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     第二十六章二次函數章末測試（一）

                                          總分120分120分鐘    
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．如圖所示是一個拋物線形橋拱的示意圖，在所給出的平面直角坐標系中，當水位在AB位置時，水面寬度為10m，此時水面到橋拱的距離是4m，則拋物線的函數關系式為（　�。�
 
A．y=  B．y=?  C．y=?  D．y=
2．把一根長為50cm的鐵絲彎成一個長方形，設這個長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數關系式為（　�。�
A．y=?x2+50x B．y=x2?50x C．y=?x2+25x D．y=?2x2+25

3．二次函數y=kx2+2x+1（k＜0）的圖象可能是（　　）
A．  B．  C．  D．

4．已知拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的部分圖象如圖所示，當y＞0時，x的取值范圍是（　�。�
 
A．?2＜x＜2 B．?4＜x＜2 C．x＜?2或x＞2 D．x＜?4或x＞2
5．拋物線y=x2?4x?7的頂點坐標是（　�。�
A．（2，?11） B．（?2，7） C．（2，11） D．（2，?3）

6．若拋物線y=x2?2x+c與y軸的交點為（0，?3），則下列說法不正確的是（　　）
A．拋物線開口向上             B．拋物線的對稱軸是x=1
C．當x=1時，y的最大值為4     D．拋物線與x軸的交點為（?1，0），（3，0）

7．如圖，從某建筑物10m高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直）．如果拋物線的最高點M離墻1m，離地面 m，則水流落地點B離墻的距離OB是（　�。�
 
A．2m B．3m C．4m D．5m
8．如圖，有一座拋物線拱橋，當水位在AB位置時，橋拱頂離水面2m，水面寬4m．若水面下降1m，則水面寬CD為（　�。�
 
A．5m B．6m C． m D． m
二．填空題（共6小題，每題3分）
9．函數 與y2=x+2的圖象及交點如圖所示，則不等式x2＜x+2的解集是　_________　．
 
10．如圖是二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知ax2+bx+c＞0時x的取值范圍是　_________�。�
 
11．拋物線y= x2?4x+3的頂點坐標和對稱軸 分別是　_________�。�
12．拋物線y=x2?（m2?3m+2）x+m2?4的圖象的對稱軸是y軸，且頂點在原點，則m的值為　_________�。�
13．若拋物線y=ax2+4x+a的頂點的縱坐標是3，則a=　_________　．
14．如圖，一塊草 地是長80 m，寬60 m的矩形，欲在中間修筑兩條互相垂直的寬為xm的小路，這時草坪面積為y m2．求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值．
 
三．解答題（共10小題）
15．（6分）已知正方形的面積為y（cm2），周長為x（cm ）．
（1）請寫出y與x的函數關系式．
（2）判斷y是否為x的二次函數．

16．（6分）為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一條矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍�。ㄈ鐖D）．若設綠化帶BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
 
17．（6分）如圖所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，點P在線段AB上，P從點A開始沿AB邊以1厘米/秒的速度向點B移動．點E為線段BC的中點，點Q從E點開始，沿EC以1厘米/秒的速度向點C移動．如果P、Q同時分別從A、E出發，寫出出發時間t與△BPQ的面積S的函數關系式，求出t的取值范圍．
 

18．（8分）已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（0，?5），B（1，?3），C（?1，11）三點，求拋物線的頂點坐標及對稱軸．

19．（8分）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過A、B、C三點．
（1）觀察圖象，寫出A、B、C三點的坐標，并求出拋物線解析式；
（2）求此拋物線的頂點坐標和對稱軸；
（3）當m取何值時，ax2+bx+c=m有兩個不相等的實數根．
 

20．（8分）已知拋物線的頂點坐標是（2，?3），且經過點（1，? ）．
（1 ）求這個拋物線的函數解析式，并作出這個函數的大致圖象；
（2）當x在什么范圍內時，y隨x的增大而增大？當x在什么范圍內時，y隨x的增大而減�。�

21．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（?1，0）和點B（1，0），直線y=2x?1與y軸交于點C，與拋物線交于點C、D．求：
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標．
 

