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來

湖南省株洲市2013年中考數學試卷
一、（每小題有且只有一個正確答案，本題共8小題，每小題3分，共24分）

1．（2013•株洲）一元一次方程2x=4的解是（　　）
　A．x=1B．x=2C．x=3D．x=4

考點：解一元一次方程．
分析：方程兩邊都除以2即可得解．
解答：解：方程兩邊都除以2，系數化為1得，x=2．
故選B．
點評：本題考查了解一元一次方程，是基礎題．
　
2．（2013•株洲）下列計算正確的是（　　）
　A．x+x=2x2B．x3•x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2

考點：冪的乘方與積的乘方；合并同類項；同底數冪的．
分析：根據合并同類項的法則，同底數冪的與除法以及冪的乘方的知識求解即可求得答案．
解答：解：A、x+x=2x≠2x2，故本選項錯誤；
B、x3•x2=x5，故本選項正確；
C、（x2）3=x6≠x5，故本選項錯誤；
D、（2x）2=4x2≠2x2，故本選項錯誤．
故選：B．
點評：此題考查了合并同類項的法則，同底數冪的乘法與除法以及冪的乘方等知識，解題要注意細心．
　
3．（2013•株洲）孔明同學參加暑假軍事訓練的射擊成績如下表：
射擊次序第一次第二次第三次第四次第五次
成績（環）98796
則孔明射擊成績的中位數是（　　）
　A．6B．7C．8D．9

考點： 中位數．
分析：將數據從小到大排列，根據中位數的定義即可得出答案．
解答：解：將數據從小到大排列為：6，7，8，9，9，
中位數為8．
故選C．
點評：本題考查了中位數的定義，中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數，如果中位數的概念掌握得不好，不把數據按要求重新排列，就會出錯．
　
4．（2013•株洲）下列幾何體中，有一個幾何體的俯視圖的形狀與其它三個不一樣，這個幾何體是（　　）
　A．
正方體B．
圓柱C．
圓錐D．
球

考點：簡單幾何體的三視圖
分析：俯視圖是分別從物體上面看所得到的圖形．分別寫出四個幾何體的俯視圖即可得到答案．
解答：解：正方體的俯視圖是正方形；圓柱體的俯視圖是圓；圓錐體的俯視圖是圓；球的俯視圖是圓．
故選：A．
點評：本題主要考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵．注意所有的看到的棱都應表現在三視圖中．
　
5．（2013•株洲）如圖是株洲市的行政區域平面地圖，下列關于方位的說法 明顯錯誤的是（　　）

　A．炎陵位于株洲市區南偏東約35°的方向上
　B．醴陵位于攸縣的北偏東約16°的方向上
　C．株洲縣位于茶陵的南偏東約40°的方向上
　D．株洲市區位于攸縣的北偏西約21°的方向上

考點：坐標確定位置．
分析：根據坐標確定位置以及方向角對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解答：解：A、炎陵位于株洲市區南偏東約35°的方向上正確，故本選項錯誤；
B、醴陵位于攸縣的北偏東約16°的方向上正確，故本選項錯誤；
C、應為株洲縣位于茶陵的北偏西約40°的方向上，故本選項正確；
D、株洲市區位于攸縣的北偏西約21°的方向上正確，故本選項錯誤．
故選C．
點評：本題考查了利用坐標確定位置，方向角的定義，是基礎題，熟記方向角的概念并準確識圖是解題的關鍵．
　
6．（2013•株洲）下列四種圖形都是軸對稱圖形，其中對稱軸條數最多的圖形是（　　）
　A．等邊三角形B．矩形C．菱形D．正方形

考點：軸對稱圖形．
分析：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，分別判斷出各圖形的對稱軸條數，繼而可得出答案．
解答：解：A、等邊三角形有3條對稱軸；
B、矩形有2條對稱軸；
C、菱形有2條對稱軸；
D、正方形有4條對稱軸；
故選D．
點評：本題考查了軸對稱圖形的知識，注意掌握軸對稱及對稱軸的定義．
　
7．（2013•株洲）已知點A（1，y1）、B（2，y2）、C（?3，y3）都在反比例函數 的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是（　　）
　A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1

考點：反比例函數圖象上點的坐標特征．
專題：探究型．
分析：分別把各點代入反比例函數y= 求出y1、y2、，y3的值，再比較出其大小即可．
解答：解：∵點A（1，y1）、B（2，y2）、C（?3，y3）都在反比例函數 的圖象上，
∴y1= =6；y2= =3；y3= =?2，
∵6＞3＞?2，
∴y1＞y2＞y3．
故選D．
點評：本題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．
　
8．（2013•株洲）二次函數y=2x2+x+8的圖象如圖所示，則的值是（　　）

