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貴州省黔東南州2013年中考數學試卷
一、（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）本大題每小題均有ABCD四個備選答案，其中只有一個是正確的。
1．（4分）（2013?黔東南州）（?1）2的值是（　　）
　A．?1B．1C．?2D．2
考點：有理數的乘方．
分析：根據平方的意義即可求解．
解答：解：（?1）2=1．
故選B．
點評：本題考查了乘方的運算，負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數．
　
2．（4分）（2013?黔東南州）下列運算正確的是（　　）
　A．（a2）3=a6B．a2+a=a5C．（x?y）2=x2?y2D． + =2
考點：冪的乘方與積的乘方；實數的運算；合并同類項；完全平方公式．
專題：．
分析：A、利用冪的乘方運算法則計算得到結果，即可作出判斷；
B、原式不能合并，錯誤；
C、原式利用完全平方公式展開得到結果，即可作出判斷；
D、原式利用立方根的定義化簡得到結果，即可作出判斷．
解答：解：A、（a2）3=a6，本選項正確；
B、本選項不能合并，錯誤；
C、（x?y）2=x2?2xy+y2，本選項錯誤；
D、 + =2+ ，本選項錯誤，
故選A
點評：此題考查了積的乘方與冪的乘方，合并同類項，同底數冪的，以及完全平方公式，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．
　
3．（4分）（2013?黔東南州）如圖是有幾個相同的小正方體組成的一個幾何體．它的左視圖是（　　）
　A． B． C． D．
考點：簡單組合體的三視圖．
分析：根據左視圖是從左面看到的圖判定則可．
解答：解：左面看去得到的正方形第一層是2個正方形，第二層是1個正方形．
故選B．
點評：本題主要考查了幾何體的三視圖，從正面看到的圖叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖，從上面看到的圖叫做俯視圖，難度適中．
　
4．（4分）（2013?黔東南州）從長為10cm、7cm、5cm、3cm的四條線段中任選三條能夠成三角形的概率是（　　）
　A． B． C． D．
考點：列表法與樹狀圖法．
分析：列舉出所有情況，讓能組成三角形的情況數除以總情況數即為所求的概率．
解答：解：共有10、7、5；10、7、3；10、5、3；7、3、5；4種情況，
10、7、3；10、5、3這兩種情況不能組成三角形；
所以P（任取三條，能構成三角形）= ．
故選：C．
點評：此題考查了概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）= ．構成三角形的基本要求為兩小邊之和大于最大邊．
　
5．（4分）（2013?黔東南州）如圖，已知a∥b，∠1=40°，則∠2=（　　）
　A．140°B．120°C．40°D．50°
考點：平行線的性質；對頂角、鄰補角．
專題：．
分析：如圖：由a∥b，根據兩直線平行，同位角相等，可得∠1=∠3；又根據鄰補角的定義，可得∠2+∠3=180°，所以可以求得∠2的度數．
解答：解：∵a∥b，
∴∠1=∠3=40°；
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°?∠3=180°?40°=140°．
故選A．
點評：此題考查了平行線的性質：兩直線平行，同位角相等以及鄰補角互補．
　
6．（4分）（2013?黔東南州）某中學九（1）班6個同學在課間體育活動時進行1分鐘跳繩比賽，成績如下：126，144，134，118，126，152．這組數據中，眾數和中位數分別是（　　）
　A．126，126B．130，134C．126，130D．118，152
考點：眾數；中位數．
分析：根據眾數和中位數的定義求解即可．
解答：解：這組數據按從小到大的順序排列為：118，126，126，134，144，152，
故眾數為：126，
中位 數為：（126+134）÷2=130．
故選C．
點評： 本題考查了眾數和中位數的知識，屬于基礎題，掌握各知識點的定義是解答本題的關鍵．
　
7．（4分）（2013?黔東南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心，r為半徑作圓，若圓C與直線AB相切，則r的值為（　　）
　A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm
考點：直線與圓的位置關系．
分析：R的長即為斜邊AB上的高，由勾股定理易求得AB的長，根據直角三角形面積的不同表示方法，即可求出r的值．
解答：解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm；
由勾股定理，得：AB2=32+42=25，
∴AB=5；
又∵AB是⊙C的切線，
∴CD⊥AB，
∴CD=R；
∵S△ABC= AC?BC= AB?r；
∴r=2.4cm，
故選B．
