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2015中考分類圓解析
一．選擇題
（2015•嘉興）下列四個圖形分別是四屆國際數學家大會的會標，其中屬于中心對稱圖形的有（    ）
         
 （A）1個     （B）2個        （C）3個      （D）4個
考點：中心對稱圖形．.
分析：根據中心對稱的概念對各圖形分析判斷即可得解．
解答：解：第一個圖形是中心對稱圖形，
第二個圖形不是中心對稱圖形，
第三個圖形是中心對稱圖形，
第四個圖形不是中心對稱圖形，
所以，中心對稱圖有2個．
故選：B．
點評：本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．

1.（菏澤）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y= x經過點A,作AB⊥x軸于點B，將?ABO繞點B逆時針旋轉60°得到?CBD，若點B的坐標為（2，0），則點C的坐標為A
 

1.（福建龍巖）如圖，等邊△ABC的周長為6π，半徑是1的⊙O從與AB相切于點D的位置出發，在△ABC外部按順時針方向沿三角形滾動，又回到與AB相切于點D的位置，則⊙O自轉了（   ）
A．2周   B．3周   C．4周   D．5周

2.（蘭州）如圖，經過原點O的⊙P與 、 軸分別交于A、B兩點，點C是劣弧 上一點，則∠ACB=
A. 80°       B. 90°    C. 100°       D. 無法確定
 
3.（蘭州）如圖，⊙O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是⊙O上任意一點（P與A，B，C，D不重合），過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥CD于點N，點Q是MN的中點，當點P沿著圓周轉過45°時，點Q走過的路徑長為
A.            B.            C.            D.  

4.(廣東) 如題9圖，某數學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形 (忽略鐵絲的粗細)，則所得的扇形DAB的面積為
A.6     B.7     C.8     D.9
 
【答案】D.
【解析】顯然弧長為BC＋CD的長，即為6，半徑為3，則 .
5.（廣東梅州）如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙Or切線，A為切點，BC經過圓心.若∠B=20°，則∠C的大小等于（     ）
A．20°       B．25°         C． 40°         D．50°

考點：切線的性質．.
分析：連接OA，根據切線的性質，即可求得∠C的度數．
解答：解：如圖，連接OA，
 
∵AC是⊙O的切線，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=20°，
∴∠AOC=40°，
∴∠C=50°．
故選：D．
點評：本題考查了圓的切線性質，以及等腰三角形的性質，掌握已知切線時常用的輔助線是連接圓心與切點是解題的關鍵．
6.（汕尾）如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切線，A為切點，BC經過圓心。若∠B=20°，則∠C的大小等于
 A.20°    B.25°    C.40°    D.50°
 
7.（貴州安順）如上圖⊙O的直徑 垂直于弦 ，垂足是 ， ， ， 的長為（    ）
A．    B．4   C．    D．8

8.（河南）如圖所示，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓O1，O2，O3，… 組成一條平滑的曲線，點P從原點O出發，沿這條曲線向右運動，速度為每秒 個單位長度，則第2015秒時，點P的坐標是（      ）
    A.（2014,0）     B.（2015，-1）
  C. （2015,1）    D. （2016,0）

9.（湖南常德）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，已知∠BOD＝100°，
則∠BCD的度數為：
A、50°　　　B、80°　　　　　　C、100°　　　　　　D、130°
【解答與分析】圓周角與圓心角的關系，及圓內接四邊形的對角互補
：答案為D

10.（常德）若兩個扇形滿足弧長的比等于它們半徑的比，則這稱這兩個扇形相似。如圖，如果扇形AOB與扇形 是相似扇形，且半徑 ( 為不等于0的常數)。那么下面四個結論：
①∠AOB＝∠ ；②△AOB∽△ ；③ ；
④扇形AOB與扇形 的面積之比為 。成立的個數為：
A、1個　　　　B、2個　　　　　C、3個　　　　D、4個
【解答與分析】這是一個閱讀，扇形相似的意義理解，由弧長公式＝ 可以得到：
① ②③正確，由扇形面積公式 可得到④正確
② 

11.（湖南株洲）如圖，圓O是△ABC的外接圓，∠A＝68°，則∠OBC的大小是
A、22°　　　　B、26°　　　　　C、32°　　　　D、68°
【試題分析】
本題考點為：通過圓心角∠BOC＝2∠A＝136°，再利用等腰三角形AOC求出∠OBC的度數
答案為：A
 
12（黔西南州）如圖2，點P在⊙O外，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，∠P=50°，則∠AOB等于
 A．150° B．130°            C．155° D．135°
13.（青島）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點A，則∠PAB=（    ）
A．30° B．35°      C．45°    D．60°
 

14.（臨沂）如圖A，B，C是 上的三個點，若 ，則 等于
(A) 50°.  (B) 80°.
(C) 100°.  (D) 130°.