　A．?8B．8C．±8D．6

考點：拋物線與x軸的交點．
分析：根據拋物線與x軸只有一個交點，△=0，列式求出的值，再根據對稱軸在y軸的左邊求出的取值范圍，從而得解．
解答：解：由圖可知，拋物線與x軸只有一個交點，
所以，△=2?4×2×8=0，
解得=±8，
∵對稱軸為直線x=? ＜0，
∴＞0，
∴的值為8．
故選B．
點評：本題考查了二次函數圖象與x軸的交點問題，本題易錯點在于要根據對稱軸確定出是正數．
　
二、題（本題共2小題，每小題0分，共24分）
9．（2013•株洲）在平面直角坐標系中，點（1，2）位于第　一　象限．

考點：點的 坐標．
分析：根據各象限的點的坐標特征解答．
解答：解：點（1，2）位于第一象限．
故答案為：一．
點評：本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（?，+）；第三象限（?，?）；第四象限（+，?）．
　
10．（2013•株洲）某招聘考試分筆試和面試兩種，其中筆試按60%、面試按40%計算加權平均數，作為總成績．孔明筆試成績90分，面試成績85分，那么孔明的總成績是　88　分．

考點：加權平均數．
分析：根據筆試和面試所占的百分比以及筆試成績和面試成績，列出算式，進行計算即可．
解答：解：∵筆試按60%、面試按40%，
∴總成績是（90×60%+85×40%）=88分，
故答案為：88．
點評：此題考查了加權平均數，關鍵是根據加權平均數的計算公式列出算式，用到的知識點是加權平均數．
　

11．（2013•株洲）計算： =　2　．

考點：分式的加減法．
分析：分母不變，直接把分子相加即可．
解答：解：原式= =
=2．
故答案為：2．
點評：本題考查的是分式的加減法，即同分母的分式想加減，分母不變，把分子相加減．
　
12．（2013•株洲）如圖，直線l1∥l2∥l3，點A、B、C分別在直線l1、l2、l3上．若∠1=70°，∠2=50°，則∠ABC=　120　度．

考點：平行線的性質．
分析：根據兩直線平行，同位角相等求出∠3，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠4，然后相加即可得解．
解答：解：如圖，∵l1∥l2∥l3，∠1=70°，2=50°，
∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°，
∴∠ABC=∠3+ ∠4=70°+50°=120°．
故答案為：120．

點評：本題考查了兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，內錯角相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．
　
13．（2013•株洲）如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=42°，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數是　48　度．

考點：垂徑定理．
分析：根據點D是弦AC的中點，得到OD⊥AC，然后根據∠DOC=∠DOA即可求得答案．
解答：解：∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OC
∵∠A=42°
∴∠ACO=∠A=42°
∵D為AC的中點，
∴OD⊥AC，
∴∠DOC=90°?∠DCO=90°?42°=48°．
故答案為：48．
點評：本題考查了垂徑定理的知識，解題的關鍵是根的弦的中點得到弦的垂線．
　
14．（2013•株洲）一元一次不等式組 的解集是　 ＜x≤1　．

考點：解一元一次不等式組．
分析：求出每個不等式的解集，根據找不等式組解集的規律找出即可．
解答：解：
∵解不等式①得：x＞ ，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式組的解集為： ＜x≤1，
故答案為： ＜x≤1
點評：本題考查了解一元一次不等式（組）的應用，關鍵是能根據不等式的解集找出不等式組的解集．
　
15．（2013•株洲）多項式x2+x+5因式分解得（x+5）（x+n），則=　6　，n=　1　．

考點：因式分解的意義．
專題：．
分析：將（x+5）（x+n）展開，得到，使得x2+（n+5）x+5n與x2+x+5的系數對應相等即可．
解答：解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，
∴x2+x+5=x2+（n+5）x+5n
∴ ，
∴ ，
故答案為6，1．
點評：本題考查了因式分解的意義，使得系數對應相等即可．
　
16．（2013•株洲）已知a、b可以取?2、?1、1、2中任意一個值（a≠b），則直線y=ax+b的圖象不經過第四象限的概率是　 　．