22（8分）．根據下列條件求二次函數解析式：
（1）二次函數的圖象過點（0，?1），對稱軸是直線x=?1，且二次函數有最大值2．
（2）二次函數的圖象過點（5 ，6），與x軸交于（?1，0），（2，0）兩點．

23．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，三個小正方形的邊長均為1，且正方形的邊與坐標軸平行，邊DE落在x軸的正半軸上，邊AG落在y軸的正半軸上，A、B兩點在拋物線y= x2+bx+c上．
（1）直接寫出點B的坐標；
（2）求拋物線y= x2+bx+c的解析式；
（3）將正方形CDEF沿x軸向右平移，使點F落在拋物線y= x2+bx+c上，求平移的距離．
 

24（10分）．如圖，已知二次函數y=? x2+ x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC．
（1）點A的坐標為　_________　，點C的坐標為　_________　；
（2）△ABC是直角三角形嗎？若是，請給予證明；
（3）線段AC上是否存在點E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．
 
 

第二十六章二次函數章末測試（一）
參考答案與試題解析

 一．選擇題（共8小題）
1．如圖所示是一個拋物線形橋拱的示意圖，在所給出的平面直角坐標系中，當水位在AB位置時，水面寬度為10m，此時水面到橋拱的距離是4m，則拋物線的函數關系式為（　　）
 
A． y=  B．y=?  C．y=?  D． y=

考點： 根據實際問題列二次函數關系式．
分析： 拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，解析式符合最簡形式y=ax2，把點A或點B的坐標代入即可確定拋物線解析式．
解答： 解： 依題意設拋物線解析式y=ax2，
把B（5，?4）代入解析式，
得?4=a×52，
解得a=? ，
所以y=? x2．
故選C．
點評： 根據拋物線在坐標系的位置，合理地設拋物線解析式，是解答本題的關鍵．

2．把一根長為50cm的鐵絲彎成一個長方形，設這個長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數關系式為（　�。�
A． y=?x2+50x B．y=x2?50x C．y=?x2+25x D． y=?2x2+25

考點： 根據實際問題列二次函數關系式．
分析： 由長方形的面積=長×寬可求解．
解答： 解：設這個長方形的一邊長為xcm，則另一邊長為（25?x）cm，
以面積y=x（25?x）=?x2+25x．
故選C．
點評： 根據題意，找到所求量的等量關系是解決問題的關鍵．

3．二次函數y=kx2+2x+1（k＜0）的圖象可能是（　�。�
A．  B． C．  D． 

考點： 二次函數的圖象．
分析： 由圖象判定k＜0，可以判斷拋物線對稱軸的位置，拋物線與y軸的交點位置，選擇符合條件的選項．
解答： 解：因為二次函數y=kx2+2x+1（k＜0）的圖象開口向下，過點（0，1），對稱軸x=? ＞0，
觀察圖象可知，符合上述條件的只有C．故選C．
點評： 應熟練掌握二次函數y=ax2+bx+c的圖象有關性質：開口方向、頂點坐標、對稱軸．

4.已知拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）的部分圖象如圖所示，當y＞0時，x的取值范圍是（　　）
 
A． ?2＜x＜2 B．?4＜x＜2 C．x＜?2或x＞2 D． x＜?4或x＞2

考點： 二次函數的圖象．
專題： 壓軸題．
分析： 先根據對稱軸和拋物線與x軸的交點求出另一交點；再根據開口方向，結合圖形，求出y＞0時，x的取值范圍．
解答： 解：因為拋物線過點（2，0），對稱軸是x=?1，
根據拋物線的對稱性可知，拋物線必過另一點（?4，0），
因為拋物線開口向下，y＞0時，圖象在x軸的上方，
此時，?4＜x＜2．
故選B．
點評： 解答本題，利用二次函數的對稱性，關鍵是判斷圖象與x軸的交點，根據開口方向，形數結合，得出結論．