點評：本題考查的知識點有：切線的性質、勾股定理、直角三角形面積的求法；斜邊上的高即為圓的半徑是本題的突破點
　
8．（4分）（2013?黔東南州）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（　　）
　A．a＜0，b＜0，c＞0，b2?4ac＞0B．a＞0，b＜0，c＞0，b2?4ac＜0
　C．a＜0，b＞0，c＜0，b2?4ac＞0D．a＜0，b＞0，c＞0，b2?4ac＞0
考點：二次函數圖象與系數的關系．
分析：由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，再結合拋物線的對稱軸與y軸的關系判斷b與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，根據拋物線與x軸交點的個數判斷b2?4ac與0的關系．
解答：解：∵拋物線的開口向下，
∴a＜0，
∵對稱軸在y軸右邊，
∴a，b異號即b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在正半軸，
∴c＞0，
∵拋物線與x軸有2個交點，
∴b2?4ac＞0．
故選D．
點評：二次函數y=ax2+bx+c系數符號的確定：
（1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0．
（2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x= 判斷符號．
（3）c由拋物線與y軸的交點確定：交點在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0．
（4）b2?4ac由拋物線與x軸交點的個數確定：2個交點，b2?4ac＞0；1個交點，b2?4ac=0；沒有交點，b2?4ac＜0．
　
9．（4分）（2013?黔東南州）直線y=?2x+m與直線y=2x?1的交點在第四象限，則m的取值范圍是（　　）
　A．m＞?1B．m＜1C．?1＜m＜1D．?1≤m≤1
考點：兩條直線相交或平行問題．
專題：計算題．
分析：聯立兩直線解析式求出交點坐標，再根據交點在第四象限列出不等式組求解即可．
解答：解：聯立 ，
解得 ，
∵交點在第四象限，
∴ ，
解不等式① 得，m＞?1，
解不等式②得，m＜1，
所以，m的取值范圍是?1＜m＜1．
故選C．
點評：本題考查了兩直線相交的問題，解一元一次不等式組，聯立兩函數解析式求交點坐標是常用的方法，要熟練掌握并靈活運用．
　
10．（4分）（2013?黔東南州）如圖，直線y=2x與雙曲線y= 在第一象限的交點為A，過點A作AB⊥x軸于B，將△ABO繞點O旋轉90°，得到△A′B′O，則點A′的坐標為（　　）
　A．（1.0）B．（1.0）或（?1.0）C．（2.0）或（0，?2）D．（?2.1）或（2，?1）
考點：反比例函數與一次函數的交點問題；坐標與圖形變化-旋轉．
專題：計算題．
分析：聯立直線與反比例解析式，求出交點A的坐標，將△ABO繞點O旋轉90°，得到△A′B′O，利用圖形及A的坐標即可得到點A′的坐標．
解答：解：聯立直線與反比例解析式得： ，
消去y得到：x2=1，
解得：x=1或?1，
∴y=2或?2，
∴A（1，2 ），即AB=2，OB=1，
根據題意畫出相應的圖形，如圖所示，
可得A′B′=A′′B′′=AB=2，OB′=OB′′=OB=1，
根據圖形得：點A′的坐標為（?2，1）或（2，?1）．
故選D．
點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形變化?旋轉，作出相應的圖形是解本題的關鍵．
　
二、題（本題共6小題，每小題4分，共24分）
11．（4分）（2013?黔東南州）平面直角坐標系中，點A（2，0）關于y軸對稱的點A′的坐標為　（?2，0）　．
考點：關于x軸、y軸對稱的點的坐標．
分析：根據關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數，縱坐標不變可以直接寫出答案．
解答：解：點A（2，0）關于y軸對稱的點A′的坐標為（?2，0），
故答案為：（?2，0）．
點評：此題主要考查了關于y軸對稱點的坐標特點，關鍵是掌握點的坐標的變化規律．
　
12．（4分）（2013?黔東南州）使根式 有意義的x的取值范圍是　x≤3　．
考點：二次根式有意義的條件．
分析：根據被開方數大于等于0列式計算即可得解．
解答：解：根據題意得，3?x≥0，
解得x≤3．
故答案為：x≤3．
點評：本題考查的知識點為：二次根式的被開方數是非負數．
　
13．（4分）（2013?黔東南州）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則 的值是　 　．
考點：相似三角形的判定與性質．
分析：由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∥CD，即可證得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得： ，然后利用三角函數，用AC表示出AB與CD，即可求得答案．
