sin60°．

考點：實數的運算；零指數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．
專題：．
分析：先分別根據0指數冪及負整數指數冪的計算法則，特殊角的三角函數值計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可．
解答：解：原式=2 +1?3?2×
=2 +1?3?
= ?2．
點評：本題考查的是實數的運算，熟知0指數冪及負整數指數冪的計算法則，特殊角的三角函數值是解答此題的關鍵．
　
18．（6分）（2013•郴州）解不等式4（x?1）+3≥3x，并把解集在數軸上表示出來．

考點：解一元一次不等式；在數軸上表示不等式的解集．
分析：首先去括號，然后移項、合并同類項，系數化成1，即可求得不等式的解集．
解答：解：去括號得：4x?4+3≥3x，
移項得：4x?3x≥4?3
則x≥1．
把解集在數軸上表示為：

點評：本題考查了解簡單不等式的能力，解答這類題學生往往在解題時不注意移項要改變符號這一點而出錯．
解不等式要依據不等式的基本性質，在不等式的兩邊同時加上或減去同一個數或整式不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數不等號的方向不變；在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數不等號的方向改變．
　
19．（6分）（2013•郴州）在圖示的方格紙中
（1）作出△ABC關于N對稱的圖形△A1B1C1；
（2）說明△A2B2C2是由△A1B1C1經過怎樣的平移得到的？

考點：作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換．
專題：作圖題．
分析：（1）根據網格結構找出點A、B、C關于N的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；
（2）根據平移的性質結合圖形解答．
解答：解：（1）△A1B1C1如圖所示；

（2）向右平移6個單位，再向下平移2個單位（或向下平移2個單位，再向右平移6個單位）．

點評：本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用平移變換作圖，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置以及變化情況是解題的關鍵．
　
20．（6分）（2013•郴州）已知：如圖，一次函數的圖象與y軸交于C（0，3），且與反比例函數y= 的圖象在第一象限內交于A，B兩點，其中A（1，a），求這個一次函數的解析式．

考點：反比例函數與一次函數的交點問題．
分析：把A點坐標代入反比例函數解析式，即 可求出a，求得A點坐標，然后再把A、C點的坐標 代入一次函數的解析式，利用待定系數法求出一次函數的解析式．
解答：解：∵A（1，a）在y= 的圖象上，
∴a=2，
∴A（1，2）．
又∵C（0，3）在一次函數的圖象，
設一次函數的解析式為y=kx+b，則

解得：k=?1，b=3，
故一次函數的解析式為y=?x+3．
點評：考查了反比例函數與一次函數的交點問題，本類題目的解決需把點的坐標代入函數解析式，靈活利用方程組求出所需字母的值，從而求出函數解析式．
　
21．（6分）（2013•郴州）游泳是一項深受青少年喜愛的體育活動，學校為了加強學生的安全意識，組織學生觀看了紀實片“孩子，請不要私自下水”，并于觀看后在本校的2000名學生中作了抽樣調查．請根據下面兩個不完整的統計圖回答以下問題：
（1）這次抽樣調查中，共調查了　400　名學生；
（2）補全兩個統計圖；
（3）根據抽樣調查的結果，估算該校2000名學生中大約有多少人“一定會下河游泳”？

考點：條形統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖．
分析：（1）根據一定會的人數和所占的百分比即可求出總人數；
（2）用總人數減去其它人數得出不會的人數，再根據家長陪同的人數除以總人數得出家長陪同時會的所占的百分比，從而補全統計圖；xkb1.co
（3）用2000乘以一定會下河游泳所占的百分百，即可求出該校一定會下河游泳的人數．
解答：解：（1）總人數是：20÷5%=400（人）；

（2）一定不會的人數是400?20?50?230=100（人），
家長陪同的所占的百分百是 ×100%=57.5%，
補圖如下：

（3）根據題意得：
2000×5%=100（人）．
答：該校2000名學生中大約有多少人“一定會下河游泳”有100人．
點評：本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小，用到的知識點是頻率= ．
　
22．（6分）（2013•郴州）我國為了維護隊釣魚島P的主權，決定對釣魚島進行常態化的立體巡航．在一次巡航中，輪船和飛機的航向相同 （AP∥BD），當輪船航行到距釣魚島20k的A處時，飛機在B處測得輪船的俯角是45°；當輪船航行到C處時，飛機在輪船正上方的E處，此時EC=5k．輪船到達釣魚島P時，測得D處的飛機的仰角為30°．試求飛機的飛行距離BD（結果保留根號）．

考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分別求出BF、GD的值，繼而可求得BD=BF+FG+DC的值．
解答：解：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分別為F、G，
由題意得：AF=PG=CE=5k，FG=AP=20k，
在Rt△AFB中，∠B=45°，
則∠BAF=45°，
∴BF=AF=5，
∵AP∥BD，
∴∠D=∠DPH=30°，
在Rt△PGD中，tan∠D= ，即tan30°= ，
∴GD=5 ，
則BD=BF+FG+DC=5+20+5 =25+5 （k）．
答：飛機的飛行距離BD為25+5 k．

點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是根據仰角和俯角構造直角三角形，然后解直角三角形，難度一般．
　
四、證明題（本題8分）
23．（8分）（2013•郴州）如圖，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求證：四邊形DEBF是平行四邊形．

