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2014-2015學年黑龍江省齊齊哈爾市龍江縣九年級（上）期初數學試卷
　
一、選擇：（每小題3分，共30分，選擇題答案填在答題卡內）
1．下列根式中，最簡二次根式是（　　）
　 A．   B．   C．   D． 
　
2．下列運算正確的是（　　）
　 A．   B．   C．   D． 
　
3．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5cm，BC=6cm，則AD=（　　）cm．
 
　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
　
4．直角三角形兩直角邊分別為4，3，則斜邊上的中線長為（　　）
　 A． 2.5 B． 3 C． 3.5 D． 4
　
5．菱形的周長是20，一條對角線長為8，則它的面積是（　　）
　 A． 24 B． 48 C． 96 D． 12
　
6．下列各組數中，以a，b，c為邊的三角形不是Rt△的是（　　）
　 A． a=5，b=8，c=10 B． a=7，b=24，c=25
　 C． a=6，b=8，c=10 D． a=3，b=4，c=5
　
7．如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使D點落在BC邊的F處，若∠BAF=60°，則∠DAE等于（　　）
 
　 A． 15° B． 30° C． 45° D． 60°
　
8．如圖所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的點，DE∥AB交AC于點E，DF∥AC交AB于點F，那么四邊形AFDE的周長是（　　）
 
　 A． 5 B． 10 C． 15 D． 20
　
9．已知平行四邊形的一邊長是14，下列各組數中能分別作為它的兩條對角線的是（　　）
　 A． 10與16 B． 12與16 C． 20與22 D． 10與40
　
10．下列說法正確的是（　　）
　 A． 兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形
　 B． 兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形
　 C． 兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
　 D． 兩條對角線平分且相等的四邊形是正方形
　
　
二、填空題（每題3分，共30分）
11．若二次根式 有意義，則x的取值范圍是　　　　　　．
　
12．若|a?2|+ =0，則a?b=　　　　　　．
　
13．命題“菱形是對角線互相垂直的四邊形”的逆命題是 
　　　　　　．
　
14．計算（? ）2=　　　　　　，（3 ）2=　　　　　　．
　
15．正方形的一邊和一條對角線所成的角是　　　　　　．
　
16．如圖所示，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，根據現有的圖形，請添加一個條件，使四邊形AECF為菱形，則添加的一個條件可以是　　　　　　．（只要寫出一個即可，圖中不能再添加別的“點”或“線”）
 
　
17．順次連接矩形四條邊的中點，所得到的四邊形一定是　　　　　　形．
　
18．矩形的一條角平分線分對邊為3和4兩部分，則矩形周長為　　　　　　．
　
19．在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=3，則AD=　　　　　　，CD=　　　　　　．
　
20．圖中的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號依次為①、②、③、④、⑤…，則第n個等腰直角三角形的斜邊長為　　　　　　．
 
　
　
三、解答題（共60分）
21．計算：
（1）（ + ）2007×（ ? ）2006．
（2）（ ?1）2?（ + ）（ ? ）
（3）（?1）2012?|?7|+ （ ?1）0+（ ）?1．
　
22．先化簡，再求值：（a?1+ ）÷（a2+1），其中a= ?1．
　
23．如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E是AB的中點，已知AC=8cm，BD=6cm，求OE的長．
 
　
24．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，且F是BC的中點．
求證：DE=CF．
 
　
25．如圖在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∠BOC=120°，AB=6，求：
（1）對角線的長；
（2）BC的長；    
（3）矩形ABCD的面積．
 
　
26．如圖在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且DE∥AC，CE∥BD，試判斷四邊形OCED的形狀．
 
　
27．如圖ABCD是一個正方形花園．E、F是它的兩個門且分別是AD、CD的中點，要修兩條路BE和AF
1）如圖a，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關系？為什么？
2）如圖b，若點E、F不是正方形ABCD的邊的中點但滿足DE=CF，那么這兩條路等長嗎？它們有什么位置關系？為什么？
 
　
　
 

2014-2015學年黑龍江省齊齊哈爾市龍江縣九年級（上）期初數學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇：（每小題3分，共30分，選擇題答案填在答題卡內）
1．下列根式中，最簡二次根式是（　　）
　 A．   B．   C．   D． 