解答：解：∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴ ，
∵在Rt△ACB中∠B=45°，
∴AB=AC，
∵在RtACD中，∠D=3 0°，
∴CD= = AC，
∴ = = ．
故答案為： ．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質與三角函數的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．
　
14．（4分）（2013?黔東南州）在△ABC中，三個內角∠A、∠B、∠C滿足∠B?∠A=∠C?∠B，則∠B=　60　度．
考點：三角形內角和定理．xkb1.com
分析：先整理得到∠A+∠C=2∠B，再利用三角形的內角和等于180°列出方程求解即可．
解答：解：∵∠B?∠A=∠C?∠B，
∴∠A+∠C=2∠B，
又∵∠A+∠C+∠B=180°，
∴3∠B=180°，
∴∠B=60°．
故答案為：60．
點評：本題考查了三角形的內角和定理，是基礎題，求出∠A+∠C=2∠B是解題的關鍵．
　
15．（4分）（2013?黔東南州）若兩個不等實數m、n滿足條件：m2?2m?1=0，n2?2n? 1=0，則m2+n2的值是　6　．
考點：根與系數的關系．
分析：根據題意知，m、n是關于x的方程x2?2x?1=0的兩個根，所以利用根與系數的關系來求m2+n2的值．
解答：解：由題意知，m、n是關于x的方程x2?2x?1=0的兩個根，則m+n=2，mn=?1．
所以，m2+n2=（m+n）2?2mn=2×2?2×（?1）=6．
故答案是：6．
點評：此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．
　
16．（4分）（2013?黔東南州）觀察規律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，則1+3+5+…+2013的值是　1014049　．
考點：規律型：數字的變化類．
分析：根據已知數字變化規律，得出連續奇數之和為數字個數的平方，進而得出答案．
解答：解：∵1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，
∴1+3+5+…+2013=（ ）2=10072=1014049．
故答案為：1014049．
點評：此題主要考查了數字變化規律，根據已知得出數字的變與不變是解題關鍵．
　
三、解答題：（本大題共8個小題，共86分）
17．（10分）（2013?黔東南州）（1）計算：sin30°?2?1+（ ?1）0+ ；
（2）先簡化，再求值：（1? ）÷ ，其中x= ．
考點：分式的化簡求 值；實數的運算；零指 數冪；負整數指數冪；特殊角的三角函數值．
專題：計算題．
分析：（1）分別根據負整數指數冪、0指數冪的計算法則及特殊角的三角函數值計算出各數，再根據實數混合運算的法則進行計算即可；
（2）先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可．
解答：解：（1）原式= ? +1+π?1
=π；
（2）原式= ÷
= ×
= ，
當x= 時，原式= = +1．
點評：本題考查的是分式的混合運算及實數的運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．
　
18．（8分）（2013?黔東南州）解不等式組 ，并把解集在數軸上表示出來．
考點：解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集．
專題：計算題．
分析：先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．
解答：解： ，
解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x≥?2，
在數軸上表示如下：
所以，不等式組的解集是?2≤x＜2．
點評：本題考查了一元一次不等式組的解法，在數軸上表示不等式組的解集，需要把每個不等式的解集在數軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
　
19．（8分）（2013? 黔東南州）如圖，在正方形ABCD中，點M是對角線BD上的一點，過點M作ME∥CD交BC于點E，作MF∥BC交CD于點F．求證：AM=EF．
考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；矩形的判定與性質．
專題：證明題．
分析：過M點作MQ⊥AD，垂足為Q，作MP垂足AB，垂足為P，根據題干條件證明出AP=MF，PM=ME，進而證明△APM≌△FME，即可證明出AM=EF．
解答：證明：過M點作MQ⊥AD，垂足為Q，作MP垂足AB，垂足為P，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形MFDQ和四邊形PBEM是正方形，四邊形APMQ是矩形，
∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
∵在△APM和△FME中，
，
∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM=EF．
點評：本題主要考查正方形的性質等知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性質等知識，此題正確作出輔助線很易解答．
　
20．（10分）（2013?黔東南州）為了解黔東南州某縣2013屆中考學生的體育考試得分情況，從該縣參加體育考試的4000名學生中隨機抽取了100名學生的體育考試成績作樣本分析，得出如下不完整的頻數統計表和頻數分布直方圖．
成績分組組中值頻數
25≤x＜30 27.54
30≤x＜35 32.5m
35≤x＜40 37.524
40≤x＜45 a36
45≤x＜50 47.5n
50≤x＜55 52.54
（1）求a、m、n的值，并補全頻數分布直方圖；
（2）若體育得分在40分以上（包括40分）為優秀，請問該縣中考體育成績優秀學生人數約為多少？
考點：頻數（率）分布直方圖；用樣本估計總體；頻數（率）分布表．
分析：（1）求出組距，然后利用37.5加上組距就是a的值；根據頻數分布直方圖即可求得m的值，然后利用總人數100減去其它各組的人數就是n的值；
（2）利用總人數4000乘以優秀的人數所占的比例即可求得優秀的人數．
解答：解：（1）組距是：37.5?32.5=5，則a=37.5+5=42.5；
根據頻數分布直方圖可得：m=12，
則n=100?4?12?24?36?4=20；
（2）優秀的人數所占的比例是： =0.6，
則該縣中考體育成績優秀學生人數約為：4000×0.6=2400（人）．
點評：本題考查讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力；利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
　
21．（12分）（2013?黔東南州）某校九年級舉行畢業典禮，需要從九（1）班的2名男生1名女生、九（2）的1名男生1名女生共5人中選出2名主持人．
（1）用樹形圖獲列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人來自不同班級的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
考點：列表法與樹狀圖法．
分析：（1）首先根據題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果；
（2）由選出的是2名主持人來自不同班級的情況，然后由概率公式即可求得；
（3）由選出的是2名主持人恰好1男1女的情況，然后由概率公式即可求得．
解答：解：（1）畫樹狀圖得：
共有20種等可能的結果，
（2）∵2名主持人來自不同班級的情況有12種，
∴2名主持人來自不同班級的概率為： = ；
（3）∵2名主持人恰 好1男1女的情況有12種，
∴2名主持人恰好1男1女的概率為： = ．
點評：此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意樹狀圖與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數與總情況數之比．
　
22．（12分）（2013?黔東南州）如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分線；設它交AB邊于點O，再以點O為圓心，OB為半徑作⊙O（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）證明：AC是所作⊙O的切線；
（3）若BC= ，sinA= ，求△AOC的面積．
考點：作圖?復雜作圖；切線的判定．
分析：（1）根據角平分線的作法求出角平分線FC，進而得出⊙O；
（2）根據切線的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；
（3）根據銳角三角函數的關系求出AC，EO的長，即可得出答案．
解答：（1）解：如圖所示：
（2）證明：過點O作OE⊥AC于點E，
∵FC平分∠ACB，
∴OB=OE，
∴AC是所作⊙O的切線；
（3）解：∵sinA= ，∠ABC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠ACB=∠OCB= ACB=30°，
∵BC= ，
∴AC=2 ，BO=tan30°BC= × =1，
∴△AOC的面積為： ×AC×OE= ×2 ×1= ．
點評：此題主要考查了復雜作圖以及切線的判定和銳角三角函數的關系等知識，正確把握切線的判定定理是解題關鍵．
　
23．（12分）（2013?黔東南州）某校校園超市老板到批發中心選購甲、乙兩種品牌的文具盒，乙品牌的進貨單價是甲品牌進貨單價的2倍，考慮各種因素，預計購進乙品牌文具盒的數量y（個）與甲品 牌文具盒的數量x（個）之間的函數關系如圖所示．當購進的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120個時，購進甲、乙品牌文具盒共需7200元．