考點：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質．
專題：證明題．
分析：首先根據平行線的性質可得∠BEC=∠DFA，再加上條件∠ADF=∠CBE，AF=CE，可證明△ADF≌△CBE，再根據全等三角形的性質可得BE=DF，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進行判定即可．
解答：證明：∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△ADF和△CBE中 ，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴BE=DF，
又∵BE∥DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
點評：此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
　
五、（本題8 分）
24．（8分）（2013•郴州）烏梅是郴州的特色時令水果．烏梅一上市，水果店的小李就用3000元購進了一批烏梅，前兩天以高于進價40% 的價格共賣出150kg，第三天她發現市場上烏梅數量陡增，而自己的烏梅賣相已不大好，于是果斷地將剩余烏梅以低于進價20%的價格全部售出，前后一共獲利750元，求小李所進烏梅的數量．

考點：分式方程的應用．
分析：先設小李所進烏梅的數量為xkg，根據前后一共獲利750元，列出方程，求出x的值，再進行檢驗即可．
解答：解：設小李所進烏梅的數量為xkg，根據題意得：
•40%?150（x?150）• •20%=750，
解得：x=200，
經檢驗x=200是原方程的解，
答：小李所進烏梅的數量為200kg．
點評：此題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找出之間的等量關系，列出方程，解分式方程時要注意檢驗．
　
六、綜合題（本大共2小題，每小題10分，共20分）
25．（10分）（2013•郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）證明：△PCE是等腰三角形；
（2）E、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數式表示E、FN，并探究E、FN、BH之間的數量關系；
（3）當k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數關系式．x為何值時，S有最大值？并求出S的最大值．

考點：等腰三角形的判定與性質；二次函數的最值；解直角三角形．
分析：（1）根據等邊對等角可得∠A=∠C，然后根據兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證；
（2）根據等腰三角形三線合一的性質求出C= CP，然后求出E，同理求出FN、BH的長，再根據結果整理可得E+FN=BH；
（3）分別求出E、FN、BH，然后根據S△PCE，S△APF，S△ABC，再根據S=S△ABC?S△PCE?S△APF，整理即可得到S與x的關系式，然后利用二次函數的最值問題解答．
解答：（1）證明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，E⊥CP，
∴C= CP= ，tanC=tanA=k，
∴E=C•tanC= •k= ，
同理：FN=AN•tanA= •k=4k? ，
由于BH=AH•tanA= ×8•k=4k，
而E+FN= +4k? =4k，
∴E+FN=BH；

（3）解：當k=4時，E=2x，FN=16?2x，BH=16，
所以，S△PCE= x•2x=x2，S△APF= （8?x）•（16?2x）=（8?x）2，S△ABC= ×8×16=64，
S=S△ABC?S△PCE?S△APF，
=64?x2?（8?x）2，
=?2x2+16x，
配方得，S=?2（x?4）2+32，
所以，當x=4時，S有最大值32．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，銳角三角函數，二次函數的最值問題，表示出各三角形的高線是解題的關鍵，也是本題的 難點．
　
26．（10分）（2013•郴州）如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標系．拋物線頂點為A，且經過點C．點P在線段AO上由A向點O運動，點O在線段OC上由C向點O運動，QD⊥OC交BC于點D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E′是E關于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？
（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發，運動的時間為t秒，當t為何值時，PB∥OD？

考點：二次函數綜合題．
分析： （1）根據頂點式將A，C代入解析式求出a的值，進而得出二次函數解析式；
（2）利用菱形的性質得出AO與EE′互相垂直平分，利用E點縱坐標得出x的值，進而得出BC，EO直線解析式，再利用兩直線交點坐標求法得出Q點坐標，即可得出答案；
（3）首先得出△APB∽△QDO，進而得出 = ，求出的值，進而得出答案．
解答：解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點，
∴設y=ax2+2，
∵點C（3，0），在拋物線上，
∴9a+2=0，
解得：a=? ，
∴拋物線為；y=? x2+2；

（2）如果四邊形OEAE′是菱形，則AO與EE′互相垂直平分，
∴EE′經過AO的中點，
∴點E縱坐標為1，代入拋物線解析式得：
1=? x2+2，
解得：x=± ，
∵點E在第一象限，
∴點E為（ ，1），
設直線BC的解析式為y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：
，
解得： ，
∴BC的解析式為：y=?x+3，
將E點代入y=ax，可得出EO的解析式為：y= x，
由 ，
得： ，
∴Q點坐標為：（ ，0），
∴當Q點坐標為（ ，0）時，四邊形OEAE′是菱形；

（3）法一：設t為秒時，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO，
∴ = ，
由題意得：AB=1，AP=2，QO=3?3，
又∵點D在直線y=?x+3上，∴DQ=3，
因此： = ，解得：= ，
經檢驗：= 是原分式方程的解，
∴當t= 秒時，PB∥OD．
法二：作BH⊥OC于H，則BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC?OH=2，
∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，
易知DQ=CQ，
設t為秒時PB∥OE，則△ABP∽△Q OD，
∴ = ，易知AP=2，DQ=CQ=3，QO=3?3，
∴ = ，
解得= ，經檢驗= 是方程的解，
∴當t為 秒時，PB∥OD．

點評：此題主要考查了菱形的判定與性質以及頂點式求二次函數解析式以及相似三角形的判定與性質等知識，根據數形結合得出△APB∽△QDO是解題關鍵．