15（上海）如圖，已知在⊙O中，AB是弦，半徑OC⊥AB，垂足為點D，要使四邊形OACB為菱形，還需要添加一個條件，這個條件可以是（   ）
A、AD＝BD；                  B、OD＝CD；
C、∠CAD＝∠CBD；            D、∠OCA＝∠OCB．

【答案】B
【解析】因OC⊥AB，由垂徑定理，知AD＝BD，若OD＝CD，則對角線互相垂直且平分，所以，OACB為菱形。
16（深圳）如圖，AB為⊙O直徑，已知為∠DCB=20o,則∠DBA為（  ）
 
A、     B、     C、     D、
【答案】D
【解析】AB為⊙O直徑，所以，∠ACB=90o，∠DBA＝∠DCA＝
17（成都）如圖，正六邊形 內接于圓 ，半徑為 ，則這個正六邊形的邊心距 和
弧 的長分別為
（A） 、         （B） 、      
    （C） 、      （D） 、
 
【答案】：D
【解析】在正六邊形中，我們連接 、 可以得到 為等邊三角形，邊長等于半徑 。因為 為邊心距，所以 ，所以，在邊長為 的等邊三角形中，邊上的高 。弧 所對的圓心角為 ，由弧長計算公式：  ，選D。
18（瀘州）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，若∠C=65°，則∠P的度數為
   A. 65°             B. 130°           C. 50°            　D. 100° 

考點：切線的性質．.
分析：由PA與PB都為圓O的切線，利用切線的性質得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出兩個角為直角，再由同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由已知∠C的度數求出∠AOB的度數，在四邊形PABO中，根據四邊形的內角和定理即可求出∠P的度數．
解答：解：∵PA、PB是⊙O的切線，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又∵∠AOB=2∠C=130°，
則∠P=360°?（90°+90°+130°）=50°．
故選C．
點評：本題主要考查了切線的性質，四邊形的內角與外角，以及圓周角定理，熟練運用性質及定理是解本題的關鍵．
19(四川自貢) 如圖， 是⊙O的直徑，弦 ,則
陰影部分的面積為                                      （  ）
A.            B.            C.             D.  

考點：圓的基本性質、垂徑定理，勾股定理、扇形的面積公式、軸對稱的性質等.
分析：本題抓住圓的相關性質切入把陰影部分的面積轉化到一個扇形中來求.根據圓是軸對稱圖形和垂徑定理，利用題中條件可知 是弦 的中點, 是弧 的中點；此時解法有三：
    解法一，在弓形CBD中，被EB分開的上面空白部分和下面的陰影部分的面積是相等的，所以陰影部分的面積之和轉化到扇形COB來求；解法二，連接OD,易證△ ≌△ ，所以陰影部分的面積之和轉化到扇形BOD來求；解法三，陰影部分的面積之和是扇形COD的面積的一半.

略解：
∵ 是⊙O的直徑， 
∴ 是弦 的中點, 是弧 的中點（垂徑定理）    
∴在弓形CBD中，被EB分開的上下兩部分的面積是相等的(軸對稱的性質) 
∴陰影部分的面積之和等于扇形COB的面積. 
∵ 是弦 的中點， ∴  ∵  ∴
∴  ,  . 在Rt△ 中，根據勾股定理可知：
即 .
解得: ; 扇形COB =  .即 陰影部分的面積之和為 .故選D.
20.（云南）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結 論中不成立的是(     )
A．∠A?∠D      B．CE?DE   C．∠ACB?90°   D．CE?BD

21（杭州）圓內接四邊形ABCD中，已知∠A=70°，則∠C=(    )
 A. 20° B. 30° C. 70° D. 110°
【答案】D．
【考點】圓內接四邊形的性質.
【分析】∵圓內接四邊形ABCD中，已知∠A=70°，
∴根據圓內接四邊形互補的性質，得∠C=110°.
故選D．
22（嘉興）.如圖，中，AB=5，BC=3，AC=4，以點C為圓心的圓與AB相切，則?C的
半徑為（▲）
（A）2.3      （B）2.4
（C）2.5      （D）2.6  