5拋物線y=x2?4x?7的頂點坐標是（　�。�
A． （2，?11） B．（?2，7） C．（2，11） D． （2，?3）

考點： 二次函數的性質．
分析： 直接根據頂點公式或配方法求解即可．
解答： 解：∵ =2， =?11，
∴頂點坐標為（2，?11）．
故選A．
點評： 主要考查了求拋物線的頂點坐標的方法．

6．若拋物線y=x2?2x+c與y軸的交點為（0，?3），則下列說法不正確的是（　�。�
 A． 拋物線開口向上                   B． 拋物線的對稱軸是x=1
C． 當x=1時，y的最大值為4         D． 拋物線與x軸的交點為（?1 ，0），（3，0）

考點： 二次函數的性質．
專題：  壓軸題．
分析： 把（0，?3）代入拋物線解析式求c的值，然 后再求出頂點坐標、與x軸的交點坐標．
解答： 解：把（0，?3）代入y=x2?2x+c中得c=?3，
拋物線為y=x2?2x?3=（x?1）2?4=（x+1）（x?3），
所以：拋物線開口向上，對稱軸是x=1，
當x=1時，y的最小值為?4，
與x軸的交點為（?1，0），（3，0）；C錯誤．
故選C．
點評： 要求掌握拋物線的性質并對其中的a，b，c熟悉其相關運用．

7．如圖，從某建筑物10m高的窗口A處用水管向外噴水，噴出的水成拋物線狀（拋物線所在平面與墻面垂直）．如果拋物線的最高點M離墻1m，離地面 m，則水流落地點B離墻的距離OB是（　�。�
 
A． 2m B．3m C．4m D． 5m

考點： 二次函數的應用．
分析： 由題意可以知道M（1， ），A（0，10）用待定系數法就可以求出拋物線的解析式，當y=0時就可以求出x的值，這樣就可以求出OB的值．
解答： 解：設拋物線的解析式為y=a（x?1）2+ ，由題意，得
10=a+ ，
a=? ．
∴拋物線的解析式為：y=? （x?1）2 + ．
當y=0時，
0=? （x?1）2+ ，
解得：x1=?1（舍去），x2=3．
OB=3m．
故選：B．
點評： 此題考查了利用待定系數法求函數的解析式的運用，運用拋物線的解析式解決實際問題．解答本題是時 設拋物線的頂點式求解析式是關鍵．

8．如圖，有一座拋物線拱橋，當水位在AB位置時，橋拱頂離水面2m，水面寬4m．若水面下降1m，則水面寬CD為（　�。�
 
A． 5m B．6m C． m D．  m

考點： 二次函數的應用．
分析： 設拋物線的解析式為y=ax2將A點代入拋物線方程求得a，得到拋物線解析式，再把 y=?3代入拋物線解析式求得x0進而得到答案．
解答： 解：設拋物線方程為y=ax2，
將A（2，?2）代入y=ax2，
解得：a=? ，
∴y=? x2，
代入B（x0，?3）得x0= ，
∴水面寬CD為2 ，
故選D．
點評： 本題主要考查拋物線的應用．考查了學生利用拋物線解決實際問題 的能力．

二．填空題（共6小題）
9．函數 與y2=x+2的圖象及交點如圖所示，則不等式x2＜x+2的解集是　?1＜x＜2�。�
 

考點： 二次函數與不等式（組）．
分析： 利用函數圖象得出交點坐標，利用一次函數圖象只有在二次函數圖象上方時，不等式x2＜x+2，進而得出答案．
解答： 解：利用圖象得出函數 與y2=x+2的圖象交點坐標分別為：（?1，1）和（2，4），
∴不等式x2＜x+2的解集為：?1＜x＜2．
故答案為：?1＜x＜2．
點評： 此題主要考查了二次函數與不等式，利用數形結合得出不等式的解集是解題關鍵．

10．如圖是二次函數y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知ax2+bx+c＞0時x的取值范圍是　?1＜x＜5�。�
 