（1）根據圖象，求y與x之間的函數關系式；
（2）求甲、乙兩種品牌的文具盒進貨單價；
（3）若該超市每銷售1個甲種品牌的文具盒可獲利4元，每銷售1個乙種品牌的文具盒可獲利9元，根據學生需求，超市老板決定，準備用不超過6300元購進甲、乙兩種品牌的文具盒，且這兩種品牌的文具盒全部售出后獲利不低于1795元，問該超市有幾種進貨方案？哪種方案能使獲利最大？最大獲利為多少元？
考點：一次函數的應用．
分析：（1） 根據函數圖象由待定系數法就可以直接求出y與x之間的函數關系式；
（2）設甲品牌進貨單價是a元，則乙品牌的進貨單價是2a元，根據購進甲品牌文具盒120個可以求出乙品牌的文具盒的個數，由共需7200元為等量關系建立方程求出其解即可；
（3）設甲品牌進貨m個，則乙品牌的進貨（?m+300）個，根據條件建立不等式組求出其解即可．
解答： 解：（1）設y與x之間的函數關系式為y=kx+b，由函數圖象，得
，
解得： ，
∴y與x之間的函數關系式為y=?x+300；
（2）∵y=?x+300；
∴當x=120時，y=180．
設甲品牌進貨單價是a元，則乙品牌的進貨單價是2a元，由題意，得
120a+180×2a=7200，
解得：a=15，
∴乙品牌的進貨單價是30元．
答：甲、乙兩種品牌的文具盒進貨單價分別為15元，30元；
（3）設甲品牌進貨m個，則乙品牌的進貨（?m+300）個，由題意，得
，
解得：180≤m≤181，
∵m為整數，
∴m=180，181．
∴共有兩種進貨方案：
方案1：甲品牌進貨180個，則乙品牌的進貨120個；
方案2：甲品牌進貨181個，則乙品牌的進貨119個；
設兩種品牌的文具盒全部售出后獲得的利潤為W元，由題意，得
W=4m+9（?m+300）=?5m+2700．
∵k=?5＜0，
∴W隨m的增大而減小，
∴m=180時，W最大=1800元．
點評：本題考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，列一元一次方程解實際問題的運用，列一元一次不等式組解實際問題的運用，解答時求出第一問的解析式是解答后面問題的關鍵．
　
24．（14分）（2013?黔東南州）已知拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（1，4），它與直線y2=x+1的一個交點的橫坐標為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在給出的坐標系中畫出拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）及直線y2=x+1的圖象，并根據圖象，直接寫出使得y1≥y2的x的取值范圍；
（3）設拋物線與x軸的右邊交點為A，過點A作x軸的垂線，交直線y2=x+1于點B，點P在拋物線上，當S△PAB≤6時，求點P的橫坐標x的取值范圍．
考點：二次函數綜合題．
分析：（1）首先求出拋物線與直線的交點坐標，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）確定出拋物線與x軸的兩個交點坐標，依題意畫出函數的圖象．由圖象可以直觀地看出使得y1≥y2的x的取值范圍；
（3）首先求出點B的坐標及線段AB的長度；設△PAB中，AB邊上的高為h，則由S△PAB≤6可以求出h的范圍，這是一個不等式，解不等式求出xP的取值范圍．
解答：解：（1）∵拋物線與直線y2=x+1的一個交點的橫坐標為2，
∴交點的縱坐標為2+1=3，即交點坐標為（2，3）．
設拋物線的解析式為y1=a（x?1）2+4，把交點坐標（2，3）代入得：
3=a（2?1）2+4，解得a=?1，
∴拋物線解析式為：y1=?（x?1）2+4=?x2+2x+3．
（2）令y1=0，即?x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=?1，
∴拋物線與x軸交點坐標為（3，0）和（?1，0）．
在坐標系中畫出拋物線與直線的圖形，如圖：
根據圖象，可知使得y1≥y2的x的取值范圍為?1≤x≤2．
（3）由（2）可知，點A坐標為（3，0）．
令x=3，則y2=x+1=3+1=4，∴B（3，4），即AB=4．
設△PAB中，AB邊上的高為h，則h=xP?xA=xP?3，
S△PAB= AB?h= ×4×xP?3=2xP?3．
已知S△PAB≤6，2xP?3≤6，化簡得：xP?3≤3，
去掉絕對值符號，將不等式化為不等式組：?3≤xP?3≤3，
解此不等式組，得：0≤xP≤6，
∴當S△PAB≤6時，點P的橫坐標x的取值范圍為0≤xP≤6．
點評：本題考查了二次函數的圖象與性質、一次函數的圖象與性質、待定系數法、三角形的面積、解不等式（組）等知識點．題目難度不大，失分點在于第（3）問，點P在線段AB的左右兩側均有取值范圍，注意不要遺漏．


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