考點：列表法與樹狀圖法；一次函數圖象與系數的關系．3
分析：列表得出所有等可能的結果數，找出a與b都為正數，即為直線y =ax+b不經過第四象限的情況數，即可求出所求的概率．
解答：解：列表如下：
?2?112
?2（?1，?2）（1，?2）（2，?2）
?1（?2，?1）（1，?1）（2，?1）
1（?2，1）（?1，1）（2，1）
2（?2，2）（?1，2）（1，2）
所有等可能的情況數有12種，其中直線y=ax+b不經過第四象限情況數有2種，
則P= = ．
故答案為：
點評：此題考查了列表法與樹狀圖法，以及一次函數圖象與系數的關系，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．
　
三、解答題（本大題共8小題，共52分）

17．（4分）（2013•株洲）計算： ．

考點：實數的運算；特殊角的三角函數值．
專題：．
分析：分別根據算術平方根、絕對值的性質及特殊角的三角函數值計算出各數， 再根據實數混合運算的法則進行計算即可．
解答：解：原式=2+3?2×
=5?1
=4．
點評：本題考查的是實數的運算，熟知算術平方根、絕對值的性質及特殊角的三角函數值是解答此題的關鍵．
　
18．（4分）（2013•株洲）先化簡，再求值：（x?1）（x+1）?x（x?3），其中x=3．

考點：整式的混合運算—化簡求值．
專題：計算題．
分析：原式第一項利用平方差公式化簡，第二項利用單項式乘多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，將x的值代入計算即可求出值．
解答：解：原式=x2?1?x2+3x=3x?1，
當x=3時，原式= 9?1=8．
點評：此題考查了整式的混合運算?化簡求值，涉及的知識有：平方差公式，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．
　
19．（6分）（2013•株洲）某生物小組觀察一植物生長，得到植物高度y（單位：厘米）與觀察時間x（單位：天）的關系，并畫出如圖所示的圖象（AC是線段，直線CD平行x軸）．
（1）該植物從觀察時起，多少天以后停止長高？
（2）求直線AC的解析式，并求該植物最高長多少厘米？

考點：一次函數的應用．
分析：（1）根據平行線間的距離相等可知50天后植物的高度不變，也就是停止長高；
（2）設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數法求出直線AC的解析式，再把x=50代入進行計算即可得解．
解答：解：（1）∵CD∥x軸，
∴從第50天開始植物的高度不變，
答：該植物從觀察時起，50天以后停止長高；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵經過點A（0，6），B（30，12），
∴ ，
解得 ．
所以，直線AC的解析式為y= x+6（0≤x≤50），
當x=50時，y= ×50+6=16c．
答：直線AC的解析式為y= x+6（0≤x≤50），該植物最高長16c．
點評：本題考查了一次函數的應用，主要利用了待定系數法求一次函數解析式，已知自變量求函數值，仔細觀察圖象，準確獲取信息是解題的關鍵．
　
20．（6分）（2013•株洲）已知AB是⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點B， ∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，AD的延長線交BC于點C．
（1）求∠BAC的度數；
（2）求證：AD=CD．

考點：切線的性質；等腰直角三角形；圓周角定理．
分析：（1）由AB是⊙O的直徑，易證得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，易證得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度數；
（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三線合一的知識，即可證得AD=CD．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，BD⊥AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=CB，
∵直線BC與⊙O相切于點B，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°；

（2）證明：∵AB=CB，BD⊥AC，
∴AD=CD．
點評：此題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．
　
21．（6分）（2013•株洲）某學校開展課外體育活動，決定開設A：籃球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四種活動項目．為了解學生最喜歡哪一種活動項目（每人只選取一種），隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪成如甲、乙所示的統計圖，請你結合圖中信息解答下列問題．

（1）樣本中最喜歡A項目的人數所占的百分比為　40%　，其所在扇形統計圖中對應的圓心角度數是　144　度；
（2）請把條形統計圖補充完整；
（3）若該校有學生1000人，請根據樣本估計全校最喜歡踢毽子的學生人數約是多少？

考點：條形統計圖；用樣本估計總體；扇形統計圖．
分析：（1）利用100%減去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜歡A項目的人數所占的百分比；所在扇形統計圖中對應的圓心角度數用360°×40%即可；
（2）根據頻數=總數×百分比可算出總人數，再利用總人數減去D、C、B三部分的人數即可得到A部分的人數，再補全圖形即可；
（3）利用樣本估計總每個體的方法用1000×樣本中喜歡踢毽子的人數所占百分比即可．
解答：解：（1）100%?20%?10%?30%=40%，
360°×40%=144°；