考點： 二次函數與不等式（組）．
分析： 根據二次函數的對稱性求出函數圖象與x軸的另一交點，再寫出函數圖象在x軸上方部分的x的取值范圍即可．
解答： 解：由 圖可知，二次函數圖象為直線x=2，
所以，函數圖象與x軸的另一交點為（?1，0），
所以，ax2+bx+c＞0時x的取值范圍是?1＜x＜5．
故答案為：?1＜x＜5．
點評： 本題考查了二次函數與不等式，此類題目一般都利用數形結合的思想求解，本題求出函數圖象與x軸的另一個交點是解題的關鍵．

11．拋物線y= x2?4x+3的頂點坐標和對稱軸分別是�。�4，?5），x=4�。�

考點： 二次函數的性質．
 分析： 根據配方法，或者頂點坐標公式，可直接求出頂點坐標，對稱軸．
解答： 解：∵y= x2?4x+3= （x?4）2?5，
∴頂點坐標為（4，?5），對稱軸為x=4．
故答案為（4，?5），x=4．
點評： 主要考查了求拋物線的對稱軸和頂點坐標的方法．通常有兩種方法：
（1）公式法：y=ax2+bx+c的頂點坐標為（ ， ），對稱軸是x=? ；
（2）配方法：將解析式化為頂點式y=a（x?h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是x=h．

12．拋物線y=x2?（m2?3m+2）x+m2?4的圖象的對稱軸是y軸，且頂點在原點，則m的值為　2�。�

考點： 二次函數的性質．
專題： 計算題．
分析： 根據二次函數對稱軸直線x=? =0，得到m2?3m+2=0，再由頂點在原點得到m2?4=0，然后分別解兩個一元二次方程，再得到它們 的公共解即可．
解答： 解：根據題意得m2?3m+2=0且m2?4=0，
解m2?3m+2=0得m=1或2，解m2?4=0得m=2或?2，
所以m的值為2．
故答案為：2．
點評： 本題考查了二次函數的性質：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（? ， ），對稱軸直線x=? ．

13．若拋物線y=ax2+4x+a的頂點的縱坐標是3，則a=　4或?1　．

考點： 二次函數的性質．
分析： 直接利用二次函數頂點坐標公式得出 =3，進而求出即可．
解答： 解：∵拋物線y=ax2+4x+a的頂點的縱坐標是3，
∴ =3，
整理得出：a2?3a?4=0，
解得：a1=4，a2=?1，
檢驗：當 a=4或?1時，都是方程的根，
故答案為：4或?1．
點評： 此題主要考查了二次函數的性質，直接利用頂點公式求出是解題關鍵．

14．如圖，一塊草地是長80 m，寬60 m的矩形，欲在中間修筑兩條互相垂直的寬為xm的小路，這時草坪面積為y m2．求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值．
 

考點： 根據實際問題列二次函數關系式．
分析： 把兩條路進行平移，與長為80m的路移動到上方，長為60m的路移動左方，那么草坪就變成了邊長為（80?x）和（60?x）的長方形，然后根據長方形的面積公式即可確定函數關系式，其中自變量的取值應根據原來長方形的長、寬確定．
解答： 解：依題意得把兩條路分別進行平移，
長為80m的路移動到上方，長為60m的路移動左方，
∴草坪就變成了邊長為（80?x）和（60?x）的長方形，
∴y=（80?x）（60?x）=x2?140x+4800，
自變量的取值應大于等于0，但應小于60，即0＜x＜60．
故填空答案：y=（80?x）（60?x）=x2?140x+4800（0＜x＜60）．
點評： 解決本題的關鍵是把兩條路進行平移，使草坪的面積成為一長方形的面積．

三．解答題（共10小題）
15．已知正方形的面積為y（cm2），周長為x（cm）．
（1）請寫出y與x的函數關系式．
（2）判斷y是否為x的二次函數．

考點： 根據實際問題列二次函數關系式；二次函數的定義．
分析： （1）根據正方形的周長為x（cm），即可得出邊長，進而得出正方形的面積為y與x之間的函數關系式；
（2）利用函數的定義判斷得出即可．
解答： 解：（1）∵正方形的周長為x（cm），
∴正方形的邊長為： xcm，
∴y與x的函數關系式為：y= x× x= x2；

