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2014~2015學年度第一學期期末考試
九年級數學2015.2
說明：本卷滿分130分，考試用時120分鐘，解答結果除特殊要求外均取精確值，可使用計算器．
一、選擇題（本大題共10小題，每題3分，共30分．）
1．一元二次方程x2－x－2＝0的解是…………………………………………………（    ）．
A．x1＝1，x2＝2  B．x1＝1，x2＝－2   C．x1＝－1，x2＝－2   D．x1＝－1，x2＝2
2．已知點A在半徑為r的⊙O內，點A與點O的距離為6，則r的取值范圍是…………（    ）．
A．r ＞ 6    B．r ≥ 6        C．r ＜ 6         D．r ≤ 6
3．如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔60海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為………………………………………………………………………………（    ）．
A．302海里        B．303海里         C．60海里              D．306海里
4．某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度共生產零件196萬個，設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是……………………………………………（    ）．
  A．50(1＋x)2＝196               B．50＋50(1＋x)2＝196
  C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196            D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
5．學校組織才藝表演比賽，前6名獲獎．有13位同學參加比賽且他們所得的分數互不相同．某同學知道自己的比賽分數后，要判斷自己能否獲獎，在這13名同學成績的統計量中只需知道一個量，它是……………………………………………………………………………（    ）．
A．眾數            B．方差             C．中位數             D．平均數
6．如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A、B間的距離：先在AB外選一點C，然后測出AC，BC的中點M，N，并測量出MN的長為6m，由此他就知道了A、B間的距離．有關他這次探究活動的描述錯誤的是………………………………………（    ）．
A．AB＝12m          B．MN∥AB       C．△CMN∽△CAB    D．CM∶MA＝1∶2
7．如圖，已知二次函數y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖所示，下列有4個結論：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③b＜a＋c；④4a＋b＝1，其中正確的結論為……………………（    ）．
A．①②              B．①②③          C．①②④            D．①③④
8．如圖，⊙O的半徑為1，△ABC是⊙O的內接等邊三角形，點D、E在圓上，四邊形BCDE為矩形，這個矩形的面積是……………………………………………………………（    ）．
A．2                  B． 3        C． 32               D． 32

9．如圖，點A(a，b)是拋物線y＝12x2上位于第二象限的一動點，OB⊥OA
交拋物線于點B(c，d )．當點A在拋物線上運動的過程中，以下結論：
①ac為定值；②ac＝－bd；③△AOB的面積為定值；④直線AB必過
一定點．其中正確的結論有………………………………………（    ）．
   A．4個           B．3個       C．2個         D．1個
10．現定義一種變換：對于一個由任意5個數組成的序列S0，將其中的每個數換成該數在S0中出現的次數，可得到一個新序列S1．例如序列S0：（4，2，3，4，2），通過變換可生成新序列S1：（2，2，1，2，2）．則下面序列可以作為S1的是……………………………………………………（    ）．
A．（1，2，1，2，2）                       B．（2，2，2，3，3）
C．（1，1，2，2，3）                       D．（1，2，1，1，2）
二、填空題（本大題共8小題，每題2分，共16分．）
11．拋物線y＝x2－2x＋3的頂點坐標是             ．
12．將“定理”的英文單詞theorem中的7個字母分別寫在7張相同的卡片上，字面朝下洗勻后放在桌子上，任取一張，那么取到字母e的概率為          ．
13．已知命題“關于x的一元二次方程x2＋bx＋14＝0，當b＜0時必有實數解”，能說明這個命題是假命題的一個反例可以是                                    ．
14．如圖，圓錐的表面展開圖由一扇形和一個圓組成，已知圓的面積為100π，扇形的圓心角為120°，這個扇形的面積為             ．
15．如圖，添加一個條件：               ，使△ADE∽△ACB．
16．已知y是關于x的函數，函數圖象如圖所示，則當y＞0時，自變量x的取值范圍是          ．

17．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙O為△ABC的內切圓，點D是斜邊AB的中點，則tan∠ODA等于           ．
18．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°， sin∠BAC＝13，點D是AC上一點，且BC＝BD＝2，將Rt△ABC繞點C旋轉到Rt△FEC的位置，并使點E在射線BD上，連接AF交射線BD于點G，則AG的長為           ．
 

三、解答題（本大題共10小題，共84分．）
19．（本題8分）解方程：(1)  (4x－1)2－9＝0         (2)  x2－3x－2＝0
 

20．（本題8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上一點，且BP＝2，將一個大小與∠B相等的角的頂點放在P 點，然后將這個角繞P點轉動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點為D、E．
(1)求證△BPD∽△CEP．
(2)是否存在這樣的位置，使PD⊥DE？若存在，求出BD的長；
若不存在，說明理由．
 

21．（本題8分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點，CD＝CB，延長CD交BA的延長線于點E．
(1)求證：CD為⊙O的切線．
(2)若圓心O到弦DB的距離為1，∠ABD＝30°，求圖中陰影部分的面積．(結果保留π)
 