考點：切線的性質；勾股定理的逆定理．.
分析：首先根據題意作圖，由AB是⊙C的切線，即可得CD⊥AB，又由在直角△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根據勾股定理求得AB的長，然后由S△ABC= AC•BC= AB•CD，即可求得以C為圓心與AB相切的圓的半徑的長．
解答：解：在△ABC中，
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，
如圖：設切點為D，連接CD，
∵AB是⊙C的切線，
∴CD⊥AB，
∵S△ABC= AC•BC= AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，
即CD= = = ，
∴⊙C的半徑為 ，
故選B．
 
點評：此題考查了圓的切線的性質，勾股定理，以及直角三角形斜邊上的高的求解方法．此題難度不大，解題的關鍵是注意輔助線的作法與數形結合思想的應用．
二．填空題
1.（安順）如圖，在□ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接CE，則陰影部分的面積是_________（結果保留π）．3? π

2.（孝感）已知圓錐的側面積等于 cm2，母線長10cm，則圓錐的高是        cm．8
3.（常德）一個圓錐的底面半徑為1厘米，母線長為2厘米，則該圓錐的側面積是　　　　 （結果保留π）。
【解答與分析】此題考的是圓錐側面積的求法公式：
4. （常德）已知A點的坐標為（－1,3），將A點繞坐標原點順時針90°，
則點A的對應點的坐標為　　　　
【解析】此題考點為坐標點的變換規律，作出草圖如右
可知△BCO≌△EDO，故可知BC＝OE，OC＝DE
答案為：（3,1）

5.（湖南衡陽）圓心角為120°的扇形的半徑為3，則這個扇形的面積為 （結果保留 ）．
6. （2015•益陽）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為1，則 的長為　 �。�
 

考點： 弧長的計算；正多邊形和圓． 
分析： 求出圓心角∠AOB的度數，再利用弧長公式解答即可．
解答： 解：∵ABCDEF為正六邊形，
∴∠AOB=360°× =60°，
 的長為 = ．
故答案為： ．
點評： 此題將扇形的弧長公式與多邊形的性質相結合，構思巧妙，利用了正六邊形的性質．
7.（江西）如圖，點A，B，C在⊙O上，CO的延長線交AB于點D，∠A＝50°，∠B＝30°，則∠ADC的度數為        ．

解析：∵∠A=50°, ∴∠BOC=100°, ∴∠BOD=80°, ∴∠ADC=∠B+∠BOD=30°+ 80°=110°
8.（呼和浩特）一個圓錐的側面積為8π，母線長為4，則這個圓錐的全面積為__________.12π
9.（黔西南州）如圖6，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，則 ∠B=               ．40°

10.（黔西南州）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為5，則圓錐的側面積是          ．
11.（黔西南州）如圖8，AB是⊙O的直徑，CD為⊙O的一條弦，CD⊥AB于點E，已知CD=4，AE=1，則⊙O 的半徑為          ．
 

13．12.（青島）如圖，圓內接四邊形ABCD中兩組對邊的延長線分別相交于點E，F，且∠A＝55°，∠E=30°，則∠F=        ．
 
14.（東營）如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面直徑是1m，其中水面的寬AB為0.8m，則排水管內水的深度為     0.8        m． 

15（瀘州）用一個圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑是        .
考點：圓錐的計算．.
分析：易得扇形的弧長，除以2π即為圓錐的底面半徑．
解答：解：扇形的弧長= =4π，
∴圓錐的底面半徑為4π÷2π=2．
故答案為：2．
點評：考查了扇形的弧長公式；圓的周長公式；用到的知識點為：圓錐的弧長等于底面周長．
16.（四川自貢）已知， 是⊙O的一條直徑 ，延長 至 點，使 , 與⊙O相切于 點，若 ,則劣弧 的長為           .

考點：圓的基本性質、切線的性質、直角三角形的性質、勾股
定理、弧長公式等.
分析：本題劣弧 的長關鍵是求出圓的半徑和劣弧 所對的
圓心角的度數.在連接OD后，根據切線的性質易知 ,圓的半徑和圓心角的度數可以通過Rt△ 獲得解決.
略解：連接半徑OD.又∵ 與⊙O相切于 點 ∴  ∴
     ∵    ∴  ∴    又
     ∴   ∴在Rt△    ∴
∴  ∴在Rt△ 根據勾股定理可知：   ∵
∴     解得：  
則劣弧 的長為 .  故應填 
17（紹興）．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，先以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，再以AB邊的中點為圓心，AB長的一半為半徑畫弧，則兩弧之間的陰影部分面積是__ ____（結果保留 ） 

三．解答題
1.（福建龍巖）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB=4，點C在線段AB的延長線上，點D在⊙O上，連接CD，且CD=OA，OC= .
求證：CD是⊙O的切線.