（2）利用二次函數的定義得出y是x的二次函數．
點評： 此題主要考查了根據實際問題列二次函數解析式，利用正方形的性質得出是解題關鍵．

16．為了改善小區環境，某小區決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一條矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍住（如圖）．若設綠化帶BC邊長為xm，綠化帶的面積為ym2，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．
 

考點： 根據實際問題列二次函數關系式．
分析： 根據矩形的面積公式列出關于二次函數解析式；根據墻長、x、y所表示的實際意義來確定x的取值范圍．
解答： 解：由題意得：y=x× =? x2+20x，自變量x的取值范圍是0＜x≤25．
點評： 此題主要考查了根據實際問題列二次函數解析式，注意在求自變量x的取值范圍時，要根據函數中自變量所表示的實際意義來確定．

17．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，點P在線段AB上，P從點A開始沿AB邊以1厘米/秒的速度向點B移動．點E為線段BC的中點，點Q從E點開始，沿EC以1厘米/秒的速度向點C移動．如果P、Q同時分別從A、E出發，寫出出發時間t與△BPQ的面積S的函數關系式，求出t的取值范圍．
 

考點： 根據實際問題列二次函數關系式．
分析： △BPQ的面積= BP×BQ，把相關數值代入即可求解，注意得到的相關線段為非負數即可．
解答： 解：∵PB=6?t，BE+EQ=6+t，
∴S= PB•BQ= PB•（BE+EQ）
= （6?t）（6+t）
=? t2+18，
∴S=? t2+18（0≤t＜6）．
點評： 解決本題的關鍵是找到所求的三角形的面積的等量關系，注意求自變量的取值應從線段長度為非負數考慮．

18．已知拋物線y=ax2+bx+c經過A（0，?5），B（1，?3），C（?1，11）三點，求拋物線的頂點坐標及對稱軸．

考點： 待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質．
分析： 將A、B、C三點代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程組，解這個方程組得a、b、c的值，得到拋物線的解析式，然后將該拋物線解析式通過配方，轉化為頂點式解析式，最后找出其頂點坐標和對稱軸．
解答： 解：由題意得
 ，
解得 ，
所以這個拋物線的表達式為y=8x2?6x?5；
配方得y=8（x? ）2? ，所以頂點坐標為（ ，? ），
點評： 本題主要考查了二次函數的性質、待定系數法求二次函數的解析式以及求二次函數的頂點坐標和對稱軸，通過配方得到頂點式是本題的關鍵．
19．如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過A、B、C三點．
（1）觀察圖象，寫出A、B、C三點的坐標，并求出拋物線解析式；
（2）求此拋物線的頂點坐標和對稱軸；
（3）當m取何值時，ax2+bx+c=m有兩個不相等的實數根．
 

考點： 待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質；拋物線與x軸的交點．
分析： （1）觀察圖象直接寫出三點的坐標，運用待定系數法求出函數解析式；
（2）將解析式配成頂點式即可解決問題；
（3）運用二次方程根的判別式列出不等式求解即可解決問題．
解答： 解：（1）由題意得：A、B、C三點的坐標分別為：（?1，0）、（0，?3）、（4，5）；
設該二次函數的解析式為：y=ax2+bx+c，
由題意得：
 ，
解得：a=1，b=?2，c=?3，
∴該拋物線解析式為：y=x2?2x?3．
（2）由（1）知：y=x2?2x?3=（x?1）2?4，
∴該拋物線的頂點坐標為（1，?4），對稱軸為x=1．
（3）由題意得：x2?2x?3=m，
即x2?2x?3?m=0①，
若該方程組有兩個不相等的實數根，
則必有△=（?2）2?4×1×（?3?m）＞0，
解得：m＞?4．
即當m＞?4時，ax2+bx+c=m有兩個不相等的實數根．
 
點評： 該命題以平面直角坐標系為載體，重點考查了二次函數的解析式的求法、二次函數的性質、二次函數與二次方程的聯系等代數問題；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．