22．（本題8分）2015年12月31日晚23時35分許，上海外灘陳毅廣場發生擁擠踩踏事故．為了排除安全隱患，因此無錫市政府決定改造蠡湖公園的一處觀景平臺．如圖，一平臺的坡角∠ABC＝62°，坡面長度AB＝25米（圖為橫截面），為了使平臺更加牢固，欲改變平臺的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，則此時應將平臺底部向外拓寬多少米？（結果保留到0.01米）（參考數據：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）

23．（本題8分）有七張除所標數值外完全相同的卡片，把所標數值分別為－2、－1、3、4的四張卡片放入甲袋，把所標數值分別為－3、0、2的三張卡片放入乙袋．現在先后從甲、乙兩袋中各隨機取出一張卡片，按照順序分別用x、y表示取出的卡片上標的數值，并把x、y分別作為點A的橫坐標、縱坐標．
(1)請用樹狀圖或列表法寫出點A(x，y)的所有情況．
(2)求點A屬于第一象限的點的概率．

24．（本題8分）學校冬季趣味運動會開設了“搶收搶種”項目，八(5)班甲、乙兩個小組都想代表班級參賽，為了選擇一個比較好的隊伍，八(5)班的班委組織了一次選拔賽，甲、乙兩組各10人的比賽成績如下表：
甲組 7 8 9 7 10
10 9 10 10 10
乙組 10 8 7 9 8 10
10 9 10 9
(1)甲組成績的中位數是       分，乙組成績的眾數是       分．
(2)計算乙組的平均成績和方差．
(3)已知甲組成績的方差是1.4，則選擇         組代表八(5)班參加學校比賽．
 

25．（本題8分）在“美化校園”活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊DA、DC足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB、BC兩邊），設AB＝x (m)．
(1)若花園的面積為192m2，求x的值．
(2)若在P處有一棵樹與墻DC、DA的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細）．求花園面積S的最大值．
 
 
26．（本題8分）如圖，矩形OABC在平面直角坐標系xoy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA＝4，OC＝3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經過O、A兩點，直線AC交拋物線于點D（1，n）．
(1)求拋物線的函數表達式．
(2)若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以點A、
D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出
點N的坐標；若不存在，請說明理由．
 

27．（本題10分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2cm，AC＝4cm．動點P、Q分別從點A、點B同時出發，相向而行，速度都為1cm/s．以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設運動時間為t (0≤t≤2，單位：s)，正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面積為S (cm2) ．
(1)當t＝       s時，點P與點Q重合．
(2)當t＝       s時，點D在QF上．
(3)當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，求S與t之間的函數表達式．
  

28．（本題10分）木匠黃師傅用長AB＝3，寬BC＝2的矩形木板做一個盡可能大的圓形桌面，他設計了四種方案：
方案一：直接鋸一個半徑最大的圓；
方案二：圓心O1、O2分別在CD、AB上，半徑分別是O1C、O2A，鋸兩個外切的半圓拼成一個圓；
方案三：沿對角線AC將矩形鋸成兩個三角形，適當平移三角形并鋸一個最大的圓；
方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個盡可能大的圓．
(1)寫出方案一中圓的半徑．
(2)通過計算說明方案二和方案三中，哪個圓的半徑較大？
(3)在方案四中，設CE＝x（0＜x＜1），當x取何值時圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說明四種方案中哪一個圓形桌面的半徑最大．
 

2014－2015學年第一學期九年級數學期末考試答案及評分標準
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分．）
1．D   2．A  3. A   4. C  5. C  6 . D   7. B   8.B   9. B  10. D
二、填空題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分．）
11．（1，2）   12．27       13．當b=－12時，方程無解(答案不唯一)         14．300π 
15．∠AED＝∠B（答案不唯一） 16．x＜－1或1＜x＜2    17．2    18．143
三、解答題：（本大題共10小題，共84分．）
19．（1）  (4x－1)2－9＝0                           （2）x2?3x?2＝0
          4x－1＝±3  ……… 2分                         Δ＝17          ………2分
x1＝1，x2＝－12   ……… 4分                   x1＝3＋172，x2＝3－172  ……4分
20．解：（1）∵AB＝AC∴∠B＝∠C ……………………1分
∵∠DPC＝∠DPE＋∠EPC＝∠B＋∠BDP   ……2分
∴∠EPC ＝∠BDP       …………………………3分
∴△ABD∽△DCE      ……………………………4分
（2）作AH⊥BC
在Rt△ABH和Rt△PDE中
     ∴cos∠ABH＝cos∠DPE＝BHAB＝PDPE＝35   ………………… 6分
∴PDPE＝BDPC＝35      又∵PC＝4 ∴BD＝125    ……………8分
21．（1）證明：連接OD   ∵BC是⊙O的切線  ∴∠ABC＝90°………………1分
∵CD＝CB，OB＝OD  ∴∠CBD＝∠CDB，∠OBD＝∠ODB   ……………2分
∴∠ODC＝∠ABC＝90°即OD⊥CD     ∴CD為⊙O的切線   ……………4分
（2）解：作OF⊥DB，在Rt△OBF中，
∵∠ABD＝30°，OF＝1， ∴∠BOF＝60°，OB＝2，BF＝3    ……… 5分
∵OF⊥BD，    ∴BD＝2BF＝23， ∠BOD＝2∠BOF＝120°  …………6分
∴S陰影＝43π－3．   …………………………………………………………8分
22．解：過A點作AE⊥CD于E．
在Rt△ABE中，∠ABE＝62°．∴AE＝AB•sin62°＝25×0.88＝22米，   ……2分
     BE＝AB•cos62°＝25×0.47＝11.75米，………4分
在Rt△ADE中，∠ADB＝50°，  
∴DE＝AEtan50°＝553    …………………6分 
∴DB＝DC－BE≈6.58米．………………7分
答：向外拓寬大約6.58米．  ……………8分