證明：連接OD，由題意可知CD=OD=OA= AB=2
∴OD2+CD2=OC2
∴△OCD為直角三角形，則OD⊥CD
又∵點D在⊙O上，∴CD是⊙O的切線
2.(廣東 )  ⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過 的中點P作⊙O的直徑PG交弦BC于點D，連接AG， CP，PB.
(1) 如題24?1圖；若D是線段OP的中點，求∠BAC的度數；
(2) 如題24?2圖，在DG上取一點k，使DK=DP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形；
(3) 如題24?3圖；取CP的中點E，連接ED并延長ED交AB于點H，連接PH，求證：PH⊥AB.
 
【解析】(1) ∵AB為⊙O直徑， ，
∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，
∵D為OP的中點，
∴OD= ，
∴cos∠BOD= ，
∴∠BOD=60°，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ODB，
∴AC∥PG，
∴∠BAC=∠BOD=60°；
(2) 由（1）知，CD=BD，
∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，
∴△PDB≌△CDK，
∴CK=BP，∠OPB=∠CKD，
∵∠AOG=∠BOP，
∴AG=BP，
∴AG=CK
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
又∠G=∠OBP，
∴AG∥CK，
∴四邊形AGCK是平行四邊形；
(3) ∵CE=PE，CD=BD，
∴DE∥PB，即DH∥PB
∵∠G=∠OPB，
∴PB∥AG，
∴DH∥AG，
∴∠OAG=∠OHD，
∵OA=OG，
∴∠OAG=∠G，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH，
又∠ODB=∠HOP，OB=OP，
∴△OBD≌△HOP，
∴∠OHP=∠ODB=90°，
∴PH⊥AB. 
3.（廣東梅州）如圖，直線l經過點A（4，0），B（0，3）．
（1）求直線l的函數表達式；
（2）若圓M的半徑為2，圓心M在y軸上，當圓M與直線l相切時，求點M的坐標．
 

考點：切線的性質；待定系數法求一次函數解析式．.
分析：（1）把點A（4，0），B（0，3）代入直線l的解析式y=kx+b，即可求出結果．
（2）先畫出示意圖，在Rt△ABM中求出sin∠BAM，然后在Rt△AMC中，利用銳角三角函數的定義求出AM，繼而可得點M的坐標．
解答：解：（1）∵直線l經過點A（4，0），B（0，3），
∴設直線l的解析式為：y=kx+b，
∴
∴ ．
∴直線l的解析式為：y=? x+3；

（2）∵直線l經過點A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
①如圖所示，此時⊙M與此直線l相切，切點為C，
連接MC，則MC⊥AB，
在Rt△ABM中，sin∠BAM= = ，
在Rt△AMC中，∵sin∠MAC= ，
∴AM= = =4，
∴點M的坐標為（0，0）．
②此時⊙M'與此直線l相切，切點為C'，
連接M'C'，則M'C'⊥AB，
∴∠M′C′B=∠MCB=90°，
在△M′C′B與△CMB中，
 ，
∴BM'=BM=3，
∴點M'的坐標為（0，6）．
綜上可得：當⊙M與此直線l相切時點M的坐標是（0，0），（0，6）．
 
點評：本題考查了用待定系數法求函數的解析式，切線的性質，解答本題的關鍵是畫出示意圖，熟練掌握切線的性質及銳角三角函數的定義，難度一般．
4.(廣東梅州 ) 在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分別是AB，AC的中點．若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1，設旋轉角為α（0<α≤180°），記直線BD1與CE1的交點為P．
（1）如圖1，當α=90°時，線段BD1的長等于        ，線段CE1的長等于        ；（直接填寫結果）
（2）如圖2，當α=135°時，求證：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；
（3）①設BC的中點為M，則線段PM的長為        ；②點P到AB所在直線的距離的最大值為        ．（直接填寫結果）