20．已知拋物線的頂點坐標是（2，?3），且經過點（1，? ）．
（1）求這個拋物線的函數解析式，并作出這個函數的大致圖象；
（2）當x在什么范圍內時，y隨x的增大而增大？當x在什么范圍內時，y隨x的增大而減��？

考點： 待定系數法求二次函數解析式；二次函數的圖象；二次函數的性質．
專題： 計算題．
分析： （1）根據題意設出拋物線的頂點形式，把已知點代入求出a的值，確定出解析式，畫出函數圖象即可；
（2）利用二次函數的增減性求出x的范圍即可．
解答： 解：（1）根據題意設拋物線解析式為y=a（x?2）2?3，
把x=1，y=? 代入得：? =a?3，即a= ，
則拋 物線解析式為y= x2?2x?1；
（2）當x＞2時，y隨x的增大而增大；當x＜2時，y隨x的增大而減�。�
 
點評： 此題考查了待定系數法求二次函數解析式，以及二次函數的圖象與性質，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．

21．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（?1，0）和點B（1，0），直線y=2x?1與y軸交于點C，與拋物線交于點C、D．求：
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標．
 

考點： 待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質．
分析： （1）先求得C的坐標，然后證得C為拋物線的頂點，即可設拋物線的解析式為y=ax2?1，把A（?1，0）代入即可求得；
（2）聯立方程，解方程組即可求得．
解答： 解：（1）∵直線y=2x?1與y軸交于點C，
∴C的坐標（0，?1），
∵拋物線與x軸交于點A（?1，0）和點B（1，0），
∴對稱軸為y軸，
∴C點 就是拋物線的頂點，
設把A（?1，0）代入得，a?1=0，
∴a=1，
∴拋物 線的解析式為y=x2?1．
（2）解 得 或 ，
所以D的坐標為（2，3）．
點評： 本題考查了待定系數法求函數的解析式以及直線和拋物線的交點的求法．

22．根據下列條件求二次函數解析式：
（1）二次函數的圖象過點（0，?1），對稱軸是直線x=?1，且二次函數有最大值2．
（2）二次函數的圖象過點（5 ，6），與x軸交于（?1，0），（2，0）兩點．

考點： 待定系數法求二次函數解析式．
分析： （1）由題意二次函數的圖象的對稱軸為x=1，函數的最大值為?6，可設二次函數為：y=a（x+1）2+ 2，且函數過點（0，?1）代入函數的解析式求出a值，從而求出二次函數的解析式．
（2）根據與x軸的兩個交點的坐標，設出二次函數交點式解析式y=a（x?2）（x+1），然后把點（5，6）的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數解析式；
解答： 解：（1）∵二次函數的圖象的對稱軸為x=?1，函數的最大值為2，
∴可設函數解析式為：y=a（x+1）2+2，
∵函數圖象經過點（0，?1），
∴a×1+2=?1，
∴a=?3，
∴二次函數的表達式為：y=?3（x+1）2+2，
即y=?3x2?6x?1；
（2）∵二次函數的圖象交x軸于（?1，0）、（2，0），
∴設該二次函數的解析式為：y=a（x?2）（x+1）（a≠0）．
將x=5，y=6代入，得6=a（5?2）（5+1），
解得a= ，
∴拋物線的解析式為y= （x?2）（x+1），
即y= x2? x? ．
點評： 本題考查了待定系數法求二次函數解析式，利用待定系數法求二次函數解析式時，注意合理利用拋物線解析式的三種形式．

23．如圖，在平面直角坐標系中，三個小正方形的邊長均為1，且正方形的邊與坐標軸平行，邊DE落在x軸的正半軸上，邊AG落在y軸的正半軸上，A、B兩點在拋物線y= x2+bx+c上．
（1）直接寫出點B的坐標；
（2）求拋物線y= x2+bx+c的解析式；
（3）將正方形CDEF沿x軸向右平移，使點F落在拋物線y= x2+bx+c上，求平移的距離．
 