考點： 最簡二次根式．
分析： 要選擇屬于最簡二次根式的答案，就是要求知道什么是最簡二次根式的兩個條件：1、被開方數是整數或整式；2、被開方數不能再開方．由被選答案可以用排除法可以得出正確答案．
解答： A、 可以化簡，不是最簡二次根式；
B、 ，不能再開方，被開方數是整式，是最簡二根式；
C、 ，被開方數是分數，不是最簡二次根式；
D、 ，被開方數是分數，不是最簡二次根式．
故選B．
點評： 本題考查了滿足是最簡二次根式的兩個條件：1、被開方數是整數或整式；2、被開方數不能再開方．
　
2．下列運算正確的是（　　）
　 A．   B．   C．   D． 

考點： 二次根式的加減法；二次根式的乘除法．
分析： 二次根式的加減法運算，根據法則，必須是被開方數相同的二次根式才能合并；而對于二次根式的化簡， ，再根據a的符號去絕對值符號．
解答： 解：A、 與 不能進行合并；故A錯誤．
B、 ；故B錯誤．
C、 =2+ ；故C正確．
D、 = ?2；故D錯誤．
故選C．
點評： 本題綜合考查了二次根式的性質和化簡，解題的關鍵是熟記法則和性質．
　
3．如圖，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5cm，BC=6cm，則AD=（　　）cm．
 
　 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

考點： 等腰三角形的性質；勾股定理．
分析： 先根據等腰三角形的性質求出BD，再根據勾股定理求出AD．
解答： 解：∵等腰△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，BC=6cm，
∴BD=CD=3cm，AD⊥BC，
在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=5cm，BD=3cm，
∴AD= =4cm．
故選A．
點評： 本題考查了等腰三角形三線合一的性質，勾股定理的應用，關鍵是求出BD的長．
　
4．直角三角形兩直角邊分別為4，3，則斜邊上的中線長為（　　）
　 A． 2.5 B． 3 C． 3.5 D． 4

考點： 直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．
分析： 利用勾股定理列式求出斜邊，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．
解答： 解：∵兩直角邊分別為4，3，
∴斜邊= =5，
∴斜邊上的中線長= ×5=2.5．
故選A．
點評： 本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，勾股定理，熟記性質是解題的關鍵．
　
5．菱形的周長是20，一條對角線長為8，則它的面積是（　　）
　 A． 24 B． 48 C． 96 D． 12

考點： 菱形的性質．
分析： 求出菱形的邊長，根據菱形的對角線互相垂直平分求出另一對角線的一半，然后求出另一對角線，再根據菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．
解答： 解：∵菱形的周長是20，
∴菱形的邊長=20÷4=5，
∵一條對角線長為8，
∴它的一半=8÷2=4，
∴另一對角線的一半= =3，
∴另一對角線=3×2=6，
∴菱形的面積= ×6×8=24．
故選A．
點評： 本題考查了菱形的性質，勾股定理，熟記菱形的對角線互相垂直平分是解題的關鍵．
　
6．下列各組數中，以a，b，c為邊的三角形不是Rt△的是（　　）
　 A． a=5，b=8，c=10 B． a=7，b=24，c=25
　 C． a=6，b=8，c=10 D． a=3，b=4，c=5

考點： 勾股定理的逆定理．
分析： 根據勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關系，就是直角三角形，沒有這種關系，就不是直角三角形．
解答： 解：A、52+82≠102，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此選項正確；
B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此選項錯誤；
C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此選項錯誤；
D、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此選項錯誤；
故選：A．
點評： 本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．
　
7．如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使D點落在BC邊的F處，若∠BAF=60°，則∠DAE等于（　　）
 
　 A． 15° B． 30° C． 45° D． 60°

考點： 矩形的性質．
專題： 計算題．
分析： 本題主要考查矩形的性質以及折疊，求解即可．
解答： 解：因為∠EAF是△DAE沿AE折疊而得，所以∠EAF=∠DAE．
又因為在矩形中∠DAB=90°，即∠EAF+∠DAE+∠BAF=90°，
又∠BAF=60°，所以∠AED= =15°．
故選A．
點評： 圖形的折疊實際上相當于把折疊部分沿著折痕所在直線作軸對稱，所以折疊前后的兩個圖形是全等三角形，復合的部分就是對應量．
　
8．如圖所示，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的點，DE∥AB交AC于點E，DF∥AC交AB于點F，那么四邊形AFDE的周長是（　　）
 