考點：幾何變換綜合題．.
分析：（1）利用等腰直角三角形的性質結合勾股定理分別得出BD1的長和CE1的長；
（2）根據旋轉的性質得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，進而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；
（3）①直接利用直角三角形的性質得出PM= BC得出答案即可；
②首先作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，則D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，
此時四邊形AD1PE1是正方形，進而求出PG的長．
解答：解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△AD1E1，設旋轉角為α（0＜α≤180°），
∴當α=90°時，AE1=2，∠E1AE=90°，
∴BD1= =2 ，E1C= =2 ；
故答案為：2 ，2 ；

（2）證明：當α=135°時，如圖2，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE繞點A逆時針旋轉135°得到，
∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，
在△D1AB和△E1AC中
∵ ，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS），
∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，
記直線BD1與AC交于點F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90°，
∴BD1⊥CE1；

（3）解：①∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中點為M，
∴PM= BC，
∴PM=  =2 ，
故答案為：2 ；
②如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線于點G，
∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，
當BD1所在直線與⊙A相切時，直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大，
此時四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則BD1= =2 ，
故∠ABP=30°，
則PB=2+2 ，
故點P到AB所在直線的距離的最大值為：PG=1+ ．
故答案為：1+ ．
 
 
點評：此題主要考查了幾何變換以及等腰腰直角三角形的性質和勾股定理以及切線的性質等知識，根據題意得出PG的最長時P點的位置是解題關鍵．
5.（安順）如圖，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，DF⊥AC，垂足為F，交CB的延長線于點E。
(1)求證：直 線EF是⊙O的切線；
(2)求 的值。
 
（1）（6分）證明：連接OD、CD。
∵BC是直徑，∴CD⊥AB
∵AB=BC. ∴D是AB的中點。又O為CB的中點，
∴OD∥EF，EF,是⊙O的切線。
（2）（6分）解：連BG�！連C是直徑，∴∠BGC=90°。
在Rt△BCD中， .
∵ .
∵BG⊥AC,DF⊥AC
∴BG∥EF, ∴∠E=∠CBG, 
∴
6.（河南）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上
不與點A、B重合的一個動點，延長BP到點C，使
PC=PB，D是AC的中點，連接PD，PO.
（1）求證：△CDP∽△POB；
（2）填空：
① 若AB=4，則四邊形AOPD的最大面積為           ；
② 連接OD，當∠PBA的度數為       時，四邊形BPDO是菱形.
 

(1)略；（2）① 最大面積為4.  ② 60°
7.（湖北濱州）如圖,⊙O的直徑AB的長為10，弦AC的長為5，∠ACB的平分線交⊙O于點D.
（1）求弧BC的長；
（2）求弦BD的長.
                                   

解：（1）連接OC.    ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°.   
在Rt△ABC中，
∵cos∠BAC= ,∴∠BAC=60°，  
∴∠BOC=2∠BAC =120°.  
∴弧BC的長為 .   
（2）連接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD,    
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=45°.
在Rt△ABD中，BD= .
（其它解法，酌情判分）
8.（常德）已知如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，∠EAC＝60°，求AD的長。
 

【解答與分析】本題考點，主要是切線的判定，中位線的性質，以及特殊直角三角形的邊角關系和勾股定理。

證明：（1）連接FO
易證OF∥AB
∵AC⊙O的直徑
∴CE⊥AE
∵OF∥AB
∴OF⊥CE
∴OF所在直線垂直平分CE
∴FC＝FE，OE＝OC
∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠0CE
∵Rt△ABC
∴∠ACB＝90°
即：∠0CE＋∠FCE＝90°
∴∠0EC＋∠FEC＝90°
即：∠FEO＝90°
∴FE為⊙O的切線

（2）
∵⊙O的半徑為3
∴AO＝CO＝EO＝3

∵∠EAC＝60°，OA＝OE
∴∠EOA＝60°
∴∠COD＝∠EOA＝60°
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3
∴CD＝
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
CD＝ ，AC＝6
∴AD＝
 