23．（1）

－2 －1 3 4
－3 (－2, －3) (－1, －3) (3, －3) (4, －3)
0 (－2, 0) (－1, 0) (3, 0) (4, 0)
2 (－2, 2) (－1, 2) (3, 2) (4, 2)

∴如表所示，所有情況共有12種      …………………………………………………4分
（2）因為屬于第一象限的點的坐標有(3, 2)和(4, 2)共2種，…………………………6分
所以概率P＝16  ……………………………………………………………………8分
24．（1）9.5    10  ……2分  （2）x—＝9，方差＝1 ……6分  （3）乙  ……8分
25．（1）根據題意，得x(28－x)＝192  ………………………………………………2分
解得x＝12或x＝16  ………………………………………………3分
∴x的值為12m或16m   ………………………………………………4分
（2）∵根據題意，得6≤x≤13    …………………………………………………5分
又∵S＝x(28－x)＝－(x－14)2＋196   ……………………………………………6分
∴當x≤14時，S隨x的增大而增大
所以當x＝13時，花園面積S最大，最大值為195m2    ……………………………8分
26．解：（1）設拋物線頂點為E，根據題意OA＝4，OC＝3，得：E(2，3)，………1分
則可求得拋物線函數關系式為y＝－34(x－2)2＋3＝－34x2＋3x；………………………3分
（2）可得點D坐標為(1，94)  ……………………………………………………………4分
  存在，分兩種情況考慮：
①當點M在x軸上方時，如答圖1所示：
四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM＝AN，
∵DM＝2，∴AN＝2， ∴N1（2，0），N2（6，0）………………………………………6分
②當點M在x軸下方時，如答圖2所示：
過點D作DQ⊥x軸于點Q，過點M作MP⊥x軸于點P，可得△ADQ≌△NMP，
∴MP＝DQ＝94，NP＝AQ＝3，∴N3（－7－1，0），N4（7－1，0）．………………8分
 

27．解：（1）1  ……1分      （2）45     ……2分
（3）當1＜t≤43時，如圖②，設DE交FQ于點H，則重合部分為梯形DHQP
可求得：PQ＝2t－2，HD＝52t－2                          ……3分
∴S＝12( PQ＋HD )•DP＝12 ( 2t－2＋52  t－2 )•t＝94 t 2－2t(1＜t≤43)  ……5分
當43＜t＜2時，如圖③，設DE交BC于點M，DP交BC于點N，
則重合部分為六邊形EFQPNM
可求得：AQ＝2－t，AF＝4－2t
∴S△FAQ ＝12 AQ•AF＝( 2－t )2    ………………………………………7分
同樣可求得：DN＝3t－4，DM＝12 ( 3t－4 )
∴S△DMN ＝12 DM•DN＝12 •12 ( 3t－4 )( 3t－4 )＝14 ( 3t－4 )2………………8分
∴S＝S正方形APDE－S△FAQ－S△DMN＝－94 t 2＋10t－8……………………9分
綜上所述，S＝94t2－2t(1＜t≤43)－94t2＋10t－8(43＜t＜2)    ……………………10分
28．解：（1）方案一中的最大半徑為1．………………………2分
（2）設半徑為r，
方案二：在Rt△O1O2E中， (2r)2＝22＋(3－2r)2，解得 r＝1312 …4分
方案三：∵△AOM∽△OFN，  ∴r3－r＝2－rr，解得r＝65    …6分
∵1312＜65，∴方案三半徑較大   ……………………………………7分
（3）方案四所拼得的圖形水平方向跨度為3－x，豎直方向跨度為2＋x．
所以所截出圓的直徑最大為(3－x)或(2＋x)兩者之中較小的．……………………………8分
當3－x＜2＋x時，即當x＞12時，r＝12(3－x)；此時r隨x的增大而減小，所以r＜12(3－12)＝54；
當3－x＝2＋x時，即當x＝12時，r＝12(3－12)＝54；
當3－x＞2＋x時，即當x＜12時，r＝12(2＋x)．此時r隨x的增大而增大，所以r＜12(2＋12)＝54；
∴方案四，當x＝12時，r最大為54．………………………………………………………………9分
∵1＜1312＜65＜54，   ∴方案四中所得到的圓形桌面的半徑最大．……………………………10分