　 A． 5 B． 10 C． 15 D． 20

考點： 平行四邊形的性質；等腰三角形的性質；平行四邊形的判定．
分析： 由于DE∥AB，DF∥AC，則可以推出四邊形AFDE是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質可以證明▱AFDE的周長等于AB+AC．
解答： 解：∵DE∥AB，DF∥AC，
則四邊形AFDE是平行四邊形，
∠B=∠EDC，∠FDB=∠C
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∴∠B=∠FDB，∠C=∠EDF
∴BF=FD，DE=EC，
所以：▱AFDE的周長等于AB+AC=10．
故選B．
點評： 根據平行四邊形的性質，找出對應相等的邊，利用等腰三角形的性質把四邊形周長轉化為已知的長度去解題．
　
9．已知平行四邊形的一邊長是14，下列各組數中能分別作為它的兩條對角線的是（　　）
　 A． 10與16 B． 12與16 C． 20與22 D． 10與40

考點： 平行四邊形的性質；三角形三邊關系．
分析： 可由三角形的一邊與平行四邊形對角線的一半組成一三角形，在三角形中利用三角形三邊關系求解．
解答： 解：如圖，
則可在△AOB中求解，
假設AB=14，
則 （AC+BD）＞AB，
而對于選項A、B、C、D來說，顯然只有C符合題意，
故此題選C．
 
點評： 本題主要考查了平行四邊形的性質及三角形的三邊關系，能夠熟練求解．
　
10．下列說法正確的是（　　）
　 A． 兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形
　 B． 兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形
　 C． 兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
　 D． 兩條對角線平分且相等的四邊形是正方形

考點： 正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
分析： 利用平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理逐一判斷后即可確定本題的答案．
解答： 解：A、兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形，錯誤，不符合題意；
B、兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形，錯誤，不符合題意；
C、兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，正確，符合題意；
D、兩條對角線平分且相等的四邊形是正方形，錯誤，不符合題意；
故選C．
點評： 本題考查了平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理，屬于基礎題，難度不大．
　
二、填空題（每題3分，共30分）
11．若二次根式 有意義，則x的取值范圍是　x≤ 　．

考點： 二次根式有意義的條件．
分析： 根據二次根式的性質（被開方數大于等于0）列出關于x的不等式，然后解不等式即可．
解答： 解：根據二次根式有意義，分式有意義得：1?2x≥0，
解得：x≤ ．
故答案是：x≤ ．
點評： 本題考查了二次根式有意義的條件．二次根式的被開方數是非負數．
　
12．若|a?2|+ =0，則a?b=　5　．

考點： 非負數的性質：算術平方根；非負數的性質：絕對值．
分析： 根據非負數的性質列式求出a、b的值，然后代入代數式進行計算即可得解．
解答： 解：由題意得，a?2=0，b+3=0，
解得a=2，b=?3，
所以，a?b=2?（?3）=2+3=5．
故答案為：5．
點評： 本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．
　
13．命題“菱形是對角線互相垂直的四邊形”的逆命題是 
　對角線互相垂直的四邊形是菱形．　．

考點： 命題與定理．
分析： 逆命題的概念就是把原來的題設和結論互換，因此可得到命題“菱形是對角線互相垂直的四邊形”的逆命題．
解答： 解：命題“菱形是對角線互相垂直的四邊形”的逆命題是“對角線互相垂直的四邊形是菱形”．
故答案為：對角線互相垂直的四邊形是菱形．
點評： 本題考查逆命題的概念，逆命題就是把原來命題的題設和結論互換，以及能正確找出題設和結論．
　
14．計算（? ）2=　3　，（3 ）2=　18　．

考點： 二次根式的乘除法．
分析： 直接利用二次根式的性質化簡求出即可．
解答： 解：（? ）2=3，（3 ）2=9×2=18．
故答案為：3，18．
點評： 此題主要考查了二次根式的乘法，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
　
15．正方形的一邊和一條對角線所成的角是　45°　．

考點： 正方形的性質．
分析： 根據正方形的對角線平分一組對角解答．
解答： 解：正方形的一邊和一條對角線所成的角是45°．
故答案為：45°．
點評： 本題考查了正方形的性質，主要利用了正方形的對角線平分一組對角，需熟記．
　
16．如圖所示，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，根據現有的圖形，請添加一個條件，使四邊形AECF為菱形，則添加的一個條件可以是　AE=AF或AC⊥EF或∠EAC=∠ECA　．（只要寫出一個即可，圖中不能再添加別的“點”或“線”）
 