9.（湖南衡陽）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．
（1）在平面直角坐標系中畫出△ABC關于 軸對稱的△A1B1C1；
（2）把△ABC繞點A順時針旋轉一定的角度，得圖中的△AB2C2，
點C2在AB上．
①旋轉角為多少度？
②寫出點B2的坐標．
解：（1）△ABC關于 軸對稱的△A1B1C1如圖所示；
   （2）①由圖可知，旋轉角為90°；
②點B2的坐標為（6，2）．
10.（湖南衡陽）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D為半圓O的三等分點，過點C作CE⊥AD，交AD的延長線于點E．
（1）求證：CE為⊙O的切線；
（2）判斷四邊形AOCD是否為菱形？并說明理由．
解：（1）證明：連接OD，∵點C、D為半圓O的三等分點，
              ∴∠BOC＝ ∠BOD
又∠BAD＝ ∠BOD
              ∴∠BOC＝∠BAD
              ∴AE∥OC
           ∵AD⊥EC
           ∴OC⊥EC
           ∴CE為⊙O的切線．
（2）四邊形AOCD是菱形；理由如下：
∵點C、D為半圓O的三等分點
           ∴∠AOD＝∠COD＝60°
           ∵OA＝OD＝OC
           ∴△AOD和△COD都是等邊三角形
           ∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD
           ∴四邊形AOCD是菱形．
11.（無錫）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45º．（1）求BD的長；（2）求圖中陰影部分的面積．
 

解：（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90º． 
∵BC＝6 cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm．∴OB＝5cm．
連OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45 º．∴∠BOD＝90º． ∴BD＝OB2＋OD2＝52cm．
（2）S陰影＝90360π•52－12×5×5＝25π－504cm2．
12（江西）⊙O為△ABC的外接圓，請僅用無刻度的直尺，根據下列條件分別在圖1，圖2中畫出一條弦，使這條弦將△ABC分成面積相等的兩部分(保留作圖痕跡，不寫作法)．
(1)如圖1，AC＝BC；
(2)如圖2，直線l與⊙O相切與點P，且l∥BC．
 

解析：如右圖所示.
圖1，∵AC=BC,∴ ,
∴點C是 的中點，連接CO，
交AB于點E，由垂徑定理知，
點E是AB的中點，
     延長CE交⊙O于點D，
     則CD為所求作的弦；
     圖2，∵l切⊙O于點P, 作射線PO，交BC于點E，則PO⊥l,  ∵l∥BC , ∴PO⊥BC, 由垂徑定理知，點E是BC的中點，連接AE交⊙O于F，則AF為所求作的弦.
13.（呼和浩特）)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，P是⊙O外的一點，AM是⊙O的直徑，∠PAC=∠ABC
(1) 求證：PA是⊙O的切線； 
(2) 連接PB與AC交于點D，與⊙O交于點E，F為BD上的一點，若M為BC⌒的中點，且∠DCF=∠P，求證：BDPD = FDED = CDAD .

證明：(1) 連接CM
∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC
∴∠PAC=∠M
∵AM為直徑
∴∠M+∠MAC=90°
∴∠PAC+∠MAC=90°
即：∠MAP=90°
∴MA⊥AP
∴PA是⊙O的切線
 (2) 連接AE
∵M為BC⌒中點，AM為⊙O的直徑
∴AM⊥BC
∵AM⊥AP
∴AP∥BC
∴△ADP∽△CDB
∴BDPD = CD AD
∵AP//BC
∴∠P=∠CBD
∵∠CBD=∠CAE
∴∠P=∠CAE
 ∵∠P=∠DCF
∴∠DCF=∠CAE
∵∠ADE=∠CDF
∴△ADE∽ △CDF
∴CDDA = FDED
∴BDPD = FDED = CDAD
14.（黔西南州）如圖9所示，點O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點C.
（1）求證：直線PB與⊙O相切
（2）PO的延長線與⊙O交于點E，若⊙O的半徑為3，PC=4.
求弦CE的長．

（1）證明:過點O作OD⊥PB,連接OC.  
∵AP與⊙O相切, ∴OC⊥AP. 
又∵OP平分∠APB, ∴OD=OC.
∴PB是⊙O的切線.

（2）解:過C作CF⊥PE于點F.
在Rt△OCP中，OP=
∵
∴    
在Rt△COF中，
∴
在Rt△CFE中，
14（東營）已知在△ABC中，∠B=90o，以AB上的一點O為圓心，以OA為半徑的圓交AC于點D，交AB于點E．
（1）求證：AC•AD=AB•AE；
（2）如果BD是⊙O的切線，D是切點，E是OB的中點，當BC=2時，求AC的長．
 