考點： 二次函數綜合題．
專題： 壓軸題．
分析： （1）由圖中的三個小正方形的邊長為1，根據圖形可以知道B點的橫坐標為1，做那個坐標為3，從而得出點B的坐標．
（2）根據圖象求出點A的坐標，再把A、B的坐標代入解析式，根據待定系數法就可以求出b、c的值，從而求出拋物線的解析式．
（3）實際上就是當y=1時代入解析式就可以求出平移后點F′的橫坐標，就可以求出E′點的坐標，此時OE′?3就是平移的距離．
解答： 解：（1）由圖象，得B（1，3）．

（2）由題意，得A（0，2）
∴ ，解得：
 ，
∴ ，
∴拋物線的解析式為： ．

（3）當y=1時，
∴ 解得：
x= 或 （不符合題意應舍去），
∴F′（ ，1），
∴E′（ ，0），
∴OE′= ，
∴平移的距離為： ．
點評： 本題是一道二次函數綜合試題，考查了求點的坐標，用待定系數法求函數的解析式，平移的運用等知識．

24如圖，已知二次函數y=? x2+ x+4的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC．
（1）點A的坐標為�。�0，4）　，點C的坐標為�。�8，0）��；
（2）△ABC是直角三角形嗎？若是，請給予證明；
（3）線段AC上是否存在點E，使得△EDC為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的 點E的坐標；若不存在，請說明理由．
 

考點： 二次函數綜合題；點的坐標；二次函數的性質；拋物線與x軸的交點；三角形的面積；等腰三角形的判定．
分析： （1）拋物線的解析式中，令x=0即得二次函數與y軸交點A的縱坐標，令y=0即得二次函數與x軸交點的橫坐標．
（2）根據（1）中點的坐標得出AB，BC，AC的長，進而利用勾股定理逆定理得出即可；
（3）根據A、C的坐標，易求得直線AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不確定，因此要分成三種情況討論：
①CD=DE，由于OD=3，DA=DC=5，此時A點符合E點的要求，即此時A、E重合；
②CE=DE，根據等腰三角形三線合一的性質知：E點橫坐標為點D的橫坐標加上CD的一半，然后將其代入直線AC的解析式中，即可得到點E的坐標；
③CD =CE，此時CE=5，過E作EG⊥x軸于G，已求得CE、CA的長，即可通過相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例線段求得EG、CG的長，從而得到點E的坐標．
解答： 解：（1）在二次函數中令x=0得y=4，
∴點A的坐標為（0，4），
令y=0得： ，
即：x2?6x?16=0，
∴x=?2和x=8，
∴點B的坐標為（?2，0），點C的坐標為（8，0）．
故答案為：A（0，4），C（8，0）；

（2）∵點A的坐標為（0，4），
∴AO=4，
∵點B的坐標為（?2，0），點C的坐標為（8，0），
∴BO=2，CO=8，∴BC=10，
∴AC= =4 ，
∴AB= =2 ，
∴AB2+AC2=100，
∵BC2=1 00，
∴AB2+AC2= BC2，
∴△ABC是直角三角形；

（3）易得D（3，0），CD=5，
設直線AC對應的函數關系式為y=kx+b，則：
 ，
解得  ；
∴y=? x+4；
①當DE=DC時，
∵CD=5，
∴AD=5，
∵D（3，0），
∴OE= =4，
∴E1（0，4）；
②當DE=EC時，可得出E點在CD的垂直平分線上，可得出E點橫坐標為：3+ = ，
進而將x= 代入y=? x+4，得出y= ，
可得E2（  ， ）；
③當DC=EC時， 如圖，過點E作EG⊥CD，
則△CEG∽△CAO，
∴ ，
即EG= ，CG=2  ，
∴E3（8?2  ， ）；
綜上所述，符合條件的E點共有三個：E1（0，4）、E2（  ， ）、E3（8?2  ， ）．
 
點評： 此題考查了二次函數圖象與坐標軸交點坐標的求法、等腰三角形的構成條件、圖形面積的求法等知識，（3） 題的解題過程并不復雜，關鍵在于理解題意．