考點： 菱形的判定；平行四邊形的性質．
專題： 開放型．
分析： 菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．根據平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形，由平行四邊形的性質知，對角線互相平分，又對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，可得：當AC⊥EF時，四邊形AECF是菱形．
解答： 證明：∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠AEB，
∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠BAE=∠EAD，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
同理FD=CD，
∵AD=BC，AB=CD，
∴AE=CE，
又∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，
則添加的一個條件可以是：AC⊥EF．
故答案為：AC⊥EF（或AE=AF或∠EAC=∠ECA）．
點評： 本題考查了菱形的判定，利用角的平分線的性質和平行四邊形的性質求解．
　
17．順次連接矩形四條邊的中點，所得到的四邊形一定是　菱　形．

考點： 菱形的判定；三角形中位線定理；矩形的性質．
分析： 連接矩形對角線．利用矩形對角線相等、三角形中位線定理證得四邊形EFGH是平行四邊形，且EF=EH=HG=FG；然后由四條邊相等的平行四邊形是菱形推知四邊形EFGH是菱形．
解答： 解：如圖E、F、G、H是矩形ABCD各邊的中點．連接AC、BD．
∵AC=BD（矩形的對角線相等），EF  AC，HG  AC，
∴EF∥HG，且EF=HG= AC；
同理HE∥GF，且HE=GF= BD，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，且EF=EH=HG=FG，
∴四邊形EFGH是菱形．
故答案是：菱形．
 
點評： 本題綜合考查了三角形中位線定理、菱形的判定以及矩形的性質．解答該題的關鍵是根據三角形中位線定理證得四邊形EFGH是平行四邊形，且四邊形EFGH的四條邊都相等．
　
18．矩形的一條角平分線分對邊為3和4兩部分，則矩形周長為　20或22　．

考點： 矩形的性質．
分析： 根據矩形的性質得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，推出∠AEB=∠CBE，求出∠ABE=∠CBE=∠AEB，推出AB=AE=CD，分為兩種情況，代入求出即可．
解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，
當AE=3時，AB=AE=3=CD，AD=3+4=7=BC，
∴此時矩形ABCD的周長是AB+BC+CD+AD=3+3+7+7=20；
當AE=4時，AB=AE=4=CD，AD=3+4=7=BC，
∴此時矩形ABCD的周長是AB+BC+CD+AD=4+4+7+7=22；
故答案是：20或22．
 
點評： 本題考查了矩形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定等知識點，關鍵是求出AB的長，注意要進行分類討論．
　
19．在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=3，則AD=　3　，CD=　2　．

考點： 平行四邊形的性質．
分析： 根據平行四邊形的對邊相等解答即可．
解答： 解：∵AB=2，BC=3，
∴AD=BC=3，CD=AB=2．
故答案為：3，2．
點評： 本題考查了平行四邊形的性質，是基礎題，主要利用了平行四邊形的對邊相等，熟記性質是解題的關鍵．
　
20．圖中的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號依次為①、②、③、④、⑤…，則第n個等腰直角三角形的斜邊長為　 　．
 

考點： 等腰直角三角形．
專題： 壓軸題；規律型．
分析： 利用勾股定理，分別把圖中直角三角形的斜邊求出，從中即可發現規律．
解答： 解：根據勾股定理，在①中，斜邊是 ，在②中，斜邊是 = ，在③中，斜邊是 = ，以此類推，則第n個等腰直角三角形中的斜邊是 ．
點評： 此題要結合圖形熟練運用勾股定理計算幾個具體值，從中發現規律．
　
三、解答題（共60分）
21．計算：
（1）（ + ）2007×（ ? ）2006．
（2）（ ?1）2?（ + ）（ ? ）
（3）（?1）2012?|?7|+ （ ?1）0+（ ）?1．

考點： 二次根式的混合運算；零指數冪；負整數指數冪．
專題： 計算題．
分析： （1）先根據積的乘方得到原式=[（ + ）（ ? ）]2006•（ + ），然后利用平方差公式計算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式計算；
（3）根據零指數冪和負整數指數冪的意義得到原式=1?7+3×（?1）+5，然后進行乘法運算后合并即可．
解答： 解：（1）原式=[（ + ）（ ? ）]2006•（ + ）
=（6?5）2006•（ + ）
= + ；
（2）原式=3?2 +1?（3?2）
=4?2 ?1
=3?2 ；
（3）原式=1?7+3×（?1）+5
=2．
點評： 本題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．也考查了零指數冪、負整數指數冪．
　
22．先化簡，再求值：（a?1+ ）÷（a2+1），其中a= ?1．