（1）證明：連接DE
∵AE是直徑
∴∠ADE=90o
∴∠ADE=∠ABC
在Rt△ADE和Rt△ABC中，∠A是公共角
故△ADE∽△ABC………………………………2分
則 ，即AC•AD=AB•AE…………4分
（2）解：連接OD
∵BD是圓O的切線
則OD⊥BD……………………………………………………………………5分
在Rt△OBD中，OE=BE=OD
∴OB=2OD
∴∠OBD=30o…………………………………………………………………6分
同理∠BAC=30o………………………………………………………………7分
在Rt△ABC中AC=2BC=2×2=4……………………………………………8分
15（瀘州）如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，BD為⊙O的弦，且AB∥CD，過點A作⊙O的切線AE與DC的延長線交于點E，AD與BC交于點F。
（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）若AE=6，CD=5，求OF的長。
考點：切線的性質；平行四邊形的判定．.
分析：（1）根據切線的性質證明∠EAC=∠ABC，根據等腰三角形等邊對等角的性質和等量代得到∠EAC=∠ACB，從而根據內錯角相等兩直線平行的判定得到AE∥BC，結合已知AB∥CD即可判定四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）作輔助線，連接AO，交BC于點H，雙向延長OF分別交AB，CD于點N，M，根據切割線定理求得EC=4，證明四邊形ABDC是等腰梯形，根據對稱性、圓周角定理和垂徑定理的綜合應用證明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可．
解答：（1）證明：∵AE與⊙O相切于點A，
∴∠EAC=∠ABC，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCE是平行四邊形；

（2）解：如圖，連接AO，交BC于點H，雙向延長OF分別交AB，CD與點N，M，
∵AE是⊙O的切線，
由切割線定理得，AE2=EC•DE，
∵AE=6，CD=5，
∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去負數），
由圓的對稱性，知四邊形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，
又根據對稱性和垂徑定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，
設OF=x，OH=Y，FH=z，
∵AB=4，BC=6，CD=5，
∴BF= BC?FH=3?z，DF=CF= BC+FH=3+z，
易得△OFH∽△DMF∽△BFN，
∴ ， ，
即 ，①
  ②，
①+②得： ，
①÷②得： ，
解 得 ，
∵x2=y2+z2，
∴ ，
∴x= ，
∴OF= ．
 
點評：本題考查了切線的性質，圓周勾股定理，等腰三角形的性質，平行的判定，平行四邊形的判定和性質，等腰梯形的判定和性質，垂徑定理，相似判定和性質，勾股定理，正確得作出輔助線是解題的關鍵．
16. （杭州）如圖1，⊙O的半徑為r(r>0)，若點P′在射線OP上，滿足OP′•OP=r2，則稱點P′是點P關于⊙O的“反演點”，如圖2，⊙O的半徑為4，點B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點A′、B′分別是點A，B關于⊙O的反演點，求A′B′的長.
 
【答案】解：∵⊙O的半徑為4，點A′、B′分別是點A，B關于⊙O的反演點，點B在⊙O上， OA=8，
∴ ，即 .
∴ .∴點B的反演點B′與點B重合.
如答圖，設OA交⊙O于點M，連接B′M，
∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M是等邊三角形.
∵ ，∴B′M⊥OM.
∴在 中，由勾股定理得 .
【考點】新定義；等邊三角形的判定和性質；勾股定理.
【分析】先根據定義求出 ，再作輔助線：連接點B′與OA和⊙O的交點M，由已知∠BOA=60°判定△OB′M是等邊三角形，從而在 中，由勾股定理求得A′B′的長.
17 （2015年浙江麗水8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作⊙O 的切線DF，交AC于點F.
（1）求證：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF=22.5°，求陰影部分的面積.
 
【答案】解：（1）證明：如答圖，連接OD，
∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB.
∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切線，∴DF⊥OD
∴DF⊥AC.
（2）如答圖，連接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°. ∴∠BAC=45°.
∵OA=OB，∴∠AOE=90°.
∵⊙O的半徑為4，∴ .
【考點】等腰三角形的性質；平行的判定；切線的性質；三角形內角和定理；扇形和三角形面積的計算；轉換思想的應用. 
【分析】（1）要證DF⊥AC，由于DF是⊙O的切線，有DF⊥OD，從而只要OD∥AC即可，根據平行的判定，要證OD∥AC即要構成同位角或內錯角相等，從而需作輔助線連接OD，根據等腰三角形等邊對等角的性質由∠ABC=∠ODB和∠ABC=∠ACB即可得.
（2）連接OE，則 ，證明△AOE是等腰直角三角形即可求得 和 .