（2）抽查的學生總人數：15÷30%=50，
50?15?5?10=20（人）．如圖所示：

（3）1000×10%=100（人）．
答：全校最喜歡踢毽子的學生人數約是100人．

點評：此題主要考查了條形統計圖和扇形統計圖，讀懂統計圖，從不同的統 計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．
　
22．（8分）（2013•株洲）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的長．

考點：菱形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：（1）根據菱形的對角線互相平分可得AO=CO，對邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內錯角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；
（2）根據菱形的對角線平分一組對角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長，再求出EF的長，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可得解．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，
∴∠DAO= ∠BAD= ×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°?30°=60°，
∴∠AEF=180°?∠BOD?∠AOE=180°?30°?60°=90°，
∵菱形的邊長為2，∠DAO=30°，
∴OD= AD= ×2=1，
∴AO= = = ，
∴AE=CF= × = ，
∵菱形的邊長為2，∠BAD=60°，
∴高EF=2× = ，
在Rt△CEF中，CE= = = ．
點評：本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理的應用，（2）求出△CEF是直角三角形是解題的關鍵，也是難點．
　
23．（8分）（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．
（1）當點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ABC；
（2）當△PQB 為等腰三角形時，求AP的長．

考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．
分析：（1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠ A=∠A），證明△APQ∽△ABC；
（2）當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．
（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）關系計算AP的長；
（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP．
解答：（1）證明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠APQ=∠C．
在△APQ與△ABC中，
∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC．

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠BPQ為鈍角，
∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ．
（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴ ，即 ，解得：PB= ，
∴AP=AB?PB=3? = ；
（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，點B為線段AB中點，
∴AP=2AB=2×3=6．
綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為 或6．
點評：本題考查相似三角形及分類討論的數學思想，難度不大．第（2）問中，當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．
　
24．（10分）（2013•株洲）已知拋物線C1的頂點為P（1，0），且過點（0， ）．將拋物線C1向下平移h個單位（h＞0）得到拋物線C2．一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點（如圖），且點A、C關于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是2（＞0）．
（1）求拋物線C1的解析式的一般形式；
（2）當=2時，求h的值；
（3）若拋物線C1的對稱軸與直線AB交于點E，與拋物線C2交于點F．求證：tan∠EDF?tan∠ECP= ．

考點：二次函數綜合題．
專題：代數幾何綜合題．
分析：（1）設拋物線C1的頂點式形式y=a（x?1）2，（a≠0），然后把點（0， ）代入求出a的值，再化為一般形式即可；
（2）先根據的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點B、C的縱坐標，然后利用拋物線解 析式求出點C的橫坐標，再根據關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標相同求出點A的坐標，然后根據平移的性質設出拋物線C2的解析式，再把點A的坐標代入求出h的值即可；
（3）先把直線AB與x軸的距離是2代入拋物線C1的解析式求出C的坐標，從而求出CE，再表示出點A的坐標，根據拋物線的對稱性表示出ED，根據平移的性質設出拋物線C2的解析式，把點A的坐標代入求出h的值，然后表示出EF，最后根據銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證．
解答：（1）解：設拋物線C1的頂點式形式y=a（x?1）2，（a≠0），
∵拋物線過點（0， ），
∴a（0?1）2= ，
解得a= ，
∴拋物線C1的解析式為y= （x?1）2，
一般形式為y= x2? x+ ；

（2）解：當=2時，2=4，
∵BC∥x軸，
∴點B、C的縱坐標為4，
∴ （x?1）2=4，
解得x1=5，x2=?3，
∴點B（?3，4），C（5，4），
∵點A、C關于y軸對稱，
∴點A的坐標為（?5，4），
設拋物線C2的解析式為y= （x?1）2?h，
則 （?5?1）2?h=4，
解得h=5；

（3）證明：∵直線AB與x軸的距離是2，
∴點B、C的縱坐標為2，
∴ （x?1）2=2，
解得x1=1+2，x2=1?2，
∴點C的坐標為（1+2，2），
又∵拋物線C1的對稱軸為直線x=1，
∴CE=1+2?1=2，
∵點A、C關于y軸對稱，
∴點A的坐標為（?1?2，2），
∴AE =ED=1?（?1?2）=2+2，
設拋物線C2的解析式為y= （x?1）2?h，
則 （?1?2?1）2?h=2，
解得h=2+1，
∴EF=h+2=2+2+1，
∴t an∠EDF?tan∠ECP= ? = ? = ? = ，
∴tan∠EDF? tan∠ECP= ．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象與結合變換，關于y軸對稱的點的坐標特征，拋物線上點的坐標特征，銳角的正切的定義，（3）用表示出相應的線段是解題的關鍵，也是本題的難點．

來


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