考點： 分式的化簡求值．
分析： 這道求分式值的題目，不應考慮把a的值直接代入，通常做法是先把分式通，把除法轉換為乘法化簡，然后再代入求值．
解答： 解：原式=（ ）• ，
= • ，
= ，
當a= ?1時，
原式= = ．
點評： 此題主要考查了分式的計算，解答此題的關鍵是把分式化到最簡，然后代值計算
　
23．如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E是AB的中點，已知AC=8cm，BD=6cm，求OE的長．
 

考點： 菱形的性質；勾股定理；三角形中位線定理．
專題： 計算題．
分析： 根據菱形的性質及中位線定理解答．
解答： 解：∵ABCD是菱形
∴OA=OC，OB=OD，OB⊥OC（3分）
又∵AC=8cm，BD=6cm
∴OA=OC=4cm，OB=OD=3cm（5分）
在直角△BOC中，
由勾股定理，得BC= =5cm（6分）
∵點E是AB的中點
∴OE是△ABC的中位線，
∴OE= cm．（7分）
點評： 本題考查菱形的性質及三角形的中位線的運用．
　
24．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，且F是BC的中點．
求證：DE=CF．
 

考點： 平行四邊形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： 利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BDEF是平行四邊形；再根據平行四邊形的對邊相等可得DE=BF；由中點的定義可得BF=CF；由等量代換可得DE=CF．
解答： 證明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形BDEF是平行四邊形．（2分）
∴DE=BF．（3分）
∵F是BC的中點，
∴BF=CF．（4分）
∴DE=CF．（5分）
點評： 此題考查了平行四邊形的判定與性質以及線段中點的定義．題目難度不大，解題時要注意數形結合．
　
25．如圖在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∠BOC=120°，AB=6，求：
（1）對角線的長；
（2）BC的長；    
（3）矩形ABCD的面積．
 

考點： 矩形的性質；勾股定理．
分析： （1）根據矩形的性質和等邊三角形的判定定理得到△AOB是等邊三角形，則OB=AB=6，故BD=2OB=12；
（2）在直角△ABC中，利用勾股定理來求BC的長度；
（3）根據“矩形的面積=長×寬”進行解答．
解答： 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB= BD．
又∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OB=AB=6，
∴對角線BD的長度是：BD=2OB=12；

（2）由（1）知，矩形ABCD的對角線長是12，則AC=12．
在直角△ABC中，AB=6，AC=12，則由勾股定理得到：BC= =6 ；

（3）在矩形ABCD中，AB=6，BC=6 ，則該矩形的面積=AB•BC=6×6 =36 ．
 
點評： 本題考查了矩形的性質、勾股定理．解題的關鍵是根據已知條件判定△AOB是等邊三角形．
　
26．如圖在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且DE∥AC，CE∥BD，試判斷四邊形OCED的形狀．
 

考點： 菱形的判定．
分析： 首先可根據DE∥AC、CE∥BD判定四邊形ODEC是平行四邊形，然后根據矩形的性質：矩形的對角線相等且互相平分，可得OC=OD，由此可判定四邊形OCED是菱形．
解答： 證明：四邊形OCED是菱形．
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
又在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四邊形OCED是菱形．
點評： 本題主要考查矩形的性質，平行四邊形、菱形的判定；
菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．
　
27．如圖ABCD是一個正方形花園．E、F是它的兩個門且分別是AD、CD的中點，要修兩條路BE和AF
1）如圖a，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關系？為什么？
2）如圖b，若點E、F不是正方形ABCD的邊的中點但滿足DE=CF，那么這兩條路等長嗎？它們有什么位置關系？為什么？
 

考點： 全等三角形的應用；正方形的性質．
分析： （1）這條路等長，位置關系是垂直，根據正方形的性質證明△ADF≌△BAE，所以可得BE=AF，進而證明BE⊥AF；
（2）這條路等長，位置關系是垂直，根據（1）的思路證明△ADF≌△BAE即可．
解答： 1）解：這條路等長，位置關系是垂直，
理由如下：
∵四邊形ABCD是一個正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵E、F分別是AD、CD的中點，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，
 ，
∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴BE⊥AF．
故BE=AF，BE⊥AF；
2）這條路等長，位置關系是垂直，
理由如下：
∵四邊形ABCD是一個正方形，
∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△ADF和△BAE中，
 ，
∴△ADF≌△BAE，
∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴BE⊥AF．
故BE=AF，BE⊥AF．
 
 
點評： 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質以及垂直的判定，屬基礎題．